七年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷（新教材沪教版五四制，举一反三，测试范围：第10章 整式的加减～第12章 因式分解）

七年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷 【新教材沪教版五四制】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用积的乘方逆运算简化计算，先将小数化为分数，拆分高次幂后逐步计算即可 【详解】解： ． 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）若，那么a，b，c应为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将等式右边展开整理，根据多项式相等时对应项系数相等，列方程求解a，b，c的值. 【详解】展开整理等式右边得：， ∵等式对应项系数相等 ， ∴，，， 将代入，得，解得， 将，代入，得，解得， 即． 3．（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为（     ） A．8 B． C． D．24 【答案】B 【分析】若多项式含有因式，则当时，该多项式的值为，代入即可求出的值. 【详解】解：∵ 二次三项式有一个因式为 ， ∴ 当时，， 将代入等式得： ， 化简计算得：， 解得：. 4．（25-26七年级下·河北沧州·期末）贝贝在学习完全平方公式时，发现是一个完全平方式，则m的值是（     ） A．5或 B．2或 C．5或 D．2或 【答案】C 【分析】根据完全平方式的结构，得到一次项系数满足的关系，列方程求解即可． 【详解】∵是完全平方式，符合的结构，其中，，即， ∴， 分两种情况计算： 当时，解得， 当时，解得， ∴m的值为5或． 5．（25-26七年级下·浙江湖州·期末）如图1，现有2个边长为的正方形，一个长为、宽为的长方形，将它们按图2放置在一个长为、宽为的长方形中，其中①②③④四块阴影部分的面积分别为，，，，若满足，则与满足的关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，根据，得，据此求解即可． 【详解】解：∵长为、宽为的长方形的面积为， 2个边长为的正方形的面积分别为， 一个长为、宽为的长方形的面积为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即． 6．（24-25九年级下·重庆·阶段检测）已知两个实数，，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作．再从、、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从、、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去．以下结论正确的个数为（   ） ①若，，为方程的两根，则； ②若，则； ③对于整数，，若为奇数，在操作过程中，得到的一定为奇数； ④若，，要使得成立，则至少为4． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，求出即可判断①；设，则，从而可得，解方程即可判断②；不防设为奇数，为偶数，则为奇数，每次进行计算，若选择两个奇数，则计算过程为偶数偶数，结果为奇数；若选择一个奇数，一个偶数，则计算过程为奇数偶数，结果为奇数，即可判断③；根据题意计算出即可判断④． 【详解】解：∵，，为方程的两根， ∴，， ∴，故①正确； ∵， ∴设，则， ∵， ∴， 解得：或， ∴或，故②错误； ∵对于整数，，若为奇数， ∴不防设为奇数，为偶数， ∴为奇数， 每次进行计算，若选择两个奇数，则计算过程为偶数偶数，结果为奇数；若选择一个奇数，一个偶数，则计算过程为奇数偶数，结果为奇数，故在操作过程中，得到的一定为奇数，故③正确； ∵，， ∴， 选和，则， 选和，则， 选和，则， 此时， 故要使得成立，则至少为4，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共个 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程、整式的混合运算、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（2025七年级上·全国·专题练习）已知是关于的六次单项式，则的值为________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式次数的定义，正确根据单项式次数的定义求出的值是解题的关键． 先根据单项式次数的定义得到的值，再把值代入所求式子中求解即可． 【详解】解：是关于，y的六次单项式， ， ， ， 故答案为：． 8．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知，，n为正整数，则________． 【答案】25 【分析】根据幂的乘方、积的乘方逆运用将所求代数式化为，再代入求值即可； 【详解】解：∵，，是偶数， ∴ ． 9．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）已知单项式M，N满足，则_______． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则，展开等式左边后，分情况比较等式两边对应项，再将两个单项式相乘从而求解． 【详解】解：， ∵M，N为单项式， ∴，， ∴． 10．（25-26八年级下·四川成都·期末）若，且，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】先对已知等式移项变形，再利用公式法和提取公因式法因式分解，结合的条件即可求出的值． 【详解】解：， 移项，得 ， 由平方差公式分解，得 ， 提取公因式，得 ， ， ， ，即． 11．（24-25八年级下·福建宁德·期末）如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是______． 【答案】84 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式，根据大长方形的周长和面积，得出，，再将代数式变形为，即可求解． 【详解】解：大长方形的周长为12，面积为7 ，， ，， ， 故答案为：． 12．（25-26七年级下·河北承德·期末）观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为________． 【答案】 【分析】先根据已知等式总结规律，将原方程化简得到，然后求解，再代入求值即可． 【详解】解：观察已知等式，可得规律：， 对于， 根据规律得， 即， 解得或， 当时，； 当时，， 因此代数式的值为． 13．（25-26七年级下·北京·期末）已知，则__________． 【答案】 1234320 【分析】利用换元后将所求代数式变形，再通过平方差公式转化为已知条件计算． 【详解】解：令， 由题意得，， ∴所求式子变形为． 14．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）已知，，则与的大小关系是______． 【答案】 【分析】利用作差法比较两个多项式的大小，得到的代数式，即可得到． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵， ∴． 15．（2025·广东深圳·二模）若，，则_________. 【答案】4 【分析】根据幂的运算即可解答出． 【详解】根据幂的运算 =8÷2=4     故本题答案为4． 【点睛】本题考查了幂的运算，熟练的掌握幂的运算法则对题干进行适当变形是解决本题关键． 16．（25-26七年级下·四川成都·期中）若，则的值为_________________． 【答案】 【分析】首先对进行变形，转化为，然后代入后面的整式中，进行化简即可求解． 【详解】 ①． ①等式两边同乘得，代回原式． ． 故答案为． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，整体代入是解决本题的关键，本题也可以先对后面的整式进行化简变形，然后代入即可． 17．（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知实数x，y，z满足，那么实数x，y，z的乘积为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，完全平方公式，非负数的性质，熟练掌握利用非负数的性质求值是解题的关键．先将括号内的二次三项式配方，然后用整式乘法化简整理，再对整理后关于z的二次三项式配方，再根据非负数的性质分别求得x，y，z的值，即可进一步求解答案． 【详解】解：原方程可化为， ， ， ， ，，， ，， ， ，，， ． 故答案为：． 18．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）在小学的除法里，我们认识了“余数”的概念：比如，表示9减去余数1之后，就能被4整除．同样的，多项式中也有类似“余数”的概念：对于一个关于的多项式，如果它减去常数后，能因式分解，并且含有因式，我们就称该多项式除以的余数为．特别地，当余数时，我们称该多项式能被整除．根据上面的定义，下列说法正确的有：_________．（填写序号） ①多项式除以后的余数为4； ②多项式能被整除； ③若多项式能被整除，则； ④若多项式除以后的余数为1，除以后的余数为3，则． 【答案】①②③ 【详解】解：①∵， ∴多项式除以后的余数为4，故①正确； ②∵， ∴多项式能被整除，故②正确； ③若能被整除，则能因式分解，且含有因式， ∴当时，整个多项式为0， 即时，多项式的值为0， 则，故③正确； ④除以后的余数为1，说明含有因式， 令，多项式的值为0，则； 同理，含有因式， 令，多项式的值为0， 则， 解得，故④错误； 综上所述，说法正确的是①②③． 三、解答题（本大题共9小题，满分52分） 19．（5分）（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 【答案】 【详解】解： 因为的值不含a的一次项 所以 解得． 20．（5分）（25-26七年级下·陕西西安·期末）根据幂的运算，完成下列问题． (1)已知，，求． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用幂的乘方运算法则，进行计算即可； （2）根据幂的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵， ∴ ． 21．（5分）（25-26七年级下·河北邢台·期末）小明在计算“”时，发现前边有一处看不清楚． (1)若■处是“2”，且满足，请求出整式A的值． (2)若整式A中不含x的二次项，求■处的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简A，再求出的值，最后利用整体代入法求值即可； （2）设■处的值为a，则，根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简A，根据整式A中不含x的二次项得到含x的二次项的系数为0，据此求解a即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∵， ∴， ∴； （2）解：设■处的值为a， ∴ ， ∵整式A中不含x的二次项， ∴， ∴， ∴■处的值是4． 22．（5分）（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 23．（6分）（25-26七年级下·湖南永州·期末）如图1，长方形的两边长分别为，；如图2的长方形的两边长分别为，．（其中m为正整数） (1)计算两个长方形的面积的差，即的值； (2)现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等．试探究该正方形的面积与该长方形的面积的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由． (3)在（1）的条件下，若某个图形的面积介于，之间（不包括，）且面积为整数，这样的整数值有且只有19个，求m的值． 【答案】(1) (2)是， (3) 【分析】（1）表示出两面积，作差计算即可； （2）表示出两面积，作差计算即可； （3）m为正整数，则为整数，且，则之间不含端点的整数个数为：，已知这样的整数值有且只有19个，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴； （2）解：∵一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积， ∴， ∴该正方形的面积与长方形的面积的差是一个常数； （3）解：由（1）得，， ∵m为正整数， ∴为整数，且， 则之间不含端点的整数个数为：， ∴ ∴． 24．（6分）（25-26八年级上·重庆九龙坡·期中）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如，由图1可以得到： (1)由图2可以得到：_____ (2)利用图2所得的等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足，，求的值； ②若实数x，y，z满足，，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）本题考查了完全平方公式的几何背景，通过不同的方法计算图2中几何图形的面积，即通过大正方形面积等于六个小正方形面积之和建立等式，即可解题． （2）本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法和除法运算，以及因式分解的运用，先将用幂的形式表示出来，再结合（1）的方法即可求解． 【详解】（1）解：由图知，． （2）解：①由图2得， ∵，， ，， ∴． ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 又， ∴， ∴． 25．（6分）（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）观察下列各式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 第n个等式：______．（n为整数，且） 【尝试】 (1)根据以上规律，写出第4个等式：______； 【发现】 (2)根据这个规律写出你猜想的第n个等式，并说明其正确性； 【应用】 (3)利用以上规律，直接写出的值为______． (4)利用以上规律，求的值． 【答案】(1)； (2) 解：根据这个规律猜想第n个等式为； 证明：， ∴猜想正确； (3)4045； (4)9800 【分析】（1）根据规律即可求解； （2）根据规律可以得到第n个等式为，再根据整式的运算即可证明结论正确性； （3）根据（2）的结论即可得到； （4）逆用规律将原式变形为，再去括号进行计算得到，利用平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据以上规律，第4个等式为； 故答案为：； （2）略 （3）解：根据以上规律，； 故答案为：4045； （4）解： = ． 【点睛】本题考查了平方差公式，整式的规律性问题，整式的运算，运用平方差公式进行因式分解简化计算等知识，理解题意，找出规律是解题关键． 26．（6分）（25-26八年级下·广东佛山·期末）我国著名数学家华罗庚曾言：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”实则，数与形是刻画同一数理内涵的两种表征形式——代数算式是符号语言，几何图形是直观语言，二者互通互译，方能尽显数学本质． 【材料准备】 如图1所示，有①②③种不同型号的卡片若干，其中型号①、型号②分别是边长为和的正方形，型号③是长为，宽为的长方形． 【析形感数】 (1)现用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形，根据图示写出一个因式分解式子：_______________； 【析数构形】 (2)以上型号卡片（数量不限）能拼出面积为的长方形吗？说明理由． 【数形融通】 (3)已知1个型号①，个型号②和个型号③卡片能拼成一个大长方形．解决问题： ①当时，求满足条件的所有的值； ②求证：是一个整数的平方． 【答案】(1) (2)解：能拼出，理由如下： ∵， ∴用1张型号①，2张型号②和3张型号③卡片，可以拼成一个长，宽的大长方形． (3)①的值为，，； ②证明：∵1个型号①，个型号②和个型号③能拼成一个大长方形， ∴大长方形的面积为，且可以因式分解， 设（、为正整数）， ∴，， ∴ ， ∵、为正整数， ∴是整数， ∴是一个整数的平方． 【分析】（1）分别用两种式子表示出大正方形的面积，即可得出答案； （2）把因式分解，得出，即可得出答案； （3）①先根据所用卡片表示出大长方形的面积，设大长方形的长为，宽为，得出长方形面积，对照系数得出，根据、为正整数得出符合条件的、的值，即可求出的值； ②由所用卡片表示出大长方形的面积为，设，可得，，进而用、表示出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形， ∴大正方形的面积可表示为， 大正方形的面积还可表示为， ∴写出一个因式分解式子为． （2）解：略 （3）解：①∵1个型号①，个型号②和个型号③能拼成一个大长方形，， ∴大长方形的面积为， 设大长方形的宽为，长为，（、为正整数，）， ∴大长方形的面积为， ∴， ∴， ∵、为正整数， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴的值为，，． ②略 27．（8分）（25-26七年级下·江苏连云港·期中）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出，再利用完全平方公式的变形即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：， 是一个完全平方式， ； （2）解：∵， ∴， ∴， 合并同类项得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； ∵ ∵， ∴阴影部分的面积为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷 【新教材沪教版五四制】 时间：90分钟 满分：100分 测试范围：第10章 整式的加减~第12章 因式分解 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共27题，单选6题，填空12题，解答9题，满分100分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）若，那么a，b，c应为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为（     ） A．8 B． C． D．24 4．（25-26七年级下·河北沧州·期末）贝贝在学习完全平方公式时，发现是一个完全平方式，则m的值是（     ） A．5或 B．2或 C．5或 D．2或 5．（25-26七年级下·浙江湖州·期末）如图1，现有2个边长为的正方形，一个长为、宽为的长方形，将它们按图2放置在一个长为、宽为的长方形中，其中①②③④四块阴影部分的面积分别为，，，，若满足，则与满足的关系为（     ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·重庆·阶段检测）已知两个实数，，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作．再从、、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从、、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去．以下结论正确的个数为（   ） ①若，，为方程的两根，则； ②若，则； ③对于整数，，若为奇数，在操作过程中，得到的一定为奇数； ④若，，要使得成立，则至少为4． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（2025七年级上·全国·专题练习）已知是关于的六次单项式，则的值为________． 8．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知，，n为正整数，则________． 9．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）已知单项式M，N满足，则_______． 10．（25-26八年级下·四川成都·期末）若，且，则代数式的值为________． 11．（24-25八年级下·福建宁德·期末）如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是______． 12．（25-26七年级下·河北承德·期末）观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为________． 13．（25-26七年级下·北京·期末）已知，则__________． 14．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）已知，，则与的大小关系是______． 15．（2025·广东深圳·二模）若，，则_________. 16．（25-26七年级下·四川成都·期中）若，则的值为_________________． 17．（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知实数x，y，z满足，那么实数x，y，z的乘积为______． 18．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）在小学的除法里，我们认识了“余数”的概念：比如，表示9减去余数1之后，就能被4整除．同样的，多项式中也有类似“余数”的概念：对于一个关于的多项式，如果它减去常数后，能因式分解，并且含有因式，我们就称该多项式除以的余数为．特别地，当余数时，我们称该多项式能被整除．根据上面的定义，下列说法正确的有：_________．（填写序号） ①多项式除以后的余数为4； ②多项式能被整除； ③若多项式能被整除，则； ④若多项式除以后的余数为1，除以后的余数为3，则． 三、解答题（本大题共9小题，满分52分） 19．（5分）（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 20．（5分）（25-26七年级下·陕西西安·期末）根据幂的运算，完成下列问题． (1)已知，，求． (2)已知，求的值． 21．（5分）（25-26七年级下·河北邢台·期末）小明在计算“”时，发现前边有一处看不清楚． (1)若■处是“2”，且满足，请求出整式A的值． (2)若整式A中不含x的二次项，求■处的值． 22．（5分）（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）因式分解： (1)； (2)． 23．（6分）（25-26七年级下·湖南永州·期末）如图1，长方形的两边长分别为，；如图2的长方形的两边长分别为，．（其中m为正整数） (1)计算两个长方形的面积的差，即的值； (2)现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等．试探究该正方形的面积与该长方形的面积的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由． (3)在（1）的条件下，若某个图形的面积介于，之间（不包括，）且面积为整数，这样的整数值有且只有19个，求m的值． 24．（6分）（25-26八年级上·重庆九龙坡·期中）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如，由图1可以得到： (1)由图2可以得到：_____ (2)利用图2所得的等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足，，求的值； ②若实数x，y，z满足，，求的值． 25．（6分）（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）观察下列各式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 第n个等式：______．（n为整数，且） 【尝试】 (1)根据以上规律，写出第4个等式：______； 【发现】 (2)根据这个规律写出你猜想的第n个等式，并说明其正确性； 【应用】 (3)利用以上规律，直接写出的值为______． (4)利用以上规律，求的值． 26．（6分）（25-26八年级下·广东佛山·期末）我国著名数学家华罗庚曾言：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”实则，数与形是刻画同一数理内涵的两种表征形式——代数算式是符号语言，几何图形是直观语言，二者互通互译，方能尽显数学本质． 【材料准备】 如图1所示，有①②③种不同型号的卡片若干，其中型号①、型号②分别是边长为和的正方形，型号③是长为，宽为的长方形． 【析形感数】 (1)现用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形，根据图示写出一个因式分解式子：_______________； 【析数构形】 (2)以上型号卡片（数量不限）能拼出面积为的长方形吗？说明理由． 【数形融通】 (3)已知1个型号①，个型号②和个型号③卡片能拼成一个大长方形．解决问题： ①当时，求满足条件的所有的值； ②求证：是一个整数的平方． 27．（8分）（25-26七年级下·江苏连云港·期中）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $