专题05 轴对称（必备知识+16题型+分层检测）（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材人教版

专题03 轴对称（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 轴对称与轴对称图形 能准确说出轴对称和轴对称图形的定义，区分二者联系与区别 基础考点，多在选择题、填空题中考查对概念的理解与辨别 平面直角坐标系中的轴对称 掌握平面直角坐标系中关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标变化规律，并能运用规律求对称点坐标 重要考点，常以选择题、填空题形式考查，是解决平面直角坐标系中图形轴对称问题的基础 垂直平分线的性质与判定 理解并能熟练运用垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）和判定（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上） 高频考点，易与等腰三角形、三角形全等结合，在几何证明与计算中频繁出现 等腰三角形 掌握等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一等）和判定（等角对等边），并能运用解决角度计算、线段证明等问题 核心考点，贯穿等腰三角形相关题目，在计算、证明题中高频出现，常与三角形内角和定理等结合 等边三角形 掌握等边三角形的性质（三边相等、三角都是 60° 等）和判定（三边相等、三角相等、有一个角是 60° 的等腰三角形），能运用解决相关问题 重要考点，多与等腰三角形、直角三角形等知识结合，在几何证明与计算中应用广泛 含 30° 角的直角三角形 掌握含 30° 角的直角三角形的性质（30° 角所对的直角边等于斜边的一半），并能运用解决线段长度计算等问题 常考考点，多在几何计算题目中出现，与直角三角形其他性质结合考查 知识点01 轴对称与轴对称图形 1. 轴对称图形 定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称. 【解读】 1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段； 2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条（例：正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴等）； 2. 轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 【补充】成轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成轴对称. 3. 轴对称与轴对称图形的区别与联系： 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条 不一定只有一条 联系 1)沿对称轴折叠，两个图形重合. 2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形. 1)沿对称轴折叠，图形的两部分重合. 2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图形，那么这两个图形成轴对称. 4. 轴对称的性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 3）如果图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上. 知识点02 平面直角坐标系中的轴对称 1）关于x轴对称：点（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，-b），简记：横同纵反. 2）关于y轴对称：点（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（-a，b），简记：纵同横反. 知识点03 垂直平分线的性质与判定 定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）. 数学语言：如图，∵C为线段AB的中点，l⊥AB，∴直线l为线段AB的垂直平分线. 性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 数学语言：∵l是线段AB的垂直平分线，P在l上，∴PA=PB 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 数学语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上. 小结：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 知识点04 等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角. 等腰三角形性质定理： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 【注意】 1）“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线. 2）在表述“三线合一”的性质时，要分清是哪“三线”(顶角平分线、底边上的中线、底边上的高)，不能表述为“等腰三角形的角平分线、中线、高相互重合”. 等腰三角形的判定定理： 1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）. 知识点05 等边三角形 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定： 文字描述 数学语言 图示 定义法 三条边都相等的三角形 是等边三角形 ∵AB=AC=BC， ∴△ABC是等边三角形 等角法 三个角都相等的三角形 是等边三角形 ∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形 等腰三角形法 有一个角是60°的等腰三角形 是等边三角形 ∵AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形 知识点06 含90°角的直角三角形 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何表述：如图，在Rt△ABC中，若∠B=30°，则AC=AB. 题型一 轴对称图形的识别 解｜题｜技｜巧 寻找对称轴是确定轴对称图形的关键，能找出对称轴的图形为轴对称图形，否则就不是轴对称图形. 1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·云南临沧·期中）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A．B．C．文心一言D．纳米 3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·全国·期末）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 题型二 垂直平分线的性质与判定 解｜题｜技｜巧 三角形中与线段垂直平分线结合的综合题型，一般先根据线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，向我们要证明的结论逐步引导进行证明. 5．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 7．（21-22八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 8．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接． (1)求证：垂直平分． (2)若，，求的长． 题型三 镜面对称 解｜题｜技｜巧 镜面对称的核心是轴对称性质，不同场景只需找准 “对称轴”，再结合 “对应点 / 数字 / 时间” 的规律，就能快速解决. 镜面对称特点：上下前后方向一致，左右方向相反是解题的关键，根据镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称求解即可。 9．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为 ． 10．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，这是小张在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 11．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）在镜子中看到时钟显示的时间是，则实际时间是 ． 12．（24-25八年级上·广东珠海·期中）明明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 题型四 尺规作图问题（本章涉及的画图问题汇总） 解｜题｜技｜巧 在直角坐标系中画关于坐标轴对称的图形的“四字诀” 1.找：在坐标系中，找出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的坐标. 2.求：求出其对应点的坐标. 3.描：根据所求坐标，描出对应点， 4.连：连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形. 13．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知：如图，在中，其中，，． (1)画出与关于轴对称的图形，并写出各顶点坐标； (2)在轴上找一点，使最小，画出点的位置，并直接写出点的坐标 ． 14．（22-23八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线经过点且与轴平行． (1)请在坐标系中画出关于轴对称的图形． (2)请在坐标系中画出关于直线对称的图形． (3)若点是内一点，则点关于直线对称的坐标是 ． 15．（2023八年级上·广东肇庆·竞赛）内有一点，在的两边上各找一点，，使的周长最小，用尺规作图法，在图中作出 （不写作法，保留作图痕迹）． 16．（山东省济宁市邹城市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）已知直线同侧有两点． (1)在直线上求作一点，使最小（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)在直线上求作一点，使最大； (3)在（1）和（2）的条件下，若，，求的最小值． 17．（21-22七年级下·全国·期末）要求用尺规作图，画图必须用铅笔，不要求写作法，但要保留作图痕迹． (1)如图①，已知点M在直线l上，A，B是直线l外的两点，按照下面要求完成作图： ①过点M作直线l的垂线； ②在已作出的垂线上确定一点P，使得点P到A，B两点的距离相等． (2)如图②，已知点A是锐角内的一点，试分别在，上确定点B、点C，使的周长最小． 18．（2025九年级下·新疆·专题练习）如图，在中，是的角平分线． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的垂直平分线交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） (2)在（1）的条件下，连接，过点作交于点，求证：． 题型五 关于坐标轴对称的点的坐标特征 解｜题｜技｜巧 根据关于坐标轴或原点对称的点的坐标的关系特点，可以利用轴对称找到特定点的对称点的坐标；在点的坐标不是单一的数字时，例如用字母表示，用各种形式的代数式表示的点的坐标仍然满足轴对称的特定关系，可以利用这种关系，列出满足题意的方程或不等式，从而求出坐标中的参数. 19．（2025八年级上·全国·专题练习）若，则点关于轴的对称点的坐标为 ． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点关于直线的对称点分别为． （1）点的坐标为 ；点的坐标为 ； （2）点关于直线的对称点的坐标为 ；点关于直线的对称点的坐标为 ． 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： （1）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 ； （2）若点与点关于轴对称，则 ， ； （3）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 ； （4）若点与点关于轴对称，则 ， ． 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知直角坐标系中一点，先将它关于x轴作一次轴对称变换，再关于y轴作一次轴对称变换，最终得到的点的坐标为，求点的坐标． 题型六 等腰三角形分类讨论问题 解｜题｜技｜巧 等腰三角形的边有腰、底之分，角有顶角、底角之分，若题目中的边没有明确是底还是腰，角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 类型一 当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论 23．（25-26八年级上·全国·周测）已知等腰三角形的周长为，一边长为，则另外两边的长分别为 ． 24．（2025八年级上·全国·专题练习）已知等腰三角形的周长为8，且一边长为3，求腰长． 类型二 当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论 25．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）若等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为 ． 26．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等腰三角形一腰上的高与底边所成的角的度数是25度，则等腰三角形顶角的度数是 度． 27．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）等腰中，已知一内角等于，求三角形的底角为 ． 类型三 当高的位置关系不能确定时，必须进行分类讨论 28．（黑龙江省哈尔滨市第一一三中学校2021-2022学年八年级上学期10月模拟测试数学试卷（五四制））等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为 ． 29．（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知是等腰三角形一腰上的高，且，求的顶角度数为 ． 类型四 由腰的垂直平分线所引起的分类讨论 30．（21-22八年级下·辽宁盘锦·开学考试）在中，，的垂直平分线交于点，交直线于点，，那么 ． 31．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）在中，，边的垂直平分线与边交于点D，与边所在直线分别交于E、，若，则 ． 类型五 由腰上的中线所引起的分类讨论 32．（24-25七年级下·四川成都·期末）等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分的差为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A．或 B． C． D． 33．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知等腰三角形的底边长为，上的中线把其周长分为差是的两部分，求等腰三角形的周长． 题型七 利用等腰三角形的性质求角的度数的方法 解｜题｜技｜巧 对于等腰三角形中求角度问题，若题目没有一个已知角度而结果需要求具体的角度，则常设较小角为x，通过三角形内角和或等腰三角形的性质列方程求解. 【注意】已知多个等腰三角形时，常利用方程思想解题. 34．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一等腰三角形的两外角的度数之比为，试求其与底角相邻的外角的度数． 35．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点D，且，求的度数． 36．（24-25八年级上·吉林·期末）如图所示，中，，求的度数． 37．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）已知一个等腰三角形的顶角是底角的3倍，求它的各个内角的度数． 题型八 等腰三角形的个数问题 解｜题｜技｜巧 确定等腰三角形的个数问题是等腰三角形中的常见题，通常是“两定一动”类型，则以两定点所连线段进行分类讨论，①当该线段是等腰三角形的底时，作该线段的垂直平分线进行找点；②当该线段是等腰三角形的边时，分别以两定点为圆心，两定点所连线段为半径作圆来进行找点. 38．（24-25八年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 39．（20-21八年级上·山东临沂·期中）在如图的网格上，小正方形的顶点叫网格的格点，图中能找出几个格点？使每一个格点与A，B两点能构成等腰三角形，符合条件格点的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 40．（24-25八年级上·广东韶关·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于y轴对称的； (2)直接写出，，三点的坐标；． (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有______个． 41．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在直线上能否找到点A，使以为一边的是等腰三角形，如果能的话，试着把它找出，并把它画出来． 题型九 见等腰，构造三线合一 解｜题｜技｜巧 已知等腰三角形，通过作底边的高（底边的中线，顶角的角平分线），利用等腰三角形三线合一的性质求解. 42．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，． (1)若，，，求四边形的面积； (2)请在 ； 中选择一个做为条件，另一个为结论，并证明． 43．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，点，分别是上两点，连接，，且．求证：． 针对这道题目，三位同学进行了如下讨论： 小明：“可以通过证明得到．” 小华：“可以通过证明得到．” 小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． 44．（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，，D为边上的中点，E为上的一动点（不与A、C点重合），过点D作的垂线交于点F．求证：． 题型十 双腰上的高求定值 解｜题｜技｜巧 双腰上的高求定值的证明利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形中动点只能在底边所在直线上运动，此时连接该点和底边所对顶点，能将原图形分割成两个底相等的三角形. 45．（第十五章轴对称数学活动）【问题情境】数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究． 【问题初探】 （1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图①，在中，，D是的中点，，，垂足分别为E，F．经过探究讨论，该小组的同学们得出的结论是，他们的证法如下： 证明：∵，， ． ∵， （依据1）． ∵D是BC的中点， ． 在和中， （依据2）， ∴． ①请写出依据1和依据2的内容： 依据1： ， 依据2： ； ②请你写出另一种证法； 【问题再探】 （2）未来小组的同学们经过探究又有新的发现，如图②，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，作腰上的高，则与有确定的数量关系．请你直接写出这个数量关系： ； 【类比探究】 （3）奋斗小组的同学们认真研究过后，发现了以下两个正确结论：①如图③，在中，，D为的中点，若分别为和的中线，那么仍然成立；②如图④，在中，，D为的中点，若分别为和的角平分线，那么仍然成立．请你选择其中一个结论证明． 46．（21-22八年级下·云南文山·期末）某数学兴趣小组在学完勾股定理的证明后，发现运用“同一图形的面积用不同方式计算结果相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为“等面积法”．如图1，在等腰三角形中，，边上的高记为，是底边上的任意一点，到腰、的距离、分别记为、． (1)兴趣小组现需要证明，请根据所学知识帮助其完成如下证明过程（将正确答案填在相应的横线上）． 证明：连接，由题意得，，， ∵ ，， ，， ∴， 又∵， ∴（ ）， ∴． (2)当点在延长线上时（点在点的右边），、、之间又有什么样的结论，请你写出结论，并说明理由（可利用图2作图进行证明）． (3)利用以上结论解答：如图3，在平面直角坐标系中有两条直线：，：，若上的一点到的距离是，请直接写出点的坐标． 47．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 题型十一 等腰三角形判定与性质综合 解｜题｜技｜巧 1）当三角形有两条边相等时，应用“有两条边相等的三角形是等腰三角形”来判定； 2）当三角形中有两个角相等时，应用“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”来证明； 3）当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形时，应用“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则构成的三角形是等腰三角形”来证明. 48．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）已知在中，的平分线交于点D，． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，若平分交于E，，在边上取点F使，若，求的长． 49．（22-23八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点是的中点，于，点O在的垂直平分线上， (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 50．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，已知线段上有点D，E，且．在线段外侧取点A，使．连结，，，． (1)求证：． (2)若，，求出图中除与外所有的等腰三角形，并说明理由． 题型十二 构造等腰三角形五种方法 解｜题｜技｜巧 1）作边的平行构造等腰三角形. 2）“角平分线+平行线”构造等腰三角形，应用平行线的性质得到角的相等关系，应用等角对等边得到边的相等关系； 3）“角平分线+垂线”构造等腰三角形，逆用等腰三角形的三线合一性质定理； 4）应用“垂直平分线”构造等腰三角形； 5）利用二倍角关系构造等腰三角形. 51．如图，在中，平分，平分．若过点作直线和边平行，与交于点，与交于点，则线段和，之间有怎样的数量关系并证明？ 52．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）（1）如图，中，若，求边上的中线的取值范围． （2）如图，是的中线，交于E，交于F，且，求证：． 53．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在中，、的平分线相交于点，过点作分别交、于、． (1)求证：； (2)若的周长比的周长大8，试求出的长度． 54．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长． 55．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形． （1）如图①，若，可作的平分线交于点D，则是等腰三角形，请给出证明； （2）如图②，若，可延长至点D，使，连接，则______是等腰三角形； （3）如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作______，交的延长线于点D，则是等腰三角形； 【解决问题】 （4）如图④，在中，，，求证：． 题型十三 利用等边三角形的性质求角度/线段长度 解｜题｜技｜巧 1）与等边三角形有关的角度计算常常要用到等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60，这一点是解题的关键. 2）与等边三角形有关的线段长度的计算问题，常常与勾股定理相结合，利用等边三角形的性质构造直角三角形，借用勾股定理求线段长度. 56．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 57．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）图，在边长为等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F．若，则 ．(用含a，b的代数式表示) 58．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，点、、在同一直线上，和都是等边三角形．求证：． 59．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）已知：如图，点B在线段上，和都是等边三角形，且在同侧，连接交于点G，连接交于点H，交于点O，连接． (1)求证：； (2)求的度数． (3)求证：； 题型十四 等边三角形判定与性质综合 解｜题｜技｜巧 题目图形中有两个以上的以图形中的线段为边向图形同侧或异侧作的特殊图形(特殊图形包括等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等)，在分析条件时，经常先寻找图形中有无全等三角形（手拉手模型），若有，这对全等三角形的性质常常是解题的关键所在. 60．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数； (3)当时，求的度数． 61．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是边的垂直平分线，点在上，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 62．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，且有，，，连接，． (1)求证：是等边三角形； (2)时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 题型十五 利用含30°角的直角三角形的性质求解 解｜题｜技｜巧 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.这个性质常常用于计算三角形的边长也是证明一边(30°角所对的直角边)等于另一边(斜边)的一半的重要依据.当已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形. 63．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，，，垂足为．若，则的长为 ． 64．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元． 65．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，，平分，于E，连接，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型十六 等腰三角形存在性问题 解｜题｜技｜巧 66．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)当的面积是的面积的时，求出这时点M的坐标． (4)在x轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形，若存在请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 67．（24-25八年级上·黑龙江·期中）综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，点C在x轴正半轴上，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)当点P在线段上时，如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）； (3)若，则t的值为______； (4)若，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 68．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线交直线于点是直线上一动点，且在点上方，设点的纵坐标为． (1)求直线的解析式； (2)求的面积（用含的代数式表示）； (3)当的面积等于1时，在轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 期中综合拓展练（测试时间：35分钟） 69．（20-21八年级上·湖北黄冈·期中）已知，平分． (1)在图1中，若，求证； (2)在图2中，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 70．（20-21八年级上·辽宁大连·期末）如图，中，垂足为，点在上，平分，点在上，，延长交于点． (1)求证： ； (2)写出线段和的位置关系和数量关系，并证明． 71．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知和都是等边三角形． (1)观察发现：如图①，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为 ； ． (2)如图②，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明． (3)深入探究：如图③，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点．中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (4)连接，求证：平分． 72．（辽宁省铁岭市西丰县2020-2021学年八年级上学期期中考试数学试题）如图，和是等腰直角三角形，，，，点 O是内的一点，． (1)求证：； (2)设，当是等腰三角形时，直接写出α的度数． 73．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M，N同时停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？ (2)当点M，N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由． 74．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，动点A在x轴的负半轴上，动点B在y轴的正半轴上，已知与y轴交于点P． (1)如图①，若，，且，请求出点C的坐标； (2)如图②，交x轴于点E，若将沿折叠，点P恰好落在x轴的点处，求证：P是的中点； (3)如图③，恰好平分，若点C的横坐标为，请求出点P的坐标． 75．（山东省青岛市崂山区实验初级中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试题）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则，， ∴ 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，，则 ______； (2)如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______，______； (3)如图③，在中，，分别是和边上的点，若，，，则______． (4)在中，，，是边上的高． 求：①与的面积之比； ②若，求和的具体值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 轴对称与轴对称图形 能准确说出轴对称和轴对称图形的定义，区分二者联系与区别 基础考点，多在选择题、填空题中考查对概念的理解与辨别 平面直角坐标系中的轴对称 掌握平面直角坐标系中关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标变化规律，并能运用规律求对称点坐标 重要考点，常以选择题、填空题形式考查，是解决平面直角坐标系中图形轴对称问题的基础 垂直平分线的性质与判定 理解并能熟练运用垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）和判定（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上） 高频考点，易与等腰三角形、三角形全等结合，在几何证明与计算中频繁出现 等腰三角形 掌握等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一等）和判定（等角对等边），并能运用解决角度计算、线段证明等问题 核心考点，贯穿等腰三角形相关题目，在计算、证明题中高频出现，常与三角形内角和定理等结合 等边三角形 掌握等边三角形的性质（三边相等、三角都是 60° 等）和判定（三边相等、三角相等、有一个角是 60° 的等腰三角形），能运用解决相关问题 重要考点，多与等腰三角形、直角三角形等知识结合，在几何证明与计算中应用广泛 含 30° 角的直角三角形 掌握含 30° 角的直角三角形的性质（30° 角所对的直角边等于斜边的一半），并能运用解决线段长度计算等问题 常考考点，多在几何计算题目中出现，与直角三角形其他性质结合考查 知识点01 轴对称与轴对称图形 1. 轴对称图形 定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称. 【解读】 1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段； 2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条（例：正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴等）； 2. 轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 【补充】成轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成轴对称. 3. 轴对称与轴对称图形的区别与联系： 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条 不一定只有一条 联系 1)沿对称轴折叠，两个图形重合. 2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形. 1)沿对称轴折叠，图形的两部分重合. 2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图形，那么这两个图形成轴对称. 4. 轴对称的性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 3）如果图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上. 知识点02 平面直角坐标系中的轴对称 1）关于x轴对称：点（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，-b），简记：横同纵反. 2）关于y轴对称：点（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（-a，b），简记：纵同横反. 知识点03 垂直平分线的性质与判定 定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）. 数学语言：如图，∵C为线段AB的中点，l⊥AB，∴直线l为线段AB的垂直平分线. 性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 数学语言：∵l是线段AB的垂直平分线，P在l上，∴PA=PB 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 数学语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上. 小结：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 知识点04 等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角. 等腰三角形性质定理： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 【注意】 1）“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线. 2）在表述“三线合一”的性质时，要分清是哪“三线”(顶角平分线、底边上的中线、底边上的高)，不能表述为“等腰三角形的角平分线、中线、高相互重合”. 等腰三角形的判定定理： 1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）. 知识点05 等边三角形 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定： 文字描述 数学语言 图示 定义法 三条边都相等的三角形 是等边三角形 ∵AB=AC=BC， ∴△ABC是等边三角形 等角法 三个角都相等的三角形 是等边三角形 ∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形 等腰三角形法 有一个角是60°的等腰三角形 是等边三角形 ∵AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形 知识点06 含90°角的直角三角形 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何表述：如图，在Rt△ABC中，若∠B=30°，则AC=AB. 题型一 轴对称图形的识别 解｜题｜技｜巧 寻找对称轴是确定轴对称图形的关键，能找出对称轴的图形为轴对称图形，否则就不是轴对称图形. 1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，根据轴对称的定义逐项判断即可． 【详解】解：．是轴对称图形，该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，该选项符合题意； ．是轴对称图形，该选项不符合题意； ．是轴对称图形，该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·云南临沧·期中）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． B． C．文心一言 D．纳米 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个选项中，只有D选项中的图形是轴对称图形， 故选：D． 4．（24-25八年级上·全国·期末）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形，如果把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：“爱”字不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：“国”字不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：“敬”字不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：“业”字是轴对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 题型二 垂直平分线的性质与判定 解｜题｜技｜巧 三角形中与线段垂直平分线结合的综合题型，一般先根据线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，向我们要证明的结论逐步引导进行证明. 5．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：，，   ，，，   ，   设，，   ，，，，   ，，   ，   ，   ∴，   ，   ，   ． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定及性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形周长公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接． 垂直平分， ， ，， ∴垂直平分， ， ； （2）的周长为21cm， ， ， ， ，， ， ． 7．（21-22八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是14，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为14， ， ， ， 的周长为8； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 即点E在线段的垂直平分线上． 8．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接． (1)求证：垂直平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点． （1）由角平分线的性质得，证明，得，从而证明结论； （2）根据，得，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，分别是和的高， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 题型三 镜面对称 解｜题｜技｜巧 镜面对称的核心是轴对称性质，不同场景只需找准 “对称轴”，再结合 “对应点 / 数字 / 时间” 的规律，就能快速解决. 镜面对称特点：上下前后方向一致，左右方向相反是解题的关键，根据镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称求解即可。 9．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为 ． 【答案】 【分析】解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．根据所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】 解：作汽车牌照在水中的倒影关于水平方向的轴对称图形，如图所示： ∴该汽车牌照号码为． 故答案是：． 10．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，这是小张在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了镜面反射的原理与性质，掌握在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒成为解题的关键． 根据镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为：． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）在镜子中看到时钟显示的时间是，则实际时间是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查镜面对称，解决此类问题应认真观察，掌握轴对称的性质是解题的关键；根据镜面对称的性质可知在平面镜内的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：实际时间是； 故答案为． 12．（24-25八年级上·广东珠海·期中）明明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了镜面对称的性质，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称，然后分别求出每个选项中的时间，进而求解即可． 【详解】解：A、实际时间大约为； B、实际时间大约为； C、实际时间大约为； D、实际时间大约为； ∴实际时间最接近的是． 故选：D． 题型四 尺规作图问题（本章涉及的画图问题汇总） 解｜题｜技｜巧 在直角坐标系中画关于坐标轴对称的图形的“四字诀” 1.找：在坐标系中，找出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的坐标. 2.求：求出其对应点的坐标. 3.描：根据所求坐标，描出对应点， 4.连：连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形. 13．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知：如图，在中，其中，，． (1)画出与关于轴对称的图形，并写出各顶点坐标； (2)在轴上找一点，使最小，画出点的位置，并直接写出点的坐标 ． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， 【分析】本题主要考查了作关于x轴对称的图形，根据对称求线段和最小问题， 对于（1），先作点A，B，C关于x轴的对称点，再依次连接，并写出坐标； 对于（2），作点B关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为所求作的点P.由对称可知，则，根据两点之间线段最短可知点P即为所求作． 【详解】（1）解：如图所示. ； （2）解：如图所示，点P即为所求作，点， 故答案为：． 14．（22-23八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线经过点且与轴平行． (1)请在坐标系中画出关于轴对称的图形． (2)请在坐标系中画出关于直线对称的图形． (3)若点是内一点，则点关于直线对称的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了轴对称作图，在平面直角坐标系中找到一个点关于特定直线的对称点，数形结合是解答本题的关键． （1）先确定出点，，关于轴的对称点，然后连线即可得出； （2）先确定出点，，关于直线的对称点，然后连线即可得出； （3）根据轴对称的性质，可得点与点的对称点纵坐标相同，再由轴对称的性质可得点的对称点横坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：点关于直线对称点的纵坐标为，横坐标为， ∴点关于直线对称的坐标是． 故答案为：． 15．（2023八年级上·广东肇庆·竞赛）内有一点，在的两边上各找一点，，使的周长最小，用尺规作图法，在图中作出 （不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】利用轴对称的性质，找到点关于两边的对称点，将三角形周长转化为两点间的线段，从而确定使周长最小的点、． 本题主要考查了轴对称 - 最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，为所求． 16．（山东省济宁市邹城市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）已知直线同侧有两点． (1)在直线上求作一点，使最小（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)在直线上求作一点，使最大； (3)在（1）和（2）的条件下，若，，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)9 【分析】本题考查了轴对称，以及含30度角的直角三角形的特征，正确确定如何使线段的和最小是关键． （1）要使最短，根据同一平面内线段最短，可知要作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于P； （2）根据三角形两边之差小于第三边，当点A，B，Q三点共线时，最大，延长交直线l于Q； （3）过点A作交直线l于G，根据直角三角形的性质，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于P， 即点P为所求； （2）解：如图所示，延长交直线l于Q， 即点Q为所求； （3）解：如图，过点A作交直线l于G， 由（1）（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 的最小值为9． 17．（21-22七年级下·全国·期末）要求用尺规作图，画图必须用铅笔，不要求写作法，但要保留作图痕迹． (1)如图①，已知点M在直线l上，A，B是直线l外的两点，按照下面要求完成作图： ①过点M作直线l的垂线； ②在已作出的垂线上确定一点P，使得点P到A，B两点的距离相等． (2)如图②，已知点A是锐角内的一点，试分别在，上确定点B、点C，使的周长最小． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了复杂作图，掌握相关作图方法是解题的关键． （1）①根据过直线上一点作已知直线的垂线的作法作图； ②作线段的垂直平分线即可； （2）分别过作，的对称点，再连接两个对称点与，的交点即可． 【详解】（1）解：如图示； （2）解：分别作点A关于，的对称点；连接，分别交，于点B、点C，则点B、点C即为所求． 如图所示；此时的周长最小． 18．（2025九年级下·新疆·专题练习）如图，在中，是的角平分线． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的垂直平分线交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） (2)在（1）的条件下，连接，过点作交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了解作垂直平分线，角平分线的定义，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握基本作图； （1）作线段的垂直平分线即可； （2）利用垂直平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质证明出，再通过等量代换即可证明． 【详解】（1）解：作图如下： （2）证明：如图， 的垂直平分线交于点， ，， ， ， ∴， ， ， ． 题型五 关于坐标轴对称的点的坐标特征 解｜题｜技｜巧 根据关于坐标轴或原点对称的点的坐标的关系特点，可以利用轴对称找到特定点的对称点的坐标；在点的坐标不是单一的数字时，例如用字母表示，用各种形式的代数式表示的点的坐标仍然满足轴对称的特定关系，可以利用这种关系，列出满足题意的方程或不等式，从而求出坐标中的参数. 19．（2025八年级上·全国·专题练习）若，则点关于轴的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质、关于x轴对称的点的坐标，解题的关键是根据几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0求出a、b的值． 先根据算术平方根和完全平方式的非负性得到，求出的坐标，再根据关于轴的对称点横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∴， ∴点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点关于直线的对称点分别为． （1）点的坐标为 ；点的坐标为 ； （2）点关于直线的对称点的坐标为 ；点关于直线的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，正确掌握相关性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，对称点到对称轴的距离相等，进行列式计算，即可作答． （2）根据轴对称的性质，对称点到对称轴的距离相等，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，， ∴点的坐标为，点的坐标为； 故答案为：，； （2）依题意，， ∴点关于直线的对称点的坐标为； 依题意， ∴点关于直线的对称点的坐标为， 故答案为：，． 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： （1）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 ； （2）若点与点关于轴对称，则 ， ； （3）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 ； （4）若点与点关于轴对称，则 ， ． 【答案】 5 2 【分析】本题考查坐标与轴对称． （1）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出结果； （2）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出结果； （3）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可得出结果； （4）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可得出结果． 【详解】解：（1）若点与点关于轴对称，则点的坐标为， 故答案为：； （2）若点与点关于轴对称， 则，， ∴， 故答案为：；5； （3）若点与点关于轴对称，则点的坐标为； （4）若点与点关于轴对称，则，， 故答案为：2；． 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知直角坐标系中一点，先将它关于x轴作一次轴对称变换，再关于y轴作一次轴对称变换，最终得到的点的坐标为，求点的坐标． 【答案】点Q的坐标为 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标，二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先逐步分析，关于x轴作一次轴对称变换得出，再关于y轴作一次轴对称变换得，因为最终得到的点的坐标为，所以列出方程组，进行计算，解得，即可作答． 【详解】解：∵直角坐标系中一点，将它关于x轴作一次轴对称变换 ∴得出， ∵关于y轴作一次轴对称变换， ∴得出， 依题意，， 解得， ∴点Q的坐标为． 题型六 等腰三角形分类讨论问题 解｜题｜技｜巧 等腰三角形的边有腰、底之分，角有顶角、底角之分，若题目中的边没有明确是底还是腰，角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 类型一 当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论 23．（25-26八年级上·全国·周测）已知等腰三角形的周长为，一边长为，则另外两边的长分别为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；在已知没有明确腰和底边的题目一定要进行分类讨论，还需验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键． 题中给出一边长为cm，但未明确是底边长还是腰长，因此分两种进行讨论，再通过三角形的三边关系验证是否能构成三角形即可． 【详解】解：根据题意，分类讨论： ①当底边长为cm，则腰长为：cm， ∵， ∴能组成三角形 ∴此时其它两边长分别为cm，cm； ②当腰长为cm，则底边长为：cm， ∵ ∴能组成三角形 ∴此时其它两边长分别为cm，cm 故答案为：或． 24．（2025八年级上·全国·专题练习）已知等腰三角形的周长为8，且一边长为3，求腰长． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，对题中的一边长为进行分类讨论是解题的关键． 本题需要分情况讨论，等腰三角形的腰长可能是，也可能是底边为，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断是否成立． 【详解】解：根据题意分情况讨论： ①若一腰长为，则另一腰长也为， ∴底边长为． ， ∴此种情况能构成三角形，符合题意． ②若底边长为，则腰长为． ， ∴此种情况能构成三角形，符合题意． 综上所述，腰长为或． 类型二 当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论 25．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）若等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理，不确定的角是等腰三角形的底角还是顶角，则分两种情况分析；等腰三角形的底角是，两个底角都是，结合三角形内角和是计算顶角的度数；另一种情况是就是顶角的度数． 【详解】解：（1）是等腰三角形的底角时，顶角的度数为； （2）就是顶角的度数． 综上，这个等腰三角形的顶角是或． 故答案为：或． 26．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等腰三角形一腰上的高与底边所成的角的度数是25度，则等腰三角形顶角的度数是 度． 【答案】50 【分析】此题要分两种情况推论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在三角形的外部，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；当等腰三角形的顶角是锐角时，根据直角三角形的两个锐角互余，求得底角，再根据三角形的内角和是，得顶角的度数． 【详解】解：如图， （1）顶角是钝角时，， ∴顶角，不是钝角，不符合； （2）顶角是锐角时，， ，是锐角，符合． 故答案为：50． 27．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）等腰中，已知一内角等于，求三角形的底角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论． 根据等腰三角形的性质分类讨论即可． 【详解】解：①当是底角时，则答案为：； ②当是顶角时，底角为：； 所以底角的度数为或． 故答案为：或． 类型三 当高的位置关系不能确定时，必须进行分类讨论 28．（黑龙江省哈尔滨市第一一三中学校2021-2022学年八年级上学期10月模拟测试数学试卷（五四制））等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握三角形外角的性质以及直角三角形两锐角互余是解题的关键．注意分类讨论. 分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况：当顶角为钝角时，利用三角形外角的性质可求得顶角；当顶角为锐角时，利用直角三角形两锐角互余，可求得顶角为，即可得出答案． 【详解】解：当顶角为钝角时，如图，是钝角等腰三角形腰上的高，与腰的夹角为， 则顶角； 当顶角为锐角时，如图，是锐角等腰三角形腰上的高，与腰的夹角为， 则顶角； 综上可知该等腰三角形的顶角为或． 故答案为：或． 29．（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知是等腰三角形一腰上的高，且，求的顶角度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据直角三角形两锐角互余求出，再分点A是顶角顶点（为锐角三角形、为钝角三角形），点A是底角顶点，分情况求解即可． 【详解】解：∵，是等腰腰上的高， ∴； ①如图1，点A是顶角顶点，为锐角三角形时，顶角为，是； ②如图2，点A是底角顶点时，两底角是，顶角； ③如图3，点A是顶角顶点，是钝角三角形时，顶角； 综上所述，等腰顶角度数为或或． 故答案为：或或． 类型四 由腰的垂直平分线所引起的分类讨论 30．（21-22八年级下·辽宁盘锦·开学考试）在中，，的垂直平分线交于点，交直线于点，，那么 ． 【答案】或 【分析】本题考查等边对等角，中垂线的性质，点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图， ∵垂直平分， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时，同理可得：， ∴； 故答案为：或 31．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）在中，，边的垂直平分线与边交于点D，与边所在直线分别交于E、，若，则 ． 【答案】50或140 【分析】本题考查等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和外角的性质，分类思想的运用是解题的关键． 分两种情况，根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图1， ，垂直平分， ， ， ， ， ； 如图2， ，垂直平分， ， ， ， ， ， 当垂直平分线与线段交于点， ，垂直平分， ， ， ， 中不符合三角形的内角和定理，不符合题意， ∴当垂直平分线与线段交于点，此种情况不存在， 综上，或。 故答案为：50或． 类型五 由腰上的中线所引起的分类讨论 32．（24-25七年级下·四川成都·期末）等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分的差为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． 设等腰三角形的腰长为，底边长为，根据两种情况列出求解，然后进行验证即可． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为， 取一腰的中点，连接该中点与底边顶点形成中线，中线将原三角形的周长分为两部分： 一部分为腰长的一半和底边之和：； 另一部分为腰长的一半和另一腰之和：； 两部分的周长差为，解得或， 验证解： 当时，三边为、、，满足三角形三边关系； 当时，三边为、、，不满足两边之和大于第三边，舍去； 综上，腰长为， 故选：D． 33．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知等腰三角形的底边长为，上的中线把其周长分为差是的两部分，求等腰三角形的周长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的周长求解，三角形中线的性质以及三角形三边的关系，分类讨论两部分是哪一部分减哪一部分是解决本题的关键． 根据中线的性质可得，再分类讨论求出另外两边长度，结合三角形三边的关系进行取舍即可． 【详解】解：为的边上的中线， ． 分两种情况讨论： ①当时， 即． ， ， 周长为； ②当时， 即． ， ， 当时，三边长分别为， 而，不能构成三角形，故舍去． 综上，等腰三角形的周长为． 题型七 利用等腰三角形的性质求角的度数的方法 解｜题｜技｜巧 对于等腰三角形中求角度问题，若题目没有一个已知角度而结果需要求具体的角度，则常设较小角为x，通过三角形内角和或等腰三角形的性质列方程求解. 【注意】已知多个等腰三角形时，常利用方程思想解题. 34．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一等腰三角形的两外角的度数之比为，试求其与底角相邻的外角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义，解题时注意分类思想的运用．先设这两个外角等于x，4x，然后分类讨论，①若底角的外角是x；②若顶角的外角是x，再结合三角形内角和定理可求x，从而求解． 【详解】解：设这两个外角分别为x，4x， ①若底角的外角是x，则 ， 解得， 则底角为，不合题意； ②若顶角的外角是x，则 ， 解得， 则顶角为，底角为， 故底角的外角的度数为， 即与底角相邻的外角度数为． 35．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点D，且，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质．在上截取，连接；根据证得，再利用全等三角形的对应边，对应角相等，可得到，；又由等量代换，证得是等腰三角形，利用等边对等角，即可求得与的关系，由三角形的内角和是，即可求得结果． 【详解】解：如图，在上截取，连接． ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵为的外角， ∴， ∴， 在中，， 即，解得， ∴． 36．（24-25八年级上·吉林·期末）如图所示，中，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据题意证得都是等腰三角形，推出，再根据三角形内角和定理求出，，由平角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴都是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 37．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）已知一个等腰三角形的顶角是底角的3倍，求它的各个内角的度数． 【答案】这个三角形的三个内角分别为，， 【分析】此题考查了一元一次方程的应用、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，根据题意列出方程是解题的关键．设这个等腰三角形底角的度数为，则它的顶角的度数为根据三角形内角和定理列出方程即可求出答案． 【详解】解：设这个等腰三角形底角的度数为，则它的顶角的度数为 根据“三角形的三个内角和等于”得： ， 解得： 即 答：这个三角形的三个内角分别为. 题型八 等腰三角形的个数问题 解｜题｜技｜巧 确定等腰三角形的个数问题是等腰三角形中的常见题，通常是“两定一动”类型，则以两定点所连线段进行分类讨论，①当该线段是等腰三角形的底时，作该线段的垂直平分线进行找点；②当该线段是等腰三角形的边时，分别以两定点为圆心，两定点所连线段为半径作圆来进行找点. 38．（24-25八年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及坐标与图形的性质；针对线段在等腰三角形中的地位，分类讨论用两圆一线的方式，找与轴的交点即可得到答案． 【详解】如图所示， 当点A是顶角顶点时，以A为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点； 当点O是顶角顶点时，以O为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，即和； 当点P是顶角顶点时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点． 故符合条件的点一共个． 故选：C． 39．（20-21八年级上·山东临沂·期中）在如图的网格上，小正方形的顶点叫网格的格点，图中能找出几个格点？使每一个格点与A，B两点能构成等腰三角形，符合条件格点的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定，两边相等的三角形为等腰三角形，可以从图中每一列中取格点，看是否满足等腰三角形． 【详解】解：如图： 从图中第一列中，可知当格点在最下方时，为等腰三角形， 第二列中没有构成等腰三角形的格点； 第三列中第一个格点和第二个格点可以构成等腰三角形，； 第四列中第二个格点和第四个格点可以构成等腰三角形，； 第五列中没有构成等腰三角形的格点． 故选：C． 40．（24-25八年级上·广东韶关·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于y轴对称的； (2)直接写出，，三点的坐标；． (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有______个． 【答案】(1)见解析 (2)， ， (3) 【分析】本题考查轴对称作图，图形与坐标，熟练掌握轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键． （1）由点的对称性，作出图形即可； （2）关于轴对称的点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，即可求解； （3）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解． 【详解】（1）如图：即为所求， （2）由图可知，， 点关于轴对称的点为，点关于轴对称的点为，点关于轴对称的点为， ， ， （3）如图：以为圆心，长为半径作圆，此圆与坐标轴有个交点， 以为圆心，长为半径作圆，此圆与坐标轴有个交点，    作线段的垂直平分线，此线与坐标轴有个交点， ∴是等腰三角形时，点坐标有个， 故答案为：． 41．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在直线上能否找到点A，使以为一边的是等腰三角形，如果能的话，试着把它找出，并把它画出来． 【答案】见解析 【分析】本题考查作等腰三角形，根据“两圆一线”作图即可，分别以、为圆心，长为半径画圆与直线的交点以及作的垂直平分线与的交点即为点A，使以为一边的是等腰三角形． 【详解】解：所有满足条件的点A如图所示： 题型九 见等腰，构造三线合一 解｜题｜技｜巧 已知等腰三角形，通过作底边的高（底边的中线，顶角的角平分线），利用等腰三角形三线合一的性质求解. 42．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，． (1)若，，，求四边形的面积； (2)请在 ； 中选择一个做为条件，另一个为结论，并证明． 【答案】(1)四边形的面积为； (2)选择作为条件，作为结论，证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于，则，根据等腰三角形的性质得，然后证明，故有的面积的面积，从而，再求出的面积即可求解； （）分选择作为条件，作为结论和选择作为条件，作为结论，通过全等三角形的判定与性质即可求证． 【详解】（1）解：如图，过作于，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∴， ∵的面积， ∴四边形的面积； （2）解：）如图，选择作为条件，作为结论，理由如下： 过作于，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ）如图，选择作为条件，作为结论，理由如下： 过作于，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 43．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，点，分别是上两点，连接，，且．求证：． 针对这道题目，三位同学进行了如下讨论： 小明：“可以通过证明得到．” 小华：“可以通过证明得到．” 小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． 【答案】证明见解析 【分析】小明的方法：由等腰三角形的性质得，，即得，进而可得，即可求证； 小华的方法证：由等腰三角形的性质得，，即得，即可求证； 小聪的方法：过点作于，由等腰三角形的性质可得，，进而即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】小明的方法证明： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 小华的方法证明： ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； 小聪的方法证明： 如图，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， 即． 44．（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，，D为边上的中点，E为上的一动点（不与A、C点重合），过点D作的垂线交于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．连接，先根据等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，，，再证出，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：如图，连接， ∵中，，，为边上的中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型十 双腰上的高求定值 解｜题｜技｜巧 双腰上的高求定值的证明利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形中动点只能在底边所在直线上运动，此时连接该点和底边所对顶点，能将原图形分割成两个底相等的三角形. 45．（第十五章轴对称数学活动）【问题情境】数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究． 【问题初探】 （1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图①，在中，，D是的中点，，，垂足分别为E，F．经过探究讨论，该小组的同学们得出的结论是，他们的证法如下： 证明：∵，， ． ∵， （依据1）． ∵D是BC的中点， ． 在和中， （依据2）， ∴． ①请写出依据1和依据2的内容： 依据1： ， 依据2： ； ②请你写出另一种证法； 【问题再探】 （2）未来小组的同学们经过探究又有新的发现，如图②，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，作腰上的高，则与有确定的数量关系．请你直接写出这个数量关系： ； 【类比探究】 （3）奋斗小组的同学们认真研究过后，发现了以下两个正确结论：①如图③，在中，，D为的中点，若分别为和的中线，那么仍然成立；②如图④，在中，，D为的中点，若分别为和的角平分线，那么仍然成立．请你选择其中一个结论证明． 【答案】（1）①等腰三角形的两个底角相等（或等边对等角）；两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（或角角边或）；②见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的判定及性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． （1）①由等腰三角形的性质和全等三角形的判定可求解； ②由等腰三角形的性质可得是的平分线，由角平分线的性质可得； 问题再探： （2）由等腰三角形的性质可得是的平分线，由角平分线的性质可得，由面积的和差关系可求； （3）通过证明，可得结论． 【详解】（1）①解：依据1：等腰三角形的两个底角相等（或等边对等角） 依据2：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（或角角边或） ②证明：如图，连接． ∵，D是的中点， ∴是的平分线． ∵，， ． （2）解：， 连接， ∵，D是的中点， ∴是的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明：选择①：∵分别是和的中线， ，． ∵， ． 又∵D是的中点， ． 在和中， ， ∴． 选择②：∵，D是的中点， ， ． 又∵分别是和的角平分线， ． 在和中， ． 46．（21-22八年级下·云南文山·期末）某数学兴趣小组在学完勾股定理的证明后，发现运用“同一图形的面积用不同方式计算结果相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为“等面积法”．如图1，在等腰三角形中，，边上的高记为，是底边上的任意一点，到腰、的距离、分别记为、． (1)兴趣小组现需要证明，请根据所学知识帮助其完成如下证明过程（将正确答案填在相应的横线上）． 证明：连接，由题意得，，， ∵ ，， ，， ∴， 又∵， ∴（ ）， ∴． (2)当点在延长线上时（点在点的右边），、、之间又有什么样的结论，请你写出结论，并说明理由（可利用图2作图进行证明）． (3)利用以上结论解答：如图3，在平面直角坐标系中有两条直线：，：，若上的一点到的距离是，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)， 【分析】（1）根据即可求出答案； （2）先根据题意作出图形，然后根据即可求出答案； （3）先求得为等腰三角形，再根据（1）（2）的结果分①当点在边上时，②当点在延长线上时，求得的坐标．③当点在的延长线上时，，不存在． 【详解】（1）证明：连接，由题意得，，， ∵，， ，， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为，． （2）解：，作图如图所示：于点，交的延长线于点，于点， 由题意得，，， ，，， 又，， ， ， ； （3）解：在中，令得；令得， ，，同理求得， ∴，， ∴， 即为等腰三角形， 设点坐标为，根据题意可得； ①当点在边上时，由得：， ， 把它代入中求得：， 此时； ②当点在延长线上时，由得：，， 把它代入中求得：， 此时， ③当点在的延长线上时，不存在； 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的应用、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是相交添加常用辅助线，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考常考题型． 47．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)10 (3) 【分析】（1）连结，设，则，则，，，由得到，即可证明； （2）连结、、，则，，，，由得到，则； （3）连结、、，则，，，，由得到，则． 【详解】（1）解：， 证明如下：连结，如图（1）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点， ，，， ， ， ； （2）解：连结、、，如图（2）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ， ， ， 的值为； （3）解：， 理由如下：连结、、，如图（3）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形的面积公式、根据面积等式证明其他线段之间的相等关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线并且列出相应的面积等式是解题的关键． 题型十一 等腰三角形判定与性质综合 解｜题｜技｜巧 1）当三角形有两条边相等时，应用“有两条边相等的三角形是等腰三角形”来判定； 2）当三角形中有两个角相等时，应用“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”来证明； 3）当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形时，应用“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则构成的三角形是等腰三角形”来证明. 48．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）已知在中，的平分线交于点D，． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，若平分交于E，，在边上取点F使，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质以及角直角三角形的边角关系，掌握等腰三角形的判定与性质，角直角三角形的边角关系是解决问题的关键． （1）根据角平分线得到，由得到，再通过等量代换，结合等角对等边即可证明； （2）先根据平行得到，故由（1）可知，，然后通过等边对等角以及三角形外角性质得到，继而可证明，然后根据角直角三角形性质得到，最后得到． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ； 即是等腰三角形； （2）解：∵， ，， 又平分， ， 由（1）可知，， ， ， ， ∴， ∴， ， 又∵， ． 49．（22-23八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点是的中点，于，点O在的垂直平分线上， (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）先证明垂直平分，得出，再根据垂直平分线的性质，得出，即可得出，说明是等腰三角形； （2），，得出，，根据，得出，根据三角形内角和定理得出，即可得出，最后根据等边对等角即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 50．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，已知线段上有点D，E，且．在线段外侧取点A，使．连结，，，． (1)求证：． (2)若，，求出图中除与外所有的等腰三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)除与外所有的等腰三角形为：，，，，见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，求出，再证明，即可得证； （2）根据等腰三角形的定义结合三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴除与外所有的等腰三角形为：，，，． 题型十二 构造等腰三角形五种方法 解｜题｜技｜巧 1）作边的平行构造等腰三角形. 2）“角平分线+平行线”构造等腰三角形，应用平行线的性质得到角的相等关系，应用等角对等边得到边的相等关系； 3）“角平分线+垂线”构造等腰三角形，逆用等腰三角形的三线合一性质定理； 4）应用“垂直平分线”构造等腰三角形； 5）利用二倍角关系构造等腰三角形. 51．如图，在中，平分，平分．若过点作直线和边平行，与交于点，与交于点，则线段和，之间有怎样的数量关系并证明？ 【答案】．理由见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质与判定是解本题的关键．由为角平分线，利用角平分线的性质得到一对角相等，再由与平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换可得出，利用等角对等边得到，同理得到，再由，等量代换可得证． 【详解】解：． 理由：，分别是，的平分线， ，． 又∵， ，， ，， 即，， ． 52．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）（1）如图，中，若，求边上的中线的取值范围． （2）如图，是的中线，交于E，交于F，且，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定及等腰三角形的判定及性质，掌握用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． （1）根据倍长中线法将延长至，使，再证，根据三角形的三边关系即可求出的取值范围，从而求出的取值范围； （2）由（1）中结论：，即可得到：，，再根据等腰三角形的性质和判定即可得到． 【详解】（1）解：将延长至，使，连接，如下图所示： 在和中 ， ， 在中 ． （2）证明：将延长至，使，连接，如下图所示： 由（1）中结论： ， 又 ， ， ， 即． 53．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在中，、的平分线相交于点，过点作分别交、于、． (1)求证：； (2)若的周长比的周长大8，试求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，两直线平行内错角相等，等角对等边． （1）先根据角平分线的定义得到，根据两直线平行内错角相等得到，即可得到，根据等角对等边证明即可； （2）同（1）证明，可知的周长，根据“的周长比的周长大8”计算即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴的周长， ∵的周长比的周长大8， ∴． 54．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等角对等边、角平分线的定义，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交于点，利用全等三角形的判定定理证出，得出，，由得到，再利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 的长为10． 55．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形． （1）如图①，若，可作的平分线交于点D，则是等腰三角形，请给出证明； （2）如图②，若，可延长至点D，使，连接，则______是等腰三角形； （3）如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作______，交的延长线于点D，则是等腰三角形； 【解决问题】 （4）如图④，在中，，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）（3）（4）见解析 【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等角对等边证明三角形为等边三角形，是解题的关键： （1）根据角平分线的定义，推出，即可得证； （2）利用等边对等角，三角形的外角，推出，即可得出结论； （3）根据等角对等边，证明是等腰三角形即可； （4）延长至点，使，取的中点，连接，证明，进而证明，推出为等边三角形，求出，利用三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：； （3）作，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）延长至点，使，取的中点，连接， 则：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 题型十三 利用等边三角形的性质求角度/线段长度 解｜题｜技｜巧 1）与等边三角形有关的角度计算常常要用到等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60，这一点是解题的关键. 2）与等边三角形有关的线段长度的计算问题，常常与勾股定理相结合，利用等边三角形的性质构造直角三角形，借用勾股定理求线段长度. 56．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠问题，关键是由折叠的性质推出． 由折叠的性质得到：，即可得到三个阴影部分的周长的和． 【详解】解：是边长为的等边三角形， ， 由折叠的性质得到：， 三个阴影部分的周长的和， 故答案为：． 57．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）图，在边长为等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F．若，则 ．(用含a，b的代数式表示) 【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．根据平行线的性质可得知是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ． 故答案为：． 58．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，点、、在同一直线上，和都是等边三角形． 求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，涉及等边三角形性质、全等三角形判定与性质，熟练掌握手拉手模型证全等是解决问题的关键． 根据题意，由“手拉手”模型求证，结合全等三角形的性质及等边三角形的性质即可得证． 【详解】证明：、是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 59．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）已知：如图，点B在线段上，和都是等边三角形，且在同侧，连接交于点G，连接交于点H，交于点O，连接． (1)求证：； (2)求的度数． (3)求证：； 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，难度不大，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由等边三角形的性质可证得，可求得； （2）由（1）中的全等得，结合，和三角形内角和定理即可得出； （3）由全等三角形的性质得出，证出，证明，可得； 【详解】（1）证明：∵均为等边三角形， ， ， 即， 在与中， ， ， ． （2）解：由（1）知：， ， ，， ． （3）证明：∵， ， ， ， ， 在与中， ， ， ． 题型十四 等边三角形判定与性质综合 解｜题｜技｜巧 题目图形中有两个以上的以图形中的线段为边向图形同侧或异侧作的特殊图形(特殊图形包括等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等)，在分析条件时，经常先寻找图形中有无全等三角形（手拉手模型），若有，这对全等三角形的性质常常是解题的关键所在. 60．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数； (3)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形． （2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数； （3）可证是等边三角形，可得，由外角的性质可求，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ∴， ， 是等腰三角形； （2）， ， ， ， ， ； （3），， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 61．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是边的垂直平分线，点在上，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用线段的垂直平分线的性质和等角对等边得出相等的线段，利用三角形的内角和定理求出角的度数，进而可得出等边三角形； （2）过点作，交于点，利用勾股定理和含角的直角三角形的性质求出相关线段的长度，然后利用等腰三角形的性质以及线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：如图，过点作，交于点， ∵是边的垂直平分线， 是直角三角形， 在中，， ∴，， ∵， ∴是直角三角形， ∴ ∴在中，， ∴， 由（1）得， ∴是等腰三角形， 根据三线合一得，， ∴． 62．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，且有，，，连接，． (1)求证：是等边三角形； (2)时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，再由，即可证明是等边三角形； （2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形，再由圆周角求出，继而确定为等腰直角三角形； （3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 是的等边三角形； （2）解：， ， 是等边三角形， ， ， 是直角三角形， ， ∴， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：若，则， 则，， ∴， ①当时，则， ∴， ∴； ②当时，则， ∴， ∴； ③当时，则， ∴， ． 综上：当为或或，是等腰三角形． 题型十五 利用含30°角的直角三角形的性质求解 解｜题｜技｜巧 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.这个性质常常用于计算三角形的边长也是证明一边(30°角所对的直角边)等于另一边(斜边)的一半的重要依据.当已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形. 63．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，，，垂足为．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，含的直角三角形，先求出，，通过通过含的直角三角形性质得，，最后通过线段和差即可求解，熟练掌握三角形内角和定理，含的直角三角形性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 64．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，关键在于作出边上的高，根据相关的性质推出高的长度，正确的计算出的面积．作边的高，设与的延长线交于点，则，由，即可求出，然后根据三角形的面积公式即可推出的面积为，最后根据每平方米的售价即可推出结果． 【详解】解：如图，作边的高，设与的延长线交于点， ， ， ，， ， ， ， 每平方米售价元， 购买这种草皮的价格：元． 故答案为：． 65．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，，平分，于E，连接，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对的直角边等于斜边一半是解题关键． （1）利用“”证明出，即可得出结论； （2）证明是等边三角形，根据等边三角形三线合一的性质，得到，，再利用30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， （2）解：，， 是等边三角形， ， 平分， ，， ，， ， 在中，， ． 题型十六 等腰三角形存在性问题 解｜题｜技｜巧 66．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)当的面积是的面积的时，求出这时点M的坐标． (4)在x轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形，若存在请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或或或 【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式，一次函数与几何图形的综合运用，等腰三角形的性质． （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）求得C的坐标，即的长，利用三角形的面积公式即可求解； （3）当的面积是的面积的时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标； （4）设，求出，分，，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把点，点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：当时，， ∴点，即， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点M的横坐标为m， ∵的面积是面积的， ∴，解得：， 当点M在上时，， 此时点M的坐标为； 当点M在上时，， 此时点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． （4）解：设， ∵， ∴， 当时，则， ∴， 解得：， ∴； 当时， 则， ∴或； 当时，点与点关于过点且垂直轴的直线对称， 则， ∴； 综上，当P的坐标为或或或时，是等腰三角形． 67．（24-25八年级上·黑龙江·期中）综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，点C在x轴正半轴上，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)当点P在线段上时，如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）； (3)若，则t的值为______； (4)若，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)4或8 (4)存在，点P的坐标为或 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得和的值，确定点和的坐标； （2）先求得点C的坐标，证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （3）分两种情况，列出方程可求出答案； （4）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； 故答案为：，； （2）解：由（1）知，，， ，， ， ， ， 当点在线段上时，即时， 如图1，由运动知，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：当点在线段上时， ， ； 当点在轴正半轴时，即， 如图2，由运动知，， ， 同（2）的方法得，， ， ， 即时，的值为4或8； 故答案为：4或8； （4）解：，，点， ，，， 当时，， ，点； 当时， 又， ， ， ，点， 综上所述：点P的坐标为或． 68．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线交直线于点是直线上一动点，且在点上方，设点的纵坐标为． (1)求直线的解析式； (2)求的面积（用含的代数式表示）； (3)当的面积等于1时，在轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰三角形判定与性质等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）设直线的解析式为，把，代入得：，解得，故直线的解析式为； （2）求出，，可得； （3）求出，设，有，，，分三种情况列方程可得答案． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， 直线的解析式为； （2）解：在中，令得， ， 是直线上一动点，且在点上方，纵坐标为， ， ， 的面积为； （3）解：在轴上存在点，使是等腰三角形，理由如下： 的面积等于1， ， 解得， ， 设， ， ，，， ①当时，， 解得或； 或； ②当时，， 解得； ； ③当时，， 方程无实数解； 综上所述，的坐标为或或． 期中综合拓展练（测试时间：35分钟） 69．（20-21八年级上·湖北黄冈·期中）已知，平分． (1)在图1中，若，求证； (2)在图2中，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明选段相等的问题，基本的思路是转化成三角形全等．正确作出辅助线是解题的关键． （1）先求出，根据直角三角形中30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得，从而证明； （2）在上截取，连接，证明，则，然后证明为等边三角形，则． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴； 在中，，中， ， ∴， ∴ ∴． （2）（1）中的结论成立， 理由如下：如图2，在上截取，连接 ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴ ∴ ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 70．（20-21八年级上·辽宁大连·期末）如图，中，垂足为，点在上，平分，点在上，，延长交于点． (1)求证： ； (2)写出线段和的位置关系和数量关系，并证明． 【答案】(1)详见解析 (2)， ，证明见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由是的角平分线，可得．设，则．由，可得．利用三角形内角和可得出：．由，可得出：．可得：，即可得出：，即可得出：． （2）如图，过点E作交于点M，由可证得：，可得，结合，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ． 设，则． 垂足为， ． 中，． ， ． ， ． ． ． （2）解：，．理由如下： 过点E作交于点M， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 71．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知和都是等边三角形． (1)观察发现：如图①，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为 ； ． (2)如图②，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明． (3)深入探究：如图③，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点．中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (4)连接，求证：平分． 【答案】(1) ； (2)，见解析 (3)成立．证明见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理． （1）根据等边三角形的性质得到，证明，即可得到，进而根据三角形内角和计算即可； （2）同（1）可证，得到，进而证明，根据等边三角形的判定和性质求出，得到，即可证明； （3）如图，设与交于点O．根据等边三角形的性质得到，进而得到，证明，得到，进而计算即可； （4）连接，过点C作，垂足分别为M，N， 由（3）得，进而得到，即，得到，根据角平分线的判定定理即可证明． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 在和中，， ∴ ()， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ；； （2）同（1）可证， ∴． 在和中， ， ∴ ()， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）成立．证明：如图，设与交于点O． ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴ ()， ∴． ∵， ∴． （4）证明：连接，过点C作，垂足分别为M，N，如图． 由（3）得， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 72．（辽宁省铁岭市西丰县2020-2021学年八年级上学期期中考试数学试题）如图，和是等腰直角三角形，，，，点 O是内的一点，． (1)求证：； (2)设，当是等腰三角形时，直接写出α的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题时注意分类思想的运用． （1）根据题意得出，利用是等腰直角三角形解答； （2）根据题意可得，再根据是等腰直角三角形，，最后根据四边形内角和定理，得出四边形中，；再分三种情况讨论：①若；②若；③若，分别根据等腰三角形两个角相等，列出方程进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形中，； 当时， ∴ ， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ 又 ∴； 当时， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴ ∴， ∴； 综上所述：当α的度数为或或时，是等腰三角形． 73．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M，N同时停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？ (2)当点M，N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，M，N两点重合，此时两点重合在点C处 (2)存在，此时M，N运动的时间为 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，一元一次方程与几何综合，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出点N第一次运动到点B的时间，再结合M，N两点重合，进行列式，解出，即可作答． （2）先根据等腰三角形的性质得，再结合等边三角形的性质得，证明，得．当点M，N在BC边上运动，是等腰三角形时，．结合进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：点N第一次运动到点B用时为， 由题意，得， 解得， ∴当时，M，N两点重合， 则， 此时两点重合在点C处． （2）解：存在． 理由如下：如图，点M，N在上，连接， ∵是以为底边的等腰三角形， ， ． ∵是等边三角形， ． 在和中， ． 当点M，N在边上运动，是等腰三角形时，． ， 解得， ∴当点M，N在边上运动时，存在以为底边的等腰， 此时M，N运动的时间为． 74．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，动点A在x轴的负半轴上，动点B在y轴的正半轴上，已知与y轴交于点P． (1)如图①，若，，且，请求出点C的坐标； (2)如图②，交x轴于点E，若将沿折叠，点P恰好落在x轴的点处，求证：P是的中点； (3)如图③，恰好平分，若点C的横坐标为，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)点P的坐标为 【分析】（1）过点C作轴，可证得，从而得出，再根据非负数的性质求出，进一步得出结果； （2）可证明，从而，即可得出结论； （3）C作轴交的延长线于点M，交y轴于点N，可证得，从而，再证，从而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∵点C在第四象限， ； （2）证明：是等腰直角三角形， ， ∵将沿着折叠， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的中点； （3）解：如图，过点C作轴交的延长线于点M，交y轴于点N， ， ， ，，， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵点C的横坐标为m， ， ， ， ， ， ， 故点P的坐标为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，非负数的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 75．（山东省青岛市崂山区实验初级中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试题）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则，， ∴ 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，，则 ______； (2)如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______，______； (3)如图③，在中，，分别是和边上的点，若，，，则______． (4)在中，，，是边上的高． 求：①与的面积之比； ②若，求和的具体值． 【答案】(1) (2)， (3) (4)①；②， 【分析】本题主要考查了等高三角形的定义、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． （1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． （4）①设，利用含30度角的直角三角形的性质分别求得，，然后根据“等高三角形”的面积关系可得结论； ②根据①中面积关系求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于E， 则，， ∴； （2）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴； （3）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． （4）解：如图，设， ∵在中，，，是边上的高， ∴，， ∴， ∴，则， ∵与是等高三角形， ∴； ②∵，， ∴， ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $