第一章集合（期中知识清单）高一数学上学期苏教版

第1章 集合　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 集合的概念与表示 1.1 集合与元素的定义 一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元。 示例：“中国的直辖市”组成一个集合，该集合的元素就是北京、天津、上海和重庆这 个城市。 1.2 常用数集及其记号 集合 定义 记号 自然数集 全体自然数组成的集合 正整数集 全体正整数组成的集合 或 整数集 全体整数组成的集合 有理数集 全体有理数组成的集合 实数集 全体实数组成的集合 示例：，但 。 1.3 元素与集合的关系——属于 集合的元素常用小写拉丁字母表示。如果 是集合 的元素，那么就记作 ，读作“ 属于 ”；如果 不是集合 的元素，那么就记作 ，读作“ 不属于 ”。 示例：，；，。 1.4 集合的表示方法——列举法 列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“”内。用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关。 示例：由方程 所有的实数解组成的集合，可表示为 （也可以是 ）。 1.5 集合的表示方法——描述法 描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成 的形式，其中 为集合的代表元素， 指元素 具有的性质。 示例：，。 1.6 集合的表示方法——Venn 图 为了直观地表示集合，我们常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为 Venn 图。 1.7 集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同（即 中的元素都是 的元素， 中的元素也都是 的元素），那么称这两个集合相等。 示例：北京，天津，上海，重庆上海，北京，天津，重庆。 1.8 有限集与无限集 含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集。 示例： 是有限集， 是无限集。 1.9 空集 我们把不含任何元素的集合称为空集，记作 。 示例：集合 就是空集。 2. 子集、全集、补集 2.1 子集 如果集合 的任意一个元素都是集合 的元素（若 ，则 ），那么集合 称为集合 的子集，记为 或 ，读作“集合 包含于集合 ”或“集合 包含集合 ”。 示例：，。 注意：任何一个集合是它本身的子集，即 ；并且规定 ，即空集是任何集合的子集。 2.2 真子集 如果 ，并且 ，那么集合 称为集合 的真子集，记为 或 ，读作“ 真包含于 ”或“ 真包含 ”。 示例：。 2.3 补集 设 ，由 中不属于 的所有元素组成的集合称为 的子集 的补集，记为 （读作“ 在 中的补集”），即 示例：设 ，，则 。 2.4 全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作 。 示例：在实数范围内讨论集合时， 便可看作一个全集 。 3. 交集、并集 3.1 交集 由所有属于集合 且属于集合 的元素构成的集合，称为 与 的交集，记作 （读作“ 交 ”），即 示例：，，则 。 注意：显然有 ，，。 3.2 并集 由所有属于集合 或者属于集合 的元素构成的集合，称为 与 的并集，记作 （读作“ 并 ”），即 示例：，，则 。 注意：显然有 ，，。 3.3 区间 设 ，，且 ，规定： 区间 定义 名称 闭区间 开区间 左闭右开区间 左开右闭区间 开区间 开区间 ， 分别叫作闭区间、开区间； 叫作左闭右开区间， 叫作左开右闭区间；， 叫作相应区间的端点。 示例：；。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 有限集子集个数 含有 个元素的集合有 个子集、 个真子集、 个非空子集、 个非空真子集。 【使用提醒】真子集要去掉集合本身，非空子集要去掉空集 ；求“满足条件”的子集个数时，先确定必选元素、再对剩余元素按“选或不选”分步计数。 1.2 两集合相等与包含的判定 的充要条件是 且 ；判断 只需验证 中每一个元素都属于 ，反之找出一个属于 而不属于 的元素即可否定。 1.3 有限集并集的元素个数（容斥原理） 设有限集 ， 的元素个数分别为 ，，则 的元素个数为 ，即“并集个数 两个各自个数之和 重叠个数”。 1.4 元素的互异性 集合中的元素互不相同。由集合相等、包含关系列式求参数后，必须把所得值代入检验，剔除使集合中元素重复或违背题设条件的值。 【使用提醒】形如 、 的集合中，字母取值不能使两个位置元素相同；如 中须 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 判断两个集合的关系 把两集合化为列举法（或借助数轴、Venn 图）→ 观察元素是否互相包含 → 判定相等、真子集或子集。如 ，，故 。 2.2 由集合相等求参数 由“元素完全相同”建立对应相等（先看相同元素，再对剩余元素两两配对）→ 解出参数 → 代入检验互异性与题设。如 ， 且 ：两集合都含 ，非公共元素须相等，即 ，得 （若 ，则 而 ，不等）；检验 成立。 2.3 已知包含关系求参数范围 把含参集合用数轴表示 → 依据 等关系确定端点的大小顺序（含等号则端点可重合）→ 解不等式组得参数范围。端点能否取等号，就代入检验该端点是否使包含关系成立。 【使用提醒】当含参集合可能为 （如 中 ）时，要先讨论其为 的情形，避免漏解。 2.4 数轴法求交集、并集、补集 在数轴上标出各集合对应区间 → 交集取“公共部分”、并集取“所有覆盖部分”、补集取“全集内挖去 的部分” → 注意端点是实心点还是空心点。如 ，，则 ，。 3. 集合运算小技巧 技巧 要点 示例 描述法↔列举法互化 描述法先明确代表元素与条件，再逐一代入符合条件的值写出列举法；列举法找共同特征写描述法 端点实心/空心 含“”“”端点取到（实心点），含“”“”端点不取（空心点）；补集相应反转 区间求交并 先画数轴再取公共（交）或覆盖（并），端点逐点核对 Venn 图辅助 集合关系、元素计数问题画 Venn 图，重叠区域即交集 见 1.3 容斥原理 补集“取反” 就是把全集 中属于 的部分挖去 ，，则 4. 常见考试模型 4.1 容斥计数模型 公式：设全集 中，具有性质 的元素有 个、具有性质 的元素有 个、同时具有两种性质的有 个，则至少具有一种性质的有 个，两种性质都没有的有 个。 限定：“同时具有两种性质”的 个已被 、 重复计数，计算总数时须减一次；各人数均为非负整数。 示例：如某班 人，参加排球赛 人、田径赛 人、两项都参加 人，则未参加比赛的有 人。 4.2 由包含关系求参数范围模型 公式：把含参集合与已知集合均用区间（或列举）表示，由 、、 等关系列端点不等式组求解。 限定：端点能否取等号须代入验证；含参集合可能为空集时要先讨论 情形。 示例：如 ，，若 ，则需 （端点 可取）。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：混淆“元素与集合”的从属关系（∈）和“集合与集合”的包含关系（⊆） 典例：判断下列表述是否正确：。 错解：正确， 是集合 的子集。 正解：错误。 是元素， 是集合，元素与集合之间用“”表示从属，集合与集合之间才用“”表示包含。正确表述应为 ；而 表示的才是包含关系。 原因：概念混淆，没分清关系符号两侧的对象。 左边必须是元素、右边必须是集合； 两侧都必须是集合。凡是遇到“某某是元素还是集合”的判断题，先看花括号：加了 的就是集合，没加的就是元素。 易错点 2：混淆 、、 三者，误以为“空集是任何集合的真子集” 典例：判断下列命题是否正确：空集是任何集合的真子集。 错解：正确。 正解：错误。空集 是任何集合的子集（），但空集不是它本身的真子集。真子集要求 且 ，当 时不满足 ，所以 不是 的真子集。只能说：空集是任何[非空]集合的真子集。 原因：混淆“子集”与“真子集”两个概念。子集允许两边相等，真子集要求“包含且不等于”。学生记住了“空集最特殊”，却把“空集是任何集合的子集”误扩大成“真子集”，忽略了空集与自身相等这一退化情形。 易错点 3：由集合相等求参数时，忽略元素的互异性 典例：设 ， 为实数，，，且 ，求 ， 的值。 错解：由 得 ，，只有这一组解。 正解： 即 ，且 （元素互异）。所以 ， 或 ，，共两组解。若 ，则 退化为单元素集合，不可能等于 。 原因：忽略元素互异性与集合的无序性。学生把集合 的字母当成了有固定位置的“有序对”，只写出 ， 一组，没意识到 、 可交换；同时漏掉“”的约束，未检验取出的值是否使集合元素重复。 易错点 4：求补集时忽略全集 的范围 典例：已知 。（1）若全集 ，求 ；（2）若全集 ，求 。 错解：（1）（2）都填 。 正解：（1）；（2）。因为补集的定义是 ，全集只有 ，补集要在 内挖去 的部分，即 。 原因：忽略补集定义中的前提“”，脱离全集 直接“取反”。学生一看到求补集就只把不等号反向，忘了补集是相对全集而言的， 的部分本不在 内，不能混入补集。补集的结果一定随全集 的改变而改变。 易错点 5：描述法中代表元素理解错误 典例：分别说明集合 、、 的元素是什么。 错解：三个集合都表示函数 的函数值的集合。 正解： 中代表元素是 ，； 中代表元素是 ，； 中代表元素是点 ， 是抛物线 上所有点组成的集合。三者完全不同。 原因：描述法 中，竖线“”前的字母是[代表元素]，它决定集合的元素是“数”还是“点”、是自变量还是函数值。学生只盯着竖线后的条件 ，忽略了代表元素的作用，把“自变量集、函数值集、点集”混为一谈。读描述法一定先看竖线前是什么。 学科网（北京）股份有限公司 $