第25章～第28章 期中复习【高分冲刺卷】2026～2027学年人教版数学九年级上册

第25章～第28章 期中复习【高分冲刺卷】2026~2027学年人教版九年级上册数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 且 【答案】 A 【解析】 题目说的是「方程」而不是「一元二次方程」，所以要分两种情况讨论． ① 当 ，即 时，原方程化为 ，它是一元一次方程，有实数根 ； ② 当 ，即 时，原方程是一元二次方程，要有实数根需 ，解得 ． 两种情况取并集，得 ．所以选 A． 【解题提示】题干中「方程」与「一元二次方程」一字之差，答案完全不同：只说「方程」时，必须考虑二次项系数为 （方程退化为一元一次方程）的情形；说「一元二次方程」时才可以默认二次项系数不为 ．本题若误当作一元二次方程求解，就会错选 C． 2．若一元二次方程 的两根为 、，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 由根与系数的关系，得 ，． 把所求式子展开：． 代入得 ．所以选 A． 【解题提示】遇到 、、 这类式子，先展开或通分，把它化成只含两根之和与两根之积的形式；注意 展开后是三项，常数项 最容易漏掉。 3．如图，二次函数 的图像与 轴交于点 A(-1,0)、B(3,0)，与 轴交于点 C(0,3)．给出下列结论： ① ；② ；③ ；④ ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】 B 【解析】 由图像经过 、、 可设 ， 把 代入得 ，所以 ． 于是 ，即 ，，． ① ，① 错误； ② ，② 正确； ③ ，③ 正确； ④ ，④ 错误． 所以正确的结论有 2 个．所以选 B． 【解题提示】多结论题不要凭「看起来像」来判断，最有效的办法是先把解析式求出来（用交点式 最快），得到 、、 的具体值后逐个代入计算。另外 就是 时的函数值， 就是 时的函数值，也可以直接读图判断，但代入计算更稳妥。 4．若反比例函数 的图像与一次函数 的图像有两个不同的交点，则 的取值范围是（　　） A． B． 且 C． D． 【答案】 B 【解析】 两个函数图像的交点横坐标是方程 的解． 因为 ，两边同乘 得 ，即 ． 要有两个不同的交点，该方程就要有两个不相等的实数根， 所以 ，解得 ． 又因为 是反比例函数，必须 ， 所以 且 ．所以选 B． 【解题提示】处理「函数图像交点个数」问题的固定套路：把两个解析式联立消元，得到一个一元二次方程，交点的个数就是该方程根的个数，再用判别式求解。最后别忘记反比例函数的隐含条件 。 5．如图，在 △ABC 中，∠ACB=，∠BAC=．将 △ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 ，得到 △DEC（点 A、B 的对应点分别是 D、E），连接 AD．则 ∠ADE 的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 旋转不改变图形的形状和大小，所以 △DEC ≌ △ABC，对应角相等，于是 ∠CDE=∠CAB=． 对应点到旋转中心的距离相等，所以 ；对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，所以 ∠ACD=． 所以 △ACD 是等腰直角三角形，∠CDA=． 在点 D 处，射线 DC 位于射线 DA 与射线 DE 之间， 所以 ∠ADE=∠CDA+∠CDE=．所以选 D． 【解题提示】解这类题要抓住旋转的三条性质：① 旋转前后的图形全等，对应角相等；② 对应点到旋转中心的距离相等；③ 对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角．本题由②③得到等腰直角三角形 ACD，再由①得到 ∠CDE=∠A，最后用角的和差把 ∠ADE 拼出来；相加还是相减，要先看两条射线在 ∠CDA 内部的位置关系。 6．已知二次函数 （ 为常数），当 时， 的最小值是 ，则 的值是（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】 A 【解析】 抛物线的对称轴是直线 ，开口向上，所以最小值在离对称轴最近的 处取得，需要分类讨论． ① 当 时，区间 在对称轴右侧， 随 增大而增大， 最小值在 处取得，为 ，与题意不符，舍去． ② 当 时，顶点在区间内，最小值是 ． 由 得 ，所以 或 ，结合 取 ． ③ 当 时，区间在对称轴左侧， 随 增大而减小，最小值在 处取得，为 ． 由 得 ，与 矛盾，舍去． 综上，．所以选 A． 【解题提示】二次函数在给定区间上求最值，对称轴与区间的位置关系是分类标准，分「对称轴在区间左外侧」「在区间内」「在区间右外侧」三种情况。注意每种情况求出的参数值都要回到该情况的条件里检验，不满足就舍去，这正是本题排除 和 的原因。 7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是 ，则每个支干长出的小分支数目是（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 设每个支干长出 个小分支． 主干有 1 个，支干有 个，小分支有 个， 由题意得 ，整理得 ． 因式分解得 ，所以 或 ． 数目不能为负数，故 ．所以选 B． 【解题提示】「枝干分裂」「一人传染」这类问题的统一规律是：若每个个体产生 个新个体，则两轮之后的总数为 （含最初的 1 个）。列方程前先把三部分的数量分别用含 的式子表示清楚，再相加。 8．在平面直角坐标系中，点 绕点 按顺时针方向旋转 后得到点 C，则点 C 的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 绕任意点旋转时，都可以先化成绕原点旋转，再平移到该点． 先求出点 B 相对于点 A 的位置：． 绕原点顺时针旋转 时，，所以 ． 再把点平移回去：．所以选 A． 【解题提示】绕非原点旋转的通用解法：① 用「终点坐标减旋转中心坐标」求出向量；② 按旋转方向和角度变换这个向量；③ 再加回旋转中心的坐标。这样就不必去记绕任意点旋转的坐标公式。 9．已知抛物线 （）经过点 和 ，且 ，则下列说法正确的是（　　） A． B．当 时， 取得最大值 C． D．当 时， 【答案】 B 【解析】 抛物线与 轴有两个交点 、，所以对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，，A 错误； 两个交点的横坐标是 与 ，故对称轴为直线 ； 又 ，抛物线开口向下，顶点是最高点，所以当 时 取得最大值，B 正确； 由交点式可设 ，令 得 ，因为 ，所以 ，C 错误； 开口向下时，在较大交点 的右侧图像落在 轴下方，即当 时 ，D 错误． 所以选 B． 【解题提示】看到「抛物线与 轴交于两点」要立刻想到三件事：① 判别式 ；② 对称轴是两交点横坐标的算术平均；③ 可用交点式 求字母系数。判断 的符号时，结合开口方向与图像与 轴的位置关系即可。 10．若关于 的一元二次方程 的两个实数根都是正整数，则整数 的值有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】 A 【解析】 设有两个实数根 、，由根与系数的关系得 ，． 又方程有两个实数根需要 ，即 ． 因为 、 都是正整数且和为 ，所以只有两种可能： ① ，，此时 ；② ，此时 ． 两个 值都满足 且为整数， 所以整数 的值有 和 ，共 个．所以选 A． 【解题提示】「两根都是正整数」这类问题要用穷举：由两根之和不大的特点，把所有可能的正整数组合一一列出，再算出对应的 ，最后用判别式 检验。只考虑 会得到无穷多个 ，只考虑两根之和会漏掉判别式的限制，两者缺一不可。 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．方程 的解是　______　． 【答案】 ， 【解析】 移项得 ， 提公因式得 ． 所以 或 ，即 ，． 【解题提示】方程两边都含有因式 ，最容易犯的错误是「两边同除以 」，这样会丢掉 这个根。正确做法是先移项、再提公因式，切勿在未讨论因式是否为零时两边同除。 12．反比例函数 的图像上有一点 ，若二次函数 的图像也经过点 P，则 　______　． 【答案】 【解析】 因为点 在二次函数 的图像上， 所以把 ， 代入得 ， 即 ，解得 ． 【解题提示】「图像经过某点」就是把点的坐标代入解析式；若同一个点同时在两个函数的图像上，则它同时满足两个解析式，这常常是从反比例函数求出点的坐标、再代入另一个函数的桥梁。 13．若 ，则 　______　． 【答案】 【解析】 设 ，则原方程化为 ． 因式分解得 ，所以 或 ． 因为 ，所以 不合题意，舍去， 故 ． 【解题提示】把 整体换元是解这类方程的关键，但换元后一定要检验： 是平方和，恒为非负数，所以负根必须舍去，这是本题唯一的分水岭。 14．在平面直角坐标系中，把点 绕点 旋转 得到点 B，则点 B 的坐标是　______　． 【答案】 【解析】 绕一点旋转 ，就是作关于该点的中心对称，该点是 A、B 两点连线的中点． 设 ，则 ，． 解得 ，，即 ． （也可由 直接得到．） 【解题提示】绕某点旋转 与「关于某点成中心对称」是一回事：旋转中心就是对应点连线的中点。用中点坐标公式反求端点比记公式更可靠。 15．一元二次方程 的两个根都是负数，则 的取值范围是　______　． 【答案】 【解析】 设两个根为 、，则 ，． 方程有两个根，需 ，即 ． 两根都是负数，则它们的和 自动满足，而它们的积 必须大于 （负数乘负数得正数）， 所以 ． 综上，． 【解题提示】「两根的符号」问题要用韦达定理加上判别式一起判断：两根同号 积大于 ；两根异号 积小于 ；两根同正 积大于 且和大于 ；两根同负 积大于 且和小于 。另外「都是负数」不含 ，等号一定要仔细处理。 16．若 是方程 的一个根，则 的值是　______　． 【答案】 【解析】 因为 是方程 的一个根， 所以把 代入得 ，即 ． 于是 ． 【解题提示】「某数是方程的根」就意味着这个数满足方程，把它代入后得到的等式可以用来整体代入求值（或把高次式降次）。本题不必解出 的具体值，只要把 整体算出来即可。 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（5 分）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】 （1），；（2），， 【解析】 （1）因式分解得 ， 所以 或 ，即 ，． （2）设 ，则原方程化为 ． 因式分解得 ，所以 或 ． 当 时，，即 ， 由求根公式得 ； 当 时，，即 ，因式分解得 ，所以 ． 所以原方程的解为 ，，． 【解题提示】当方程中出现重复的「整体」（如本题的 ）时，把它设为 换成关于 的一元二次方程，解出 后再回代解关于 的方程。注意换元后要得到全部解： 有两个值，回代后会得到三个 ，一个都不能漏。 18．（6 分）已知关于 的方程 （ 为常数）． （1）求证：无论 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两根之积为 ，求 的值； （3）设 、 是该方程的两个根，求 （用含 的式子表示）． 【答案】 （1）证明见解析；（2） 或 ；（3） 【解析】 （1）因为 ，，， 所以 ． 所以无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）由根与系数的关系得 ． 由 得 ，因式分解得 ， 所以 或 ． （3）由根与系数的关系得 ，． 所以 ． 【解题提示】证明「判别式恒成立」的题，要把 化简成与字母无关的常数（本题化简后恰为 ）或配成完全平方加正常数的形式。第（3）问是韦达定理的标准变形：，一定要先把和与积用含 的式子写出来，再整体代入。 19．（6 分）已知二次函数 ． （1）求它的图像的顶点坐标和对称轴； （2）求它的图像与 轴、 轴的交点坐标； （3）设（2）中图像与 轴的交点为 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 轴的交点为 C．在抛物线上是否存在一点 P，使 △PAB 的面积等于 △ABC 面积的 倍？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；（2）与 轴交于 、，与 轴交于 ；（3）存在，， 【解析】 （1）配方：， 所以顶点坐标为 ，对称轴为直线 ． （2）令 ，得 ，因式分解得 ， 所以 或 ，与 轴交于 和 ； 令 ，得 ，与 轴交于 ． （3）由（2）得 ，，，所以 ． ． 设点 P 的坐标为 ，因为 P 在抛物线上，所以 ． ． 由 得 ，所以 或 ． 当 时，，即 ， ，解得 ，此时 ，； 当 时，，即 ， ，方程无实数根，此时不存在这样的点 P． 所以存在两个满足条件的点：，． 【解题提示】「抛物线上是否存在点使三角形面积满足条件」的解题框架：① 用两个已知点求出定三角形的面积；② 把动点纵坐标的绝对值作为高，列出方程 ；③ 解出 后按正负两种情况回代抛物线解析式，用判别式判断每种情况是否有解。只算 这一种情况、漏掉 ，是本题最典型的失分点。 20．（6 分）如图，点 A、B 是反比例函数 （）图像上的两点，AC⊥x 轴于点 C，BD⊥x 轴于点 D．已知点 A 的坐标是 ，点 B 的横坐标是 ． （1）求 的值和点 B 的坐标； （2）求四边形 ACDB 的面积． 【答案】 （1），；（2）四边形 ACDB 的面积为 【解析】 （1）因为点 在反比例函数 的图像上， 所以 ，即 ． 因为点 B 也在该图像上，且横坐标为 ， 所以 ，即 ． （2）由 AC⊥x 轴于 C、BD⊥x 轴于 D 可知，，， 且 ，四边形 ACDB 是直角梯形． 因为 ，，， 所以 ． 【解题提示】反比例函数图像上两点分别向 轴作垂线，所得四边形一定是直角梯形（两条垂线互相平行）。求面积时先由函数解析式求出两点的纵坐标（也就是两条垂线的长），再用梯形面积公式。注意本题没有直接用 的结论，因为所求的不是某个直角三角形，而是一个梯形。 21．（7 分）如图，把 △ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转一定角度得到 △ADE，点 B 的对应点是点 D，点 C 的对应点是点 E，点 D 恰好落在 BC 边上．已知 ，，． （1）求证 ； （2）求旋转角的度数； （3）求线段 DE 的长． 【答案】 （1）证明见解析；（2）旋转角为 ；（3） 【解析】 （1）因为 △ADE 是 △ABC 绕点 A 旋转得到的， 点 B 旋转后与点 D 重合，所以线段 AB 旋转后成为线段 AD， 由旋转的性质得 ． （2）由（1）知 ，所以 △ABD 是等腰三角形，． 又点 D 在 BC 边上，所以 ，从而 ． 在 △ABD 中，． 而 正是点 B 与它的对应点 D 分别与旋转中心 A 连线的夹角，所以旋转角为 ． （3）线段 BC 旋转后成为线段 DE，由旋转的性质得 ． 在 中，，，所以 ， 于是 ，所以 ． 【解题提示】「旋转后对应点恰好落在原三角形的边上」是旋转类题目的高频模型，解题时抓住两条：① 旋转不改变线段长度，所以对应线段相等（如 ）；② 对应点与旋转中心连线的夹角就是旋转角（如 ）。由 得到 △ABD 是等腰三角形，再由 求出它的顶角，是打通整道题的关键一步。 22．（7 分）如图，某隧道口的截面是抛物线形，隧道宽 米，最高点 C 到地面 AB 的距离是 米．以 AB 所在直线为 轴、AB 的中点为原点建立平面直角坐标系． （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）一辆宽 米、高 米的货车能否通过这条隧道？请说明理由； （3）若在隧道内壁距地面 米高处悬挂一排灯带，灯带的最大长度是多少米？ 【答案】 （1）；（2）能通过，理由见解析；（3）灯带的最大长度是 米 【解析】 （1）由题意知 ，，抛物线的顶点为 ． 设解析式为 ． 把 代入得 ，所以 ． 所以这条抛物线的解析式为 （）． （2）货车宽 米且沿隧道中间行驶时，车身所在位置对应 的范围是 ． 当 （或 ）时，（米）． 因为 ，即隧道在货车两侧边缘处的高度大于货车高度， 所以这辆货车能通过这条隧道． （3）灯带距地面 米，即灯带所在直线的函数值为 ． 令 ，得 ，所以 或 ． 所以灯带两端的横坐标分别为 和 ， 灯带的最大长度为 （米）． 答：灯带的最大长度是 米． 【解题提示】抛物线形实际问题的三步法：① 根据题意建立平面直角坐标系，写出关键点的坐标；② 用待定系数法（顶点式或交点式）求出解析式，并注明自变量的取值范围；③ 把实际问题翻译成「求函数值」或「解方程」。「货车能否通过」要比较的是货车两侧边缘处的隧道高度，不是隧道中心的最高点；「灯带长度」是同一高度上抛物线上两点的水平距离。 23．（7 分）某市 2024 年投入绿化资金 万元，2026 年投入绿化资金 万元．若 2025 年、2026 年投入资金的年增长率相同． （1）求这两年投入资金的年平均增长率； （2）若年平均增长率保持不变，预计 2027 年投入绿化资金多少万元？ 【答案】 （1）年平均增长率为 ；（2）预计投入 万元 【解析】 （1）设这两年投入资金的年平均增长率为 ． 2025 年投入的资金为 万元，2026 年投入的资金为 万元． 由题意得 ． 两边同除以 得 ， 所以 或 ，解得 或 ． 增长率不能是负数（也不可能小于 ），故取 ． 答：这两年投入资金的年平均增长率为 ． （2）要保持 的增长率，2027 年的投入资金为 （万元）． 答：预计 2027 年投入绿化资金 万元． 【解题提示】连续两年（两轮）变化的通式是 ：其中 是起始量， 是两年后的量， 是平均变化率。要注意「2024 年到 2026 年」中间经过了 2 次变化，所以指数是 2 而不是 3。求出两个根后必须结合实际意义取舍：增长率不能为负到使资金变成负数的程度。 24．（8 分）在 △ABC 中，，，点 D、E 都在 BC 边上，且 （点 D 在 B、E 之间）． （1）将 △ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转 得到 △ACF，点 D 的对应点是点 F，连接 EF．求证 △ADE ≌ △AFE； （2）在（1）的条件下，求证 ． 【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 （1）由旋转的性质得 ，． 因为 ，而 ， 所以 ． 在 △ADE 和 △AFE 中：，，， 所以 △ADE ≌ △AFE（SAS）． （2）由（1）得 △ADE ≌ △AFE，所以 ． 由旋转得 ，且 ． 因为 ，，所以 △ABC 是等腰直角三角形，． 又点 D、E 在 BC 边上，所以 ， 于是 ． 所以 ， 即 △FCE 是直角三角形，由勾股定理得 ． 把 ， 代入，得 ． 【解题提示】这是经典的「半角模型」：当 恰好等于顶角的一半（）时，把其中一个三角形绕顶点旋转，使两条边重合，就把分散的 、、 关系转化为一个直角三角形中的勾股关系。证明的关键有两步：① 由旋转得到 ；② 用 减去 得到 ，从而 SAS 得全等。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章～第28章 期中复习【高分冲刺卷】2026~2027学年人教版九年级上册数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 且 2．若一元二次方程 的两根为 、，则 的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，二次函数 的图像与 轴交于点 A(-1,0)、B(3,0)，与 轴交于点 C(0,3)．给出下列结论： ① ；② ；③ ；④ ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 4．若反比例函数 的图像与一次函数 的图像有两个不同的交点，则 的取值范围是（　　） A． B． 且 C． D． 5．如图，在 △ABC 中，∠ACB=，∠BAC=．将 △ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 ，得到 △DEC（点 A、B 的对应点分别是 D、E），连接 AD．则 ∠ADE 的度数是（　　） A． B． C． D． 6．已知二次函数 （ 为常数），当 时， 的最小值是 ，则 的值是（　　） A． B． C． 或 D． 7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是 ，则每个支干长出的小分支数目是（　　） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，点 绕点 按顺时针方向旋转 后得到点 C，则点 C 的坐标是（　　） A． B． C． D． 9．已知抛物线 （）经过点 和 ，且 ，则下列说法正确的是（　　） A． B．当 时， 取得最大值 C． D．当 时， 10．若关于 的一元二次方程 的两个实数根都是正整数，则整数 的值有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．方程 的解是　______　． 12．反比例函数 的图像上有一点 ，若二次函数 的图像也经过点 P，则 　______　． 13．若 ，则 　______　． 14．在平面直角坐标系中，把点 绕点 旋转 得到点 B，则点 B 的坐标是　______　． 15．一元二次方程 的两个根都是负数，则 的取值范围是　______　． 16．若 是方程 的一个根，则 的值是　______　． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（5 分）解下列方程： （1）； （2）． 18．（6 分）已知关于 的方程 （ 为常数）． （1）求证：无论 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两根之积为 ，求 的值； （3）设 、 是该方程的两个根，求 （用含 的式子表示）． 19．（6 分）已知二次函数 ． （1）求它的图像的顶点坐标和对称轴； （2）求它的图像与 轴、 轴的交点坐标； （3）设（2）中图像与 轴的交点为 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 轴的交点为 C．在抛物线上是否存在一点 P，使 △PAB 的面积等于 △ABC 面积的 倍？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（6 分）如图，点 A、B 是反比例函数 （）图像上的两点，AC⊥x 轴于点 C，BD⊥x 轴于点 D．已知点 A 的坐标是 ，点 B 的横坐标是 ． （1）求 的值和点 B 的坐标； （2）求四边形 ACDB 的面积． 21．（7 分）如图，把 △ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转一定角度得到 △ADE，点 B 的对应点是点 D，点 C 的对应点是点 E，点 D 恰好落在 BC 边上．已知 ，，． （1）求证 ； （2）求旋转角的度数； （3）求线段 DE 的长． 22．（7 分）如图，某隧道口的截面是抛物线形，隧道宽 米，最高点 C 到地面 AB 的距离是 米．以 AB 所在直线为 轴、AB 的中点为原点建立平面直角坐标系． （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）一辆宽 米、高 米的货车能否通过这条隧道？请说明理由； （3）若在隧道内壁距地面 米高处悬挂一排灯带，灯带的最大长度是多少米？ 23．（7 分）某市 2024 年投入绿化资金 万元，2026 年投入绿化资金 万元．若 2025 年、2026 年投入资金的年增长率相同． （1）求这两年投入资金的年平均增长率； （2）若年平均增长率保持不变，预计 2027 年投入绿化资金多少万元？ 24．（8 分）在 △ABC 中，，，点 D、E 都在 BC 边上，且 （点 D 在 B、E 之间）． （1）将 △ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转 得到 △ACF，点 D 的对应点是点 F，连接 EF．求证 △ADE ≌ △AFE； （2）在（1）的条件下，求证 ． 学科网（北京）股份有限公司 $