专题11 对数运算八类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版高一必修第一册

专题11 对数运算八类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用对数概念求参 题型二、求解涉及对数的方程问题 题型三、利用对数运算性质化简求值 题型四、利用已知对数求解其他对数表达式 题型五、换底公式的应用 题型六、对数运算的实际应用 题型七、对数新定义 题型八、对数与指数、不等式融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 对数问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕利用对数概念求参、求解涉及对数的方程问题、利用对数运算性质化简求值、利用已知对数求解其他对数表达式、换底公式的应用、对数运算的实际应用 、对数新定义、对数与指数、不等式融合八大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是指数式与对数式的相互转化；二是利用对数运算性质及换底公式化简求值，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用对数概念求参 典例1已知对数式有意义，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数，其中底数且且真数． 2.方法：抓住对数的底数以及真数满足的条件列出不等式（组）求解. 变式1-1使式子有意义的x的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式1-2若代数式有意义，则实数的取值范围是 . 变式1-3若，则x的值为 ． 类型二、求解涉及对数的方程问题 典例2 （1）设、为正数，若，且，则________． （2）已知是方程的两个实数根，则的值等于 ． 题型模版 1.特征：含有一个未知量或多个未知量的对数方程或者指数方程（可转化为对数方程）。 2.方法：涉及对数的方程应确保对数有意义的前提下运用对数运算法则以及运用转换与化归思想将对数方程转化为一元一次方程或者一元二次方程。 变式2-1已知，且，则（ ） A．2或8 B．或8 C．8 D．64 变式2-2已知，则______． 变式2-3若，且，，则__________. 题型三、利用对数运算性质化简求值 典例3（多选）设正数，满足，，则（　　） A. B. C. D. 题型模版 1.特征：对数混合运算的一般原则 （1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； （3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； （5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式． 2.方法：（1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简； （2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简； 变式3-1下列等式正确的是（  ） A． B． C． D． 变式3-2（多选）实数，，，且，，，则下列各式中，恒成立的是（  ） A． B． C． D． 变式3-3（多选）设，则_____________ 题型四、利用已知对数求解其他对数表达式 典例4 已知，用表示为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 2.方法：利用对数运算法则的应用进行转换。 变式4-1已知，，则____________. 变式4-2若，则 ． 变式4-3已知，，试用表示为 ． 题型五、换底公式的应用 典例5已知，则 题型模版 1.特征：换底公式: 1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论： (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)； (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 注：可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③了 2.方法：（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式． （3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用． 变式5-1已知，则（ ） A． B． C． D． 变式5-2（多选）已知正实数满足，则下列说法中正确的是（  ） A． B． C． D． 变式5-3已知则 . 题型六、对数运算的实际应用 典例6 近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（ ）（参考数据：） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数幂型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算． 2.方法：先建立对数式再将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.。 变式6-1生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ） A． B． C． D． 变式6-2努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（  ）天后进步的是落后的200倍 A．264 B．266 C．268 D．270 变式6-3某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，表示污染物的初始含量，如果在前消除了的污染物，那么： (1)求的值； (2)后还剩百分之几的污染物？ (3)污染物减少需要花多少时间（用对数表示）？ 题型七、对数新定义 典例7《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 题型模版 1.特征：“新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。 2.方法：求解对数“新定义”题目，主要分如下几步： 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； 对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； 对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；可仿照对数运算进行处理。 变式7-1高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据）（  ） A． B． C． D． 变式7-2对于两个均不等于1的正数m、n，定义：．设a、b、c均为小于1的正数，且，则的值是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 变式7-3当把一个任意正实数表示成的时候，就可以得出正实数的位数是，如：，则235是一个3位数．利用上述方法，判断的位数是（  ）（参考数据：） A．32 B．33 C．34 D．35 题型八、对数与指数、不等式融合 典例8已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2) 若不等式恒成立，求实数t的最大值． 题型模版 1.特征：对数运算常常以指数、不等式等知识为背景，融合指数运算、基本不等式等知识分析解决。 2.方法：在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.（(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化） 变式8-1若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 变式8-2（多选）已知，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 变式8-3已知正实数，，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．使式子有意义的x的取值范围是（ ） A． B． C． D．，且 2．若，，则（ ） A． B． C． D． 3．若，，则（  ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 4．今年月日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上;有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时,;若时,.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要（  ）（参考数据:） A．年 B．年 C．年 D．年 5．设方程的两个根为，则（ ） A．0 B．1 C．e D． 6．已知，则的值为（  ） A．4 B．2 C．1 D． 7．（多选）以下运算正确的是（ ） A． B． C． D． 8．（多选）已知，，且，下列选项正确的是（  ） A．    B．   C．      D． 9．（多选）已知，则下列关系正确的是（  ） A． B． C． D． 10．方程的根为____________ 11．已知，是方程的两个根，试给出关于，的一个结论 ． 12．若正实数，满足，，则 . 13．（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 14.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算. （1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么 （2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注） （3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 对数运算八类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用对数概念求参 题型二、求解涉及对数的方程问题 题型三、利用对数运算性质化简求值 题型四、利用已知对数求解其他对数表达式 题型五、换底公式的应用 题型六、对数运算的实际应用 题型七、对数新定义 题型八、对数与指数、不等式融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 对数问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕利用对数概念求参、求解涉及对数的方程问题、利用对数运算性质化简求值、利用已知对数求解其他对数表达式、换底公式的应用、对数运算的实际应用 、对数新定义、对数与指数、不等式融合八大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是指数式与对数式的相互转化；二是利用对数运算性质及换底公式化简求值，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用对数概念求参 典例1已知对数式有意义，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数式的意义列不等式组求解可得. 【解析】由有意义可知，解得且， 所以a的取值范围为. 故选：B 题型模版 1.特征：如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数，其中底数且且真数． 2.方法：抓住对数的底数以及真数满足的条件列出不等式（组）求解. 变式1-1使式子有意义的x的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的意义建立不等式组求解即可. 【解析】要使式子有意义， 则，即， 解得或， 所以x的取值范围是. 故选：D 变式1-2若代数式有意义，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题得，解出即可. 【解析】根据真数大于0得，解得， 故答案为： 变式1-3若，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】利用对数的定义和，建立方程组即可求出结果. 【解析】因为， 所以， 即，解得． 故答案为：4. 类型二、求解涉及对数的方程问题 典例2 （1）设、为正数，若，且，则________． 【答案】 【分析】根据换底公式以及对数的运算性质可得出关于的方程，解出的值，可得出的值，即可得出的值. 【解析】因为、为正数，若，且，即，即， 即，即， 整理可得，即， 解得或，故有或，故. 故答案为：12 （2）已知是方程的两个实数根，则的值等于 ． 【答案】 【解析】设，则原方程化为，，即，所以 故答案为： 题型模版 1.特征：含有一个未知量或多个未知量的对数方程或者指数方程（可转化为对数方程）。 2.方法：涉及对数的方程应确保对数有意义的前提下运用对数运算法则以及运用转换与化归思想将对数方程转化为一元一次方程或者一元二次方程。 变式2-1已知，且，则（ ） A．2或8 B．或8 C．8 D．64 【答案】C 【解析】因为，， 令，所以，解得或（不符合题意舍去）， 所以，解得. 故选：C 变式2-2已知，则______． 【答案】16 【解析】由题意得，解得. ， 即， 则， 则， 则，即，即， 即，则，解得. 故答案为：16 变式2-3若，且，，则__________. 【答案】 【分析】先利用对数的运算法则对已知条件进行化简，然后通过换元法将对数方程转化为关于新变量的方程，最后求解方程得到的值. 【解析】根据题意，由，可得，又， 所以，令，，则，， 所以可得①，②，将②式通分，可得，即③， 将③式代入①式，可得，解得，即. 故答案为：2 题型三、利用对数运算性质化简求值 典例3（多选）设正数，满足，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【分析】对两边同时取自然对数，结合对数运算法则即可判断选项A；由选项A，结合对数的运算法则可得即可判断选项B；对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得.由完全平方公式结合选项A可得，即可判断选项C；由可得，根据对数运算法则可得即可判断选项D. 【解析】对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得，故选项A正确； 由选项A中，结合对数的运算法则可得，所以，故选项B正确； 对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得，即. 所以，所以，故选项C错误； 由可得，即，根据对数运算法则可得，即，故选项D正确. 故选：ABD 题型模版 1.特征：对数混合运算的一般原则 （1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； （3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； （5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式． 2.方法：（1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简； （2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简； 变式3-1下列等式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B错误； 对于C中，由，所以C错误； 对于D中，由，所以D错误． 故选：A 变式3-2（多选）实数，，，且，，，则下列各式中，恒成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数幂的运算判断A；根据对数的运算性质判断BCD. 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 变式3-3（多选）设，则_____________ 【答案】 【解析】. 故答案为： 题型四、利用已知对数求解其他对数表达式 典例4 已知，用表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 所以 故选：B. 题型模版 1.特征：对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 2.方法：利用对数运算法则的应用进行转换。 变式4-1已知，，则____________. 【答案】1 【解析】由可得，又， 则 故答案为：1 变式4-2若，则 ． 【答案】 【解析】由题意得， . 故答案为： 变式4-3已知，，试用表示为 ． 【答案】. 【解析】，， ． 故答案为： 题型五、换底公式的应用 典例5已知，则 【答案】 【解析】，则， 即. 故答案为： 题型模版 1.特征：换底公式: 1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论： (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)； (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 注：可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③了 2.方法：（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式． （3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用． 变式5-1已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得， 则， 所以. 故选：A 变式5-2（多选）已知正实数满足，则下列说法中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据指数与对数的互化，设，得，，，然后根据对数的运算性质以及换底公式对各个选项逐个化简即可判断求解． 【解析】已知正实数，则设，所以，，， 对于A，因为 ， 又，所以，所以，即，故A正确； 对于B，因为，，所以，即，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ， 又因为，故等号不成立，所以，即，故D正确， 故选：ACD． 变式5-3已知则 . 【答案】1 【解析】由题意得，， ∴. 故答案为：1. 题型六、对数运算的实际应用 典例6 近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（  ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，年臭氧剩一半可得衰减常数，代入臭氧剩的条件，再利用参考数据计算出. 【解析】根据题意，臭氧含量随时间变化的关系为，已知经过年臭氧含量剩下一半，即，两边同时取对数得：，所以，要求臭氧含量剩初始含量的， 即，所以，即，由，， 得，代入得：年， 因此，经过约年臭氧含量只剩下初始含量的. 故选：D 题型模版 1.特征：对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数幂型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算． 2.方法：先建立对数式再将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.。 变式6-1生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【解析】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 变式6-2努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（  ）天后进步的是落后的200倍 A．264 B．266 C．268 D．270 【答案】A 【解析】设天后进步的是落后的200倍，则，， 即， 所以有（天）. 故选：A. 变式6-3某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，表示污染物的初始含量，如果在前消除了的污染物，那么： (1)求的值； (2)后还剩百分之几的污染物？ (3)污染物减少需要花多少时间（用对数表示）？ 【答案】(1)；(2)；（3） 【解析】（1）当时，，当时，，即. ， （2）当时，，即15h后，还剩的污染物. （3）设污染物减少40%需要花t h，则有，两边取以为底的对数，得. ，即污染物减少40%大约需要花h. 题型七、对数新定义 典例7《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 【答案】(1)； (2)； (3)610 【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可； （2）令，则，根据对数与指数的互化可得，利用对数的换底公式化简原式即可； （3）利用对数的运算性质可得，结合位数的定义即可得出结果. 【解析】（1）原式； （2）由题意知，令，则， 所以， 所以； （3）设，则，又， 所以， 所以，则， 所以的位数为610． 题型模版 1.特征：“新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。 2.方法：求解对数“新定义”题目，主要分如下几步： 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； 对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； 对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；可仿照对数运算进行处理。 变式7-1高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据）（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到，利用对数运算法则计算出，得到答案. 【解析】， 则 ， 所以， 故选：C． 变式7-2对于两个均不等于1的正数m、n，定义：．设a、b、c均为小于1的正数，且，则的值是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据条件得出与的大小关系，进而根据新定义把式子转化为对数的运算，再按照对数运算性质求值． 【解析】由且，得，， 根据新定义，得 ． 故选：D. 变式7-3当把一个任意正实数表示成的时候，就可以得出正实数的位数是，如：，则235是一个3位数．利用上述方法，判断的位数是（  ）（参考数据：） A．32 B．33 C．34 D．35 【答案】B 【分析】设，则，计算即可求出，从而得出结果． 【解析】设，则 又因为， 所以，即， 因为，所以，所以， 解得：，因为， 故，所以的位数是. 故选：B. 题型八、对数与指数、不等式融合 典例8已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 【答案】(1)①；②；(2) 【解析】（1）①因为，所以，所以． ②因为，且，所以，解得． （2）由不等式，得，所以t的最大值． 题型模版 1.特征：对数运算常常以指数、不等式等知识为背景，融合指数运算、基本不等式等知识分析解决。 2.方法：在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.（(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化） 变式8-1若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数运算可得，利用基本不等式可求的最小值. 【解析】由，可得，所以，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C 变式8-2（多选）已知，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为，所以， 所以，所以A错误； ，B正确； ，所以，C错误； 因为，，所以，D正确. 故选：BD. 变式8-3已知正实数，，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 令，则， 又，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为，当且仅当时取等号， 所以的取值范围是. 故选：C 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．使式子有意义的x的取值范围是（ ） A． B． C． D．，且 【答案】D 【解析】，解得，即且. 故选：D. 2．若，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先应用指数和对数转化，再应用对数运算律计算判断各个选项. 【解析】因为，，所以，，所以，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误； ，D选项正确. 故选：D 3．若，，则（  ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】A 【解析】由， 所以 故选：A 4．今年月日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上;有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时,;若时,.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要（  ）（参考数据:） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】B 【分析】根据已知条件得,解方程组求出的值,当时,在等式两边取对数即可求解. 【解析】由题意得:,解得, 所以, 当时,得,即, 两边取对数得, 所以, 即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要年. 故选:B. 5．设方程的两个根为，则（  ） A．0 B．1 C．e D． 【答案】A 【分析】先将题设等式利用指对互化和换元，可得方程，该方程的两根为，利用韦达定理、指数幂运算以及立方和公式化简计算即得. 【解析】由可得，设，则，方程可化为， 设该方程的两根为，则，由韦达定理，，则有， 于是. 故选：A. 6．已知，则的值为（  ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】D 【解析】因为， 所以，可得 ， 即， 所以，即， 所以. 故选：D. 7．（多选）以下运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数幂运算和对数的计算公式逐一判断即可. 【解析】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D正确 故选：BD. 8．（多选）已知，，且，下列选项正确的是（  ） A．    B．   C．      D． 【答案】ABC 【解析】因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，所以A正确； 因为，，且，所以，当且仅当时等号成立， 所以，所以B正确； 因为，，且，所以，且，所以，即，所以C正确； 因为，，且，所以，且， 所以，因为，所以，所以D错误. 故选：ABC 9．（多选）已知，则下列关系正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为， 所以， 对A选项，，所以，故A正确； 对B选项，， 所以，故B选项不正确； 对C选项，因为，， 所以， 而，故上述不等式等号不成立，则，故C不正确； 对D选项， ,故D正确. 故选：AD 10．方程的根为____________ 【答案】3 【解析】由，得， 即，解得， 所以方程的根为. 故答案为：3 11．已知，是方程的两个根，试给出关于，的一个结论 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】根据换底公式有，即， 令，则，解得或. 所以或，解得或. 故答案为：（答案不唯一） 12．若正实数，满足，，则 . 【答案】100 【解析】由于，整理得，①， 又，②， 所以①+②得：； 即 对于取常用对数可得，， 故. 故答案为：100. 13．（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 【答案】（1）；（2）或；（3） 【解析】（1）∵ ∴ ∴ （2）对数有意义，则，解得：或， 所以实数x的取值范围为或； （3） 即 =① 方程两边同乘x得： 即② 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即 若是方程①的解，则，即 则要使方程①有且仅有一个解，则 综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是 14.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算. （1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么 （2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注） （3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由. 【答案】（1）答案见解析；（2）6677；（3）甲，理由见解析. 【解析】（1）根据对数的性质以及指数式化对数式可得结果； （2）设，得，根据求出，根据位数的定义可得结果； （3）由可得，可得，可得，根据定义可得结论. 【解析】（1）如果，且，， 那么， 化为对数式得； （2）设，所以， 因为，所以， 所以， 所以的位数为6677； （3）根据题意得，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，所以， 所以甲同学的近似值更接近. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $