专题04 轴对称、等腰等边三角形、最短路径（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材人教版

专题04 轴对称、等腰等边三角形、最短路径 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一·轴对称性质与坐标对称 考点二·等腰三角形性质与判定 考点三·等边三角形 考点四 最短路径问题 05 重难题型突破 题型一・平面直角坐标系中点的对称变换 题型二・等腰三角形边角分类讨论 题型三・等边三角形性质与判定综合题 型四・等腰三角形三线合一综合证明 题型五・将军饮马单动点最短路径 题型六・将军饮马变式：两动点、周长最小问题 题型七・等腰三角形存在性探究（动点） 题型八・轴对称折叠问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 本专题是期中压轴重点板块，题型覆盖选择填空、几何压轴大题。考点围绕坐标平面内点的对称变换、等腰三角形性质与判定、三线合一、等边三角形性质判定、将军饮马最短路径模型、折叠轴对称问题、等腰三角形动点存在性探究。基础题考查坐标对称、等腰简单角度计算；压轴题以最短路径、折叠倒角、动点等腰分类讨论为主。难度偏高，易错集中在等腰三角形边角分类讨论漏情况、三线合一误用条件、将军饮马作图原理说理不清、折叠问题找不全相等边角。。 识记 牢记平面直角坐标系中点对称坐标规律；牢记等腰、等边三角形性质与判定；牢记将军饮马模型原理；牢记折叠问题轴对称特点。 理解 理解轴对称前后对应边角相等；理解等腰三角形 “三线合一” 适用条件；理解将军饮马通过轴对称化折为直的原理；理解等腰动点分类讨论逻辑。 应用 能求坐标系内点的对称坐标；能利用等腰、等边三角形性质完成角度线段证明；能解决将军饮马最短路径、折叠倒角、等腰三角形存在性探究压轴题型。 考点一·轴对称性质与坐标对称 1.轴对称:对称轴垂直平分对应点连线。 2.坐标对称:点(x,y)关于x轴对称:(x,-y);关于y轴对称:(-x,y)。 3.将军饮马:利用轴对称，将折线段转化为直线段，求最短路径 考点二·等腰三角形性质与判定 1.性质:等边对等角;三线合一:顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合 2.判定:等角对等边。 ⚠️个避坑指南 三线合一只针对等腰三角形底边，腰上不适用;等腰边角问题注意多解分类讨论。 考点三·等边三角形 三边相等，三个内角都等于 60°；判定：三边相等 / 三角相等 / 有一个 60° 角的等腰三角形。 💡记忆口诀 等腰等边要分清，60° 等腰是等边；将军饮马作对称，折线拉直求最短。 考点四 将军饮马最短路径模型 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 题型一・平面直角坐标系中点的对称变换 【典例1】（26-27八年级上·天津·期中）（学年八上·天津天津红桥区·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1.点(x,y)关于x轴对称:(x,-y)，横坐标不变，纵坐标变号。 2.点(x,y)关于y轴对称:(-x,y)，纵坐标不变，横坐标变号。 3.关于直线x = a、y= b对称，利用中点公式求对称点坐标。 迁移应用 1．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知点与关于轴对称，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 2．（25-26八年级下·上海·期中）点与点在平面直角坐标系中关于哪条线对称（   ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 题型二・等腰三角形边角分类讨论 【典例2】（25-26八年级上·青海西宁·期中）等腰三角形一个角是，则它的顶角的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 💡破题要诀 1.性质:等边对等角;三线合一(顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合)。 2.判定:等角对等边。 3.三线合一仅适用于等腰三角形底边相关线段;等腰边长、角度未指明腰/顶角时，必须分类讨论，并且检验内角和、三边关系 迁移应用 1.（25-26八年级上·河南濮阳·期中）等腰三角形的一个内角为，则它的底角度数是（    ）． A． B． C．或 D．或 2．（25-26七年级下·上海·阶段检测）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为_____． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，为边上的高．，则线段的长为___________． 题型三·等边三角形性质与判定综合 【典例3】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，为等边的边上一点，为延长线上一点，且，连接交边于点．证明：． 💡破题要诀 1.性质:三边相等，三个内角均为60° 2.判定:三边相等;三个内角相等;有一个角为60°的等腰三角形 3.等边三角形常结合旋转模型，产生全等三角形。 迁移应用 1．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，已知，，． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的度数． 2．（25-26八年级上·广东阳江·期中）如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的周长． 题型四·等腰三角形三线合一综合证明 【典例4】（26-27八年级上·青海·期中）如图，点在线段上，，，，是的中点． (1)求证： (2)直线与直线有怎样的位置关系？证明你的结论． 💡破题要诀 1.三线合一包含三层互推关系:等腰 + 顶角平分线 → 底边上高、中线;等腰 + 底边高 → 顶角平分线、中线;等腰 + 底边中线→ 顶角平分线、高。 2.证明时不能直接“三线互推”，要先有等腰条件。 3.常用来证明垂直、线段相等、角相等, 迁移应用 1．（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，是的高，边的垂直平分线分别交，于点，，连接，． (1)若，求的长度； (2)若，则___________°． 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接，过点作，交于点． (1)若，，求度数； (2)若点是的中点，连接，请说明． 题型五·将军饮马单动点最短路径 【典例5】（25-26七年级下·北京·期中）如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1.核心原理:利用轴对称，将折线段转化为两点之间的直线段。 2.两点之间，线段最短。 3.作图步骤:作其中一个定点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一个定点，连线与对称轴交点即为所求动点。 迁移应用 1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，则最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在中，，，的面积为16，点D为线段中点，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型六·将军饮马变式:两动点、周长最小问题 【典例6】（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，，内有一定点，且．在上有一动点，上有一动点．则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1.求三角形/四边形周长最小值，有两个动点时，分别作两个定点关于两条直线的对称点.。 2.连接两个对称点，与两条直线交点即为两个动点位置, 3.周长最小值等于两个对称点之间线段长度, 1．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，点在等边的边上，，，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，则的长为（    ） A．5 B．5.5 C．6 D．7 2．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 题型七·等腰三角形存在性探究(动点) 【典例7】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．点第一次到达点时，同时停止运动． (1)点运动几秒时，两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰？如存在，请求出此时点、点运动的时间． 💡破题要诀 1.等腰三角形存在性分三类讨论:①AB=AC;②BA=BC;③CA=CB. 2.固定两点，第三点在直线上运动，依次列出三种情况, 3.每种情况计算完成后检验点的位置是否符合题意，舍去不合理解。 迁移应用 1．（22-23八年级上·全国·期末）如图，已知点B是直线外一点，A是直线上一点，且，点P是直线上一动点，当是等腰三角形时，它的顶角的度数为________ 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，中，，点E、F分别是边、上的动点，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，那么______． 3．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，点在边上运动（点不与重合），连接，作，交边于点．    (1)当时，______； (2)若，求证：； (3)在点的运动过程中，当为多少度时，是等腰三角形． 题型八·轴对称折叠问题 【典例8】（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． (1)【发现】如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则______； ②若，则与之间的数量关系是______； (2)【应用】如图2，B、A、E在同一直线上，，交于点C，．求证：； (3)如图3，在等腰中，，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，直接写出的度数为______． 💡破题要诀 1.折叠本质就是轴对称，折叠前后对应边相等、对应角相等 2.折叠产生相等线段、相等角，常在矩形、三角形背景中倒角。 3.折叠问题求边长，常结合勾股定理列方程求解。 迁移应用 1.（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形． 在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究． 实验操作：已知在等边纸片中，点，分别是，边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，． 【初步探究】当折痕时，完成下面探索任务： （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：是等边三角形； （2）如图2，当点落在内部时，求证：； 【深入探究】当折痕与不平行时，完成下面探索任务： （3）当是等腰直角三角形时，请求出的度数． 2．（25-26七年级下·广东深圳·期末）综合与实践 小明同学喜欢玩折纸游戏，在学习完轴对称的相关知识之后，他发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识，于是他找到若干张相同的长方形纸片，进行研究．在长方形纸片（）的边上找到一点，然后沿着进行折叠，点落在点处． (1)如图1，小明测量得，则_____； (2)如图2，小明继续对纸片进行折叠，他将纸片沿折叠，使得点落在点处，测量得，求的大小； (3)如图3，小明继续调整点的位置，将长方形纸片沿着和进行折叠，若点经过折叠后，点恰好落在线段上．小明同学通过观察与测量后，猜想：．你认为小明的猜想成立吗？请说明理由． 3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来等角所对的边也相等．类比以上内容，小明同学探究了不相等的边（或角）所对的角（或边）之间存在的关系．如图1和图2，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点落在上的点，折痕交于点． (1)证明：由折叠可得，___________． ___________（理由：___________）， ． 可得结论：在一个三角形中，如果两条边不等，那么所对的角也不等，大边所对的角较大． 请把上面的证明过程补充完整． (2)【拓展结论】 类似地，用下面的方法，证明此命题的逆命题：“在一个三角形中，如果两角不等，那么所对的边也不等，大角所对的边较大”已知：在中，．求证：． 小聪的思路是：在内部作 请你根据小聪的思路，在图1中添上辅助线并写出完整的证明过程； (3)【应用结论】如图3，在三角形中，平分，点为边上任意一点（不与点，点重合），连接，交于点．求证：． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27八年级上·浙江·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 4．（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（25-26八年级上·山西运城·期末）点关于x轴对称的点N的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，把一张长方形纸片的一角沿折叠，使的点D的对应点F落在内部．若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·河南南阳·期中）若点与点关于y轴对称，则__________． 8．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则______． 9．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）若等腰三角形的一个角等于，则它的底角的度数为___________ 10．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在等边中，与的角平分线交于点O，交于点D，且交于点E． (1)是判断的形状，并说明理由． (2)若，求的周长． 11．（25-26八年级上·天津·期中）已知，在等边三角形中，点D，E分别在射线及射线上，且． (1)如图1，当点E为线段的中点时，求证：； (2)如图2，当时，求度数． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（26-27八年级上·福建·期中）如图，与关于直线对称，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·黑龙江·期中）如图，中，，平分，平分， ，过点作，分别交、于、，若周长是24，则长是（     ） A．8 B．12 C．14 D．16 3．（26-27八年级上·云南·期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（     ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂直平分线的性质 D．等腰三角形的“三线合一” 4．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，点在上，连接；过点作交于点D，交于点，且，在上取一点，使，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 5．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，在上有一动点E，则的最小值为（　　） A．11 B．13 C．12 D．10 6．（26-27八年级上·北京·期中）如图，中，平分，，若与互补，，则的长为_______． 7．（26-27八年级上·甘肃·期中）如图，和均是等边三角形，、、三点在一条直线上，分别与交于点、．现有如下结论：①；②；③；④．上述结论正确的有___． 8．（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）如图，在和中，，且，点在上．过点作，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 9．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）小新在学习完等边三角形后，想进一步探究等边三角形的性质，设计了等边三角形中的双动点问题．已知，在等边三角形中，分别为边上的动点，且不与端点重合，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当时，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，当在移动时，若始终保持，在的右侧作，交于．求证：； 【知识迁移】 （3）如图3，若，在运动时始终保持，在的右侧作，且，连接，试判断的数量关系，并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 轴对称、等腰等边三角形、最短路径 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一·轴对称性质与坐标对称 考点二·等腰三角形性质与判定 考点三·等边三角形 考点四 最短路径问题 05 重难题型突破 题型一・平面直角坐标系中点的对称变换 题型二・等腰三角形边角分类讨论 题型三・等边三角形性质与判定综合题 型四・等腰三角形三线合一综合证明 题型五・将军饮马单动点最短路径 题型六・将军饮马变式：两动点、周长最小问题 题型七・等腰三角形存在性探究（动点） 题型八・轴对称折叠问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 本专题是期中压轴重点板块，题型覆盖选择填空、几何压轴大题。考点围绕坐标平面内点的对称变换、等腰三角形性质与判定、三线合一、等边三角形性质判定、将军饮马最短路径模型、折叠轴对称问题、等腰三角形动点存在性探究。基础题考查坐标对称、等腰简单角度计算；压轴题以最短路径、折叠倒角、动点等腰分类讨论为主。难度偏高，易错集中在等腰三角形边角分类讨论漏情况、三线合一误用条件、将军饮马作图原理说理不清、折叠问题找不全相等边角。。 识记 牢记平面直角坐标系中点对称坐标规律；牢记等腰、等边三角形性质与判定；牢记将军饮马模型原理；牢记折叠问题轴对称特点。 理解 理解轴对称前后对应边角相等；理解等腰三角形 “三线合一” 适用条件；理解将军饮马通过轴对称化折为直的原理；理解等腰动点分类讨论逻辑。 应用 能求坐标系内点的对称坐标；能利用等腰、等边三角形性质完成角度线段证明；能解决将军饮马最短路径、折叠倒角、等腰三角形存在性探究压轴题型。 考点一·轴对称性质与坐标对称 1.轴对称:对称轴垂直平分对应点连线。 2.坐标对称:点(x,y)关于x轴对称:(x,-y);关于y轴对称:(-x,y)。 3.将军饮马:利用轴对称，将折线段转化为直线段，求最短路径 考点二·等腰三角形性质与判定 1.性质:等边对等角;三线合一:顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合 2.判定:等角对等边。 ⚠️个避坑指南 三线合一只针对等腰三角形底边，腰上不适用;等腰边角问题注意多解分类讨论。 考点三·等边三角形 三边相等，三个内角都等于 60°；判定：三边相等 / 三角相等 / 有一个 60° 角的等腰三角形。 💡记忆口诀 等腰等边要分清，60° 等腰是等边；将军饮马作对称，折线拉直求最短。 考点四 将军饮马最短路径模型 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 题型一・平面直角坐标系中点的对称变换 【典例1】（26-27八年级上·天津·期中）（学年八上·天津天津红桥区·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的对称 【分析】关于轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此判断即可． 【详解】解：关于轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， 故点关于轴的对称点坐标是． 💡破题要诀 1.点(x,y)关于x轴对称:(x,-y)，横坐标不变，纵坐标变号。 2.点(x,y)关于y轴对称:(-x,y)，纵坐标不变，横坐标变号。 3.关于直线x = a、y= b对称，利用中点公式求对称点坐标。 迁移应用 1．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知点与关于轴对称，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的对称 【分析】本题考查坐标系中关于y轴对称的点的坐标性质，牢记“横相反，纵相同”即可快速求解．根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等，直接计算即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴横坐标互为相反数，即，纵坐标相等，即， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级下·上海·期中）点与点在平面直角坐标系中关于哪条线对称（   ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】B 【知识点】坐标系中的对称 【分析】根据平面直角坐标系中点的对称坐标特征，通过分析两点横纵坐标的关系，即可确定对称轴． 【详解】解：∵点与点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴对称轴为直线，即轴． 题型二・等腰三角形边角分类讨论 【典例2】（25-26八年级上·青海西宁·期中）等腰三角形一个角是，则它的顶角的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，注意分类讨论． 根据等腰三角形的性质，已知角可能是顶角或底角，分两种情况讨论顶角的度数． 【详解】解：∵ 等腰三角形的一个角是， ∴ 当为顶角时，顶角为； 当为底角时，另一个底角也为，顶角为， ∴ 顶角为或， 故选：D． 💡破题要诀 1.性质:等边对等角;三线合一(顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合)。 2.判定:等角对等边。 3.三线合一仅适用于等腰三角形底边相关线段;等腰边长、角度未指明腰/顶角时，必须分类讨论，并且检验内角和、三边关系 迁移应用 1.（25-26八年级上·河南濮阳·期中）等腰三角形的一个内角为，则它的底角度数是（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质（两底角相等）和三角形内角和定理（内角和为），需要分给定角是顶角或底角两种情况讨论． 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角为， 若这个角为顶角，则底角为：， 若这个角为底角，则另一个底角也为， ∴其一个底角的度数是或． 故选：C． 2．（25-26七年级下·上海·阶段检测）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为_____． 【答案】 或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】需要对等腰三角形分类讨论，分为锐角等腰三角形与钝角等腰三角形两种情况，结合图形即可求解． 【详解】解: ①当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部， 由题意得，， ∴； ②当等腰三角形是钝角三角形时,腰上的高在三角形外部， 此时， ∴， 所以它的顶角为或． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，为边上的高．，则线段的长为___________． 【答案】2或6 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握含角的直角三角形的性质． 根据为边上的高，，在直角三角形中，利用角所对的直角边等于斜边的一半求出，再分点D在线段上和在延长线上两种情况计算的长即可． 【详解】解：在中，， ∴． 当点D在线段上时，； 当点D在的延长线上时，． 故答案为：2或6． 题型三·等边三角形性质与判定综合 【典例3】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，为等边的边上一点，为延长线上一点，且，连接交边于点．证明：． 【答案】 证明：如图， 过点作交于点； 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 在和中， )， ． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，过点作交于点；得出是等边三角形，进而证明)即可得证． 【详解】略 💡破题要诀 1.性质:三边相等，三个内角均为60° 2.判定:三边相等;三个内角相等;有一个角为60°的等腰三角形 3.等边三角形常结合旋转模型，产生全等三角形。 迁移应用 1．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，已知，，． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形． (2)． 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和三角形内角和定理，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据补角求出，通过互余求出，再运用内角和定理可求出三个角都为，即为等边三角形； （2）由（1）可得，运用三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】（1）解：略； （2）解：由（1）得， 又∵， ∴． 2．（25-26八年级上·广东阳江·期中）如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) 证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； (2) 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行同位角相等、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定与性质． （1）根据角平分线定义结合平行线的性质得到，再由等边三角形的判定即可证明； （2）先求出，即可求出的周长． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴的周长为． 题型四·等腰三角形三线合一综合证明 【典例4】（26-27八年级上·青海·期中）如图，点在线段上，，，，是的中点． (1)求证： (2)直线与直线有怎样的位置关系？证明你的结论． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)解：，理由如下， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴． 【知识点】两直线平行内错角相等、全等三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】（1）根据平行线的性质得到内错角相等，再根据即可证明； （2）由全等三角形的性质得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得到． 【详解】（1）证明：略 （2）解：，理由略 💡破题要诀 1.三线合一包含三层互推关系:等腰 + 顶角平分线 → 底边上高、中线;等腰 + 底边高 → 顶角平分线、中线;等腰 + 底边中线→ 顶角平分线、高。 2.证明时不能直接“三线互推”，要先有等腰条件。 3.常用来证明垂直、线段相等、角相等, 迁移应用 1．（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，是的高，边的垂直平分线分别交，于点，，连接，． (1)若，求的长度； (2)若，则___________°． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、三线合一 【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一得到是的垂直平分线，推出，再结合是的垂直平分线得，通过等量代换求出结果． （2）先根据等腰三角形三线合一得到，结合第（1）问，用等边对等角求出的度数． 【详解】（1）解：，， ，（等腰三角形三线合一） 垂直平分， ．（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 又垂直平分， ，（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ．（等量代换） （2），， ，（等腰三角形三线合一） ， ， ．（等边对等角） 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接，过点作，交于点． (1)若，，求度数； (2)若点是的中点，连接，请说明． 【答案】(1) (2)证明：∵，点是的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三线合一 【分析】（1）由题意可得，求得，根据平角的定义求出，根据三角形内角和可求出，最后根据邻补角可求出的度数； （2）根据等腰三角形的性质得到，，由三角形的内角和得到，由平角的定义得到，等量代换即可得证． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． （2）略 题型五·将军饮马单动点最短路径 【典例5】（25-26七年级下·北京·期中）如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】根据等边三角形的性质求出边长，作点关于的对称点，连接交于点，连接，利用两点之间线段最短可知即为的最小值，再证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，是边上的高，， ∴，，平分， 作点关于的对称点，连接交于点，连接， ∴在上，，， ∴， 即有最小值，为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形 ， ∴， ∴的最小值为． 💡破题要诀 1.核心原理:利用轴对称，将折线段转化为两点之间的直线段。 2.两点之间，线段最短。 3.作图步骤:作其中一个定点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一个定点，连线与对称轴交点即为所求动点。 迁移应用 1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，则最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】垂线段最短、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，则，当、、三点共线且时，的值最小，根据即可求出的最小值． 【详解】如图，连接，， 垂直平分边，点是上的一点， ， ， 中，，点是边的中点， ，此时的值最小， ，， ． 的最小值为的长为，即最小值为． 【点睛】充分利用等腰三角形三线合一的性质和垂线段最短是解题的关键． 2．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在中，，，的面积为16，点D为线段中点，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：点D为线段中点， ∴， 连接，如图， ∵直线垂直平分， ∴， ∴，当且仅当点为与的交点时取等号， ∵，，的面积为， ∴， 解得：， ∴的周长 故选：B． 题型六·将军饮马变式:两动点、周长最小问题 【典例6】（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，，内有一定点，且．在上有一动点，上有一动点．则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了最短距离问题，关键是根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．过点作、的对称点，连接分别交、于，连接，则，然后证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：过点作、的对称点，连接分别交、于，连接， ∴， ∴， ∴此时的周长最短， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即：周长的最小值是：． 故选：B ． 💡破题要诀 1.求三角形/四边形周长最小值，有两个动点时，分别作两个定点关于两条直线的对称点.。 2.连接两个对称点，与两条直线交点即为两个动点位置, 3.周长最小值等于两个对称点之间线段长度, 1．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，点在等边的边上，，，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，则的长为（    ） A．5 B．5.5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解决本题的关键． 作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得，即可求解． 【详解】解：过点E作关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图， 则， ∴，此时的值最小，即， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴，即， 解得， ∴． 故选：B ． 2．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接 由对称性知： ∴ ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 此时 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点间线段最短等知识，解答本题的关键要明确：涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 题型七·等腰三角形存在性探究(动点) 【典例7】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．点第一次到达点时，同时停止运动． (1)点运动几秒时，两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰？如存在，请求出此时点、点运动的时间． 【答案】(1)10 (2) (3) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，列方程即可求解； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边，然后表示出，的长，由于等于，所以只要，就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值． 【详解】（1）解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合， 得方程， 解得, 答：点M、N运动10秒时，M、N两点重合； （2）解：设点M、N运动t秒时，可得到等边，如图①， ，， 是等边三角形， ， 解得， ∴点M、N运动秒时，可得到等边． （3）解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 情况一： 设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， ， 解得：； 即10秒时M、N两点重合，恰好在C处，，但不是等腰三角形； 情况二： 如图②，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形， ，，， 即， 解得：． 综上所述，故假设成立． ∴当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形， 此时M、N运动的时间为秒． 💡破题要诀 1.等腰三角形存在性分三类讨论:①AB=AC;②BA=BC;③CA=CB. 2.固定两点，第三点在直线上运动，依次列出三种情况, 3.每种情况计算完成后检验点的位置是否符合题意，舍去不合理解。 迁移应用 1．（22-23八年级上·全国·期末）如图，已知点B是直线外一点，A是直线上一点，且，点P是直线上一动点，当是等腰三角形时，它的顶角的度数为________ 【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①时，，则； ②当时，或； ③当时，，则， 综上：当是等腰三角形时，它的顶角的度数为或或． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，中，，点E、F分别是边、上的动点，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，那么______． 【答案】或． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的性质和判定、等边对等角、折叠问题 【分析】先确定是等腰三角形，得出，由于不确定是以哪两条边为腰的等腰三角形，需分三种情况，分别利用角的关系求解即可． 【详解】解：∵在中，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 设，由对称性可知，， ∴， ①如图1：当时，， 由，得，解得：． ∴． ②如图2：当时，则． 由得：，解得x＝37．5°， ∴． ③当时，则， 由得，，此方程无解． ∴不成立． 综上所述，或． 【点睛】在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用． 3．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，点在边上运动（点不与重合），连接，作，交边于点．    (1)当时，______； (2)若，求证：； (3)在点的运动过程中，当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)； (2) 证明：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； (3)当的度数为或时，是等腰三角形． 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用及分类讨论的思想解决问题是解题的关键． （）根据求解即可； （）先求，，从而得出，再由，，得，又由，即可由证明，从而得出结论； （）分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：∵，， ∴， 分三种情况讨论： 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴点与点重合，不合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形． 题型八·轴对称折叠问题 【典例8】（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． (1)【发现】如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则______； ②若，则与之间的数量关系是______； (2)【应用】如图2，B、A、E在同一直线上，，交于点C，．求证：； (3)如图3，在等腰中，，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，直接写出的度数为______． 【答案】(1)①② (2) 证明： ，， ， ， 由（1）同理可得， ， ； (3)或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）①根据对顶角性质，以及三角形内角和定理分析求解，即可解题； ②由①知，结合，即可推出与之间的数量关系； （2）结合垂直的性质，对顶角性质，三角形内角和定理推出，进而结合全等三角形判定定理，即可证明； （3）设，由折叠的性质可知，，结合等腰三角形性质进而推出，，根据为等腰三角形，分三种情况：当时，当时，当时，分别列方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：① ， ， ， 若，则； ② 若，则； （2）略 （3）解：设， 由折叠的性质可知，， ，， ，， ， 为等腰三角形， 当时， 有， 解得； 当时， 有， 解得； 当时， 有，无解，即该情况不存在； 综上所述，的度数为或． 💡破题要诀 1.折叠本质就是轴对称，折叠前后对应边相等、对应角相等 2.折叠产生相等线段、相等角，常在矩形、三角形背景中倒角。 3.折叠问题求边长，常结合勾股定理列方程求解。 迁移应用 1.（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形． 在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究． 实验操作：已知在等边纸片中，点，分别是，边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，． 【初步探究】当折痕时，完成下面探索任务： （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：是等边三角形； （2）如图2，当点落在内部时，求证：； 【深入探究】当折痕与不平行时，完成下面探索任务： （3）当是等腰直角三角形时，请求出的度数． 【答案】 （1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：由（1）知：， 同理可得，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）或 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SSS综合（SSS）、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）由得出，从而得出，进而得出，从而得出，从而是等边三角形； （2）可证得，，从而得出； （3）分三种情形：当时，；当时，；当时，． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图， 当时，； 如图， 当时，， ∴； 如图， 当时，， ∴， 综上所述：或． 2．（25-26七年级下·广东深圳·期末）综合与实践 小明同学喜欢玩折纸游戏，在学习完轴对称的相关知识之后，他发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识，于是他找到若干张相同的长方形纸片，进行研究．在长方形纸片（）的边上找到一点，然后沿着进行折叠，点落在点处． (1)如图1，小明测量得，则_____； (2)如图2，小明继续对纸片进行折叠，他将纸片沿折叠，使得点落在点处，测量得，求的大小； (3)如图3，小明继续调整点的位置，将长方形纸片沿着和进行折叠，若点经过折叠后，点恰好落在线段上．小明同学通过观察与测量后，猜想：．你认为小明的猜想成立吗？请说明理由． 【答案】(1)108 (2) (3)小明的猜想成立，理由如下： 如图1，过点作于点， 在长方形中，，，， ∴， 由折叠可得：， ，， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、折叠问题 【分析】（1）根据折叠的性质及平角的意义进行求解即可； （2）由折叠的性质可知：，然后可得，进而问题可求解； （3）过点作于点，由题意易得，由折叠可得：，，，然后可得，，进而根据全等三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知：， ∴； （2）解：由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）略 3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来等角所对的边也相等．类比以上内容，小明同学探究了不相等的边（或角）所对的角（或边）之间存在的关系．如图1和图2，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点落在上的点，折痕交于点． (1)证明：由折叠可得，___________． ___________（理由：___________）， ． 可得结论：在一个三角形中，如果两条边不等，那么所对的角也不等，大边所对的角较大． 请把上面的证明过程补充完整． (2)【拓展结论】 类似地，用下面的方法，证明此命题的逆命题：“在一个三角形中，如果两角不等，那么所对的边也不等，大角所对的边较大”已知：在中，．求证：． 小聪的思路是：在内部作 请你根据小聪的思路，在图1中添上辅助线并写出完整的证明过程； (3)【应用结论】如图3，在三角形中，平分，点为边上任意一点（不与点，点重合），连接，交于点．求证：． 【答案】(1)；；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 (2) 证明：如图所示， ， ． ， ， ； (3) 证明：如图所示，在上截取，连接． 平分， ． 又， ． ， ∴， ． ， ． ， ． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、大（小）边对大（小）角定理、根据等角对等边证明边相等、折叠问题 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，等角对等边，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）由折叠可得，，根据三角形外角的性质可得，则可证明 （2）根据题意作图，由等角对等边得到，根据三角形的三边的关系可得，据此可证明； （3）在上截取，连接．证明．得到，可证明．根据，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27八年级上·浙江·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意. 2．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、三线合一 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 3．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】证明，结合，，可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴． 4．（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】利用线段垂直平分线的性质定理求解． 【详解】解：∵垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·山西运城·期末）点关于x轴对称的点N的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标系中的对称 【分析】关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，直接按规律计算即可得到答案． 【详解】解：已知点坐标为， ∴点关于x轴对称的点的横坐标为，纵坐标为，即． 6．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，把一张长方形纸片的一角沿折叠，使的点D的对应点F落在内部．若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查角的计算、折叠性质、数形结合思想等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．由折叠的性质得到，由长方形的性质得到，设，则，列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：折叠， ， 是长方形， ， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ． 故选：C． 7．（25-26八年级下·河南南阳·期中）若点与点关于y轴对称，则__________． 【答案】5 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求出的值． 【详解】解：点与点关于轴对称， 两点纵坐标相等，可得． 8．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则______． 【答案】/36度 【知识点】角平分线的有关计算、作角平分线(尺规作图)、等边对等角 【分析】利用等边对等角求出，再利用角平分线的定义求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据尺规作图可得，平分， ∴． 9．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）若等腰三角形的一个角等于，则它的底角的度数为___________ 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理．由于的角可能是顶角或底角，需分情况讨论． 【详解】解：若是底角，则底角为； 若是顶角，则根据三角形内角和定理，底角为； 综上所述，底角的度数为或． 故答案为：或． 10．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在等边中，与的角平分线交于点O，交于点D，且交于点E． (1)是判断的形状，并说明理由． (2)若，求的周长． 【答案】(1) 为等边三角形．理由如下： ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形； (2)27 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据等角对等边证明边相等、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线定义、平行线性质及三角形周长等知识，熟记等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由等边三角形的判定与性质，再结合平行线的性质即可得到答案； （2）由角平分线定义、平行线性质得到，由等腰三角形性质可得，同理，再由的周长，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，为等边三角形， ∴的周长为， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵为等边三角形， ∴的周长为． 11．（25-26八年级上·天津·期中）已知，在等边三角形中，点D，E分别在射线及射线上，且． (1)如图1，当点E为线段的中点时，求证：； (2)如图2，当时，求度数． 【答案】(1) 证明：是等边三角形， ， 点E为线段的中点， ，， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ， ； (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据等边三角形性质及点E为线段的中点得，，进而得，则，再根据三角形外角性质得，则，据此得出结论即可； （2）过点E作交的延长线于点F，证明是等边三角形得，进而得，再根据得，根据全等三角形判定和全等，得，则是等腰直角三角形，据此得出的度数即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点E作交的延长线于点F，如图所示： ， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（26-27八年级上·福建·期中）如图，与关于直线对称，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】根据轴对称图形的性质推出，再根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵与关于直线对称，且，， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 2．（26-27八年级上·黑龙江·期中）如图，中，，平分，平分， ，过点作，分别交、于、，若周长是24，则长是（     ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，从而得到，再根据直角三角形的性质可得，然后结合周长是24，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵周长是24， ∴， ∴． 3．（26-27八年级上·云南·期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（     ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂直平分线的性质 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【知识点】三线合一 【分析】根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 4．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，点在上，连接；过点作交于点D，交于点，且，在上取一点，使，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和HL综合（HL）、等边对等角 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质及等腰三角形的性质，熟练掌握判定定理是解题关键．利用证明，根据全等三角形的性质可得，，可判定①正确，根据等腰三角形的性质可得，即可得出，根据平行线的判定定理可判定②正确；只有，两个条件，无法判定，可判定③错误；综上即可得答案． 【详解】解：和中，， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 在和中，只有，两个条件， ∴无法判定，故③错误； 综上所述：正确的结论为①②， 故选：B． 5．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，在上有一动点E，则的最小值为（　　） A．11 B．13 C．12 D．10 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．在上截取，连接交于点E，得出的最小值，证明是等边三角形，求出结论即可． 【详解】解：在上截取，连接交于点E， ∵是等边三角形，D为中点， ∴点P和关于对称，， ∴， ∴的最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为13， 故选：B． 6．（26-27八年级上·北京·期中）如图，中，平分，，若与互补，，则的长为_______． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边求边长 【分析】延长，交延长线于点，先证出，得出，，进而可得，再得出，据此得出即可． 【详解】解：如图，延长，交延长线于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（26-27八年级上·甘肃·期中）如图，和均是等边三角形，、、三点在一条直线上，分别与交于点、．现有如下结论：①；②；③；④．上述结论正确的有___． 【答案】①②③④ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质 【分析】根据等边三角形的性质可得，，可证明，可得到，，，故③正确；再证明，可得到，，故②④正确；进而得到，故①正确． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，，，故③正确； ∵，，， ∴， ∴，，故②④正确； ∴，即，故①正确， 故结论正确的有①②③④． 8．（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）如图，在和中，，且，点在上．过点作，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、全等三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（）求出，根据证出即可； （）根据全等推出，根据等腰三角形性质得出，根据平行线性质得出，推出，根据等腰三角形的判定推出即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，解决本题的关键是证明． 9．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）小新在学习完等边三角形后，想进一步探究等边三角形的性质，设计了等边三角形中的双动点问题．已知，在等边三角形中，分别为边上的动点，且不与端点重合，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当时，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，当在移动时，若始终保持，在的右侧作，交于．求证：； 【知识迁移】 （3）如图3，若，在运动时始终保持，在的右侧作，且，连接，试判断的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 又， 而， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，正确判断三角形全等是解答本题的关键． （1）由等边三角形的性质得，再根据三角形内角和定理可求出的度数； （2）由等边三角形的性质得，，得到，根据三角形外角的性质得出，根据证明，可得； （3）过点作交于点，可证明是等边三角形，得，再根据证明可得出，进而可得结论． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）过点作交于点，如图， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， 又， ∴, ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $