九年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷（新教材沪教版五四制，举一反三，测试范围：第27章 二次函数～第29章 三角初步）

九年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷 【新教材沪教版五四制】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知，，点到线段的距离为，，则的长度为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】连接，延长交于点E，可知是线段的垂直平分线，根据三线合一得到，，根据三角函数可知的长度． 【详解】解：如图，连接，延长交于点E， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵点到线段的距离为， ∴， ∴． 2．（2026·福建·中考真题）已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先将A、 B两点横坐标代入抛物线解析式，得到 关于n的表达式，再结合 和 的条件列不等式，求出n的取值范围，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 ， ， ∴将 代入解析式得 ， 将 代入解析式得 ， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ 解得 观察选项，只有符合该范围． 3．（2025·安徽合肥·一模）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得． 【详解】解：取格点E，连接AE、BE，如图： 设网格中的小正方形的边长为1， 则BE＝， AE＝， AB=． ∵BE2+AE2＝2+8＝10， AB2＝10， ∴BE2+AE2＝AB2． ∴∠AEB＝90°． 由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°． ∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD， ∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD， ∴∠APD＝∠ABE． 在Rt△ABE中，cos∠ABE＝． ∴cos∠APD＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键． 4．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】C 【分析】延长交于点G，可证，得，得出，可证，求出，则的值可求． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则． 5．（2026·河南驻马店·三模）如图，在中，，点，分别在边，上，，将沿翻折，点的对应点为，，分别交边于点，．若，则的长为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 连接交于点，易证明四边形是菱形，则、，进而证明是等腰三角形，设，则，根据求出长，证明，则，据此求解即可． 【详解】解：连接交于点， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得：，， ， 四边形是菱形， 、， ， 是等腰三角形， ， 、， ， 设，则， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ． 6．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点B，抛物线和圆C在点A，B之间的部分分别记为，．M，N分别是，上的两个动点（M，N均不与A，B重合）．给出下面四个结论，错误的有（     ） ①当轴时，长的最大值为； ②若点Q在x轴上，则在第一象限内存在点M，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与性质，圆与函数的综合，等边三角形的性质与判定；当与轴重合时，的长取最大值，计算此时的的长即可判断①；，即可判断②；以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形，即可判断③；设，表示出在上，利用建立方程，求出，最后根据的取值范围，即可判断④． 【详解】解：①当与轴重合时，的长取最大值， ∵将代入，得，解得：， ∴， ∴， ∴当与轴重合时，，， ∴当与轴重合时，即为最大值， ∴①正确； ②如图1所示，对于轴上的任意一点， ∵轴， ∴， ∵四边形的名称为， ∴点在第一象限的抛物线上， 抛物线在第一象限曲线上的任意一点，都可以画出, 显然， ∴②错误； ③如图2所示，以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形， ∴③正确； ④点分别是，上的点，设， ∵、，、在点、点之间，均不与重合， ∴， ∵为中点， ∴在上， ∴，即， （负值舍去）或， ∵， ∴， ∵，这与是矛盾的， ∴不存在以为中点的线段， ∴④错误； 综上：①③正确，②④错误． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）在中，，，，则的长度为______． 【答案】或 【分析】过点A作，交所在直线于D，利用勾股定理求出的长度，再由勾股定理求出，分垂足D在线段上和垂足D在延长线上，两种情况计算． 【详解】解：过点作，交所在直线于点， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得，（不符合题意，舍去）， ，， 在中，， 当点在线段上时，如图， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ． 8．（2026·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 【答案】 【分析】由平行线的性质得出内错角相等，结合垂直的定义得出直角相等，从而证明 ，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数的图象上有三个不同的点、、，则n的值为______． 【答案】21 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由二次函数顶点式得对称轴为直线，点A和C纵坐标相同，故其横坐标中点位于对称轴上，得，点B的横坐标为，代入函数解析式求值即得n． 【详解】解：由二次函数的对称轴为直线， ∵点和纵坐标相同， ∴点A、C两点关于抛物线的对称轴对称，故，即， ∴点B的横坐标为， 代入函数解析式： ； 故答案为21． 10．（2026·四川成都·二模）已知桌面上平放着一个矩形木框，拖动顶点C，使其变为平行四边形木框，其示意图如图所示，若矩形的面积是平行四边形的面积的3倍，则的值为______． 【答案】 【分析】设矩形 的宽 为 b，平行四边形 边 上的高为 h，根据矩形和平行四边形的面积公式及题意得出，由木框边长不变可知，在直角三角形中利用勾股定理求出的邻边与斜边的比值，再根据平行四边形对角相等求解即可． 【详解】解：设矩形的边，，平行四边形 边 上的高为 h， ∵ 矩形 的面积是平行四边形的面积的 3 倍， ∴，即， ∵ 木框边长不变 ∴ 如图：过点 F 作 于点 G，则， 在中， ∴． ∵ 四边形 是平行四边形 ， ∴， ∴． 11．（25-26九年级·全国·一轮复习）在中，点D是的中点，，，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质．过点D作，交于F，利用平行线分线段成比例求得，证明是的中位线，利用等角对等边求得，据此列式计算即可求解． 【详解】解：过点D作，交于F， ∴，， ∵点D是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 12．（2026·浙江·中考真题）如图，，，、分别是、的中点，、分别为、上任意点，当关于对称的线段垂直时，___________． 【答案】 【分析】作出相应辅助线，利用三角形中位线定理得到与、的关系，再利用对称轴的性质得到角度关系，从而求出． 【详解】解：如图，延长交于点，交于点，连接，， 由和关于对称可得，、、三点共线． ， ，为等腰三角形， 为的中点，， ，， 在中，， 、分别是、的中点， ∴为的中位线， ，， ， 线段垂直， ， 根据轴对称可得， ， 又， 四边形是平行四边形， ． 13．（2026·浙江宁波·三模）如图，二次函数（其中）的图像与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，，点为的角平分线的交点．记的面积为，的面积为，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】先求得、，易得，则是等腰直角三角形，即；由三角形外接圆的性质、圆周角定理可得，．易得是等腰直角三角形，如图：过D作于N，过C作于M，证明可得，设，则，，即，解得：；然后用m表示出、，最后代入求值即可． 【详解】解：∵令时， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵令时，， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点D为的角平分线的交点． ∴，． ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图：过D作于N，过C作于M，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得：， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴的面积； ∵过D作于N，， ∴， ∴的面积为， ∴． 14．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为 的正方形 中，以点B为圆心， 为半径作弧，交 于点M，交 的延长线于点N，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点K，作射线 ．点E在边 上，且 ，连接 并延长，交 于点F，连结 ，交 于点G，则 的长为________ ． 【答案】 【分析】根据题意可知 是 的角平分线，结合正方形性质可得 ，过点 作 和 延长线的垂线，利用角平分线性质和相似三角形 求出 到 的距离，再利用 求出的长，最后在 中利用勾股定理求解． 【详解】解：根据题意可知 平分 ， 四边形 是正方形， ， 点 在 的延长线上， ， ， 过点 作 于点 ，作 交 的延长线于点 ，则四边形 为矩形， 平分 ， ， ∴四边形 为正方形， 在 中， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， 解得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 中，． 15．（2025·四川广元·中考真题）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、三角函数的定义及相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，利用三角形相似和三角函数推导线段长度关系．自点B，D分别作的垂线段，利用得到，再利用，推出，进而得到，设，结合O是的中点则可推出，由可表示，在勾股定理建立方程即可求解x，则可求． 【详解】如图，过D作于E，过B作于F， ∵， ∴，则， 设 ，则， ，， ， ， ， 即， ， ∵O是的中点， ， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理：，即， 解得：， ． 故答案为：． 16．（2026·山东东营·三模）抛物线的图象如图所示，点在抛物线第一象限的图象上．点在轴的正半轴上，都是等腰直角三角形，则__________． 【答案】 【分析】设，求出；设，求出，得出规律，，，，根据等腰直角三角形的性质，求出，即可． 【详解】解：设， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点在二次函数位于第一象限的图像上， ∴， 解得：（舍），， ∴； ∵是等腰直角三角形，设， ∴， ∴， ∵点在二次函数位于第一象限的图像上， ∴， 解得：（舍），； ∴， 同理可得：，，，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的点的特征，坐标规律探究，等腰直角三角形的性质，观察图形得出规律是解题的关键． 17．（2026·山西·中考真题）如图，在四边形中，，，．点是边上的一点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交边于点．若，则线段的长为________． 【答案】14 【分析】过点E作，交于点．通过等角对等边证明，过点作于点，作于点，证明，根据平行线分线段成比例求出，进而得出，证明四边形是矩形得到，根据勾股定理求出，得到的长，从而可得的值，进而在中解直角三角形即可求解． 【详解】过点E作，交于点． ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 过点作于点，作于点，则． ， ， ∴， ， ， ， ， ． ， 四边形是矩形， ， 在中，， ． 在中，， 在中，， ． 18．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为______． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，从函数图象中获取信息，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，最值结合对称轴判断②；作点关于对称轴的对称点，连接，的长即为的最小值，勾股定理求出的长，判断③，对称性结合增减性，判断④即可． 【详解】解：由图象和题意可知：，当时，， ∴， ∴，；故①错误， 当时，函数取得最小值为：， ∴对于任意实数m，， ∴的值不小于2，故②正确； 作点关于对称轴的对称点，连接， 则：， ∴当点在上时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为；故③正确； ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，满足且， ∴， ∴点离对称轴远， ∴；故④正确； 故答案为：②③④． 三、解答题（本大题共9小题，满分52分） 19．（5分）（2026·浙江绍兴·二模）已知：如图，点，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）直接利用证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）先说明，再利用等边对等角以及三角形内角和公式可得，解直角三角形可得，利用勾股定理可得，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 20．（5分）（2025·浙江温州·三模）已知一个二次函数的图象与x轴的交点分别为，且顶点在函数的图象上． (1)求这个二次函数的顶点坐标和函数表达式． (2)点P在函数的图象上，若点P向左平移n个单位或向右平移个单位都能恰好落在二次函数的图象上，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据已知点的坐标特征先求出二次函数的对称轴，然后，再求出其顶点坐标，接着，设二次函数的表达式为，最后，将顶点坐标代入即可求得二次函数的表达式； （2）根据题意找到点平移后对应的两个点的坐标，再由点平移后的点都能恰好落在二次函数的图象上及二次函数的对称轴，得，解方程即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：由二次函数图象与x轴的交点坐标分别为，可知二次函数图象的对称轴为直线， ∵二次函数图象的顶点在函数的图象上， ∴将代入可得二次函数的顶点坐标为． 根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，解得， ∴二次函数的表达式为，即； （2）解：根据题意，设点P的坐标为， 当点向左平移n个单位时，得， 当点向右平移个单位时，得， 均落在二次函数的图象上， ∴，即， 解得． 当时，． ∴点P的坐标为． 21．（5分）（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请根据条件解决下列问题：    (1)绕点旋转后得到，请画出 (2)以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为； (3)若点为轴上一点，且知是以为腰的等腰三角形，请写出符合条件的所有点的坐标_____； 【答案】(1) 如图所示：    (2) 如图所示：    (3) 【分析】（1）由题意可先得出点A、B、C关于原点对称的点； （2）点为位似中心，按位似比为即可求解： （3）分别以点A、C为圆心，长为半径画弧与轴交点即可求解． 本题主要考查点的坐标关于原点对称,位似图形及等腰三角形的定义，熟练掌握点的坐标关于原点对称及等腰三角形的定义是解题关键． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意得：,,    22．（5分）（2026·福建·中考真题）如图，在四边形 中， 是上的一点，，．四边形由四边形 沿翻折得到，点 ， ， 的对应点分别为，，．是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ． ∵四边形由四边形 翻折得到，点 的对应点为， ． ， ． ． (2) 【分析】（1）利用平行和折叠的性质证明，即可得出结论； （2）根据是等腰直角三角形可求，过点作，垂足为，再解三角形即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作，垂足为 ． ，， ． ， ． ∵四边形由四边形 翻折得到，点 的对应点为， ，，． 在中，， ． ，， ． 23．（6分）（2025·重庆·中考真题）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定， 正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）过点A作于E，过点B作于F，由题意得，，解得到千米，千米，证明四边形是矩形， 得到千米，千米，得到千米，再利用勾股定理即可求出的长； （2）当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T，由题意得，，解得到千米，千米，则千米，设千米，则千米，千米，解得到千米，千米，则千米，由勾股定理得，解方程即可得到答案。 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F， ∴， 由题意得，， 在中，千米， 千米， ∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：的长度约为千米； （2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T， 由题意得，， 在中，千米， 千米， ∴千米， 设千米，则千米，千米， 在中，千米， 千米， ∴千米， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（此时大于的长，舍去）， ∴千米， 答：甲无人机飞离B处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号． 24．（6分）（2026·浙江丽水·模拟预测）已知直线交抛物线（常数）于点，，． (1)求抛物线的对称轴． (2)当抛物线最高点到直线的距离为9时， ①求的值； ②若点，是范围内抛物线上的两点，且，．当取得最大值时，记点向右平移3个单位后的点为，求线段的中点的坐标． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）代入抛物线对称轴公式求解即可； （2）①利用抛物线最高点到直线的距离为这个条件结合抛物线顶点坐标与直线的表达式列出且可求出的值，联立抛物线和直线结合即可得到的值；②取得最大值，在内先让尽可能大，取顶点纵坐标时最大，再让尽可能小，从而可得到点，的坐标，由平移性质得到的坐标，再利用中点坐标公式求得线段的中点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为； （2）解：①直线过点，， 直线的表达式为， ， 该抛物线的顶点为， 抛物线最高点到直线的距离为， ，， ，即，解得或（舍去）， 抛物线为，直线为， 联立抛物线和直线得， 化简得，即， 解得，， ， ； ② 取得最大值， 最大为当时，， ， 最小为当时，， ，， 点向右平移个单位后的点为， ，即， 线段的中点的坐标为，即． 25．（6分）（2026·海南儋州·二模）【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【解决问题】 阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造． 如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部．于是小江在地面上的点处放置了一个平面镜，小海从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为；然后，小江沿方向移动到点，用测角仪测得上天台顶端的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为．已知点，，，在同一水平直线上，且、、均垂直于． (1)填空：__________°，________； (2)求该上天台的高度． 【答案】(1)45； (2)该上天台的高度为． 【分析】（1）过点F作于点H，推出是等腰直角三角形，求得，证明，列出比例式，即可求解； （2）证明四边形是矩形，求得，，设，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∵， ∴，解得， ∴， 答：该上天台的高度为． 26．（6分）（2026·山东临沂·二模）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在中，，为斜边的中点，，保持不动，以点为旋转中心，按顺时针方向旋转． (1)操作发现：旋转一定角度，如图1，记和分别与交于点，，当时，和的数量关系为______； (2)继续旋转一定角度，如图2，当线段经过点时，连接，若时，试判断四边形的形状，并证明你的结论； (3)实践探究：在整个旋转过程中，当边在下方，，时，设线段与直线交于点，与交于点，直线交射线于点，连接．如图3，若的直角边恰好与垂直，请求出的长． 【答案】(1) (2)解：四边形是菱形．证明如下： ∵在中，，是斜边的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． (3) 【分析】（1）先得出，再得出，，则，进而可得，然后根据等腰三角形的判定即可得； （2）先得出是等边三角形，则，，再得出，，则四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证； （3）先求出，，，的长，再证出，则可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）解：∵在中，，，， ∴，， ∵为斜边的中点， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴在中，． 27．（8分）（2026·江苏徐州·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 【答案】(1)a，c的值分别为 (2)或2 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）分三种情况考虑即可； （3）利用求根公式表示抛物线上点的横坐标，按点与对称轴的位置分类，结合函数增减性确定代数式的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴分别交于点，， ∴， 解得， 即a，c的值分别为； （2）解：抛物线的解析式为，其对称轴为直线，最大值为， 当时，；当时，； 当时，， 则当时，函数值随自变量的增大而增大， ∴， 解得（舍去）或； 当时，，函数值随自变量先增加后减小，从而在顶点处取得最大值4，不符合题意； 当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数当时取得最大值， ∴， 解得（舍去）或； 综上，满足题意的值为或2； （3）解：抛物线的对称轴为直线，最大值为4，且抛物线开口向下， 当时，则，， 作直线交抛物线于点，且在的左侧，如图，作直线交抛物线于点，且在的左侧， 令，解得或， ∴，， 令，解得或， ∴，， ∵， ∴点M在曲线段上，点N在曲线段或上， ①当点N在曲线段上时， 把，分别代入， 得， 两式相减，整理得， ∴， 当取得最小值时，取得最小值，当取得最大值时，取得最大值， 当点M在A处，点N在点处时，取得最小值，且最小值为，此时， 当点M在处，点N在点处时，取得最大值，且最大值为，此时， ∴； ②当点N在曲线段上，点M在A处，点N在点处时， 取得最大值，且为， 当点M在处，点N在点处时，取得最小值，且为， ∴； 综上，或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷 【新教材沪教版五四制】 时间：90分钟 满分：100分 测试范围：第27章 二次函数~第29章 三角初步 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共27题，单选6题，填空12题，解答9题，满分100分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知，，点到线段的距离为，，则的长度为（    ） A． B．1 C．2 D． 2．（2026·福建·中考真题）已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·安徽合肥·一模）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 5．（2026·河南驻马店·三模）如图，在中，，点，分别在边，上，，将沿翻折，点的对应点为，，分别交边于点，．若，则的长为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点B，抛物线和圆C在点A，B之间的部分分别记为，．M，N分别是，上的两个动点（M，N均不与A，B重合）．给出下面四个结论，错误的有（     ） ①当轴时，长的最大值为； ②若点Q在x轴上，则在第一象限内存在点M，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）在中，，，，则的长度为______． 8．（2026·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数的图象上有三个不同的点、、，则n的值为______． 10．（2026·四川成都·二模）已知桌面上平放着一个矩形木框，拖动顶点C，使其变为平行四边形木框，其示意图如图所示，若矩形的面积是平行四边形的面积的3倍，则的值为______． 11．（25-26九年级·全国·一轮复习）在中，点D是的中点，，，则____________． 12．（2026·浙江·中考真题）如图，，，、分别是、的中点，、分别为、上任意点，当关于对称的线段垂直时，___________． 13．（2026·浙江宁波·三模）如图，二次函数（其中）的图像与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，，点为的角平分线的交点．记的面积为，的面积为，则的值为_____． 14．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为 的正方形 中，以点B为圆心， 为半径作弧，交 于点M，交 的延长线于点N，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点K，作射线 ．点E在边 上，且 ，连接 并延长，交 于点F，连结 ，交 于点G，则 的长为________ ． 15．（2025·四川广元·中考真题）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为________． 16．（2026·山东东营·三模）抛物线的图象如图所示，点在抛物线第一象限的图象上．点在轴的正半轴上，都是等腰直角三角形，则__________． 17．（2026·山西·中考真题）如图，在四边形中，，，．点是边上的一点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交边于点．若，则线段的长为________． 18．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分52分） 19．（5分）（2026·浙江绍兴·二模）已知：如图，点，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，，求的值． 20．（5分）（2025·浙江温州·三模）已知一个二次函数的图象与x轴的交点分别为，且顶点在函数的图象上． (1)求这个二次函数的顶点坐标和函数表达式． (2)点P在函数的图象上，若点P向左平移n个单位或向右平移个单位都能恰好落在二次函数的图象上，求点P的坐标． 21．（5分）（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请根据条件解决下列问题：    (1)绕点旋转后得到，请画出 (2)以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为； (3)若点为轴上一点，且知是以为腰的等腰三角形，请写出符合条件的所有点的坐标_____； 22．（5分）（2026·福建·中考真题）如图，在四边形 中， 是上的一点，，．四边形由四边形 沿翻折得到，点 ， ， 的对应点分别为，，．是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．（6分）（2025·重庆·中考真题）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 24．（6分）（2026·浙江丽水·模拟预测）已知直线交抛物线（常数）于点，，． (1)求抛物线的对称轴． (2)当抛物线最高点到直线的距离为9时， ①求的值； ②若点，是范围内抛物线上的两点，且，．当取得最大值时，记点向右平移3个单位后的点为，求线段的中点的坐标． 25．（6分）（2026·海南儋州·二模）【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【解决问题】 阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造． 如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部．于是小江在地面上的点处放置了一个平面镜，小海从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为；然后，小江沿方向移动到点，用测角仪测得上天台顶端的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为．已知点，，，在同一水平直线上，且、、均垂直于． (1)填空：__________°，________； (2)求该上天台的高度． 26．（6分）（2026·山东临沂·二模）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在中，，为斜边的中点，，保持不动，以点为旋转中心，按顺时针方向旋转． (1)操作发现：旋转一定角度，如图1，记和分别与交于点，，当时，和的数量关系为______； (2)继续旋转一定角度，如图2，当线段经过点时，连接，若时，试判断四边形的形状，并证明你的结论； (3)实践探究：在整个旋转过程中，当边在下方，，时，设线段与直线交于点，与交于点，直线交射线于点，连接．如图3，若的直角边恰好与垂直，请求出的长． 27．（8分）（2026·江苏徐州·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $