第09讲 代数式（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版七年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第09讲 代数式 （新教材北师大版） 知识点一、代数式 2 知识点二、列代数式 2 知识点三、代数式的值 2 知识点四：单项式 3 知识点五：多项式 3 【题型1 用字母表示数】 4 【题型2 列代数式】 4 【题型3 用代数式表示数、图形的规律 正（反）比例关系】 5 【题型4 代数式的概念】 5 【题型5 代数式书写方法】 6 【题型6 代数式表示的实际意义】 6 【题型7 已知字母的值，求代数式的值】 7 【题型8 已知式子的值，求代数式的值】 8 【题型9 程序流程图与代数式求值】 8 【题型10 单项式的判定】 9 【题型11 单项式的项数、次数】 9 【题型12 写出满足某些条件的单项式】 10 【题型13 单项式规律题】 10 【题型14 多项式的判断】 10 【题型15 多项式的项、项数、次数】 11 【题型16 多项式系数、指数中字母求值】 12 【题型17 将多项式按某个字母升幂或降幂排列】 12 【题型18 整式的判断】 12 【探究式学习】 14 【课后检测】 16 【复盘笔记】 20 知识点一、代数式 代数式：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【例】x，2m，，，，是代数式； ，，不是代数式. 【注】代数式中不含“=”“>”“<”“≠”“≥”“≤”等关系符号。 知识点二、列代数式 1. 定义：把问题中涉及的数量关系，用含有**字母、数及运算符号**的式子表示出来，叫做列代数式。 2. 列代数式的关键步骤（三步法）： · 审：弄清题目中的已知量和未知量，找出关键词（如“和、差、积、商、倍、分、比……多/少”）。 · 找：确定运算顺序，先算什么、后算什么。 · 写：用字母代替未知量，按运算顺序写出代数式。 3. 易错提醒（避坑指南）： · 带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数（如 应写成 。 · 乘号省略规则：数字与字母相乘省略乘号时，数字写在字母前面（如 3a 不写 a3；字母与字母相乘按字母顺序写（如 ab 不写 ba）。 · 除法写成分数形式（如 写为 ）。 · “和、差、积、商”的表达要完整读题，区分“a与b的和的平方”与“a与b的平方和”。 知识点三、代数式的值 1. 定义：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中给定的运算计算得出的结果，叫做代数式的值。 2. 求代数式值的步骤（三步法）： (1) 代入：将字母的取值代入代数式中（字母取负数或分数时，注意加括号）。 (2) 抄写：代入后原样抄写代数式，替换字母为数值。 (3) 计算：按照运算顺序（先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内）计算出结果. 3. 易错提醒（避坑指南）： · 代入负数时，务必加括号，防止符号错误（如 ，当 x=-2 时，应写 (-2)^2 = 4 ，不能写 -2^2 = -4 ）。 · 代入分数时，若涉及乘方也要加括号（如，当 时，应写 。 · 若代数式中有多个字母，要对应代入，不要代错位置。 · 求值后要检查运算顺序是否正确。 知识点四：单项式 1．单项式：像，，，等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 2．（1）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数． 【注】①系数包括单项式前面的符号； ②只含有字母因数的单项式的系数是1或； ③是一个数，不要将它当作字母． （2）单项式的次数：单项式中所有字母的指数和．单独一个非零数的次数是0． 【例】①3，a，，，，0.15a，都是单项式； ②单项式的系数是，的系数是； 单项式的次数为四，的次数为六；9的次数是零． 知识点五：多项式 1．多项式：几个单项式的和叫做多项式． 2．多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项. 3．多项式的次数：一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 4．多项式的命名：关于某字母的几次几项式． 【注】①多项式中的各项包括它前面的符号； ②书写多项式时，通常把各项按照某个字母降幂排列． 【例】①是多项式； ②的各项是、、； ③次数是四次； ④是关于x的二次二项式，是关于x、y的四次三项式，是关于x、y的五次四项式； ⑤是按x的降幂排列；是按x的升幂排列． 单项式和多项式统称为整式． 【题型1 用字母表示数】 【例1】三个连续整数中，中间一个是m，则最大的一个是（    ） A．m+1 B．m+2 C．m+3 D．m+4 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．－a一定是负数 B．a的倒数是 C．一定是分数 D．a2一定是非负数 【变式1-2】甲数比乙数的3倍大2，若甲数为x，则乙数为（   ） A．3x－2 B．3x+2 C． D． 【变式1-3】一次竞赛共有30道选择题，规定：答对一道得3分，不答或答错一道扣1分，如果某位学生答对了a道题，则用式子表示他的成绩（单位：分）为（     ） A． B． C． D． 【题型2 列代数式】 【例2】如图，将其中的三个正方形区域记为①，②，③，④是②和③的公共区域，余下两个区域的面积分别记为和．已知①，②，③的边长分别为15米、30米和45米，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】某服装厂生产一批服装，每件用布米，改进工艺后每件节约用布米，原来生产100件的布现在可以生产件数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】我国在清朝学堂的课本《代微积拾级》中用：来表示，观察其中的规律，则表示的代数式运算所得的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】某种商品的成本大幅增加，商家决定对该商品进行提价，现有三种方案．方案一：第一次提价，第二次提价；方案二：第一次提价，第二次提价；方案三：第一、二次提价均为．则以下说法正确的是（   ） A．方案一提价低于方案二 B．方案一提价高于方案二提价 C．方案三的提价最多 D．方案二、方案三提价一样 【题型3 用代数式表示数、图形的规律 正（反）比例关系】 【例3】观察图形变化的规律，则第2022个图形中黑色正方形的数量是（    ） A．2022 B．2023 C．3030 D．3033 【变式3-1】用一样长的小木棒按如图的方式搭建图形，图①需要6根小木棒，图②需要11根小木棒，图③需要16根小木棒，…，按照这个规律，图⑧需要小木棒的根数是（    ） A．31 B．36 C．41 D．46 【变式3-2】现用围棋中的黑子摆出如图所示的图案，则第个图案中黑子的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-3】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中，第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数．设第一行、第二行、第三行的第9项分别为a、b、c，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【题型4 代数式的概念】 【例4】下列说法中，正确的是（   ） A．不是代数式 B．表示负数 C．单项式的次数是4 D．多项式是二次三项式 【变式4-1】下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的意义是a与4的差除以b的商；④a，b两数平方的差与两数的积的4倍的和用代数式表示是，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-2】一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】下列说法错误的是（   ） A．，3，a，，这些都是代数式 B．的意义是a的3倍与2的和 C．的意义是a与2的和的3倍 D．橙子原价c元/千克，现在按八五折优惠出售，用代数式表示橙子的售价为元/千克 【题型5 代数式书写方法】 【例5】下列式子中，符合代数式书写要求的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列各代数式中符合书写规范的是（      ） A． B． C． 【变式5-2】下列代数式书写正确的是（　　） A．m+3 B．1ab C．5×a D．（a+2b）元 【变式5-3】在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型6 代数式表示的实际意义】 【例6】下列关于“代数式”的意义有如下叙述： ①的4倍与的和的2倍是； ②小明以的速度走了，再以的速度走了，小明一共走了； ③小华买了苹果和橘子，已知苹果的单价为元，橘子的单价为元，小华一共花费元． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式6-1】某班选举班干部，全班每1名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为，，，．老师规定：同意某同学当选的记“”，不同意（含弃权）的记“”． 如果令 表示第号同学同意第号同学当选，表示第号同学不同意第号同学当选， 其中，， ，； ， ， ，． 则，表示的实际意义是 （     ） A．同意第1号或者第2号同学当选的人数 B．同时同意第1号和第2号同学当选的人数 C．不同意第1号或者第2号同学当选的人数 D．不同意第1号和第2号同学当选的人数 【变式6-2】某商品的原价为a元，现打八折后再降价元出售，则售价应该是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】惠安科山上的小天台宛如一颗明珠镶嵌其间，成为众多游客的打卡圣地．国庆假期第一天游客人，第二天游客人数是第一天游客人数的倍还少人，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第一天比第二天多的游客人数 B．第二天比第一天多的游客人数 C．这两天所有游客人数 D．第二天游客人数 【题型7 已知字母的值，求代数式的值】 【例7】若，且，则的值是（　　） A．8 B．8或 C．或 D．6或 【变式7-1】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，点A，B在数轴上表示的数分别是a，b，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式7-3】请将分别填入如图所示的九宫格中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0．则的值为（   ） A．5 B． C． D．0 【题型8 已知式子的值，求代数式的值】 【例8】若，互为相反数，，互为倒数，则 的值为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】当时，代数式的值是2005，则当时，代数式的值为（     ） A．2002 B．1999 C． D． 【变式8-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】当代数式的值为7时，则代数式的值为（        ） A． B．0 C． D．4 【题型9 程序流程图与代数式求值】 【例9】按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为11的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式9-1】按如图所示的程序运算，如果输入的值为，则输出的值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，以此类推，则第次输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图所示，在这个数据运算程序中，如果开始输入的的值为10，那么第1次输出的结果5，返回进行第二次运算，那么第2次输出的结果是16，．．．以此类推，第2026次输出的结果是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【题型10 单项式的判定】 【例10】下列说法正确的是（  ） A． B．的次数是5 C．是单项式 D．的常数项是 【变式10-1】下列说法正确的是（　　） A．是单项式 B．单项式的系数是 C．单项式的次数是5 D．多项式是三次二项式 【变式10-2】下列说法中，正确的是（   ） A．是单项式 B．的系数是0 C．1是单项式 D．的次数是3 【变式10-3】下列说法正确的是（    ） A．是六次多项式 B．不是单项式 C．的系数是，次数是2次 D．是多项式 【题型11 单项式的项数、次数】 【例11】下列关于数与式的描述：①数轴上原点两侧的数互为相反数；②几个数相乘，当负因数个数为偶数个时，积为正数；③的底数是，指数是3；④的系数是．其中错误的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式11-1】下列说法： ①用一个平面去截正方体，截面不可能是七边形；②数轴上与表示的点距离3个长度单位的点所表示的数是1；③的次数是5；④在数轴上与原点距离越远的点表示的数越大；⑤若，则．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式11-2】单项式的系数是（   ） A． B． C．2 D．3 【变式11-3】单项式的系数是（    ） A． B．2 C．1 D． 【题型12 写出满足某些条件的单项式】 【例12】①含有字母；②次数是3；请写出一个同时满足上述两个条件的单项式__________． 【变式12-1】写出一个系数是，次数是的单项式，这个单项式可以是________．（写出一个即可） 【变式12-2】写出一个系数是、次数是2的单项式：__________． 【变式12-3】写出一个系数是2026，且只含有，两个字母的三次单项式___________． 【题型13 单项式规律题】 【例13】按一定规律排列的代数式：，其中第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】观察这一列式子，按此规律排列，第24个式子为（　） A． B． C． D． 【变式13-2】按一定规律排列的单项式：，，，，，，…．则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】观察下列关于x的单项式，探究其规律：，…．按照上述规律，第2026个单项式是（   ） A． B． C． D． 【题型14 多项式的判断】 【例14】在式子、、、、、5、中一次式有（   ）个 A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式14-1】下列说法正确的是（　　） A．是整式 B．的系数是，次数是4 C．的次数为5 D．是三次二项式 【变式14-2】下列判断中错误的是（   ） A．中，系数是 B．是单项式 C．是多项式 D．是二次三项式 【变式14-3】下列关于整式的说法正确的是（    ） A．单项式的次数是1 B．两个二次三项式的和一定是多项式 C．多项式是二次三项式 D．的次数是0 【题型15 多项式的项、项数、次数】 【例15】下列说法正确的是（   ） A．是单项式 B．的系数是 C．的常数项是5 D．是四次三项式 【变式15-1】下列说法：①表示负数；②多项式的次数是4；③单项式的系数为；④若，则．其中正确的有（    ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【变式15-2】张老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述： 小明：这个代数式是一个六次三项式； 小红：这个代数式的最高次项系数为； 小华：这个代数式的常数项是7． 如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（    ） A． B． C． D． 【变式15-3】下列结论中正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的次数是，没有系数 C．多项式是三次三项式 D．不是整式 【题型16多项式系数、指数中字母求值】 【例16】已知多项式是关于，的四次三项式，的值是（    ） A．6 B．3 C． D．或3 【变式16-1】多项式是关于x、y的五次三项式，则m的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．2 【变式16-2】若多项式是关于的二次三项式，则的值是（   ） A．2 B． C． D．3 【变式16-3】若关于的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是（　　） A． B． C． D． 【题型17 将多项式按某个字母升幂或降幂排列】 【例17】对于整式表述正确的是（    ） A．该整式已按字母升幂排列 B．该整式已按字母降幂排列 C．该整式的常数项是4 D．该整式最高次项的系数是1 【变式17-1】观察多项式排列规律，则内应填（　　） A． B． C． D． 【变式17-2】多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式17-3】以下四个选项是小丽同学的四道作业，其中有一道不正确，你认为是（   ） A．和m都是单项式 B．单项式的系数是 C．多项式的次数是4 D．多项式按的降幂排列为 【题型18 整式的判断】 【例18】下列说法正确的有（   ）个 ①单项式x的系数和次数都是0； ②的次数是11； ③多项式是由1，，三项组成； ④在，，中整式有2个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式18-1】下列说法错误的是（    ） A．多项式是四次三项式 B．单项式的次数是3 C．是整式 D．单项式的系数是 【变式18-2】下列说法正确的是（） A．单项式的系数是，次数是7 B．不是整式； C．单项式的系数是，次数是5 D．是一次二项式 【变式18-3】给出下列说法：①是三次三项式；②单项式m的次数是1，没有系数；③单项式的系数是，次数是4；④的一次项的系数是1；⑤0是单项式；⑥代数式0，，，中整式有2个．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【探究式学习】 1．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：    (1)在④后面的横线上写出相应的等式：①；②；③；④ ； (2)请猜想 ； (3)请用上述规律计算：． 2．【阅读理解】 规定符号表示a，b这两个数中较小的一个数．规定符号表示a，b这两个数中较大的一个数．例如，． 【尝试应用】 请计算的值． 【拓展探究】 若，求代数式的值． 3．观察下列等式： ，，． 将以上三个等式两边分别相加得． (1)猜想并写出：=______． (2)直接写出计算结果：=______． (3)探究并计算，请写出计算过程： ①； ②． 【课后检测】 1．在，，，，，，，中，正数有个，负数有个，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．下列代数式中，符合代数式书写要求的有（     ） （1）；（2）；（3）；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．当时，代数式的值是（     ） A． B． C． D． 4．某商品的进价为元，先按进价的倍标价后又降价元出售，现在的售价是（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．观察下列代数式：，，，，，…，则第个代数式是（     ） A． B． C． D． 6．按一定规律排列的单项式：，，，，，……，则第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 7．已知是由2022个或1组成的数组，，则的值为（   ） A．2021 B．4042 C．3640 D．4846 8．已知，则的值为（   ）． A． B． C． D． 9．若，则的值为（    ） A．5 B． C．1 D． 10．将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第行从左至右的第个数是（     ） A． B． C． D． 11．若，则的值为________． 12．若有理数、满足，则_________． 13．若，则代数式的值是________． 14．买一个篮球需要m元，买一个排球需要n元，则买1个篮球和2个排球共需_______元． 15．已知，则________． 16．已知，，且，，求的值； 17．列代数式： (1)的平方与的一半的和； (2)一个两位正整数，它的十位数字是，个位数字是，写出这个两位数． 18．按要求完成下列各题： (1)小明用长度相同的小棒按如图所示的规律拼摆图形，第n个图形需要多少根小棒？ (2)小颖给出一种新的拼摆方式，按照小颖的方式拼摆，第n个图形所需小棒的根数为．请你画图表示小颖的拼摆方式． (3)请你设计出其他有规律的拼摆方式，根据你的拼摆规律提出问题并加以解决． 19．某厂的某生产合作小组每天平均组装个某型号电子产品（每周工作五天），而实际产量与计划产量相比有出入，下表记录了某周的五个工作日每天实际产量情况（超过计划产量记为正，少于计划产量记为负）． 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 实际生产量 (1)用含的代数式表示合作小组本周五天生产电子产品的总量为________个； (2)该厂实行每日计件工资制，每组装生产一个电子产品可得元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元，少生产一个扣元，当时，请求出该小组这一周的工资总额； (3)若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，当时，在此方式下这一周此小组的工资总额与按日计件的工资哪个多？请说明理由． 20．定义新运算“”：，已知，，则的值为？ 21．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．以下是老师安排的作业题． 代数式的值为7，则代数式的值为_______． 阅读理解： 小乐在做作业时采用的方法如下： ， ， ， ∴代数式的值为5． 方法运用： （1）若代数式，则代数式_______； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 拓展运用： （3）已知，，，求的值； （4）已知，的值为最大负整数，求的值． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 50 页 第 1 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第09讲 代数式 （新教材北师大版） 知识点一、代数式 2 知识点二、列代数式 2 知识点三、代数式的值 2 知识点四：单项式 3 知识点五：多项式 3 【题型1 用字母表示数】 4 【题型2 列代数式】 5 【题型3 用代数式表示数、图形的规律 正（反）比例关系】 7 【题型4 代数式的概念】 10 【题型5 代数式书写方法】 12 【题型6 代数式表示的实际意义】 14 【题型7 已知字母的值，求代数式的值】 15 【题型8 已知式子的值，求代数式的值】 17 【题型9 程序流程图与代数式求值】 18 【题型10 单项式的判定】 21 【题型11 单项式的项数、次数】 23 【题型12 写出满足某些条件的单项式】 24 【题型13 单项式规律题】 25 【题型14 多项式的判断】 27 【题型15 多项式的项、项数、次数】 29 【题型16 多项式系数、指数中字母求值】 31 【题型17 将多项式按某个字母升幂或降幂排列】 33 【题型18 整式的判断】 35 【探究式学习】 37 【课后检测】 40 【复盘笔记】 49 知识点一、代数式 代数式：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【例】x，2m，，，，是代数式； ，，不是代数式. 【注】代数式中不含“=”“>”“<”“≠”“≥”“≤”等关系符号。 知识点二、列代数式 1. 定义：把问题中涉及的数量关系，用含有**字母、数及运算符号**的式子表示出来，叫做列代数式。 2. 列代数式的关键步骤（三步法）： · 审：弄清题目中的已知量和未知量，找出关键词（如“和、差、积、商、倍、分、比……多/少”）。 · 找：确定运算顺序，先算什么、后算什么。 · 写：用字母代替未知量，按运算顺序写出代数式。 3. 易错提醒（避坑指南）： · 带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数（如 应写成 。 · 乘号省略规则：数字与字母相乘省略乘号时，数字写在字母前面（如 3a 不写 a3；字母与字母相乘按字母顺序写（如 ab 不写 ba）。 · 除法写成分数形式（如 写为 ）。 · “和、差、积、商”的表达要完整读题，区分“a与b的和的平方”与“a与b的平方和”。 知识点三、代数式的值 1. 定义：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中给定的运算计算得出的结果，叫做代数式的值。 2. 求代数式值的步骤（三步法）： (1) 代入：将字母的取值代入代数式中（字母取负数或分数时，注意加括号）。 (2) 抄写：代入后原样抄写代数式，替换字母为数值。 (3) 计算：按照运算顺序（先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内）计算出结果. 3. 易错提醒（避坑指南）： · 代入负数时，务必加括号，防止符号错误（如 ，当 x=-2 时，应写 (-2)^2 = 4 ，不能写 -2^2 = -4 ）。 · 代入分数时，若涉及乘方也要加括号（如，当 时，应写 。 · 若代数式中有多个字母，要对应代入，不要代错位置。 · 求值后要检查运算顺序是否正确。 知识点四：单项式 1．单项式：像，，，等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 2．（1）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数． 【注】①系数包括单项式前面的符号； ②只含有字母因数的单项式的系数是1或； ③是一个数，不要将它当作字母． （2）单项式的次数：单项式中所有字母的指数和．单独一个非零数的次数是0． 【例】①3，a，，，，0.15a，都是单项式； ②单项式的系数是，的系数是； 单项式的次数为四，的次数为六；9的次数是零． 知识点五：多项式 1．多项式：几个单项式的和叫做多项式． 2．多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项. 3．多项式的次数：一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 4．多项式的命名：关于某字母的几次几项式． 【注】①多项式中的各项包括它前面的符号； ②书写多项式时，通常把各项按照某个字母降幂排列． 【例】①是多项式； ②的各项是、、； ③次数是四次； ④是关于x的二次二项式，是关于x、y的四次三项式，是关于x、y的五次四项式； ⑤是按x的降幂排列；是按x的升幂排列． 单项式和多项式统称为整式． 【题型1 用字母表示数】 【例1】三个连续整数中，中间一个是m，则最大的一个是（    ） A．m+1 B．m+2 C．m+3 D．m+4 【答案】A 【分析】根据三个连续的自然数两两之间相差1，可知中间一个是m，那么最大的一个数就是m+1． 【详解】解：三个连续的自然数两两之间相差1，中间一个是m，最大的一个数就是m+1． 故选A． 【点睛】明确相邻的两个自然数之间相差1是解决此题关键． 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．－a一定是负数 B．a的倒数是 C．一定是分数 D．a2一定是非负数 【答案】D 【分析】本题考查的是负数、倒数、分数、非负数的定义，根据负数、倒数、分数、非负数的定义依次判断各项即可. 【详解】A、当a是负数时，－a是正数，故本选项错误； B、当a是0时，a没有倒数，故本选项错误； C、当a=4时， =2，是整数，故本选项错误； D、 一定是非负数，本选项正确， 故选D. 【点睛】本题考查了用字母表示数，解题的关键是掌握好负数、倒数、分数、非负数的定义. 【变式1-2】甲数比乙数的3倍大2，若甲数为x，则乙数为（   ） A．3x－2 B．3x+2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查列代数式，根据甲数比乙数的3倍大2，可知甲数减去2是乙数的3倍，再除以3即可得到结果. 【详解】根据题意，得乙数为 . 选D. 【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是正确理解文字语言中的关键词，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式． 【变式1-3】一次竞赛共有30道选择题，规定：答对一道得3分，不答或答错一道扣1分，如果某位学生答对了a道题，则用式子表示他的成绩（单位：分）为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出不答或答错的题数，列式可得结论． 【详解】解：由题意得，该生不答或答错了道题，则答对得分为分，扣分为分， 所以他的成绩为． 【题型2 列代数式】 【例2】如图，将其中的三个正方形区域记为①，②，③，④是②和③的公共区域，余下两个区域的面积分别记为和．已知①，②，③的边长分别为15米、30米和45米，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查列代数式，设，根据正方形得到，，，则，由，得到，再求出，即可得到，则，据此可得出答案． 【详解】解：如图所示： 设米， ∵正方形①，②，③的边长分别为15米、30米和45米， ∴米，米，米， ∴（平方米）， ∵， ∴，即， ∴米， ∵（米）， ∴（平方米）， ∴，故选项A一定正确，符合题意； 选项B一定错误，不合题意； C，D不一定正确，不符合题意； 故选：A． 【变式2-1】某服装厂生产一批服装，每件用布米，改进工艺后每件节约用布米，原来生产100件的布现在可以生产件数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式，原来生产100件服装用布米，改进工艺后每件用布米，因此现在可生产件数为总布量除以每件用布量． 【详解】解：∵原来每件用布米， ∴生产100件用布米. ∵改进后每件节约用布米， ∴改进后每件用布米. ∴现在可生产件数为， 故选：C． 【变式2-2】我国在清朝学堂的课本《代微积拾级》中用：来表示，观察其中的规律，则表示的代数式运算所得的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是列代数式，根据题意可得“甲，乙，丙”分别表示“”，结合例题分析即可得出答案． 【详解】 解：由题意可得：表示的代数式为，运算所得的结果为， 故选：A． 【变式2-3】某种商品的成本大幅增加，商家决定对该商品进行提价，现有三种方案．方案一：第一次提价，第二次提价；方案二：第一次提价，第二次提价；方案三：第一、二次提价均为．则以下说法正确的是（   ） A．方案一提价低于方案二 B．方案一提价高于方案二提价 C．方案三的提价最多 D．方案二、方案三提价一样 【答案】C 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．通过设商品原价为未知数，根据题意可以计算出三种方案下的最后价格，从而可以解答本题． 【详解】解：设商品原来的价格为a元（）， 方案一提价后的价格为：， 方案二提价后的价格为：， 方案三提价后的价格为：， ∵， ∴， ∴方案三提价最多． 故选：C． 【题型3 用代数式表示数、图形的规律 正（反）比例关系】 【例3】观察图形变化的规律，则第2022个图形中黑色正方形的数量是（    ） A．2022 B．2023 C．3030 D．3033 【答案】D 【分析】本题主要考查代数式，设第个图形中黑色正方形的数量是，当为奇数时，，当为偶数时，． 【详解】解：设第个图形中黑色正方形的数量是． 当为奇数时，． 当为偶数时，． 所以，当时，． 故选：D 【变式3-1】用一样长的小木棒按如图的方式搭建图形，图①需要6根小木棒，图②需要11根小木棒，图③需要16根小木棒，…，按照这个规律，图⑧需要小木棒的根数是（    ） A．31 B．36 C．41 D．46 【答案】C 【分析】通过观察图形，分析出后一个图形比前一个图形多 5 根小木棒，从而得出第个图形所需小木棒根数，最后将代入计算即可． 【详解】解：由图可知：图①需要小木棒的根数为：； 图②需要小木棒的根数为：； 图③需要小木棒的根数为：； ； 第个图形需要小木棒的根数为； 当时，需要小木棒的根数为； 故选：C． 【变式3-2】现用围棋中的黑子摆出如图所示的图案，则第个图案中黑子的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】观察示例图形，探索规律是解题的关键．由所给图形，可推出第n个图形黑子的个数即可． 【详解】解：依题意，观察图形，得第1个图案，黑子有个； 第2个图案，黑子有个； 第3个图案，黑子有个； …… 第n个图案，黑子个， 【变式3-3】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中，第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数．设第一行、第二行、第三行的第9项分别为a、b、c，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的规律探索，解决问题的关键是探究“三角形数” “正方形数”与“五边形数的规律”，运用规律求数．先根据图形分别探究“三角形数”与“正方形数”的存在规律，再分别求出第9个“三角形数” “正方形数”， “五边形数”，进而求和． 【详解】解：第1个“三角形数”：1， 第2个“三角形数”：， 第3个“三角形数”：， …… 第个“三角形数”为； 第1个“正方形数”：1， 第2个“正方形数”：， 第3个“正方形数”：， …… 第n个“正方形数”为； 第1个“五边形数”：1， 第2个“五边形数”：， 第3个“五边形数”： ， 第4个“五边形数”：， 第5个“五边形数”：， 第n个“五边形数”为， ； 当时， 第9个“三角形数”：， 第9个“正方形数”：， 第9个“五边形数”为； ∴． 故选：D． 【题型4 代数式的概念】 【例4】下列说法中，正确的是（   ） A．不是代数式 B．表示负数 C．单项式的次数是4 D．多项式是二次三项式 【答案】D 【分析】本题考查代数式，单项式和多项式，根据相关定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是代数式，原说法错误，不符合题意； B、可以表示任何数，原说法错误，不符合题意； C、单项式的次数是3，原说法错误，不符合题意； D、多项式是二次三项式，原说法正确，符合题意； 故选D． 【变式4-1】下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的意义是a与4的差除以b的商；④a，b两数平方的差与两数的积的4倍的和用代数式表示是，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的定义、书写规范及含义的理解，逐一判断各说法的正确性． 【详解】∵ 代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子，单独的数字或字母也是代数式， ∴ 说法①中“a是代数式”正确，但“1不是代数式”错误，故①错误； ∵ 带分数在代数式中应化为假分数，应写为， ∴ 表示a，b，的积的代数式应为，而非，故②错误； ∵ 代数式的运算顺序是先求差再求商， ∴ 其含义是a与4的差除以b的商，故③正确； ∵ “两数平方的差”指，“两数的积的4倍”指， ∴ 它们的和应为，而， 两者不等，故④错误． 故选：A． 【变式4-2】一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式的实际应用，根据题意求出全程，及提速后行驶的速度，相除即可得到提速后行驶的时间，原来行驶时间减去提速后行驶的时间，即得比原来减少的时间． 【详解】A地到B地的路程：， 提速后的速度：， 提速后的时间：， ∴提速后从A地到B地比原来减少的时间：， 故选：C． 【变式4-3】下列说法错误的是（   ） A．，3，a，，这些都是代数式 B．的意义是a的3倍与2的和 C．的意义是a与2的和的3倍 D．橙子原价c元/千克，现在按八五折优惠出售，用代数式表示橙子的售价为元/千克 【答案】D 【分析】本题考查代数式的定义、意义以及折扣问题． 解题的关键在于准确理解代数式的概念，能正确解读代数式所表达的实际意义，同时掌握折扣的计算方法． 【详解】选项A：、3、a、均为代数式，正确； 选项B：表示a的3倍与2的和，正确； 选项C：表示a与2的和的3倍，正确， 选项D：∵ 八五折表示原价的，即倍， ∴ 橙子的售价应为元/千克，而非元/千克， ∴ 选项D错误． 故选：D． 【题型5 代数式书写方法】 【例5】下列式子中，符合代数式书写要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据代数式的书写要求： 1、书写顺序：在乘积形式的代数式中，数字放在字母前面，字母按英文字母顺序排列，数字和字母放在括号前面，多个括号要把简单的放在复杂的前面； 2、带分数系数的处理方法：系数是带分数的要将其转化为假分数； 3、乘号的处理方法：数字与字母、字母与字母、数字与括号、字母与括号、括号与括号之间的乘号通常简写成点，或省略不写；但数字与数字之间的乘号既不能写成点，也不能省略不写； 4、除号的处理方法：当代数式中出现了除法运算时，要利用除法与分数的关系将其转化为分数形式； 5、带单位的代数式书写要求：用加号或减号连接的和差形式的代数式带单位时，要把代数式括起来，后面注明单位；据此即可一一判定． 【详解】解：A.正确的书写为或，故该选项不符合要求； B.正确的书写为或，故该选项不符合要求； C.符合代数式的书写要求，故该选项符合要求； D.正确的书写为，故该选项不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式的书写要求，熟练掌握和运用代数式的书写要求是解决本题的关键． 【变式5-1】下列各代数式中符合书写规范的是（      ） A． B． C． 【答案】B 【分析】由代数式的书写的规范要求：除号使用分数线，系数写在最前面，系数1可以省略，根据规范要求逐一判断即可． 【详解】解：A．应写成，故此选项不符合题意； B．此选项正确； C．应写成，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了代数式的书写规范，解题的关键是掌握代数式的书写规范要求． 【变式5-2】下列代数式书写正确的是（　　） A．m+3 B．1ab C．5×a D．（a+2b）元 【答案】A 【分析】根据代数式的书写要求，即可一一判定． 【详解】解：A、m+3，书写正确，故此选项符合题意； B、，应写成，故此选项不合题意； C、5×a，应写成5a，故此选项不合题意； D、(a+2b)元，不应有单位，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了代数式的书写，代数式的书写要求： (1)在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写； (2)数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； (3)在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式． 【变式5-3】在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的书写，根据代数式的书写规则，逐一进行判断即可． 【详解】解：应写出，故①错误； ，书写正确，故②正确； ，应写成：，故③错误； ，书写正确，故④正确； ，书写错误，故⑤错误； 应写成，故⑥错误； 则符合代数式书写要求的有2个． 故选：A． 【题型6 代数式表示的实际意义】 【例6】下列关于“代数式”的意义有如下叙述： ①的4倍与的和的2倍是； ②小明以的速度走了，再以的速度走了，小明一共走了； ③小华买了苹果和橘子，已知苹果的单价为元，橘子的单价为元，小华一共花费元． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式的实际意义，根据每个叙述的含义判断是否与代数式相符即可求解． 【详解】解：①中“x的4倍与y的和的2倍”表示为，故①错误； ②中总路程为，与代数式相符，故②正确； ③中总花费为，故③错误； 综上，正确的个数是1个； 故选：C． 【变式6-1】某班选举班干部，全班每1名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为，，，．老师规定：同意某同学当选的记“”，不同意（含弃权）的记“”． 如果令 表示第号同学同意第号同学当选，表示第号同学不同意第号同学当选， 其中，， ，； ， ， ，． 则，表示的实际意义是 （     ） A．同意第1号或者第2号同学当选的人数 B．同时同意第1号和第2号同学当选的人数 C．不同意第1号或者第2号同学当选的人数 D．不同意第1号和第2号同学当选的人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式表示的实际意义． 先写出同意第1号同学当选的同学，再写出同意第2号同学当选的同学，那么同时同意1，2号同学当选的人数是他们对应相乘再相加． 【详解】解： 1名同学同意第1号同学当选依次由，，，表示， 1名同学同意第2号同学当选依次由，，，表示， ∴，表示的实际意义是同时同意第 1号和第2号同学当选的人数． 故选： B． 【变式6-2】某商品的原价为a元，现打八折后再降价元出售，则售价应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据代数式的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵某商品原价是元，现打八折后再降价元出售， ∴售价为元， 故选：D； 【变式6-3】惠安科山上的小天台宛如一颗明珠镶嵌其间，成为众多游客的打卡圣地．国庆假期第一天游客人，第二天游客人数是第一天游客人数的倍还少人，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第一天比第二天多的游客人数 B．第二天比第一天多的游客人数 C．这两天所有游客人数 D．第二天游客人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式的实际意义，熟练掌握代数式的实际意义是解题的关键． 用含的代数式将第二天游客人数表示出来，第二天游客人数减第一天游客人数即得代数式“”，从而可判断它的意义． 【详解】解：根据题意，第二天游客人数是人， 则第二天比第一天多的游客人数（人）， ∴代数式“”表示的意义是第二天比第一天多的游客人数． 故选：B． 【题型7 已知字母的值，求代数式的值】 【例7】若，且，则的值是（　　） A．8 B．8或 C．或 D．6或 【答案】B 【分析】先根据绝对值的性质得到x， y的所有可能取值，再结合得到x， y异号，分情况计算的值即可得到结果. 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ x与y异号， 当 时，，则 ； 当 时，，则 ； 【变式7-1】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用乘法分配律将每个分数的分子分母进行变形，再计算除法即可． 【详解】解：∵， ， ， ∴． 【变式7-2】如图，点A，B在数轴上表示的数分别是a，b，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据数轴上对应的点代数求值即可． 【详解】解：根据题意可得：， ． 【变式7-3】请将分别填入如图所示的九宫格中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0．则的值为（   ） A．5 B． C． D．0 【答案】B 【详解】解：同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0， ，解得； 设右下角数字为，则，即，解得， ，即，解得， ． 【题型8 已知式子的值，求代数式的值】 【例8】若，互为相反数，，互为倒数，则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义和倒数的定义可知、，整体代入求值即可． 【详解】解：，互为相反数， ， ，互为倒数， ， 将，代入则， 可得： ． 【变式8-1】当时，代数式的值是2005，则当时，代数式的值为（     ） A．2002 B．1999 C． D． 【答案】D 【分析】当时，代数式的值为2005，可先求出的值；当时，和的值为时的相反数，进而求出代数式的值． 【详解】解：当时，，则， 当时，，，则所求代数式为：， ∴当时，． 【变式8-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把代入中计算即可． 【详解】解：∵， 当时，得：， ∴， ∴． 【变式8-3】当代数式的值为7时，则代数式的值为（        ） A． B．0 C． D．4 【答案】D 【分析】先根据已知条件得到的值，再将所求代数式变形为含有的形式，代入计算即可. 【详解】解：∵代数式的值为7， ∴， 移项整理得， 将所求代数式变形得， 把代入上式， ∴原式 ． 【题型9 程序流程图与代数式求值】 【例9】按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为11的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的求值．把每个选项的的值代入符合条件的代数式，进行计算，即可作答． 【详解】解：当，时，则，不符合题意； 当，时，则有，不符合题意； 当，时，则有，符合题意； 当，时，则有，不符合题意． 故选：C． 【变式9-1】按如图所示的程序运算，如果输入的值为，则输出的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求代数式的值，把的值代入运算程序中进行计算，直到运算结果大于为止． 【详解】解：当时， 可得：, 当时， 可得：, 当时， 可得：, 输出的值为． 故选：C． 【变式9-2】如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，以此类推，则第次输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数与程序运算问题，根据流程图以及整式的运算即可求出答案，从程序中找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， ， ∴从第三次开始，第奇数次输出的结果为，第偶数次输出的结果为， ∵是奇数， ∴第次输出的结果是， 故选：B． 【变式9-3】如图所示，在这个数据运算程序中，如果开始输入的的值为10，那么第1次输出的结果5，返回进行第二次运算，那么第2次输出的结果是16，．．．以此类推，第2026次输出的结果是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了程序图的规律问题， 先计算前9次输出的结果，进而得出规律，根据此规律解答即可． 【详解】解：开始输入的x的值是10，那么第1次输出的结果为； 第2次输出的结果为； 第3次输出的结果为； 第4次输出的结果为； 第5次输出的结果为； 第6次输出的结果为； 第7次输出的结果为； 第8次输出的结果为； 第9次输出的结果为； 从第4次开始3次一个循环，即， 所以第2026次输出的结果是4． 故选：B． 【题型10 单项式的判定】 【例10】下列说法正确的是（  ） A． B．的次数是5 C．是单项式 D．的常数项是 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的系数、次数定义，单项式的定义以及多项式常数项的概念，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题需根据单项式的系数、次数定义，单项式的定义以及多项式常数项的概念，逐一分析选项判断正误，然后即可求解； 【详解】解：∵单项式的系数是指单项式中的数字因数， ∴的系数是，故A错误； ∵单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，中字母的指数是3， ∴该单项式的次数是3，故B错误； ∵单项式是数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，而分母含有字母，不是数或字母的积， ∴它不是单项式，故C错误； ∵多项式中不含字母的项叫做常数项， ∴的常数项是，故D正确； 故选：D； 【变式10-1】下列说法正确的是（　　） A．是单项式 B．单项式的系数是 C．单项式的次数是5 D．多项式是三次二项式 【答案】A 【分析】本题考查单项式和多项式的定义，根据单项式和多项式的定义进行判断即可． 【详解】解：∵ 单项式是数字或字母的积，单独一个数也是单项式， ∴ 是单项式，A正确； ∵ 单项式的系数是数字因数，的系数是，不是， ∴ B错误； ∵ 单项式的次数是所有字母指数之和，中a指数1，b指数5，次数为6， ∴ C错误； ∵ 多项式的次数是最高次项的次数，中最高次项次数为2，是二次二项式， ∴ D错误， 故选：A． 【变式10-2】下列说法中，正确的是（   ） A．是单项式 B．的系数是0 C．1是单项式 D．的次数是3 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义和性质； 根据单项式是数字或字母的积，形式如系数乘以变量的乘积，或单独数字或字母，次数是变量指数的和逐一判断即可． 【详解】解： A、∵ 是分式，∴不是单项式，故此选项错误； B、∵的系数是1，不是0，故此选项错误； C、∵1是数字，∴1是单项式，故此选项正确； D、∵的次数是，不是3，故此选项错误； 故选：C． 【变式10-3】下列说法正确的是（    ） A．是六次多项式 B．不是单项式 C．的系数是，次数是2次 D．是多项式 【答案】C 【分析】此题主要考查了单项式、多项式的相关概念，正确把握相关概念是解题关键． 直接利用单项式的次数与系数的概念、多项式的相关概念分别判断得出即可． 【详解】解：∵ 对于A：的次数为3，的次数为4， ∴ 最高次项次数为4，不是六次多项式，故本选项不符合题意； 对于B：x是数字与字母的积，是单项式，故本选项不符合题意； 对于C：的系数为，次数为a和b的指数之和2，故本选项符合题意； 对于D：含有分母a，不是整式，故本选项不符合题意． 故选：C． 【题型11 单项式的项数、次数】 【例11】下列关于数与式的描述：①数轴上原点两侧的数互为相反数；②几个数相乘，当负因数个数为偶数个时，积为正数；③的底数是，指数是3；④的系数是．其中错误的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据相反数，有理数的乘法，乘方的概念，单项式的系数逐个判断即可． 【详解】解：①原点两侧的数绝对值不一定相等，不是相反数，故①错误； ②若相乘的数中有0，积为0，不是正数，故②错误； ③的底数为2，故③错误； ④的系数为，故④错误． 综上，错误的个数是4个． 【变式11-1】下列说法： ①用一个平面去截正方体，截面不可能是七边形；②数轴上与表示的点距离3个长度单位的点所表示的数是1；③的次数是5；④在数轴上与原点距离越远的点表示的数越大；⑤若，则．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据正方体截面性质、数轴概念、单项式次数定义、绝对值性质，逐一判断每个说法，统计正确说法的个数即可得到答案. 【详解】解：∵正方体一共只有6个面，截面和正方体最多相交得到6条边，最多是六边形，∴截面不可能是七边形，①正确； ∵数轴上与表示的点距离3个长度单位的点，在左侧对应数，右侧对应数1，共有两个数，∴②错误； ∵单项式的次数是所有字母的指数和，中，字母指数为2，指数为1，总次数为，不是5，∴③错误； ∵数轴原点左侧的点，与原点距离越远，对应的数越小，∴④错误； ∵当时，也满足，∴若，则，不是，∴⑤错误； 综上，正确的说法只有1个． 【变式11-2】单项式的系数是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查单项式系数的定义，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，解题的关键是逐个分析四个选项． 【详解】解：∵单项式的数字因数为， ∴该单项式的系数是． 故选B． 【变式11-3】单项式的系数是（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式系数的定义，单项式中的数字因数叫做单项式的系数；熟练掌握定义是解题关键．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，据此即可得答案． 【详解】解：∵单项式的系数是指单项式中的数字因数（含符号） ∴单项式的数字因数为 ∴该单项式的系数是， 故选A． 【题型12 写出满足某些条件的单项式】 【例12】①含有字母；②次数是3；请写出一个同时满足上述两个条件的单项式__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的定义及次数的概念，解题的关键是理解单项式次数是所有字母指数的和，并据此构造符合条件的单项式． 根据单项式次数的定义，确定字母、的指数和为，再写出含有字母、的单项式即可． 【详解】解：根据单项式次数的定义，所有字母的指数和为， 可令的指数为，的指数为， 则满足条件的单项式可以为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式12-1】写出一个系数是，次数是的单项式，这个单项式可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的定义．根据单项式的定义，系数是单项式中的数字因数，次数是所有字母的指数之和，因此，系数为、次数为的单项式需满足数字部分为，且字母部分的指数总和为即可． 【详解】解：可构造一个字母的指数为、系数为的单项式，如，其中的指数为，次数为，系数为，也可用多个字母，如，其中的指数为，的指数为，次数和为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式12-2】写出一个系数是、次数是2的单项式：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的概念，单项式的系数是指数字因数，次数是指所有字母的指数之和，因此系数为、次数为的单项式符合要求. 【详解】解：根据单项式的系数和次数的定义，系数是、次数是的单项式可以是或等，故答案为：（答案不唯一）. 【变式12-3】写出一个系数是2026，且只含有，两个字母的三次单项式___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式系数和次数的定义，系数为2026，次数为3，因此和的指数之和需为3，由此即可得出结果，熟练掌握单项式的定义是解此题的关键． 【详解】解：单项式的次数是所有字母的指数之和，要求三次单项式，即和的指数和为3，如， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型13 单项式规律题】 【例13】按一定规律排列的代数式：，其中第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由排列的代数式可知，单项式的系数符号由奇偶性决定，为，其后的数字为，字母为， ∴第个单项式是． 【变式13-1】观察这一列式子，按此规律排列，第24个式子为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别从符号、系数、x的次数三个部分寻找排列规律，推导得到第n个式子的通式，再代入计算得到结果． 【详解】解：∵观察给出的式子，可得； 第1个式子为 ， 第2个式子为 ， 第3个式子为 ， ⋯， 总结规律，第n个式子为 ， 将代入通式，得 . 因此第24个式子对应选项B． 【变式13-2】按一定规律排列的单项式：，，，，，，…．则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别从符号、分子系数、分母、x的次数四个部分寻找其与序数n的规律，再归纳得到第n个单项式即可． 【详解】解：我们分四部分找规律： ①符号规律： ∵第1个为正，第2个为负，第3个为正，第4个为负， ∴符号的规律为； ②分子系数规律： ∵第1个分子系数是，第2个是，第3个是，， ∴分子系数规律为； ③分母规律： ∵第1个分母是，第2个分母是，第3个分母是，， ∴分母规律为； ④x的次数规律： ∵第1个x的次数是，第2个x的次数是，第3个x的次数是，， ∴x的次数规律为． 综上，第n个单项式是． 【变式13-3】观察下列关于x的单项式，探究其规律：，…．按照上述规律，第2026个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，解题的关键是找出规律． 观察单项式的规律：符号交替变化，系数分子为从3开始的奇数序列，分母为项数，x的幂次与项数相同． 【详解】解：第n个单项式为 ， 当时， 符号：（负数）， 系数分子：， 分母：2026， x的幂：， ∴第2026个单项式为 ． 【题型14 多项式的判断】 【例14】在式子、、、、、5、中一次式有（   ）个 A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了单项式和多项式的次数，单项式的次数是单项式中所有字母指数之和，多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，解决本题的关键是根据单项式的次数和多项式的次数的定义分别求出每一个整式的次数，然后再进行判断． 【详解】解：在式子、、、、、、中， 的次数为，的次数为，的次数为，的次数为，不为整式，的次数为，不是整式， 次数为的整式有个． 故选：D． 【变式14-1】下列说法正确的是（　　） A．是整式 B．的系数是，次数是4 C．的次数为5 D．是三次二项式 【答案】A 【分析】本题考查了整式、单项式的次数、系数、多项式的次数的定义的应用，关键是能准确理解并运用以上知识．根据整式、系数和次数的定义逐一判断各选项. 【详解】∵ 整式是分母中不含字母的代数式， 选项A: 的分母为数字3，不含字母， ∴ 它是整式，A正确，符合题意； 选项B: 的系数应为，次数为x和y的指数之和， ∴ B错误，不符合题意； 选项C: 即，次数为， ∴ C错误，不符合题意； 选项D: 中π为常数，r为变量，最高次数为2，是二次二项式． ∴ D错误，不符合题意. 故选：A． 【变式14-2】下列判断中错误的是（   ） A．中，系数是 B．是单项式 C．是多项式 D．是二次三项式 【答案】A 【分析】本题考查单项式、多项式的相关概念，涉及知识点：单项式的系数、单项式的定义、多项式的次数与项数．解题方法是逐一分析选项，根据单项式、多项式的定义判断；解题关键是明确单项式（数或字母的积）、多项式（几个单项式的和）的概念，易错点是混淆单项式的系数、多项式的次数．解题思路：分别判断每个选项中代数式的类型、系数、次数，找出错误选项． 【详解】∵ 单项式的数字因数是，∴ 系数是，而不是，故A错误． 其他选项：B中是单项式，正确；C中是多项式，正确；D中是二次三项式，正确． 故选A． 【变式14-3】下列关于整式的说法正确的是（    ） A．单项式的次数是1 B．两个二次三项式的和一定是多项式 C．多项式是二次三项式 D．的次数是0 【答案】D 【分析】本题考查了单项式和多项式的相关概念．需依次分析每个选项，根据单项式和多项式的相关概念判断其正误，从而确定正确选项． 【详解】解：A项：单项式是数与字母的积组成的代数式，而，它是与这两个单项式的和，所以是多项式，不是单项式，故A错误； B项：两个二次三项式相加，当它们的二次项、一次项和常数项分别互为相反数时，和为0，0是单项式，不是多项式，所以两个二次三项式的和不一定是多项式，故B错误； C项：多项式中，的次数是2，的次数是，是常数项，次数为0，多项式的次数是次数最高项的次数，所以该多项式的次数是3，是三次三项式，不是二次三项式，故C错误； D项：单独的一个数也是单项式，是单项式，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，中没有字母，所以它的次数是0，故D正确． 故选：D． 【题型15 多项式的项、项数、次数】 【例15】下列说法正确的是（   ） A．是单项式 B．的系数是 C．的常数项是5 D．是四次三项式 【答案】D 【分析】本题考查单项式与多项式的相关定义，需依据单项式的系数、次数，多项式的项、次数、常数项的定义逐一判断选项． 【详解】A．，是两个单项式的和，属于多项式，故本选项不符合题意； B．单项式的系数是，故本选项不符合题意； C．多项式的常数项是，故本选项不符合题意； D．的次数为，且该多项式有三项，是四次三项式，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式15-1】下列说法：①表示负数；②多项式的次数是4；③单项式的系数为；④若，则．其中正确的有（    ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查负数定义、多项式次数、单项式系数及绝对值性质，熟练掌握相关定义与性质是解题关键． 根据负数定义、多项式次数定义、单项式系数定义、绝对值性质，逐一判断各说法正误，确定正确选项． 【详解】当时，；当时，；当时，；故①说法错误； 多项式中次数最高的项是，次数为， 该多项式次数是5，故②说法错误； 单项式的系数为，故③说法正确； 由绝对值性质可知，若，则x为非正数，即，故④说法正确． 综上，正确的是③④． 故选：B． 【变式15-2】张老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述： 小明：这个代数式是一个六次三项式； 小红：这个代数式的最高次项系数为； 小华：这个代数式的常数项是7． 如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的定义，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项．根据描述，代数式需满足：是六次三项式、最高次项系数为、常数项为，逐一验证选项即可； 【详解】解：A. ，是四次三项式、最高次项系数为、常数项为，故该选项不正确，不符合题意； B. ，是六次三项式、最高次项系数为、常数项为，故该选项正确，符合题意； C. ，是六次三项式、最高次项系数为、常数项为，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，是四次三项式、最高次项系数为、常数项为，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式15-3】下列结论中正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的次数是，没有系数 C．多项式是三次三项式 D．不是整式 【答案】C 【分析】本题考查单项式的系数和次数、多项式的次数和项数以及整式的概念. 根据定义逐项判断即可. 【详解】∵ 单项式的系数是数字因数，次数是所有字母指数的和；多项式的次数是最高次项的次数，项数是单项式的个数；整式包括单项式和多项式． 对于A：单项式 的系数是 ，不是 ；次数是，不是4． ∴ A错误． 对于B：单项式 的次数是1，但系数是1，不是没有系数． ∴ B错误． 对于C：多项式 中，项 次数为2，项 次数为，项 次数为0，最高次数为3，有3项． ∴ 是三次三项式． ∴ C正确． 对于D：0是单项式，因此是整式． ∴ D错误． 故选：C． 【题型16多项式系数、指数中字母求值】 【例16】已知多项式是关于，的四次三项式，的值是（    ） A．6 B．3 C． D．或3 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多项式为四次三项式，需满足第一项系数非零且次数为4，其他项次数较低．通过计算各项次数，结合条件求解m． 【详解】解：∵多项式为四次三项式， ∴第一项系数，即． 第一项次数为， 第二项次数为， 第三项次数为． ∵最高次数为4， ∴， 解得，即或． 但， ∴． 故选：C． 【变式16-1】多项式是关于x、y的五次三项式，则m的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的定义． 根据五次三项式的定义，最高次数为5且有三项，需确保各项系数非零． 【详解】解：∵多项式是五次三项式， ∴第一项次数为， 即， 解得． 当时，第二项系数，多项式为，只有两项，不符合； 当时，第二项系数，多项式为，是五次三项式； ∴． 故选：A． 【变式16-2】若多项式是关于的二次三项式，则的值是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式的定义，绝对值的应用．根据二次三项式的定义，多项式最高次项为二次，且必须有三项．因此，，且一次项系数据此计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴最高次项的次数为2，即， ∴或． 又∵多项式有三项， ∴一次项的系数． 当时，，多项式为，符合条件； 当时，，一次项消去，多项式为，是二次二项式，不符合条件． ∴． 故选：A． 【变式16-3】若关于的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的定义，熟悉掌握多项式的定义是解题的关键． 根据多项式的定义求出这个多项式，再把代入求解即可． 【详解】解：∵关于的多项式为二次三项式， ∴，， ∴，， 即多项式为， 当时，二次三项式． 故选：B． 【题型17 将多项式按某个字母升幂或降幂排列】 【例17】对于整式表述正确的是（    ） A．该整式已按字母升幂排列 B．该整式已按字母降幂排列 C．该整式的常数项是4 D．该整式最高次项的系数是1 【答案】B 【分析】根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，逐项分析判断即可． 本题主要考查了多项式的相关概念，熟练掌握多项式的次数、项和项数是解题的关键． 【详解】解：整式为， 选项A：按字母升幂排列需指数从小到大，但各项指数依次为1、3、0，非升幂排列，故A错误； 选项B：按字母降幂排列需指数从大到小，各项指数依次为2、1、0，是降幂排列，故B正确； 选项C：常数项为不含字母的项，即，非4，故C错误； 选项D：最高次项为，次数为4，系数为，非1，故D错误； 故选：B． 【变式17-1】观察多项式排列规律，则内应填（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多项式概念，通过观察可知，此多项式中的各项除常数项外均为四次项，且按b升幂排列，由此可以确定括号的内容． 【详解】解：∵多项式中的各项除常数项外其余均为四次项，且按b升幂排列， ∴符合此条件的为． 故选：C． 【变式17-2】多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了将多项式按某个字母降幂排列，熟练掌握多项式的项与次数的定义“多项式中每一个单项式称为该多项式的项（带符号）；次数最高的项的次数即为该多项式的次数”是解题关键．求出多项式的每一项中字母的次数，由此即可得． 【详解】解：在多项式中，中字母的次数是2，中字母的次数是0，中字母的次数是1，中字母的次数是4， 则这个多项式按字母的降幂排列为， 故选：C． 【变式17-3】以下四个选项是小丽同学的四道作业，其中有一道不正确，你认为是（   ） A．和m都是单项式 B．单项式的系数是 C．多项式的次数是4 D．多项式按的降幂排列为 【答案】D 【分析】本题考查了单项式与多项式，正确把握相关定义是解题的关键． 分别利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而得出答案． 【详解】解：A．和m都是单项式，故该选项正确，不合题意； B．单项式的系数是，故该选项正确，不合题意； C．多项式的次数是4，故该选项正确，不合题意； D．多项式按的降幂排列为，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 【题型18 整式的判断】 【例18】下列说法正确的有（   ）个 ①单项式x的系数和次数都是0； ②的次数是11； ③多项式是由1，，三项组成； ④在，，中整式有2个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查单项式的系数和次数、多项式的次数和项、整式的定义，需逐一判断各说法的正确性． 【详解】解：单项式x的系数是1，次数是1，①说法错误； 多项式中，最高次项次数为4，因此该多项式的次数是4，②说法错误； 多项式是由1，，三项组成，③说法错误； 在，，中，，是整式，共2个整式，④说法正确； 故正确的说法有1个， 故选：A． 【变式18-1】下列说法错误的是（    ） A．多项式是四次三项式 B．单项式的次数是3 C．是整式 D．单项式的系数是 【答案】D 【分析】本题考查整式，单项式的系数、次数以及整式和多项式的定义、项数、次数，根据相关概念逐一判断各选项． 【详解】解：A、多项式的最高次项的次数为4，且有三项，因此是四次三项式，正确，不符合题意； B、单项式，次数为3，正确，不符合题意； C、，是多项式，属于整式，正确，不符合题意； D、单项式的系数是数字部分，包括常数，因此系数是，而不是，选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式18-2】下列说法正确的是（） A．单项式的系数是，次数是7 B．不是整式； C．单项式的系数是，次数是5 D．是一次二项式 【答案】A 【分析】本题考查单项式的系数和次数、整式的定义以及多项式的次数，掌握知识点是解题的关键．根据单项式的系数和次数、整式的定义以及多项式的次数，逐项分析判断即可． 【详解】解：选项A：单项式的系数是，次数是，该项正确； 选项B：的分母是常数9，属于整式，该项错误； 选项C：单项式的系数是（π为常数），次数是，该项错误； 选项D：中含有分式（分母含字母），不是整式，故不是一次二项式，该项错误； 故选A． 【变式18-3】给出下列说法：①是三次三项式；②单项式m的次数是1，没有系数；③单项式的系数是，次数是4；④的一次项的系数是1；⑤0是单项式；⑥代数式0，，，中整式有2个．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了多项式、单项式、整式的相关定义，根据多项式、单项式、整式的相关定义逐项分析即可得出结果，熟练掌握多项式、单项式、整式的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：①是二次三项式，故原说法错误，不符合题意； ②单项式m的次数是1，系数为1，故原说法错误，不符合题意； ③单项式的系数是，次数是3，故原说法错误，不符合题意； ④的一次项的系数是，故原说法错误，不符合题意； ⑤0是单项式，故原说法正确，符合题意； ⑥代数式0，，，中整式有0，，，共3个，故原说法错误，不符合题意； 综上所述，正确的有⑤，共个， 故选：A． 【探究式学习】 1．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：    (1)在④后面的横线上写出相应的等式：①；②；③；④ ； (2)请猜想 ； (3)请用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)2500 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． （1）观察图形的变化情况即可填空． （2）根据图示和数据可知规律是：等式左边是连续的奇数和，等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方，据此可得结论． （3）根据式子的特点，再利用所得规律计算． 【详解】（1）解：根据题意可知：④． （2）解：，，，， 猜想：． （3）解： ． 2．【阅读理解】 规定符号表示a，b这两个数中较小的一个数．规定符号表示a，b这两个数中较大的一个数．例如，． 【尝试应用】 请计算的值． 【拓展探究】 若，求代数式的值． 【答案】尝试应用： 拓展探究： 【分析】本题考查新定义，有理数的大小比较，代数式求值．解题的关键是理解新定义． 尝试应用：根据和表示的数计算即可； 拓展探究：根据和表示的数求出m和n的关系式，再代入代数式计算即可． 【详解】尝试应用：∵，， ∴； 拓展探究：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．观察下列等式： ，，． 将以上三个等式两边分别相加得． (1)猜想并写出：=______． (2)直接写出计算结果：=______． (3)探究并计算，请写出计算过程： ①； ②． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）观察第一行等式，可得答案； （2）仿照第二行等式的运算结合（1）中等式计算即可； （3）仿照（2）求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴； （2）解： ； （3）解：① ； ② ． 【课后检测】 1．在，，，，，，，中，正数有个，负数有个，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】注意0既不是正数也不是负数，分别统计正负数个数后计算的值． 【详解】解：正数有，，，，共4个，故， 负数有，，，共3个，故， ∴． 2．下列代数式中，符合代数式书写要求的有（     ） （1）；（2）；（3）；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：的带分数系数应化为假分数，不符合书写要求． 与均将除法运算写为分数形式，符合书写要求． 中相同字母相乘应写为幂的形式，不符合书写要求． 符合要求的代数式共有2个． 3．当时，代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，． 4．某商品的进价为元，先按进价的倍标价后又降价元出售，现在的售价是（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【详解】解：根据题意得，商品现在的售价为元． 5．观察下列代数式：，，，，，…，则第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察可知第n个代数式为单项式，其系数为，次数为n，据此可得答案． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推可知第个代数式是． 6．按一定规律排列的单项式：，，，，，……，则第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察所给单项式的系数及次数，发现规律即可得解． 【详解】解：∵，，，，，……， ∴这列单项式的系数依次为：2，4，6，8，10，，， 这列单项式的次数依次为：1，2，3，4，5，， ∴第个单项式是：． 7．已知是由2022个或1组成的数组，，则的值为（   ） A．2021 B．4042 C．3640 D．4846 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴的个数比的个数多个， ∵，， ∴的个数有个，的个数有个， ∴ ． 8．已知，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对所求代数式变形，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 9．若，则的值为（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：∵ 又∵ ∴ ∴ ∴原式． 10．将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第行从左至右的第个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找到数的排列规律，求出第行结束的时候一共出现的数的个数，再求第行从左向右的第个数，即可解答． 【详解】解：由排列的规律可得，第行结束的时候排了个数， 第行从左向右的第个数为， 第行从左向右的第个数为． 11．若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 12．若有理数、满足，则_________． 【答案】 【分析】利用绝对值的非负性，得到两个绝对值分别为0，求出和的值，再计算． 【详解】解：∵任意有理数的绝对值都是非负数，即，，且 ∴， 解得，， ∴． 13．若，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】运用整体思想是解答本题的关键．代数式中是的倍，故用整体代入法即可解决． 【详解】解：． 14．买一个篮球需要m元，买一个排球需要n元，则买1个篮球和2个排球共需_______元． 【答案】/ 【分析】根据题意得，1个篮球需要m元，2个排球需要元，则共需元． 【详解】解：买1个篮球和2个排球共需要元． 15．已知，则________． 【答案】 【分析】已知，设比例系数为，将用表示后代入所求分式计算即可． 【详解】解：设，则，，， 则． 16．已知，，且，，求的值； 【答案】 【详解】解：∵，，且，， ∴， ∴． 17．列代数式： (1)的平方与的一半的和； (2)一个两位正整数，它的十位数字是，个位数字是，写出这个两位数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别表示出的平方和的一半，二者求和即可得到答案； （2）把这个两位数的十位数字乘以10，再加上个位数字即可得到答案． 【详解】（1）解：的平方与的一半的和可表示为 ； （2）解：由题意得该两位数可表示为． 18．按要求完成下列各题： (1)小明用长度相同的小棒按如图所示的规律拼摆图形，第n个图形需要多少根小棒？ (2)小颖给出一种新的拼摆方式，按照小颖的方式拼摆，第n个图形所需小棒的根数为．请你画图表示小颖的拼摆方式． (3)请你设计出其他有规律的拼摆方式，根据你的拼摆规律提出问题并加以解决． 【答案】(1)第n个图形需要根小棒 (2)如图所示： (3)如图所示： 提出问题：第n个图形需要多少根小棒？ 答：第n个图形需要根小棒 【详解】（1）解：第1个图形需要小棒：（根）； 第2个图形需要小棒：（根）； 第3个图形需要小棒：（根）； 以此类推，第n个图形需要根小棒； （2）解：如图所示： 第1个图形有小棒：（根）； 第2个图形有小棒：（根）； 第3个图形有小棒：（根）， 以此类推，第n个图形有小棒：（根）； （3）解：如图所示： 提出问题：第n个图形需要多少根小棒？ 第1个图形有小棒：（根）； 第2个图形有小棒：（根）； 第3个图形有小棒：（根）， 以此类推，第n个图形需要根小棒． 19．某厂的某生产合作小组每天平均组装个某型号电子产品（每周工作五天），而实际产量与计划产量相比有出入，下表记录了某周的五个工作日每天实际产量情况（超过计划产量记为正，少于计划产量记为负）． 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 实际生产量 (1)用含的代数式表示合作小组本周五天生产电子产品的总量为________个； (2)该厂实行每日计件工资制，每组装生产一个电子产品可得元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元，少生产一个扣元，当时，请求出该小组这一周的工资总额； (3)若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，当时，在此方式下这一周此小组的工资总额与按日计件的工资哪个多？请说明理由． 【答案】(1) (2)元 (3)， ， ∵， ∴实行每周计件工资制此小组的工资总额更多 【分析】（1）根据正负数的意义分别表示出5天的生产电子产品的数量，再求和即可； （2）天的生产电子产品的总数元超出部分的奖励罚款，可得工人这一周的工资总额； （3）计算出一周的工资，然后与（2）中数据进行比较即可． 【详解】（1）解：， ∴本周天生产电子产品的总量为个； （2）解：当时，， ， ∴该厂工人这一周的工资总额是9250元； （3）略 20．定义新运算“”：，已知，，则的值为？ 【答案】或 【分析】本题考查了代数式求值，根据新定义分类讨论，分别求得的值，再代入式子进行计算即可求解． 【详解】解：已知，是奇数不符合新的运算法则， 如果则，解得：； 如果则，解得：； 已知，是奇数不符合新的运算法则， 如果，则，解得：，舍去； 如果，则，解得：； 当，时，， 当，时，． 21．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．以下是老师安排的作业题． 代数式的值为7，则代数式的值为_______． 阅读理解： 小乐在做作业时采用的方法如下： ， ， ， ∴代数式的值为5． 方法运用： （1）若代数式，则代数式_______； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 拓展运用： （3）已知，，，求的值； （4）已知，的值为最大负整数，求的值． 【答案】（1）11；（2）；（3）2022；（4）19 【分析】本题考查了整体代入求值，准确计算是解题的关键． （1）原式整理成，再整体代入，即可求解； （2）先将代入得出，再将代入得到，整体代入，即可求解； （3）由当，时得到，再整体代入，即可求解； （4）先求得，再将原式整理成，再整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：11； （2）解：把代入，得 ， ， 当时， ； （3）解：当，时， ， 当，即时， ∴原式； （4）解：∵的值为最大负整数， ∴， ∵， ∴    ． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 50 页 第 1 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $