专题09 等腰三角形讲义 2025-2026学年人教版数学八年级上册期中复习学案知识点+习题

专题09 等腰三角形 ▉考点01等腰三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) 如图，在△ABC中，∵AB=AC,∴∠B=∠C. 性质2 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”). 如图，在△ABC中，AB=AC,①∵BD=CD, ∴AD平分∠BAC且AD⊥BC.②∵AD平分∠BAC, ∴AD⊥BC且BD=CD.③∵AD⊥BC, ∴AD平分∠BAC且BD=CD. 轴对 称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线(或底边上的高或底边上的中线)所在的直线. ▉考点02等腰三角形的判定 1.判定方法 文字语言 符号语言 图示 利用定义 有两边相等的三角形是等腰三角形. 如图，在△ABC中， ∵AB=AC,∴△ABC为等腰三角形. 利用判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”). 如图，在△ABC中，∵∠B=∠C,∴△ABC为等腰三角形. 2.尺规作图：已知底边及底边上的高作等腰三角形 已知：等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h.(如图15.3.1-2(1)) 求作：这个等腰三角形. 分析：根据等腰三角形“三线合一” 的性质，当底边确定时，底边所对的 顶点在底边的垂直平分线上.由此， 作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形. 作法：如图15.3.1-2(2). (1)作线段AB=a. (2)作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D. (3)在MN上取一点C,使DC=h. (4)连接AC,BC,则△ABC就是所求作的等腰三角形. ▉考点03等边三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°. 如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°. 性质2 等边三角形每条边上的中线、高及所对角 的平分线重合，即“三线合一”. 如图，在△ABC中， ①∵△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC,∴AD⊥BC且BD=CD. ②∵△ABC为等边三角形，AD1BC,∴AD平分∠BAC且BD=CD.③∵△ABC为等边三角形，BD=CD,∴AD平分∠BAC且AD⊥BC. 轴对称性 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线(或三个角的平分线所在直线或三边上的高线所在直线). ▉考点04等边三角形的判定 方法 文字语言 符号语言 图示 定义法 三边都相等的三角形是等边三角形. 如图，∵AB=AC=BC, ∴△ABC为等边三角形. 判定定 理法1 三个角都相等的三角形是等边三角形. 如图，∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC为等边三角形. 判定定 理法2 有一个角是60°的等 腰三角形是等边三角形. 如图，∵AB=AC,∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°), ∴△ABC为等边三角形. ▉考点05含30°角的直角三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∵∠A=30°,BC=1/2AB 一．等腰三角形的性质（共8小题） 1．（2024秋•平桥区期中）如果等腰三角形的一个内角等于40°，那么它的底角是（　　） A．100° B．70° C．70°或100° D．40°或70° 2．（2024秋•青秀区校级期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一” 3．（2025春•城关区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　） A．∠B＝∠C B．AD平分∠BAC C．AD⊥BC D．AB＝2BD 4．（2024秋•惠州校级期中）如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（　　） A．60° B．75° C．70° D．90° 5．（2024秋•石家庄期中）题目：“在△ABC和△A'B'C'中，两个三角形的高线分别为AD和A'D'．∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'．AC＝A'C'，AD＝A'D'，且AB＞AC＞AD．已知∠C＝n°．求∠C′的度数．”对于其答案．甲答：∠C＝n°，乙答：∠C＝150°，丙答：∠C＝180°﹣n°，则正确的是（　　） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 6．（2024秋•夏津县期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一” 7．（2025春•紫金县期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，则下列结论不正确的是（　　） A．BD＝CD B．∠BAC＝∠ABC C．AD平分∠BAC D．S△ABD＝S△ACD 8．（2024秋•海淀区校级期中）已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为（　　） A．40° B．80° C．100° D．40°或100° 二．等腰三角形的判定（共8小题） 9．（2024秋•秦淮区期中）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 10．（2024秋•东城区校级期中）如图，∠MAN＝30°，点B是射线AN上的定点，点P是直线AM上的动点，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2024秋•海珠区校级期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 12．（2024秋•龙湾区期中）在数学探究社团活动中，小明同学探索“具备什么条件的等腰三角形可以分割成两个等腰三角形”问题，通过尝试，他画出如图所示的△ABC，已知AB＝AC，AC上取一点D，连结BD，若AD＝BD，BC＝CD，则∠A的度数为（　　） A．36° B．30° C．° D．22.5° 13．（2024秋•海曙区期中）下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（　　） A．2，3，4 B．3，7，7 C．2，2，6 D．5，6，7 14．（2025春•清流县期中）如图，已知点A，B的坐标分别为（3，0）和（0，5），在坐标轴上确定一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的C点共有（　　）个． A．4 B．6 C．8 D．10 15．（2025春•临泽县校级期中）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　 　 ． 16．（2024秋•伊金霍洛旗期中）已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为　 　 ． 三．等腰三角形的判定与性质（共8小题） 17．（2024秋•山东校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 18．（2024秋•江门期中）如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，已知AB＝3，AC＝4，BC＝4.5，则△AMN的周长为（　　） A．6 B．7 C．7.5 D．8.5 19．（2024秋•香洲区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＝4，CN＝3，则线段MN的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 20．（2025春•紫金县期中）在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线EF平行于BC，分别交AB、AC于点E、F，若BE＝4，CF＝6，则线段EF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 21．（2024秋•山丹县期中）如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是 ①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD＝CE．（　　） A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 22．（2024秋•安定区期中）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 23．（2024秋•宜城市期中）如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则从海岛B到灯塔C的距离为（　　） A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里 24．（2024秋•渑池县期中）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，则下列说法错误的是（　　） A．△BDF是等腰三角形 B．DF＝EF C．若∠A＝50°，则∠BFC＝115° D．DE＝BD+CE 四．等边三角形的性质（共10小题） 25．（2024秋•仪征市期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE长为（　　） A．7 B．8 C． D．9 26．（2024秋•南岗区校级期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 27．（2024秋•黔东南州期中）如图，将一个等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2等于（　　） A．240° B．120° C．170° D．360° 28．（2024秋•东川区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 29．（2025春•包头期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，……在射线ON上，点B1，B2，B3，……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，……均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 30．（2024秋•惠民县期中）如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为（　　） A．6 B．12 C．32 D．64 31．（2024秋•肇源县期中）如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 32．（2024春•禹州市期中）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（　　） A．18° B．20° C．30° D．15° 33．（2024春•滨城区校级期中）如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝　 　 ． 34．（2024秋•海州区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC＝4，则BE+CF＝　 　 ． 五．等边三角形的判定（共8小题） 35．（2024秋•南安市校级期中）在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 36．（2024春•清苑区期中）下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C 37．（2024秋•高新区校级期中）如图，在直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（3，0），点C在第一象限内，若△ABC是等边三角形，则点C的坐标是（　　） A．（1，2） B．（2，2） C．（1，） D．（2，） 38．（2025春•介休市期中）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝16cm（O为衣架的固定点）；如图②，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，则此时A，B两点之间的距离是（　　） A．8cm B．16cm C．12cm D．6cm 39．（2024秋•思明区校级期中）下列条件中，能说明△ABC为等边三角形的是（　　） A．∠A＝60° B．∠B＝60°，AB＝AC C．∠B+∠C＝120° D．AB＝AC 40．（2024秋•前郭县期中）如图，平移图形①，与图形②可以拼成一个等边三角形，则图中α的度数是（　　） A．110° B．120° C．140° D．150° 41．（2024秋•武陵区期中）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论： ①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形．其中正确的是 　 　 ．（填序号） 42．（2024秋•宽城区校级期中）如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC． （1）求∠EBC的度数； （2）求证△ABC为等边三角形． 六．等边三角形的判定与性质（共8小题） 43．（2024秋•丛台区校级期中）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC相等，且∠BCE＝120°．若CD的长度为50cm，则此时B、D两点之间的距离为（　　） A．25cm B．50cm C．55cm D．100cm 44．（2024秋•吉首市校级期中）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为（　　） A．9 B．8 C．6 D．12 45．（2024春•上杭县期中）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BDCD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（　　） A． B． C． D． 46．（2024秋•黄梅县校级期中）在等腰三角形ABC中，∠A＝60°，BC＝4，则△ABC的周长为（　　） A．12 B．14 C．10 D．16 47．（2024春•锡山区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连结BM，则BM的长是（　　） A． B． C． D．3 48．（2025春•广东校级期中）将含30°的直角三角板直角顶点C放置在直尺的一边上，AC，AB与直尺的交点分别为点E，F，D，如图．若点E，F对应的刻度分别为2cm，6cm，∠ACD＝60°，则AE的长是（　　） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 49．（2024秋•兰山区校级期中）如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，作BD⊥OA，垂足为D，那么∠OBD的度数是（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 50．（2024秋•巴彦县期中）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A′B′C′，连接A′C，若BB′＝2，则线段A′C的长为 　 　 ． 七．含30度角的直角三角形（共10小题） 51．（2024秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，点D是边BC上的任意一点，则AD的长不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 52．（2024秋•河北区期中）如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若∠B＝30°，BC＝8cm，则BD的长为（　　） A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm 53．（2024春•新城区期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 54．（2024秋•江门期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB的垂直平分线，AD＝16，则CD的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 55．（2024秋•忻州期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE⊥BC，CE＝3，则AC等于（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 56．（2024秋•汉阳区期中）如图，在△ABC中，∠C＝30°，AD⊥AB，垂足为点A，交BC于点D，过点D的直线m恰好垂直平分线段AC，AD＝3，则BC的长是（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 57．（2024秋•香洲区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 58．（2024秋•南岗区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CH⊥AB于H，若AH＝2，则BH＝　 　 ． 59．（2024秋•齐齐哈尔期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝　 　 ． 60．（2024秋•永城市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D，E分别是BC，AB上的动点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对点B′恰好落在AC上，若△AEB′是等腰三角形，那么∠BEB′的大小为 　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 等腰三角形 ▉考点01等腰三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) 如图，在△ABC中，∵AB=AC,∴∠B=∠C. 性质2 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”). 如图，在△ABC中，AB=AC,①∵BD=CD, ∴AD平分∠BAC且AD⊥BC.②∵AD平分∠BAC, ∴AD⊥BC且BD=CD.③∵AD⊥BC, ∴AD平分∠BAC且BD=CD. 轴对 称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线(或底边上的高或底边上的中线)所在的直线. ▉考点02等腰三角形的判定 1.判定方法 文字语言 符号语言 图示 利用定义 有两边相等的三角形是等腰三角形. 如图，在△ABC中， ∵AB=AC,∴△ABC为等腰三角形. 利用判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”). 如图，在△ABC中，∵∠B=∠C,∴△ABC为等腰三角形. 2.尺规作图：已知底边及底边上的高作等腰三角形 已知：等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h.(如图15.3.1-2(1)) 求作：这个等腰三角形. 分析：根据等腰三角形“三线合一” 的性质，当底边确定时，底边所对的 顶点在底边的垂直平分线上.由此， 作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形. 作法：如图15.3.1-2(2). (1)作线段AB=a. (2)作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D. (3)在MN上取一点C,使DC=h. (4)连接AC,BC,则△ABC就是所求作的等腰三角形. ▉考点03等边三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°. 如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°. 性质2 等边三角形每条边上的中线、高及所对角 的平分线重合，即“三线合一”. 如图，在△ABC中， ①∵△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC,∴AD⊥BC且BD=CD. ②∵△ABC为等边三角形，AD1BC,∴AD平分∠BAC且BD=CD.③∵△ABC为等边三角形，BD=CD,∴AD平分∠BAC且AD⊥BC. 轴对称性 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线(或三个角的平分线所在直线或三边上的高线所在直线). ▉考点04等边三角形的判定 方法 文字语言 符号语言 图示 定义法 三边都相等的三角形是等边三角形. 如图，∵AB=AC=BC, ∴△ABC为等边三角形. 判定定 理法1 三个角都相等的三角形是等边三角形. 如图，∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC为等边三角形. 判定定 理法2 有一个角是60°的等 腰三角形是等边三角形. 如图，∵AB=AC,∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°), ∴△ABC为等边三角形. ▉考点05含30°角的直角三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∵∠A=30°,BC=1/2AB 一．等腰三角形的性质（共8小题） 1．（2024秋•平桥区期中）如果等腰三角形的一个内角等于40°，那么它的底角是（　　） A．100° B．70° C．70°或100° D．40°或70° 【答案】D 【解答】解：当40°为顶角时，底角为（180°﹣40°）÷2＝70°， 另外底角也可以为40°， 则它的底角是40°或70°， 故选：D． 2．（2024秋•青秀区校级期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【解答】解：∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， 又∵点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 3．（2025春•城关区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　） A．∠B＝∠C B．AD平分∠BAC C．AD⊥BC D．AB＝2BD 【答案】D 【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点 ∴∠B＝∠C（故A正确）， AD⊥BC（故C正确）， ∠BAD＝∠CAD（故B正确）， 无法得到AB＝2BD，（故D不正确）． 故选：D． 4．（2024秋•惠州校级期中）如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（　　） A．60° B．75° C．70° D．90° 【答案】A 【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°， ∴∠A＝∠ACB＝15°，∠CBD＝∠CDB，∠DCE＝∠CED，∠EDF＝∠EFD， ∴∠CDB＝∠CBD＝∠A+∠BCA＝30°， ∴∠DEC＝∠DCE＝∠A+∠CDA＝15°+30°＝45°， ∴∠EFD＝∠EDF＝∠A+∠AED＝60°， ∴∠DEF＝180°﹣∠EFD﹣∠EDF＝180°﹣60°﹣60°＝60°； 故选：A． 5．（2024秋•石家庄期中）题目：“在△ABC和△A'B'C'中，两个三角形的高线分别为AD和A'D'．∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'．AC＝A'C'，AD＝A'D'，且AB＞AC＞AD．已知∠C＝n°．求∠C′的度数．”对于其答案．甲答：∠C＝n°，乙答：∠C＝150°，丙答：∠C＝180°﹣n°，则正确的是（　　） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【解答】解：如图1，△ABC≌△A'B'C'， ∴∠C'＝∠C＝n°； 如图2，△ACD≌△A'C'D'， ∴∠C'＝∠ACD＝180°﹣∠C＝180°﹣n°； 故选：B． 6．（2024秋•夏津县期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE， ∴AE⊥BC， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 7．（2025春•紫金县期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，则下列结论不正确的是（　　） A．BD＝CD B．∠BAC＝∠ABC C．AD平分∠BAC D．S△ABD＝S△ACD 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC，AD是边BC上的高， ∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC， ∴， 故选项A、C、D正确，不符合题意， 而已知条件无法证明∠BAC＝∠ABC，故选项B错误，符合题意． 故选：B． 8．（2024秋•海淀区校级期中）已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为（　　） A．40° B．80° C．100° D．40°或100° 【答案】D 【解答】解：①若40°是顶角，则底角70°； ②若40°是底角，那么顶角＝180°﹣2×40°＝100°． 故选：D． 二．等腰三角形的判定（共8小题） 9．（2024秋•秦淮区期中）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 【答案】B 【解答】解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B． 10．（2024秋•东城区校级期中）如图，∠MAN＝30°，点B是射线AN上的定点，点P是直线AM上的动点，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：如图所示，满足条件的点P共有4个． 故选：D． 11．（2024秋•海珠区校级期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【解答】解：如图，分情况讨论： ①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个； ②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 故选：C． 12．（2024秋•龙湾区期中）在数学探究社团活动中，小明同学探索“具备什么条件的等腰三角形可以分割成两个等腰三角形”问题，通过尝试，他画出如图所示的△ABC，已知AB＝AC，AC上取一点D，连结BD，若AD＝BD，BC＝CD，则∠A的度数为（　　） A．36° B．30° C．° D．22.5° 【答案】C 【解答】解：设∠A＝x， ∵AD＝BD， ∴∠DBA＝∠A＝x， 在△ABD中 ∠BDC＝∠A+∠DBA＝2x， 又∵BC＝CD， ∴∠CBD＝∠BDC＝2x， ∴∠ABC＝∠DBA+∠CBD＝3x， 又∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝3x， 在△ABC中 ∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴x+3x+3x＝180°， ∴x＝（）°， 故选：C． 13．（2024秋•海曙区期中）下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（　　） A．2，3，4 B．3，7，7 C．2，2，6 D．5，6，7 【答案】B 【解答】解：A、不是等腰三角形； B、3+7＞7，能构成三角形； C、2+2＜6，不能构成等腰三角形； D、不是等腰三角形． 故选：B． 14．（2025春•清流县期中）如图，已知点A，B的坐标分别为（3，0）和（0，5），在坐标轴上确定一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的C点共有（　　）个． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解答】解：如图， 当AB＝AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外）， 当BA＝BC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外）， 当CA＝CB时，画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点， 综上所述：符合条件的点C的个数有8个， 故选：C． 15．（2025春•临泽县校级期中）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　120°或75°或30°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】 解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝30°， ①当E在E1时，OE＝CE， ∵∠AOC＝∠OCE＝30°， ∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°； ②当E在E2点时，OC＝OE， 则∠OEC＝∠OCE（180°﹣30°）＝75°； ③当E在E3时，OC＝CE， 则∠OEC＝∠AOC＝30°； 故答案为：120°或75°或30°． 16．（2024秋•伊金霍洛旗期中）已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为　70°或40°或20°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，有三种情形： ①当AC＝AD时，∠ACD＝70°． ②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°． ③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°， 故答案为70°或40°或20° 三．等腰三角形的判定与性质（共8小题） 17．（2024秋•山东校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠E＝∠EBC． ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴∠E＝∠ABE， ∴AB＝AE． 同理可得：AD＝AC， ∴DE＝AD+AE＝AB+AC＝14． 故选：A． 18．（2024秋•江门期中）如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，已知AB＝3，AC＝4，BC＝4.5，则△AMN的周长为（　　） A．6 B．7 C．7.5 D．8.5 【答案】B 【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB， ∴∠ABO＝∠∠MOB，∠ACO＝∠NOC， ∴MO＝MB，NO＝NC， ∵AB＝3，AC＝4， ∴△AMN的周长＝AM+AN+MN ＝AM+AN+MO+ON， ＝AM+AN+MB+CN ＝AB+AC ＝3+4 ＝7， 故选：B． 19．（2024秋•香洲区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＝4，CN＝3，则线段MN的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E， ∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB， ∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN， ∴BM＝ME，EN＝CN， ∴MN＝ME+EN， 即MN＝BM+CN． ∵BM＝4，CN＝3， ∴MN＝7， 故选：B． 20．（2025春•紫金县期中）在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线EF平行于BC，分别交AB、AC于点E、F，若BE＝4，CF＝6，则线段EF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【解答】解：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB， ∴由平行线的定义得，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵EF∥BC， ∴根据平行线的性质得，∠EDB＝∠2，∠FDC＝∠4， ∴∠EDB＝∠1，∠FDC＝∠3， ∴ED＝EB，FD＝FC， ∴EF＝ED+FD＝BE+FC＝4+6＝10， 所以线段EF的长为10， 故选：D． 21．（2024秋•山丹县期中）如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是 ①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD＝CE．（　　） A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB， ∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线， ∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB， ∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF， ∴△DFB，△FEC都是等腰三角形． ∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC， ∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC． 故选：C． 22．（2024秋•安定区期中）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解答】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线， ∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO， ∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO， ∴MB＝MO，NC＝NO， ∴MN＝MO+NO＝MB+NC， ∵AB＝4，AC＝6， ∴△AMN周长为AM+MN+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝10， 故选：D． 23．（2024秋•宜城市期中）如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则从海岛B到灯塔C的距离为（　　） A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里 【答案】C 【解答】解：根据题意得：AB＝2×15＝30（海里）， ∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°， ∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°， ∴∠C＝∠NAC， ∴BC＝AB＝30海里． 即从海岛B到灯塔C的距离是30海里． 故选：C． 24．（2024秋•渑池县期中）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，则下列说法错误的是（　　） A．△BDF是等腰三角形 B．DF＝EF C．若∠A＝50°，则∠BFC＝115° D．DE＝BD+CE 【答案】B 【解答】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点F， ∴∠ABF＝∠CBF，∠ACF＝∠BCF， ∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠BCF， ∴∠ABF＝∠DFB，∠ACF＝∠ACF， ∴DB＝DF，EF＝EC， ∴△BDF是等腰三角形，DE＝DF+EF＝BD+CE， 故A、D正确，不符合题意；B错误，符合题意； ∵∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°， ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点F， ∴∠CBF∠ABC，∠BCF∠ACB， ∴∠CBF+∠BCF∠ABC∠ACB（∠ABC+∠ACB）＝65°， ∴∠∠BFC＝180°﹣65°＝115°， 故C正确，不符合题意； 故选：B． 四．等边三角形的性质（共10小题） 25．（2024秋•仪征市期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE长为（　　） A．7 B．8 C． D．9 【答案】D 【解答】解：由题意可知：BC＝AB＝AC＝6， ∵BD是∠ABC的平分线，CE＝CD， ∴， ∴BE＝BC+CE＝9． 故选：D． 26．（2024秋•南岗区校级期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形， ∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2， ∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°， ∴∠A1B1O＝∠MON， ∴A1B1＝OA1， ∴A1B1＝A1A2＝OA1， 同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1， ∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22•OA1， A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23•OA1， … ∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n， ∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64， 故选：C． 27．（2024秋•黔东南州期中）如图，将一个等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2等于（　　） A．240° B．120° C．170° D．360° 【答案】A 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵∠1+∠2+∠B+∠C＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C＝240°； 故选：A． 28．（2024秋•东川区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】B 【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC， ∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm， ∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB， ∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E， ∴CD＝CE＝2cm， 故选：B． 29．（2025春•包头期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，……在射线ON上，点B1，B2，B3，……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，……均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】B 【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形， ∴∠B1A1A2＝∠B2A2A3＝∠B3A3A4＝60°，…，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，… ∵∠MON＝30°， ∴∠OB1A1＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，∠OB2A2＝∠B2A2A3﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，∠OB3A3＝∠B3A3A4﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，…， ∴△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3、…均为等腰三角形， ∴OA1＝A1B1＝2，，…， ∴△A1B1A2的边长为：2＝21，△A2B2A3的边长为：4＝22，△A3B3A4的边长为：8＝23，…， ∴△A5B5A6的边长为：25＝32， 故选：B． 30．（2024秋•惠民县期中）如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为（　　） A．6 B．12 C．32 D．64 【答案】D 【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°， ∴∠2＝120°， ∵∠MON＝30°， ∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°， 又∵∠3＝60°， ∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵∠MON＝∠1＝30°， ∴OA1＝A1B1＝1， ∴A2B1＝1， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°， ∵∠4＝∠12＝60°， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°， ∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3， ∴A3B3＝4B1A2＝4， A4B4＝8B1A2＝8， A5B5＝16B1A2＝16， 以此类推：A7B7＝64B1A2＝64． 故选：D． 31．（2024秋•肇源县期中）如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解答】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴AD＝CDAC，∠DBC∠ABC＝30°， ∵CE＝CD， ∴CEAC＝3 ∴BE＝BC+CE＝6+3＝9． 故选：C． 32．（2024春•禹州市期中）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（　　） A．18° B．20° C．30° D．15° 【答案】D 【解答】解：在等边三角形ABC中，∠ACB＝60°，AB＝AC， ∵AD⊥BC， ∴点D是BC的中点， ∴AD垂直平分线段BC， ∴EB＝EC， ∴∠ECB＝∠EBC＝45°， ∴∠ACE＝15°， 故选：D． 33．（2024春•滨城区校级期中）如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝　15°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC60°＝30°， ∴∠ADC＝90°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED75°， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°． 故答案为：15°． 34．（2024秋•海州区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC＝4，则BE+CF＝　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设BD＝x，则CD＝4﹣x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°． ∴BE＝cos60°•BD， 同理可得，CF， ∴BE+CF2． 故答案为：2． 五．等边三角形的判定（共8小题） 35．（2024秋•南安市校级期中）在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AC＝5， ∴∠C＝∠B＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴BC＝AB＝5． 故选：C． 36．（2024春•清苑区期中）下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C 【答案】D 【解答】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意． B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意． C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意． D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 37．（2024秋•高新区校级期中）如图，在直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（3，0），点C在第一象限内，若△ABC是等边三角形，则点C的坐标是（　　） A．（1，2） B．（2，2） C．（1，） D．（2，） 【答案】A 【解答】解：作CD⊥x轴于点D，如图所示， ∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4，OA＝1， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝4，AD＝2， ∴CD2，OD＝1， ∴点C的坐标为（1，2）， 故选：A． 38．（2025春•介休市期中）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝16cm（O为衣架的固定点）；如图②，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，则此时A，B两点之间的距离是（　　） A．8cm B．16cm C．12cm D．6cm 【答案】B 【解答】解：∵OA＝OB＝16cm， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵∠AOB＝60°， ∴， ∴△AOB是等边三角形． ∴AB＝OA＝OB＝16cm， 故选：B． 39．（2024秋•思明区校级期中）下列条件中，能说明△ABC为等边三角形的是（　　） A．∠A＝60° B．∠B＝60°，AB＝AC C．∠B+∠C＝120° D．AB＝AC 【答案】B 【解答】解：对于选项A，∠A＝60°， ∴∠B+∠C＝120°，无法得到∠B＝∠C＝60°， ∴选项A中的条件不能说明△ABC为等边三角形， 故选A不符合题意； 对于选项B，∠B＝60°，AB＝AC ∴△ABC为等边三角形， 故选B符合题意； 对于选项C，∠B+∠C＝120° ∵∠B+∠C＝120°，无法得到∠B＝∠C＝60°， ∴选项C中的条件不能说明△ABC为等边三角形， 故选C不符合题意； 对于选项D，AB＝AC ∴△ABC是等边三角形， 根据此条件无法得到△ABC的某个角等于60°， ∴选项D中的条件不能说明△ABC为等边三角形． 故选：B． 40．（2024秋•前郭县期中）如图，平移图形①，与图形②可以拼成一个等边三角形，则图中α的度数是（　　） A．110° B．120° C．140° D．150° 【答案】D 【解答】解：∵三角形是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， ∴∠α＝540°﹣60°﹣60°﹣（180°﹣70°）﹣160°＝150°． 故选：D． 41．（2024秋•武陵区期中）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论： ①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形．其中正确的是 　①③　 ．（填序号） 【答案】①③． 【解答】解：①连接OB，如图1所示： ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠BAD∠BAC， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD120°＝60°， ∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°， ∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°， 故①选项正确； ②由①可知，∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∵点O是线段AD上一点， ∴∠ABO与∠DBO不一定相等， ∴∠APO与∠DCO不一定相等， 故②选项不正确； ③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°， ∴∠APC+∠DCP＝150°， ∵∠APO+∠DCO＝30°， ∴∠OPC+∠OCP＝120°， ∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°， ∵OP＝OC， ∴△OPC是等边三角形， 故③选项正确， 故答案为：①③． 42．（2024秋•宽城区校级期中）如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC． （1）求∠EBC的度数； （2）求证△ABC为等边三角形． 【答案】（1）30°； （2）证明过程见解答． 【解答】解：（1）∵CE＝CD， ∴∠D＝∠DEC， ∴∠ECB＝∠D+∠DEC＝2∠D． ∵BE＝DE， ∴∠EBC＝∠D． ∴∠ECB＝2∠EBC． 又∵BE⊥CE， ∴∠ECB＝60°，∠EBC＝30°． （2）证明：∵BE⊥CE，AE＝CE， ∴BE垂直平分AC， ∴AB＝BC． ∵∠ECB＝60°． ∴△ABC是等边三角形． 六．等边三角形的判定与性质（共8小题） 43．（2024秋•丛台区校级期中）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC相等，且∠BCE＝120°．若CD的长度为50cm，则此时B、D两点之间的距离为（　　） A．25cm B．50cm C．55cm D．100cm 【答案】B 【解答】解：如图，连接BD， 由题意可知，CD＝BC， ∵∠BCE＝120°， ∴∠BCD＝180°﹣∠BCE＝180°﹣120°＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD＝CD＝50cm， 即此时B、D两点之间的距离为50cm， 故选：B． 44．（2024秋•吉首市校级期中）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为（　　） A．9 B．8 C．6 D．12 【答案】A 【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝60°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∵BC＝3，∴△ABC的周长为：3BC＝9， 故选：A． 45．（2024春•上杭县期中）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BDCD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵等边三角形边长为2，BDCD， ∴BD，CD， ∵等边三角形ABC中，DF∥AB， ∴∠FDC＝∠B＝60°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠BDE＝30°， ∴DE⊥BE， ∴∠BED＝90°， ∵∠B＝60°， ∴∠BDE＝30°， ∴BEBD， ∴DE， 如图，连接DM，则Rt△DEF中，DMEF＝FM， ∵∠FDC＝∠FCD＝60°， ∴△CDF是等边三角形， ∴CD＝CF， ∴CM垂直平分DF， ∴∠DCN＝30°，DN＝FN， ∴Rt△CDN中，DN，CN， ∵M为EF的中点， ∴MNDE， ∴CM＝CN+MN， 故选：C． 46．（2024秋•黄梅县校级期中）在等腰三角形ABC中，∠A＝60°，BC＝4，则△ABC的周长为（　　） A．12 B．14 C．10 D．16 【答案】A 【解答】解：∵等腰三角形ABC，∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝4， ∴△ABC的周长为4×3＝12， 故选：A． 47．（2024春•锡山区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连结BM，则BM的长是（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【解答】解：如图，连接AM， 由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°， ∴△ACM为等边三角形， ∴AM＝CM，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°； ∵∠ABC＝90°，， ∴AC＝2＝CM， ∵AB＝BC，CM＝AM， ∴BM垂直平分AC， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A． 48．（2025春•广东校级期中）将含30°的直角三角板直角顶点C放置在直尺的一边上，AC，AB与直尺的交点分别为点E，F，D，如图．若点E，F对应的刻度分别为2cm，6cm，∠ACD＝60°，则AE的长是（　　） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】B 【解答】解：由题意得：EF＝6﹣2＝4（cm），EF∥CD， ∴∠ACD＝∠AFE＝60°， ∵∠A＝60°， ∴∠AEF＝180°﹣∠A﹣∠AFE＝60°， ∴∠A＝∠AEF＝∠AFE＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE＝EF＝4cm， 故选：B． 49．（2024秋•兰山区校级期中）如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，作BD⊥OA，垂足为D，那么∠OBD的度数是（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】D 【解答】解：如图，连接AB， 由题意得：OA＝OB＝AB， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠OBA＝60°， ∵BD⊥OA， ∴∠OBD∠OBA60°＝30°， 故选：D． 50．（2024秋•巴彦县期中）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A′B′C′，连接A′C，若BB′＝2，则线段A′C的长为 　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：由平移得：A′B′＝AB＝4，∠A′B′C＝∠B＝60°， ∵BC＝6，BB′＝2， ∴B′C＝6﹣2＝4， ∴△A′B′C是等边三角形， ∴A′C＝A′B′＝4， 故答案为：4． 七．含30度角的直角三角形（共10小题） 51．（2024秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，点D是边BC上的任意一点，则AD的长不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解答】解：如图，过点A作AD′⊥BC 于D′， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C（180°﹣120°）＝30°， 在Rt△ABD′中，AB＝12，∠B＝30°， 则AD′AB12＝6， 根据垂线段最短可知：AD的最小值为6， ∴AD的长不可能是5， 故选：A． 52．（2024秋•河北区期中）如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若∠B＝30°，BC＝8cm，则BD的长为（　　） A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm 【答案】B 【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°， ∴∠C＝90°﹣∠B＝60°， ∵AD⊥BC于点D，∠C＝60°， ∴∠DAC＝30°， ∴在Rt△ABC中，， ∴Rt△ACD中，∠DAC＝30°， ∴， ∴BD＝BC﹣CD＝8﹣2＝6（cm）． 故选：B． 53．（2024春•新城区期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【解答】解：设BD＝x，则CD＝10﹣x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BDE＝30°，∠CDF＝30°， ∴BEBD 同理可得，CF， ∴BE+CF5， 故选：A． 54．（2024秋•江门期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB的垂直平分线，AD＝16，则CD的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°， ∵DE为AB的垂直平分线， ∴DB＝DA＝16， ∴∠A＝∠ABD＝30°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°， ∴CDDB＝8， 故选：D． 55．（2024秋•忻州期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE⊥BC，CE＝3，则AC等于（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】D 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠C＝60°， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， ∴∠CDE＝30°， ∴CD＝2CE＝6， ∵点D是AC的中点， ∴AC＝2CD＝12， 故选：D． 56．（2024秋•汉阳区期中）如图，在△ABC中，∠C＝30°，AD⊥AB，垂足为点A，交BC于点D，过点D的直线m恰好垂直平分线段AC，AD＝3，则BC的长是（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【解答】解：∵直线m恰好垂直平分线段AC，AD＝3， ∴CD＝AD＝3， ∵∠C＝30°， ∴∠CAD＝∠C＝30°， ∵AD⊥AB， ∴∠BAD＝90°， ∴∠BAC＝120°， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝30°， ∴BD＝2AD＝6， ∴BC＝BD+CD＝9， 故选：B． 57．（2024秋•香洲区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4， ∴AB＝2AC＝2×4＝8，故C选项符合题意． 故选：C． 58．（2024秋•南岗区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CH⊥AB于H，若AH＝2，则BH＝　6　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵CH⊥AB， ∴∠AHC＝90°， ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠A＝60°， ∴∠ACH＝30°， ∴AC＝2AH＝4， ∵∠B＝30°， ∴AB＝2AC＝8， ∴BH＝AB﹣AH＝8﹣2＝6． 故答案为：6． 59．（2024秋•齐齐哈尔期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝DE＝1， 又∵直角△BDE中，∠B＝30°， ∴BD＝2DE＝2， ∴BC＝CD+BD＝1+2＝3． 故答案为：3． 60．（2024秋•永城市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D，E分别是BC，AB上的动点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对点B′恰好落在AC上，若△AEB′是等腰三角形，那么∠BEB′的大小为 　150°或105°或60°　 ． 【答案】150°或105°或60°． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝30°， 分三种情况讨论： ①当B'A＝B'E时，如图： ∴∠B'EA＝∠A＝30°， ∴∠BEB'＝180°﹣∠B'EA＝150°； ②当AB'＝AE时，如图： ∴∠AEB'＝∠AB'E75°， ∴∠BEB'＝180°﹣∠AEB'＝105°； ③当EA＝EB'时，如图： ∴∠A＝∠EB'A＝30°， ∴∠BEB'＝∠A+∠EB'A＝60°； 综上所述，∠BEB'为150°或105°或60°， 故答案为：150°或105°或60°． 学科网（北京）股份有限公司 $