第16讲 一元一次方程的解法（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版七年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第16讲 一元一次方程的解法 （新教材北师大版） 知识点一：解一元一次方程的一般步骤 2 知识点二：检验方程的解 2 【题型1 解一元一次方程---合并同类项与移项】 2 【题型2 解一元一次方程---去括号】 4 【题型3 解一元一次方程---去分母】 6 【题型4 已知一元一次方程的解，求参数】 7 【题型5 一元一次方程解的关系】 9 【题型6 绝对值方程】 12 【探究式学习】 14 【课后检测】 17 【复盘笔记】 31 知识点一：解一元一次方程的一般步骤 （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1. 【例】解方程 解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得：． 易错点1——去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号. 易错点2——去分母：漏乘不含分母的项 易错点3——移项忘记变符号． 知识点二：检验方程的解 将求出的未知数的值，分别代入原方程左右两边，若左边计算结果 = 右边计算结果，则该数值是方程的解；若两边数值不相等，则计算过程存在错误，需要重新解方程。 4个易错点: 易错点 1—— 去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号。 易错点 2—— 去分母：漏乘不含分母的常数项。 易错点 3—— 移项忘记变符号；不移项、仅在等式同侧交换位置的项不用变号。 易错点 4—— 系数化为 1：未知数系数为负数时，注意等号右边符号同步变化；分子分母颠倒出错。 【题型1 解一元一次方程---合并同类项与移项】 【例1】下列变形中，正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，去分母得 【答案】B 【分析】判断等式变形需注意除数非零及符号变化． 【详解】解：对选项A，  ， 移项得， 与不符，A错误； 对选项B， ∵ ， ∴ ，两边同乘得，B正确； 对选项C， ∵ 当时，与无意义， ∴ 变形不成立，C错误； 对选项D， ∵ ， 去分母得， 即， 与不符，D错误． 【变式1-1】下列方程变形中，正确的是（     ）． A．方程，系数化1，得； B．方程，移项，得； C．方程，去括号，得； D．方程，去分母，得 【答案】B 【详解】解：A选项，方程，系数化为1得，原变形错误； B选项，方程，移项得，原变形正确； C选项，方程，去括号得，原变形错误； D选项，方程，去分母得，原变形错误. 【变式1-2】若与能合并，则的值是（     ） A．2001 B．2025 C． D．2026 【答案】B 【分析】由单项式可合并判断其为同类项，列方程求出m、n的值后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵两个单项式能合并， ∴二者为同类项，相同字母的指数分别相等， ∴，， 解得，， ∴． 【变式1-3】若关于的不等式组的解集是，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据已知解集对应端点，建立关于的方程，求出的值后即可计算． 【详解】解：解不等式组， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的解集是， ∴，解得， ∴． 【题型2 解一元一次方程---去括号】 【例2】将方程去括号，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 去括号得：． 【变式2-1】下列变形正确的是（　　） A．由移项得 B．由1去分母得 C．由去括号得 D．由去括号、移项、合并同类项得 【答案】D 【分析】根据一元一次方程变形中的移项、去分母、去括号、合并同类项法则，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：由移项得， 故选项A错误，不符合题意； 选项B：由1去分母得， 故选项B错误，不符合题意； 选项C：由去括号得， 故选项C错误，不符合题意； 选项D： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 故选项D正确，符合题意． 【变式2-2】小明在解方程去括号时，忘记将括号中的第二项变号，求得方程的解为，那么方程正确的解为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目给出小明在解方程时犯了一个常见的符号错误：去括号时没有改变括号内第二项的符号．我们可以通过他错误的解反推出参数的值，然后将代入原方程，正确解出方程的解．关键在于理解错误操作下的方程形式，并据此建立等式求出． 【详解】解：因此他的错误方程为： ． 代入错误解， 解得： 代入原方程： 即： 解得： 【变式2-3】下列方程的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对选项A，∵，移项，得，与选项变形不符，∴A错误； 对选项B，∵，去括号，得，与选项变形不符，∴B错误； 对选项C，∵，等式两边同时除以，得，与选项变形不符，∴C错误； 对选项D，∵，等式两边同时乘去分母，得，变形正确，∴D正确． 【题型3 解一元一次方程---去分母】 【例3】已知方程的解比关于x的方程的解大5，则k的值为（  ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】先解出第一个方程的解，再根据两个方程解的关系得到第二个方程的解，代入第二个方程即可求出k的值． 【详解】解：先解方程， 去分母得 ， 展开得 ， 移项合并同类项得 ， 解得 ， ∵方程的解比方程的解大5， ∴方程的解为 ， 把代入得， 移项合并同类项得， 解得． 【变式3-1】方程 去分母后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为此方程的最简公分母是3，将方程两边同时乘3，去掉分母，对乘3后的式子进行整理，对比选项得到结果即可． 【详解】方程的分母为，将方程两边同时乘，得，对应选项B． 【点睛】去分母时要将方程两边的每一项都乘最简公分母，不能漏乘不含分母的项． 【变式3-2】把方程化为最简整数系数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将原方程中的系数化为整数：，， 故原方程可化为 【变式3-3】下面是从小明同学作业本中摘抄的内容，其中正确的是（　　） A．方程，移项得： B．方程，去分母得 C．方程，去括号得 D．方程，系数化为得 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的求解步骤，掌握解一元一次方程的解题方法是解题的关键． 根据移项、去分母、去括号、系数化为1的运算规则，逐个验证选项即可． 【详解】解：选项A：方程移项结果为，A错误； 选项B：方程去分母结果为，B错误； 选项C：方程去括号结果为，C正确； 选项D：方程，两边同时除以，系数化为得，D错误． 【题型4 已知一元一次方程的解，求参数】 【例4】已知为整数，关于的方程有负整数解，则满足条件的的值有(        ) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 【答案】B 【分析】先求解方程得到关于的表达式，再根据方程有负整数解，为整数，确定的可能取值，进而得到满足条件的的个数． 【详解】，方程有解 ，可得 方程的解为负整数，为整数 为整数，且， 是的负整数因数，的负整数因数只有和 当时，，符合要求 当时，，符合要求 满足条件的共有个． 【变式4-1】已知关于x的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数m的和是（   ） A．23 B． C． D．34 【答案】B 【分析】先解方程得到用含m的代数式表示的x，再根据x是非负整数确定所有符合条件的整数m，最后计算m的和即可． 【详解】解：原方程为 ∵方程两边同乘6去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： ∴ ∵ x是非负整数，m是整数，时等式不成立， ∴ x为正整数，因此为负整数，且是10的约数， ∴的可能取值为 对应m的值为 ∴ 所有整数m的和为 ． 【变式4-2】已知关于的方程的解为正整数，则能取的整数值的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先整理方程得到x关于k的表达式. 再根据x为正整数、k为整数，确定k的可能取值． 【详解】，解得， ∵为正整数，∴， ∴， 又∵为正整数，k为整数， ∴是4的正因数， ∴或或， ∴或或，共3个符合条件的整数值． 【变式4-3】小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 根据小明的错误去分母过程，将代入错误方程，求出参数的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 将代入上述方程得：， 解得， 则原方程为， 方程两边乘12得：， 即， 整理得， 移项、合并同类项得， 解得， 故选：B． 【题型5 一元一次方程解的关系】 【例5】当和为定值时，代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值：则关于的方程的解是（   ） 0 1 0 3 6 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程 转化为 ，然后从表格中找出当时对应的值即可． 【详解】解：∵ 方程 ， 两边乘以 2 得：， 移项得：， 从表格中，当 时，， ∴ 方程的解为 . 故选：D 【变式5-1】若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B．46 C．23 D． 【答案】D 【分析】本题利用换元思想，通过方程变形将两个形式相似的一元一次方程建立联系，结合已知方程的解求解未知方程的解，核心是抓住方程结构的一致性与解的对应关系． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为 将方程右边变形为，左边变形为 ∴原方程可转化为 两边同时加，得 对比关于的方程，可得 ∵ ∴ 故关于的一元一次方程的解为． 故选D． 【变式5-2】当x取不同值时对应的多项式的值如表所示，则关于x的方程的解是（   ） x 0 1 2 3 14 10 6 2 A．14 B．1 C．2 D．-2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解与代数式值的联系，解题的关键是将方程转化为代数式的值的问题求解． 先将方程变形为，再结合表格找出对应的值． 【详解】解：方程变形为， 由表格可知，当时，， 所以方程的解是． 故选：B． 【变式5-3】若关于x的方程的解与方程的解互为相反数，则a的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解以及相反数的定义，先分别求出两个方程的解，然后根据它们的解互为相反数，列出方程求解a即可． 【详解】解：解方程， 移项得， ∴； 解方程， 移项得， ∴， ∴； ∵两个解互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【题型6 绝对值方程】 【例6】的最小值为3，则a的值为（   ） A． B．2或 C．3或 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了解绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义求解，表示数轴上点x到1的距离，表示数轴上点x到的距离，两个距离之和的最小值为两点间的距离，据此列方程求解a的值． 【详解】∵表示数轴上点x到1的距离， 表示数轴上点x到的距离， ∴的最小值为数轴上1与两点间的距离，即， 又∵该式最小值为3， ∴， ∴或， 解得或． 故选：B． 【变式6-1】对任意两个有理数，定义如下运算：．若，则，的关系为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算、绝对值的性质和等式的性质，关键是根据新运算的定义将等式转化为绝对值方程，再利用“若，则或”的性质分情况讨论求解．首先根据给定的新运算规则，分别计算出和的表达式，得到关于、的等式；然后根据绝对值的性质分两种情况进行求解，最终得到与的关系． 【详解】解：，； ． 分两种情况： ①当时，移项得， ； ②当时，得； 综上，与的关系为或． 故选：D． 【变式6-2】下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若， 则一定是负数 【答案】D 【分析】本题等式的基本性质，绝对值的性质，解题的关键是根据等式的基本性质、绝对值的性质依次对各选项进行分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴，原说法正确，故此选项不符合题意； B．∵， ∴， ∴，原说法正确，故此选项不符合题意； C．∵， ∴， ∴，原说法正确，故此选项不符合题意； D．当时，，满足， 当时，， ∴若， 则是非正数，原说法错误，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式6-3】规定：，．例如：，．下列结论中，正确的有（    ） ①； ②若，则； ③若，则x的值为6或； ④式子的最小值是7． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，绝对值的几何意义，绝对值方程，熟练掌握新定义是解题的关键，根据新运算的法则逐一进行判断即可． 【详解】解：①；故①正确； ②，则， ∴， ∴；故②正确； ③当时，则，解得或；故③正确； ④，表示数轴上数到数3以及数的距离之和， ∴当在和3之间时，最小，为到3的距离，即；故④正确； 故选：A． 【探究式学习】 1．阅读下面的材料，完成有关问题． 材料： 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5和3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为． 应用： (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离是______，A到C的距离是______．（直接填最后结果）； (2)点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______．（用含绝对值的式子表示）； (3)拓展：利用数轴探究： ①满足的x的所有值是______； ②设，当时，m的值是不变的，而且这个不变的值是m的最小值，这个最小值是______； (4)试求的最小值． 【答案】(1)4，8 (2) (3)①5或；②4 (4)的最小值为1025156 【分析】（1）根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据两点间的距离公式列出代数式即可； （3）①分三种情况进行讨论求解，即可；②化简绝对值求出m的值即可，根据绝对值的意义，求最小值即可； （4）根据绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得A到B的距离是， A到C的距离是； （2）解：A到B的距离与A到C的距离之和可以表示为； （3）解：①∵， 当时，， ∴； 当时，； 当时，， ∴． 综上：或； ②， 当时，. （4）解：∵表示在数轴上表示x的点到表示1，2，3，……，2025共2025个点的距离之和， ∴当取中间那个数1013时，取到最小值， 把代入得： ． 即的最小值为1025156． 2．问题提出 一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为． 操作思考 （1）若是“相伴数对”，求b的值； （2）请你写出一个“相伴数对”，并说明理由．（其中，且）． 拓展探究 （3）若是“相伴数对”，求代数式的值． 【答案】（1）  （2）（不唯一）  （3）8 【分析】本题主要考查了整式的加减中的化简求值，解一元一次方程等知识点，弄清题中的新定义是解题的关键． （1）利用“相伴数对”的定义可得方程，解方程即可求出的值； （2）根据新定义写出一个“相伴数对”即可； （3）先利用“相伴数对”的定义得到，然后将原式去括号整理后代入求值即可． 【详解】解：（1）∵是“相伴数对”， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）设，则有， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴写出一个“相伴数对”为（不唯一）； （3）由是“相伴数对”可得： ， ∴， ∴ ∴ ， 则原式． 【课后检测】 1．若，则x的值是（     ） A．3 B．1 C．1或3 D．3或 【答案】C 【分析】利用绝对值的意义去掉绝对值符号，转化为一元一次方程求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得或． 2．若，则的值是（） A．6 B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】依据绝对值的定义，求出绝对值等于6的数，选出正确选项． 【详解】解：∵， ∴． 3．已知与相等，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与相等， ∴， 解得． 4．已知是关于的方程的解，则的值是（     ） A．11 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】把代入方程，得到关于的方程，解方程即可解答． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 5．方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤解方程，即可得出答案． 【详解】解： 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为得． 6．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，将两个方程化为相同的形式，根据的解求出y的值即可． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴的解为， ∵ ∴ ∴， 则 ∴ ∴ 故选：B． 7．若方程是一元一次方程，则a的值为（　　） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的最高次数为1，据此列关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴， 解得：． 8．下列说法正确的是（    ） A．若，则a是一个正数 B．单项式的次数为4 C．若，则 D．若，则点C是线段的中点 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质、单项式次数的定义、一元一次方程的解法、线段中点的定义． 逐一分析每个选项的正误，从而选出正确答案即可． 【详解】解：若，则a是非负数（包括0和正数），A选项说法错误； 单项式的次数是所有字母的指数和，单项式中x的指数为1，y的指数为1，z的指数为2，，B选项说法正确； 解方程，两边同时除以得，C选项说法错误； 若，点C不一定是线段的中点（如等腰三角形底边与顶点C），D选项说法错误； 故选：B． 9．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将这九个数字填入的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都是15，如图所示幻方中，若且，则的值为（   ） m 2 3 5 A． B． C．13或 D．3或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，代数式求值，绝对值意义，先利用幻方的性质求出m的值，再根据绝对值的性质确定x、y的取值范围，最后代入计算代数式的值即可． 【详解】解：∵幻方中三行、三列、两对角线上的三个数之和为15， ∴中间一行最右侧的数为， ∴最下边一行最右侧的数为：， ∴ 解得：， ∵，， ∴，， ∵， ∴ 分情况讨论： ①当时，要满足，y只能取， 此时； ②当时，要满足，y只能取， 此时 综上，的值为3或． 故选：D． 10．定义运算：，例如：，，若，则x的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．2或0 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，解一元一次方程，以及乘方的意义，分①当时和②当时两种情况求解即可． 【详解】解：∵，且 ∴分两种情况讨论： ①当时， 解得，符合的条件． ②当时， 即 解得（不符合的条件，舍去）． 综上，的值为0或2． 故选D． 11．嘉淇做了一个如图所示的程序图，如输入时，因为，所以；输入时，，所以将作为m再次进行判断和计算．若嘉淇某次输入有理数m后，输出的结果n为，请你写出m可能的2个值：______． 【答案】或 【分析】根据程序图的逻辑，分输入的小于和不小于两种情况进行讨论，列出方程求解并验证即可． 【详解】解：根据题意得，当时，∵输出的结果为， 解得， ， 符合题意； 当时，若，即，此时， 解得， ， 符合题意； 综上所述，的个可能值为或． 12．已知方程的解与方程的解相同，则__________． 【答案】 【分析】求出方程的解，再把解代入中，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 把代入，得：， ∴， 解得：． 13．若与互为相反数，则a的值为______________． 【答案】 【分析】根据互为相反数的两数之和为列方程，求解一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 解得． 14．解答下列问题： (1)若，则__________； (2)若，则__________． 【答案】(1)2 (2)4或 【分析】（1）理解绝对值在数轴上指的是表示数x的点到表示数a的点的距离，从而将代数方程转化为几何距离问题求解． （2）理解绝对值在数轴上指的是表示数x的点到表示数a的点的距离，从而将代数方程转化为几何距离问题求解． 【详解】（1）解：方程的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示数5的点的距离等于到表示数的点的距离，这意味着表示x的点是以表示数5和表示数为端点的线段的中点． 中点坐标公式为：， 所以． （2）解：方程的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示数3的点的距离与到表示数的点的距离之和等于7． 计算数轴上表示数3的点和表示数的点之间的距离：，因为距离之和7大于这两点间的距离5，所以点x不可能在和3之间，只能在这两点的外侧． 情况一：当点x在3的右侧时，， 此时，， 方程变为： 解得． 检验：，符合题意． 情况二：当点x在的左侧时，， 此时，， 方程变为：， 解得． 检验：，符合题意． 综上所述，x的值为4或． 15．如图，在数轴上有A、B两点，所表示的数分别为，6，点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动．设运动时间为t秒，当P、Q两点相距2个单位长度时，t的值为_________秒． 【答案】3或5 【分析】数轴上的点向右移动多少个单位长度，表示的数就加多少；数轴上两点之间的距离等于位置之差的绝对值． 【详解】解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或， 当P、Q两点相距2个单位长度时，t的值为3或5秒． 16．解方程： 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算步骤法则是解本题的关键． 将方程去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解． 【详解】解： ， 去括号： ， 移项： ， 合并同类项：， 系数化为1：． 17．按要求解答问题： (1)已知关于的方程与的解互为倒数，求的值； (2)在（1）的条件下，若多项式与的和为15，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 解得． 因为两方程的解互为倒数， 所以方程的解为． 将代入，得 ． （2）解：由题意，得． ． 将代入，得 解得． 18．已知关于的方程的解是关于的方程的解的5倍，求这两个方程的解． 【答案】方程的解是，方程的解是 【详解】解：， 解得． 由， 解得． 因为关于的方程的解是关于的方程的解的5倍， 所以， 解得． 所以方程的解是，方程的解是． 19．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和3的两点之间的距离是_____ ；表示﹣3和1两点之间的距离是_____ ．一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)如果，那么x＝_________ ． (3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是_______ ，最小距离是_____ ． (4)若数轴上表示数a的点位于﹣2与5之间，则=_____ ． 【答案】(1)1；4 (2)1或-5 (3)10；2 (4)7 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式，即两点表示的数之差的绝对值可得； （2）根据绝对值的几何意义，找到距离为3的点即可； （3）分别求出点和所对应的数，再利用两点间的距离公式求解即可； （4）根据绝对值的几何意义知，就是表示数的点到和的距离之和． 【详解】（1）；． （2）， 在数轴上，到距离为3的点有两个， 在的左侧，；在的右侧，． 或． （3），， ，． 当，时，距离为； 当，时，距离为； 当，时，距离为； 当，时，距离为； 综上所述，最大距离为10，最小距离为2． （4）表示数a的点位于﹣2与5之间， ． ． 20．在教材中，我们曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数的点的距离可记作，也就是说在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，那么，两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示数和数的两点之间的距离可记作 ，数轴上表示数和数的两点之间的距离可记作 ； (2)数轴上表示数与数的两点和之间的距离可记作 ； 如果这两点之间的距离为，那么为 ． (3)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． 【答案】(1)， (2)，或 (3)，，， 【分析】（1）根据题意所述，运用类比的方法即可得出答案； （2）根据两点之间的距离列式，得到，继而可求出答案； （3）根据，以及到的距离为，可得整数在与之间，可得答案． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离可记作， 数轴上表示和的两点之间的距离可记作； （2）数轴上表示与的两点和之间的距离可记作， 由题意得， 解得或； （3）， ， 即表示整数到的距离与整数到的距离之和为， 到的距离为， 整数在与之间， 符合题意的整数是，，，． 21．用“”定义一种新运算：对于任意正有理数a和b，规定： 当时，； 当时，． (1)若，，当时，求x的值； (2)若，，①当有最小值时，求x的取值范围；②当时，求x的值． 【答案】(1) (2)①；②1或13 【分析】（1）利用裂项法求得，进而列方程求解即可； （2）①利用绝对值的几何意义求解即可；②根据绝对值的性质，分情况讨论并列方程解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ， ∵， ∴，解得； （2）解：∵，，， ∴， ①∵表示数轴上数x对应的点到4和10对应的两个点的距离之和， ∴当时，取得最小值， ∴x的取值范围为； ②∵， ∴， 当时，，解得； 当时，，x不存在； 当时，，解得， 综上，x的值为1或13． 22．定义：若关于的方程的解为，则称这样的方程为“元宵方程”．例如：的解为，而．则方程为“元宵方程”． (1)方程是“元宵方程”吗？请说明理由． (2)若，有符合要求的“元宵方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． (3)若关于的方程为“元宵方程”，请解关于的方程：． 【答案】(1)方程是“元宵方程”， 解：解方程，得， 又∵， ∴方程是“元宵方程”． (2)有，该方程的解为 (3) 【分析】本题根据“元宵方程”的定义解题，核心思路为：对于，若方程的解满足，则为元宵方程． （1）先求解给定方程，再计算，对比验证即可； （2）根据元宵方程的定义建立关于的等式，代入求出，再得到方程的解； （3）先根据元宵方程的定义推导出，代入关于的方程化简求解． 【详解】（1）略 （2）解：若是“元宵方程”，则满足方程的解， 又∵的解为， ∴代入得：， 解得，因此存在符合要求的“元宵方程”， ∴方程的解为． （3）解：∵是“元宵方程”， ∴，整理得， 将代入关于的方程得：， 解得． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 31 页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第16讲 一元一次方程的解法 （新教材北师大版） 知识点一：解一元一次方程的一般步骤 2 知识点二：检验方程的解 2 【题型1 解一元一次方程---合并同类项与移项】 2 【题型2 解一元一次方程---去括号】 3 【题型3 解一元一次方程---去分母】 4 【题型4 已知一元一次方程的解，求参数】 4 【题型5 一元一次方程解的关系】 4 【题型6 绝对值方程】 5 【探究式学习】 6 【课后检测】 8 【复盘笔记】 13 知识点一：解一元一次方程的一般步骤 （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1. 【例】解方程 解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得：． 易错点1——去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号. 易错点2——去分母：漏乘不含分母的项 易错点3——移项忘记变符号． 知识点二：检验方程的解 将求出的未知数的值，分别代入原方程左右两边，若左边计算结果 = 右边计算结果，则该数值是方程的解；若两边数值不相等，则计算过程存在错误，需要重新解方程。 4个易错点: 易错点 1—— 去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号。 易错点 2—— 去分母：漏乘不含分母的常数项。 易错点 3—— 移项忘记变符号；不移项、仅在等式同侧交换位置的项不用变号。 易错点 4—— 系数化为 1：未知数系数为负数时，注意等号右边符号同步变化；分子分母颠倒出错。 【题型1 解一元一次方程---合并同类项与移项】 【例1】下列变形中，正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，去分母得 【变式1-1】下列方程变形中，正确的是（     ）． A．方程，系数化1，得； B．方程，移项，得； C．方程，去括号，得； D．方程，去分母，得 【变式1-2】若与能合并，则的值是（     ） A．2001 B．2025 C． D．2026 【变式1-3】若关于的不等式组的解集是，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【题型2 解一元一次方程---去括号】 【例2】将方程去括号，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列变形正确的是（　　） A．由移项得 B．由1去分母得 C．由去括号得 D．由去括号、移项、合并同类项得 【变式2-2】小明在解方程去括号时，忘记将括号中的第二项变号，求得方程的解为，那么方程正确的解为（） A． B． C． D． 【变式2-3】下列方程的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型3 解一元一次方程---去分母】 【例3】已知方程的解比关于x的方程的解大5，则k的值为（  ） A． B． C．1 D．3 【变式3-1】方程 去分母后正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】把方程化为最简整数系数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】下面是从小明同学作业本中摘抄的内容，其中正确的是（　　） A．方程，移项得： B．方程，去分母得 C．方程，去括号得 D．方程，系数化为得 【题型4 已知一元一次方程的解，求参数】 【例4】已知为整数，关于的方程有负整数解，则满足条件的的值有(        ) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 【变式4-1】已知关于x的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数m的和是（   ） A．23 B． C． D．34 【变式4-2】已知关于的方程的解为正整数，则能取的整数值的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 【题型5 一元一次方程解的关系】 【例5】当和为定值时，代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值：则关于的方程的解是（   ） 0 1 0 3 6 A． B． C． D． 【变式5-1】若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B．46 C．23 D． 【变式5-2】当x取不同值时对应的多项式的值如表所示，则关于x的方程的解是（   ） x 0 1 2 3 14 10 6 2 A．14 B．1 C．2 D．-2 【变式5-3】若关于x的方程的解与方程的解互为相反数，则a的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 【题型6 绝对值方程】 【例6】的最小值为3，则a的值为（   ） A． B．2或 C．3或 D．2 【变式6-1】对任意两个有理数，定义如下运算：．若，则，的关系为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式6-2】下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若， 则一定是负数 【变式6-3】规定：，．例如：，．下列结论中，正确的有（    ） ①； ②若，则； ③若，则x的值为6或； ④式子的最小值是7． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【探究式学习】 1．阅读下面的材料，完成有关问题． 材料： 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5和3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为． 应用： (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离是______，A到C的距离是______．（直接填最后结果）； (2)点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______．（用含绝对值的式子表示）； (3)拓展：利用数轴探究： ①满足的x的所有值是______； ②设，当时，m的值是不变的，而且这个不变的值是m的最小值，这个最小值是______； (4)试求的最小值． 2．问题提出 一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为． 操作思考 （1）若是“相伴数对”，求b的值； （2）请你写出一个“相伴数对”，并说明理由．（其中，且）． 拓展探究 （3）若是“相伴数对”，求代数式的值． 【课后检测】 1．若，则x的值是（     ） A．3 B．1 C．1或3 D．3或 2．若，则的值是（） A．6 B． C． D．不存在 3．已知与相等，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．已知是关于的方程的解，则的值是（     ） A．11 B． C．2 D．4 5．方程的解是（     ） A． B． C． D． 6．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 7．若方程是一元一次方程，则a的值为（　　） A．1 B． C．0 D．2 8．下列说法正确的是（    ） A．若，则a是一个正数 B．单项式的次数为4 C．若，则 D．若，则点C是线段的中点 9．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将这九个数字填入的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都是15，如图所示幻方中，若且，则的值为（   ） m 2 3 5 A． B． C．13或 D．3或 10．定义运算：，例如：，，若，则x的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．2或0 11．嘉淇做了一个如图所示的程序图，如输入时，因为，所以；输入时，，所以将作为m再次进行判断和计算．若嘉淇某次输入有理数m后，输出的结果n为，请你写出m可能的2个值：______． 12．已知方程的解与方程的解相同，则__________． 13．若与互为相反数，则a的值为______________． 14．解答下列问题： (1)若，则__________； (2)若，则__________． 15．如图，在数轴上有A、B两点，所表示的数分别为，6，点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动．设运动时间为t秒，当P、Q两点相距2个单位长度时，t的值为_________秒． 16．解方程： 17．按要求解答问题： (1)已知关于的方程与的解互为倒数，求的值； (2)在（1）的条件下，若多项式与的和为15，求的值． 18．已知关于的方程的解是关于的方程的解的5倍，求这两个方程的解． 19．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和3的两点之间的距离是_____ ；表示﹣3和1两点之间的距离是_____ ．一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)如果，那么x＝_________ ． (3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是_______ ，最小距离是_____ ． (4)若数轴上表示数a的点位于﹣2与5之间，则=_____ ． 20．在教材中，我们曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数的点的距离可记作，也就是说在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，那么，两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示数和数的两点之间的距离可记作 ，数轴上表示数和数的两点之间的距离可记作 ； (2)数轴上表示数与数的两点和之间的距离可记作 ； 如果这两点之间的距离为，那么为 ． (3)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． 21．用“”定义一种新运算：对于任意正有理数a和b，规定： 当时，； 当时，． (1)若，，当时，求x的值； (2)若，，①当有最小值时，求x的取值范围；②当时，求x的值． 22．定义：若关于的方程的解为，则称这样的方程为“元宵方程”．例如：的解为，而．则方程为“元宵方程”． (1)方程是“元宵方程”吗？请说明理由． (2)若，有符合要求的“元宵方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． (3)若关于的方程为“元宵方程”，请解关于的方程：． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 31 页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $