14.3 角的平分线 知识清单2026-2027 学年人教版八年级数学上册

14.3 角的平分线 知识清单 2026—2027 学年 八年级数学上册 人教版 知识地图 ① 定义 从角的顶点出发，把角分成两个相等角的射线，叫做角的平分线 ② 尺规作图 以顶点为圆心画弧 → 分别以两交点为圆心画弧交于一点 → 连线 ③ 性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 ④ 几何语言 OP 平分 ∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，则 PD = PE ⑤ 判定定理 角的内部到角两边距离相等的点，在角的平分线上 ⑥ 区别 性质：由「平分线」得「距离相等」；判定：由「距离相等」得「平分线」 ⑦ 辅助线 过角平分线上的点向角的两边作垂线，得到相等的垂线段 ⑧ 与三角形 三角形三条角平分线交于一点，且这点到三边的距离相等 ⑨ 重要提醒 「距离」指垂线段的长度，不是任意一条线段 一、学习目标与重难点 1. 学习目标 层次 具体要求 了解 理解角平分线的定义；知道角平分线是一条射线，它的端点（顶点）在角的顶点 掌握 会用尺规作图作一个角的平分线；掌握角平分线的性质定理与判定定理 应用 能运用角平分线的性质或判定证明两条线段相等、判断点在角平分线上 体会 体会「性质」与「判定」互逆的关系，以及「点到直线的距离」在转化中的作用 2. 本节重难点 重点：角平分线的性质定理「角平分线上的点到角两边的距离相等」及其几何语言书写。 难点：性质与判定的区别与联系；在具体图形中如何过角平分线上的点作垂线（辅助线）来构造相等的线段。 二、角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把一个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 如图，射线 OC 从 ∠AOB 的顶点 O 出发，若 ∠1 = ∠2，则称射线 OC 是 ∠AOB 的平分线，也可以说 OC 平分 ∠AOB。 图 1 射线 OC 平分 ∠AOB，∠1 = ∠2 要点1：角平分线是一条射线，不是线段，也不是直线；它一定从角的顶点出发，这条射线在角的内部。 要点2：一个角有且只有一条平分线。 要点3：由定义可得数量关系：若 OC 平分 ∠AOB，则 ∠AOC = ∠BOC = ∠AOB，且 ∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC。 （角的和差：∠AOB = ∠AOC + ∠BOC，当两个角相等时，它们都等于 ∠AOB 的一半，可写为 ∠AOC = ∠BOC = ∠AOB。） 三、用尺规作已知角的平分线 作法的三个步骤（尺规作图，只允许用圆规和没有刻度的直尺）： 步骤 作法 依据 (1) 以角的顶点 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交角的两边于点 M、N 得到 OM = ON (2) 分别以点 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在角的内部交于点 C 保证两条弧能相交 (3) 作射线 OC，射线 OC 就是 ∠AOB 的平分线 OM = ON，CM = CN，OC = OC 图 2 用尺规作一个角的平分线的三个步骤 为什么 OC 平分 ∠AOB？ 连接 CM、CN，在 △OMC 和 △ONC 中：OM = ON（同圆半径），CM = CN（同圆半径），OC = OC（公共边），所以 △OMC ≌ △ONC（SSS），从而 ∠MOC = ∠NOC，即 OC 平分 ∠AOB。 注意：第 (2) 步中，圆规的半径必须大于 MN，否则两条弧不相交，作图失败。 四、角平分线的性质定理 1. 性质定理 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 符号语言：因为 OP 平分 ∠AOB，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，所以 PD = PE。 图 3 角平分线上的点 P 到角两边的距离 PD = PE 2. 定理的证明 已知：OC 平分 ∠AOB，P 是 OC 上一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E。求证：PD = PE。 证明：因为 PD⊥OA，PE⊥OB，所以 ∠PDO = ∠PEO = 90°（直角相等）。 在 △PDO 和 △PEO 中，∠PDO = ∠PEO，∠DOP = ∠EOP（OC 平分 ∠AOB），OP = OP（公共边）， 所以 △PDO ≌ △PEO（AAS），从而 PD = PE（全等三角形的对应边相等）。 三个关键点： ① 「距离」指的是点到直线的垂线段的长度，因此图中必须出现「垂直」和「垂足」； ② 若只有 OP 平分 ∠AOB，而没有作垂线，则不能直接得到线段相等； ③ 性质定理常用于「已知角平分线，证明两条垂线段相等」。 五、角平分线的判定定理 1. 判定定理（性质定理的逆定理） 判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 符号语言：因为 PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE，所以点 P 在 ∠AOB 的平分线上。 图 4 点 P 到角两边的距离相等 PD = PE，则 P 在角平分线上 为什么能判定？ 连接 OP，在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，OP = OP，PD = PE，所以 Rt△PDO ≌ Rt△PEO（HL）， 从而 ∠DOP = ∠EOP，即 OP 平分 ∠AOB，所以点 P 在角的平分线上。 判定定理的使用前提： ① 点必须在角的内部（若点在角的外部，即使到两边的距离相等，也不一定在角平分线上，而是可能在邻补角平分线上）； ② 同样要有「两个垂直」＋「两条相等」这三个条件。 六、性质与判定的区别与联系 图 5 角平分线的性质定理与判定定理的方向相反、成对使用 比较项 性质定理 判定定理 已知 点在角的平分线上 点到角两边的距离相等 结论 点到角两边的距离相等 点在角的平分线上 方向 由「平分线」推出「距离相等」 由「距离相等」推出「平分线」 作用 证明两条线段（垂线段）相等 证明一条射线是角的平分线（证点在平分线上） 写法 OP 平分 ∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，则 PD = PE PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，则点 P 在 ∠AOB 的平分线上 一句话区分：「性质」是「已知是平分线，得出相等」；「判定」是「已知相等，得出是平分线」。 已知条件中有角平分线，要用性质；要证某条线是角平分线（或证点在平分线上），要用判定。 七、常见用法与作辅助线 1. 三类常见用法 用法 思路 典型提问 证线段相等 在角平分线上取点，向两边作垂线，用性质得两垂线段相等 求证 PD = PE 证点在平分线上 说明该点到角两边的距离相等，用判定得它在平分线上 求证 OP 平分 ∠AOB 辅助线构造 过角平分线上的点向两边作垂线，构造直角三角形（全等）或等腰三角形 过点 P 作 PD⊥OA 于 D、PE⊥OB 于 E，则 PD = PE 2. 作辅助线技巧 凡题目中出现「角平分线」，常考虑两种辅助线：一是过角平分线上的点向角的两边作垂线（用性质定理）；二是沿角平分线翻折，在角的一边上截取与另一边相等的线段（构造全等三角形）。 图 6 沿角平分线在 OB 上截取 OE = OA，构造 △OPA ≌ △OPE 八、与三角形的联系 三角形三条内角平分线交于一点，并且这一点到三角形三边的距离相等。这个点叫做三角形的内心。 图 7 三角形三条角平分线交于一点 I，且到三边距离相等 说明：内心是三条角平分线的交点；由三角形两边（角）的平分线可以先确定交点，再用判定定理说明第三条平分线也过这一点。 提示：「内心到三边距离相等」正是把角平分线的性质定理用了三次的结果。 九、典型例题 以下例题按「基础—提升—拓展」三个层次编排，覆盖角平分线定义、尺规作图、性质定理、判定定理及常见综合考法。 【基础层】 例 1 如图，OC 平分 ∠AOB，若 ∠AOB = 76°，则 ∠AOC = ______°，∠BOC = ______°。 解析：因为 OC 平分 ∠AOB，所以 ∠AOC = ∠BOC = ∠AOB = ×76° = 38°。 答案：38；38。 例 2 （2024—2025 学年·某市八上期末）如图，OP 平分 ∠MON，PA⊥ON 于点 A，点 Q 是射线 OM 上的一个动点。若 PA = 3，则 PQ 的最小值为（ ） A B C D 2 3 4 不能确定 解析：过 P 作 PC⊥OM 于点 C。因为 OP 平分 ∠MON，PA⊥ON，PC⊥OM，所以 PC = PA = 3（角平分线上的点到两边距离相等）。点 Q 在 OM 上运动时，PQ 的最小值就是点 P 到 OM 的距离，即 PC = 3。故选 B。 例 3 下列作图语句中，能作出 ∠AOB 的平分线的是（ ） A. 以点 O 为圆心画弧 B. 用刻度尺量出 ∠AOB 的大小后取一半 C. 以 O 为圆心画弧交两边于 M、N，再分别以 M、N 为圆心、大于 MN 的长为半径画弧，取两弧在角内交点为 C，作射线 OC D. 以 O 为圆心画弧交两边于 M、N，以 OM 为半径分别以 M、N 为圆心画弧，取交点为 C，作射线 OC 解析：C 正是尺规作角平分线的正确作法。B 用了刻度尺量角，不是尺规作图；A 一步无法确定平分线；D 中以 OM 为半径画弧不一定相交，且即使相交所得射线也未必平分（只有取大于 MN 的半径才保证）。故选 C。 【提升层】 例 4 如图，在 △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分 ∠BAC，DE⊥AB 于点 E。若 BC = 8，BD = 5，求 DE 的长。 解析：因为 ∠C = 90°，所以 DC⊥AC。又 DE⊥AB，且 AD 平分 ∠BAC， 所以 DE = DC（角平分线上的点到两边距离相等）。 因为 BC = 8，BD = 5，所以 DC = BC − BD = 8 − 5 = 3，故 DE = 3。 答案：DE = 3。 例 5 如图，点 P 在 ∠AOB 的内部，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE。若 ∠AOB = 60°，求 ∠AOP 的度数。 解析：因为 PD⊥OA，PE⊥OB，且 PD = PE，所以点 P 在 ∠AOB 的平分线上（判定定理）， 即 OP 平分 ∠AOB，所以 ∠AOP = ∠AOB = ×60° = 30°。 答案：∠AOP = 30°。 例 6 如图，在 △ABC 中，AD 是 ∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F。求证：AE = AF。 证明：因为 AD 平分 ∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，所以 DE = DF（角平分线上的点到两边距离相等）。 又 ∠AED = ∠AFD = 90°，在 Rt△AED 和 Rt△AFD 中，DE = DF，AD = AD， 所以 Rt△AED ≌ Rt△AFD（HL），故 AE = AF。 例 7 （2024—2025 学年·某市八上期末）如图，△ABC 的两个外角的平分线 BP、CP 交于点 P。求证：点 P 在 ∠A 的平分线上。 证明：过点 P 分别作 PD⊥AB 于点 D，PE⊥AC 于点 E，PF⊥BC 于点 F。 因为 BP 平分 ∠DBC，PD⊥AB，PF⊥BC，所以 PD = PF；同理，因为 CP 平分 ∠ECB，PE⊥AC，PF⊥BC，所以 PE = PF。 于是 PD = PE。又 PD⊥AB，PE⊥AC，所以点 P 在 ∠A 的平分线上（判定定理）。 归纳：凡「证某点在角平分线上」，一律转化为「证它到角两边的距离相等」，关键是过该点作两边的垂线。 【拓展层】 例 8 如图，OP 平分 ∠MON，点 A 在 OM 上，点 B 在 ON 上，且 PA = PB。若 ∠OAP = 110°，求 ∠OBP 的度数。 图 8 OP 平分 ∠MON，PA = PB，求 ∠OBP 解析：过点 P 作 PC⊥OM 于点 C，PD⊥ON 于点 D。因为 OP 平分 ∠MON，所以 PC = PD。 在 Rt△PAC 和 Rt△PBD 中，PC = PD，PA = PB，所以 Rt△PAC ≌ Rt△PBD（HL）， 所以 ∠PAC = ∠PBD。而 ∠PAC 与 ∠OAP 互补，∠PBD 与 ∠OBP 互补， 所以 ∠OBP = ∠OAP = 110°。 答案：∠OBP = 110°。 例 9 如图，在四边形 ABCD 中，AB = AD，CB = CD。求证：AC 平分 ∠BAD。 证明：在 △ABC 和 △ADC 中，AB = AD，CB = CD，AC = AC，所以 △ABC ≌ △ADC（SSS）。 所以 ∠BAC = ∠DAC（全等三角形的对应角相等），即 AC 平分 ∠BAD。 归纳：「证角平分线」的两条常用路：① 用判定定理证点到角两边的距离相等；② 用全等三角形证两个角相等。 例 10 （综合应用）如图，在 △ABC 中，∠B 与 ∠C 的平分线交于点 P。过点 P 作 PD⊥AB 于点 D，PE⊥AC 于点 E，PF⊥BC 于点 F。求证：PD = PE = PF。 证明：因为 BP 平分 ∠ABC，PD⊥AB，PF⊥BC，所以 PD = PF（角平分线的性质定理）。 因为 CP 平分 ∠ACB，PE⊥AC，PF⊥BC，所以 PE = PF（同理）。 所以 PD = PE = PF，即点 P 到三角形三边的距离相等。 拓展：由上还可推出 AP 也平分 ∠BAC：因为 PD = PE，且 PD⊥AB，PE⊥AC，由判定定理知点 P 在 ∠BAC 的平分线上。这正说明了「三角形三条角平分线交于一点」。 例 11 如图，在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，BC = 6。AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，求 △ABD 的面积与 △ACD 的面积之比。 解析：因为 AD 平分 ∠BAC，且 ∠C = 90°，所以 DC⊥AC。过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，则 DE = DC。 S△ABD ÷ S△ACD = (·AB·DE) ÷ (·AC·DC) = AB ÷ AC。 由勾股定理，AB = √（AC² + BC²）= √（8² + 6²）= 10，所以面积之比 = 10 ÷ 8 = 。 答案：5 : 4。 例 12 探究：如图，点 P 是 ∠AOB 平分线上一点，过点 P 任作一条直线，与角的两边分别交于点 M、N，且直线 MN 不与角的两边垂直。试判断 △OMN 是否一定是等腰三角形，并说明理由。 解析：不一定。反例：过点 P 任意画一条直线，只要它与 OA、OB 所成的两个角不相等，就能使 OM ≠ ON。 但若直线 MN ⊥ OP（即直线垂直于角平分线），交两边于 M、N，则 OM = ON，此时 △OMN 是等腰三角形。 道理：过 P 作 PC⊥OM 于 C、PD⊥ON 于 D，则 PC = PD；再结合垂直等条件可证两组直角三角形全等，得 OM = ON。 归纳：只有加上「直线垂直于角平分线」这一条件，结论才成立——做题时要看清条件，不能凭图形「看上去一样」就下结论。 例 13 （尺规作图·应用）已知 ∠AOB，求作一点 P，使点 P 到 ∠AOB 两边的距离相等，且到点 B 的距离为定长 a（保留作图痕迹，不写作法）。 作法：(1) 用尺规作 ∠AOB 的平分线 OC； (2) 以点 B 为圆心、a 为半径画弧，与射线 OC 交于点 P（可能有两个交点，需结合图形与题设取舍）。 则点 P 即为所求：它在 OC 上，故到角两边距离相等；又 PB = a，满足到点 B 的距离为定长。 提示：「到角两边距离相等」转化为「在角平分线上」，这是这类作图题的核心思路。 十、易错清单 序号 易错点 正确认识 1 把角平分线看成线段或直线 角平分线是从角的顶点出发的一条射线 2 认为「距离」就是点到顶点的连线 「点到角两边的距离」指点到两条边的垂线段的长 3 只用角平分线，不画垂线就得出线段相等 必须先有 PD⊥OA、PE⊥OB 两个垂直条件，才能用性质定理得 PD = PE 4 把性质与判定用反了 已知平分线用性质；要证平分线用判定——看「已知」和「结论」 5 用判定时忽略「点在角的内部」 到两边距离相等的点可能在角的平分线上，也可能在邻补角的平分线上 6 尺规作图中半径画得太小 第 (2) 步的半径要大于 MN，否则两弧不相交 7 把「角平分线上的点」与「角平分线与某线的交点」混淆 性质定理对平分线上任意一点都成立，与它是否在三角形边上无关 8 证点到两边距离相等时，垂足落在边的延长线上就慌了 垂足可以在边的延长线上，只要满足「垂直」，结论依然成立 十一、方法总结与知识结构 1. 解题方法口诀 情境 首选方法 见角平分线，要证线段相等 过平分线上的点向两边作垂线，用性质定理 要证某点在角平分线上 过该点向角两边作垂线，证两垂线段相等，用判定定理 见角平分线，要证角相等 用定义（两角相等）或构造全等三角形 作角平分线 尺规作图三步法（顶点画弧 → 交点画弧 → 连线） 求点到角一边的距离 利用角平分线的性质把「未知距离」转化为「已知距离」 2. 知识结构 角 的 平 分 线 定 义 作 法 从顶点出发、把角分成两个相等的角的射线 尺规作图三步：顶点画弧 → 交点画弧 → 连线 性 质 与 判 定 性质：在平分线上 → 到两边距离相等 两者互逆，成对使用 判定：到两边距离相等 → 在平分线上 核心一句话：角平分线上的点到角两边的距离相等；反过来，到角两边距离相等（且在角内部）的点在角平分线上。解题时「见平分线作垂线」，把角的问题转化为直角三角形的全等问题。 学科网（北京）股份有限公司 $