第二章常用逻辑用语（期中知识清单）高一数学上学期苏教版

第二章 常用逻辑用语　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 命题、定理、定义 1.1 命题的定义 在数学中，我们将可判断真假的陈述句叫作命题。 示例：”两个偶数的和是偶数”可判断真假，是命题；“同位角相等”可判断真假，也是命题。 注意：判断命题为真，需要进行证明；判断命题为假，只需举出一个反例。 示例：命题”若 ，则 “，取 时 但 ，故命题为假。 1.2 命题的形式 数学中，许多命题可表示为”如果 ，那么 “或”若 ，则 “的形式，其中 叫作命题的条件， 叫作命题的结论。 示例：命题”若 ，则 “中，条件 是”“，结论 是”“。 1.3 定理 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理。 示例：”对顶角相等”“同位角相等，两直线平行”都是已经被证明为真的命题，可作为定理直接使用。 1.4 定义 定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵。定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别。 示例：”两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”是一个定义，它通过”四边形”与两组”对边”分别”平行”来描述平行四边形。 2. 充分条件、必要条件、充要条件 2.1 推出关系 一般地，当命题”若 ，则 “为真命题时，我们就说”由 可以推出 成立”，记作”“，读作” 推出 “；如果命题”若 ，则 “为假命题，就说”由 不能推出 成立”，记作”“，读作” 不能推出 “。 示例：，但 ；，但 。 2.2 充分条件与必要条件 如果”“，那么称 是 的充分条件，也称 是 的必要条件。 示例：，所以”“是”“的充分条件，同时”“是”“的必要条件。 2.3 充要条件 如果 ，且 ，那么称 是 的充分且必要条件，简称为 是 的充要条件，也称 的充要条件是 。 示例：”三角形的三边相等”与”三角形是等边三角形”互为充要条件，即”三角形的三边相等”“三角形是等边三角形”。 2.4 等价 为了方便起见，如果 是 的充要条件，就记作 ，称为” 与 等价”，或” 等价于 “。 示例：”对角线互相平分的四边形是平行四边形”与”两组对边分别平行的四边形是平行四边形”等价，二者都可作为平行四边形的定义。 2.5 传递性 “”和”“都具有传递性，即如果 ，，那么 ；如果 ，，那么 。 2.6 性质定理与判定定理 性质定理是指某类对象具有的具体特征，性质定理具有”必要性”；判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的所有特征，判定定理具有”充分性”。 示例：性质定理”平行四边形的对角线互相平分”表明”对角线互相平分”是”四边形是平行四边形”的必要条件；判定定理”对角线互相平分的四边形是平行四边形”表明”对角线互相平分”是”四边形是平行四边形”的充分条件。 3. 全称量词命题与存在量词命题 3.1 全称量词与存在量词 “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号”“表示”对任意 “。”存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号”“表示”存在 “。 示例：”对任意实数 ，都有 “含有全称量词”任意”；“存在有理数 ，使 ”含有存在量词”存在”。 3.2 全称量词命题与存在量词命题 含有全称量词的命题称为全称量词命题，含有存在量词的命题称为存在量词命题。它们的一般形式可表示为：全称量词命题：；存在量词命题：。其中， 为给定的集合， 是一个关于 的语句。 示例：”“是全称量词命题；”“是存在量词命题。 3.3 命题真假的判定 要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为真即可；否则命题为假。要判定一个全称量词命题为真，必须对给定的集合中的每一个元素，命题都为真；但要判定一个全称量词命题为假，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为假。 示例：”“为真（取 ）；”“为假（取 ， 不成立）。 3.4 全称量词命题与存在量词命题的否定 “”的否定为”“；”“的否定为”“。其中，”“是对语句”“的否定。 对一个命题进行否定，就得到了一个新的命题，这两个命题的关系是”一真一假”或”此假彼真”。 示例：”所有的正方形都是矩形”的否定是”有的正方形不是矩形”；“”的否定是”“。 注意：对全称量词命题的否定，主要是对全称量词的否定，“任意”“所有”的否定分别是”存在”“不都”；对存在量词命题的否定，主要是对存在量词的否定，“存在”“有”的否定分别是”任意”“所有”。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 集合法判断充分必要条件 设 、 分别为满足条件 、 的 所构成的集合，则： 时 ， 是 的充分条件； 时 ， 是 的必要条件； 时 ， 是 的充要条件。直观上，范围小的是充分条件，范围大的是必要条件，范围相同是充要条件。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 判断充分、必要、充要条件的步骤 先判断 是否成立，再判断 是否成立：两个都成立则为充要条件；仅 成立则为充分不必要条件；仅 成立则为必要不充分条件；两个都不成立则为既不充分也不必要条件。如”“与”“： 成立，而 ，故”“是”“的充分不必要条件。 2.2 含参条件求参数范围 把条件 、 分别转化为关于参数的集合，再利用集合的包含关系列不等式求解，注意区间端点（等号）是否可取。如”“是”“的充分条件，则 ，故 。 2.3 写命题否定的步骤 先改量词（全称量词与存在量词互换），再否定结论。如”“的否定是”“。 3. 判断技巧 技巧 要点 示例 定义法 看 与 哪个方向成立 成立，故”“是”“的充分条件 集合法 把条件转化为集合，用包含关系判断 则 是 的充分条件 反例法 说明”不能推出”只需举一个反例 ，如取 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：判断充分、必要条件时，把推出方向搞反 典例：”“是”“的什么条件？ 错解：充分条件。因为当 时， 成立。 正解：由 ，所以”“是”“的必要条件；又 （如 ），故”“是”“的必要不充分条件。 原因：推出方向搞反。“ 是 的充分条件”指的是 ，即由 出发推出 。学生看到两个式子有联系就匆忙下结论，没有严格按定义核对”由谁推出谁”。应先明确” 是 的充分条件”，再分别判断两个方向。 易错点 2：混淆” 是 的充分条件”与” 的充分条件是 ” 典例：已知 ，。判断” 是 的充分条件”是否正确。 错解：正确。因为把 代入 ，等式成立。 正解：” 是 的充分条件”指 。由 （即 ）解得 或 ，不能推出 （）。事实上是 ，即 是 的充分条件，所以” 是 的充分条件”是错误的。 原因：把” 是 的充分条件”（）与” 的充分条件是 “（）混为一谈。两种表述中”的”字前后位置不同，主语互换，推出方向相反。凡遇到” 的充分条件是 “，一律翻译成”“再判断。 易错点 3：判断充要条件时，只验证了一个方向 典例：判断”“是”“的充要条件是否正确。 错解：正确。因为 成立，所以”“是”“的充要条件。 正解： 成立，但 （如 ，）。故”“是”“的充分不必要条件，不是充要条件。 原因：漏验一个方向。“充要条件”要求 与 两个方向都成立，学生只验证了 就下”充要条件”的结论，忽略了反向 的验证。判断充要条件必须正反两个方向都检查。 易错点 4：全称量词命题的否定，量词与结论没有同时改变 典例：写出命题”“的否定。 错解：”“。 正解：”“。 原因：把”命题的否定”误解为”只否定结论”。全称量词命题的否定要同时做两件事：把全称量词改为存在量词、把结论 改为 （“”改”“）。只否定结论而保留全称量词，得到的不是原命题的否定。 易错点 5：含参”充分条件”求参数范围时，忽略区间端点 典例：设 ，，若 是 的充分条件，求实数 的取值范围。 错解：由 ，即 恒成立，所以 。 正解： 是 的充分条件，即 恒成立，也就是集合 ，故 。 原因：忽略区间端点。 要恒成立，只需集合 包含于 ，此时 可取 （当 时即为 ，显然成立）。学生凭”充分条件必须范围严格小”的感觉，漏掉了 这个临界值。凡由集合包含关系求参数范围，端点（等号）务必单独检验。 学科网（北京）股份有限公司 $