第12章 因式分解 期中专题复习二 2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第12章 因式分解 专题一：因式分解的意义 一．选择题 1.（2025年闵行区七上期中）下列从左到右的等式变形中，因式分解是（ ） A. B. C. D. 2.（2025年虹口区七上期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3.（2025年松江区七上期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4.（2025年徐汇区七上期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5.（2025年上海复旦二附中七上期中）下列各式从左到右的变形为因式分解的是( ) A. B. C. D. 6.（2025年上海华东理工附中七上期中）下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 专题二：因式分解的方法 考点1：提取公因式法 一．填空题 1.（2025年虹口区七上期中）分解因式：____． 2.（2025年徐汇区七上期中）分解因式：______． 3.（2025年闵行区七上期中） 因式分解：_______． 二．解答题 1.（2025年虹口区七上期中）因式分解：． 2.（2025年上海交大附中七上期中）因式分解： 考点2：公式法 一．选择题 1.（2025年上海曹杨二中附中七上期中） 下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. （2025年闵行区七上期中）若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（ ） A. B. C. D. 3.（2025年松江区七上期中）下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题 1.（2025年上海交大附中七上期中）分解因式：_____________． 2.（2025年上海华东理工附中七上期中）分解因式：________ ． 3.（2025年上海复旦二附中七上期中）因式分解：________ 三．解答题 1.（2025年上海华东理工附中七上期中）分解因式： 2.（2025年上海建平中学七上期中）因式分解： 3.（2025年上海交大附中七上期中）因式分解： 4.（2025年上海华东理工附中七上期中）分解因式：； 5.（2025年上海曹杨二中附中七上期中） 因式分解：． 6.（2025年上海曹杨二中附中七上期中）因式分解：． 7.（2025年徐汇区七上期中） 因式分解：． 8.（2025年徐汇区七上期中）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式，请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： （1）； （2） 考点3：十字相乘法 一．填空题 1.（2025年徐汇区七上期中） 因式分解：__________________． 2.（2025年上海建平中学七上期中） 因式分解：_______． 3.（2025年上海曹杨二中附中七上期中） 分解因式：______． 4.（2025年上海曹杨二中附中七上期中） 在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 5.（2025年上海建平中学七上期中） 若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为_______． 2． 解答题 1.（2025年闵行区七上期中） 因式分解：． 2.（2025年徐汇区七上期中） 分解因式： 3.（2025年上海交大附中七上期中） 因式分解： 4.（2025年上海建平中学七上期中） 因式分解： 5.（2025年上海复旦二附中七上期中） 因式分解： 考点4：其他方法 一．选择题 1.（2025年上海建平中学七上期中） 对于任何正整数，多项式的值都能（ ） A. 都能被整除 B. 都能被整除 C. 都能被整除 D. 都能被8整除 2.（2025年上海复旦二附中七上期中） 已知，，如果，则M、N的值的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 3.（2025年上海建平中学七上期中） 数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（ ） A. 124824 B. 241248 C. 122448 D. 482124 二．填空题 1.（2025年闵行区七上期中） 两名学生将一个二次三项式因式分解，一名学生看错了一次项系数，因式分解的结果为；另一名学生看错了常数项，因式分解的结果为，那么这个二次三项式正确的因式分解结果是_______． 2.（2025年松江区七上期中）已知一个长方形公园的面积为，若长方形公园的长为，则宽为__________． 3.（2025年上海复旦二附中七上期中）因式分解：________ 4.（2025年松江区七上期中） 若为任意整数，则的值总能被________整除． 5.（2025年松江区七上期中） 已知多项式因式分解后有一个因式为，则的值为______． 6.（2025年松江区七上期中） 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是__________． 7.（2025年上海华东理工附中七上期中） 如果正整数，，满足，这样的正整数对共有______个 三．解答题 1.（2025年上海建平中学七上期中） 因式分解： 2.（2025年松江区七上期中）分解因式： （1） （2） （3） 3.（2025年上海复旦二附中七上期中） 运用添项法分解因式：． 4.（2025年闵行区七上期中） 乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式 第一步 第二步 ． 第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． （1）乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； （2）请你按照上述方法分解因式：． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 因式分解 专题一：因式分解的意义 一．选择题 1.（2025年闵行区七上期中）下列从左到右的等式变形中，因式分解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题主要考查的是因式分解的定义，利用因式分解的定义进行判定是解题的关键，需要注意的是等式变形需要符合恒等变形．利用因式分解的定义：将多项式转化为整式乘积的形式，进行判定即可． 【详解】解：A．，并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意； B．，是多项式乘以多项式，并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意； C．，符合因式分解的定义，符合题意； D．，并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意． 故选：C． 2.（2025年虹口区七上期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，根据定义逐一判定即可得答案，理解因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、等式从左到右为整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 、等式左边是单项式，从左到右为单项式变形，不是因式分解，该选项不合题意； 、等式右边是多项式，从左到右属于整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 、等式从左到右是因式分解，该选项符合题意； 故选：． 3.（2025年松江区七上期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的定义， 根据定义逐项判断即可，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式． 【详解】解：因为是单项式，所以A不符合题意； 因为右边不是整式，所以B不符合题意； 因为左边是多项式，右边是整式的积，且成立，所以C符合题意； 因为右边，等式不成立，所以D不符合题意． 故选：C． 4.（2025年徐汇区七上期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，根据定义逐一判定即可得答案，理解因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、等式从左到右为整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 、等式左边是单项式，从左到右为单项式变形，不是因式分解，该选项不合题意； 、等式右边是多项式，从左到右属于整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 、等式从左到右是因式分解，该选项符合题意； 故选：． 5.（2025年上海复旦二附中七上期中）下列各式从左到右的变形为因式分解的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法因式分解即可． 根据提取公因式法和公式法逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. 属于整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； D. ，结果不是积的形式，故该选项不符合题意． 故选B． 6.（2025年上海华东理工附中七上期中）下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法运算，故选项A不符合题意； B、结果不是整式乘积的形式，故选项B不符合题意； C、，是因式分解，故选项C符合题意； D、结果不是整式的乘积形式，故选项D不符合题意． 故选：C． 专题二：因式分解的方法 考点1：提取公因式法 一．填空题 1.（2025年虹口区七上期中）分解因式：____． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2.（2025年徐汇区七上期中）分解因式：______． 【答案】 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接提取公因式，进而分解因式得出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 3.（2025年闵行区七上期中） 因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，观察表达式，先提取公因式，再利用十字相乘法进行分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 二．解答题 1.（2025年虹口区七上期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 2.（2025年上海交大附中七上期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 先凑出公因式，然后再提取公因式即可解答． 【详解】解： ． 考点2：公式法 一．选择题 1.（2025年上海曹杨二中附中七上期中） 下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解，根据完全平方公式，逐项检查各选项是否符合该形式． 【详解】解：对于A：能用平方差公式分解因式，不能用完全平方公式分解，故不符合题意； 对于B：，不能用完全平方公式分解因式，故不符合题意； 对于C：，能用完全平方公式分解，故符合题意； 对于D：，常数项应为，不能用完全平方公式分解因式，故不符合题意， 故选：C． 2. （2025年闵行区七上期中）若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查完全平方式分解因式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中间，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，无法用完全平方公式进行因式分解，符合题意； 故选D． 3.（2025年松江区七上期中）下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式因式分解，完全平方公式的形式为，通过检查各选项是否符合此形式即可判断． 【详解】解：选项A：∵，∴符合完全平方公式，可分解为； 选项B：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项C：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项D：∵在多项式中，首项为，末项为，而其两倍积为，不等于中间项，∴不符合完全平方公式，不可用完全平方公式分解． 故选：D． 二．填空题 1.（2025年上海交大附中七上期中）分解因式：_____________． 【答案】 【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 2.（2025年上海华东理工附中七上期中）分解因式：________ ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 综合利用公式法分解因式即可． 【详解】 ． 故答案为：． 3.（2025年上海复旦二附中七上期中）因式分解：________ 【答案】 【分析】本题考查因式分解，该表达式为二项式，通过观察可发现其符合平方差公式的形式，因此应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 三．解答题 1.（2025年上海华东理工附中七上期中）分解因式： 【答案】 【分析】先提公因式x，再把剩下的因式x2-1用平方差公式继续分解. 【详解】 = = 2.（2025年上海建平中学七上期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先由完全平方公式把前三项因式分解，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 3.（2025年上海交大附中七上期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解、整式的混合运算等知识点，掌握运用平方差公式进行因式分解是解题的关键． 先根据整式的混合运算法则化简，然后再运用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 4.（2025年上海华东理工附中七上期中）分解因式：； 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 先利用十字相乘法分解因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 5.（2025年上海曹杨二中附中七上期中） 因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先变形，再提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 6.（2025年上海曹杨二中附中七上期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 7.（2025年徐汇区七上期中） 因式分解：． 【答案】 【分析】先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 8.（2025年徐汇区七上期中）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式，请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）仿照题意得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）仿照题意得到，最后利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 考点3：十字相乘法 一．填空题 1.（2025年徐汇区七上期中） 因式分解：__________________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2.（2025年上海建平中学七上期中） 因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法对二次三项式进行因式分解；通过寻找两个数，其乘积为二次项系数与常数项的乘积，且和为一次项系数，从而分解因式. 【详解】解： 原式 故答案为：. 3.（2025年上海曹杨二中附中七上期中） 分解因式：______． 【答案】 【详解】解：原式= 故答案为． 4.（2025年上海曹杨二中附中七上期中） 在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 【答案】 【分析】此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多项式乘多项式法则、因式分解的方法是解决此题的关键．甲同学看错一次项系数但常数项正确，故由甲的结果得；乙同学看错常数项但一次项系数正确，故由乙的结果得；因此原整式为，因式分解得结果． 【详解】解∶ ∵，甲看错一次项系数但常数项正确 ∴， ∵，乙看错常数项但一次项系数正确， ∴， ∴原整式为， ∵ ∴整式，即正确的因式分解结果是， 故答案为∶ ． 5.（2025年上海建平中学七上期中） 若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为_______． 【答案】9或12或21 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得或或，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴或 或 ， ∴的值可以是9或12或21， 故答案为：9或12或21． 二．解答题 1.（2025年闵行区七上期中） 因式分解：． 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知整体法与十字相乘法的应用． 把当做一个整体利用十字相乘法因式分解，再分解到不能分为止． 【详解】解： ． 2.（2025年徐汇区七上期中） 分解因式： 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，先把当成一个整体进行分解，再逐个括号进行分解即可． 【详解】 ． 3.（2025年上海交大附中七上期中） 因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法和十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 先提取公因式，然后再运用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： ． 4.（2025年上海建平中学七上期中） 因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先整体思想，利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 . 5.（2025年上海复旦二附中七上期中） 因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先将看作整体，利用十字相乘法分解，再利用十字相乘法继续分解即可． 【详解】解： ． 考点4：其他方法 一．选择题 1.（2025年上海建平中学七上期中） 对于任何正整数，多项式的值都能（ ） A. 都能被整除 B. 都能被整除 C. 都能被整除 D. 都能被8整除 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握解答的方法是关键； 通过平方差公式分解多项式，得到表达式含有因子8，因此对于任何正整数x，其值都能被8整除． 【详解】解：∵ ， ∴ 对于任何正整数x，该多项式的值都是8的倍数，因此都能被8整除 故选：D. 2.（2025年上海复旦二附中七上期中） 已知，，如果，则M、N的值的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，通过计算 M 与 N 的差值并因式分解，结合的条件判断符号，从而比较大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故选： C． 3.（2025年上海建平中学七上期中） 数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（ ） A. 124824 B. 241248 C. 122448 D. 482124 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键．先对多项式 进行因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到 ，代入 和 ，计算各因式的值，得到 12、24、48；密码由这三个数字按任意顺序拼接成六位数，列出所有可能组合，与选项对比即可判断． 【详解】解：∵ ， 且，， ∴ ， ， ， ∴ 因式值为 12、24、48， 可能密码有：122448、124824、241248、244812、481224、482412 选项A（124824）、B（241248）、C（122448）均符合， 选项D（482124）无法拆分为12、24、48的任意排列， ∴ 密码不可能为D． 故选：D． 二．填空题 1.（2025年闵行区七上期中） 两名学生将一个二次三项式因式分解，一名学生看错了一次项系数，因式分解的结果为；另一名学生看错了常数项，因式分解的结果为，那么这个二次三项式正确的因式分解结果是_______． 【答案】 【分析】该题考查了整式乘法和因式分解，根据第一个学生的分解结果，常数项正确，得出，根据第二个学生的分解结果，一次项系数正确，得出，从而得到正确的二次三项式，再因式分解． 【详解】解：设正确的二次三项式为． 由第一个学生因式分解的结果，由于看错了一次项系数，但常数项正确，故，． 由第二个学生因式分解的结果 ，由于看错了常数项，但一次项系数正确，故，． 因此正确的二次三项式为， 故． 故答案为：． 2.（2025年松江区七上期中）已知一个长方形公园的面积为，若长方形公园的长为，则宽为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用， 根据长方形面积公式，宽等于面积除以长，将给定表达式通过因式分解和约分进行化简． 【详解】解：长方形的面积为， 因为长方形的长为， 所以宽为：． 故答案为：． 3.（2025年上海复旦二附中七上期中）因式分解：________ 【答案】 【分析】本题考查分组分解法进行因式分解，通过重新分组并提取公因式后，再提取二次公因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4.（2025年松江区七上期中） 若为任意整数，则的值总能被________整除． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后找到能被整除的数或式即可得答案．正确因式分解，熟练掌握平方差公式是解题关键． 【详解】解： ． ∴的值总能被整除． 故答案为：． 5.（2025年松江区七上期中） 已知多项式因式分解后有一个因式为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，设多项式的一个因式为，则，再根据多项式乘多项式法则展开合并，即可作答． 【详解】解：设多项式的一个因式为， ∵多项式因式分解后有一个因式为， ∴ 则 ∴ 则 故答案为：． 6.（2025年松江区七上期中） 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是__________． 【答案】8104 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，根据定义，智慧优数可表示为，其中n为正整数，第2025个智慧优数为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即智慧优数为，， 所以，第2025个智慧优数为． 故答案为：8104． 7.（2025年上海华东理工附中七上期中） 如果正整数，，满足，这样的正整数对共有______个 【答案】2 【分析】本题主要考查了分解因式的应用，解二元一次方程组，利用平方差公式分解因式得到，根据题意可得是正整数，是正整数，再把64分解成两个正整数的乘积，进而建立关于x、y的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴是正整数， ∴是正整数， ∵， ∴或或或， 解得（舍去）或或或（舍去）， ∴这样的正整数对有和，共2个， 故答案为：2． 三．解答题 1.（2025年上海建平中学七上期中） 因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是掌握提公因式法进行求解； 利用分组分解法对进行因式分解，再提取公因式，即可得到答案. 【详解】解：原式 . 2.（2025年松江区七上期中）分解因式： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了因式分解， 对于（1），先分组，再根据提公因式法因式分解； 对于（2），先提公因式，再根据平方差公式分解； 对于（3），先根据完全平方公式分解，再根据平方差公式分解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解： ． 3.（2025年上海复旦二附中七上期中） 运用添项法分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，观察发现此多项式不能直接提取公因式和运用公式， 分组也不易进行，通过添项和拆项解决； 根据平方差公式和立方和公式，原式变形为，然后根据相关公式分解因式即可． 【详解】解： ． 4.（2025年闵行区七上期中） 乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式 第一步 第二步 ． 第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． （1）乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； （2）请你按照上述方法分解因式：． 【答案】（1）②，① （2） 【分析】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； 【小问1详解】 解：乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是平方差公式， 第二步到第三步因式分解运用的方法是提公因式法． 故答案为：②，①． 【小问2详解】 解： ． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $