专题01 集合与常用的逻辑用语（期中知识清单）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题01 集合与常用的逻辑用语（8知识&8题型&1易错） 【答案】 一、1、确定性 无序性 互异性 2、属于或不属于 3、列举法 描述法、韦恩图 二、1、为的子集 ，记作（或）2、是的真子集，记作（或） 3、我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 4、集合与集合相等，记作. 5、若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 三、1、A∩B={x|x∈A，且x∈B} 2、A∪B={x|x∈A，或x∈B} 3、∁UA={x|x∈U，且x∉A} 四、1、p⇒q且q⇏p 2、p⇏q且q⇒p 3、p⇔q 五、1、“所有的”、“任意一个” 2、“存在一个”、“至少有一个” 六、1、p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； 2、p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 【清单一】集合 知识点1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 特别提醒： ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合. ④列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 知识点2、集合间的基本关系 （1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 知识点3、集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 知识点4、集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． 【解题方法总结】 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． （4）,． 【清单二】常用的逻辑用语 知识点5、充分条件与必要条件 (1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)几点说明 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 知识点6、充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 知识点7、全称量词和存在量词 （1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”． （2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”． 知识点8、含有一个量词的命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 注意：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一． 【必考题型一】集合的三要素 【例1】、（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）下列对象能构成集合的是（    ） A．不等式的解集 B．著名的数学家 C．非常接近的数 D．面积非常小的三角形 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合具有确定性，无序性，互异性逐一判断即可； 【详解】对于A，不等式的解集为空集，可以构成集合，故A正确； 对于B，著名的数学家没有确定性，不能构成集合，故B错误； 对于C，非常接近0的数没有确定性，不能构成集合，故C错误； 对于D，面积非常小的三角形没有确定性，不成构成集合，故D错误； 故选：A 【变式1-1】、（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合元素的确定性逐项判断. 【详解】对于选项A：“无限接近”没有判定标准，不满足确定性，故A错误； 对于选项B：“最美乡村”没有判定标准，不满足确定性，故B错误； 对于选项C：“优秀的学生”没有判定标准，不满足确定性，故C错误； 对于选项D：“2022年度国内GDP超过1万亿的地级市”有统一的判定标准，满足确定性，故D正确； 故选：D. 【变式1-2】、（23-24高一·江苏·假期作业）（多选题）现有以下说法，其中正确的是（　　） A．接近于0的数的全体构成一个集合 B．正方体的全体构成一个集合 C．未来世界的高科技产品构成一个集合 D．不大于3的所有自然数构成一个集合 【答案】BD 【难度】0.94 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】判断是否满足构成集合的元素的确定性，得到答案. 【详解】“接近于”，“高科技产品”不满足确定性，故A、C不符合集合中元素的确定性，B、D具有确定性． 故选：BD 【变式1-3】、（24-25高一上·北京·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】集合新定义 【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可. 【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可， 故满足条件的集合有：，，，，，， ，，，，，，，， ，. 故选：B. 【必考题型二】元素与集合的关系 【例2】、（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）（多选题）已知集合，若，则的取值为（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据题意由或，解得，然后检验元素的互异性即可. 【详解】由于，则或，解得或或， 当时，，满足条件; 当时，，满足条件; 当时，，不满足互异性，舍去. 所以的取值为1或3. 故选：CD. 【变式2-1】、（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据得到或，然后解方程根据元素的互异性进行取舍即可. 【详解】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入得. 故选：C. 【变式2-2】、（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可. 【详解】因为集合，且， 则，解得. 故选：A. 【变式2-3】、若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为 . 【答案】15 【难度】0.85 【知识点】集合新定义、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据题意可求得所求集合即由1，，“3和”，“2和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集，然后利用公式可求得结果. 【详解】因为，；，；，；，， 这样所求集合即由1，，“3和”，“2和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集. 所以满足条件的集合的个数为. 故答案为：15 【必考题型三】集合与集合的关系：子集与真子集 【例3】、（24-25高一上·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由题，要使取最大值，则a取，c取，b取，据此可得答案. 【详解】因，要使最大， 则a取，c取，b取，则. 故选：C. 【变式3-1】、（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】根据题意，将集合分别化简，即可得到两集合的关系. 【详解】因为集合， 令，则， 令，则， 所以或， 且，所以. 故选：C 【变式3-2】、（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）满足的集合共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】列举出满足条件的集合，即可得出结果. 【详解】满足题设条件的集合有：、、、、、 、，共个. 故选：C. 【变式3-3】、（24-25高二下·江苏南京·期末）设集合，，且，则实数的值是（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合的包含关系，分情况建立方程，利用集合元素的互异性验根，可得答案. 【详解】由题意知可知； 令，可得，则，不符合题意； 令，分解因式可得，解得或， 当时，，符合题意. 故选：D. 【例4】、（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据给定条件，列举出集合C的可能情况即可. 【详解】依题意，集合可以为：， 所以集合C的个数为4. 故选：D 【变式4-1】、（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】常用数集或数集关系应用、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据条件，先化简集合A，再利用子集个数的计算公式，即可求解. 【详解】由， 则集合A的子集个数为. 故选：B. 【变式4-2】、（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是    （    ） A．6 B．7 C．14 D．15 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据真子集的个数公式即可求解. 【详解】由题意可得，故集合A的所有真子集的个数为. 故选：B. 【变式4-3】、（24-25高一上·江苏盐城·期中）用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，则的所有可能取值构成集合，则 . 【答案】5 【难度】0.4 【知识点】集合新定义 【分析】解方程得到，由定义知道的值，再分类讨论得出结果. 【详解】解得或，即， ∵，∴或， 方程可整理为， ①当时，即方程组只有一个解，则，即， ②当时，即方程组只有三个解， 显然时不成立，∴，即方程有两个不同的解， ⑴当方程只有一个实根时，，， ⑵当方程有二个不同实根时，，或， 显然不是的实根，则是方程其中一个实根，则，解得， 综上所述：. ∴. 故答案为：5 【点睛】方法点睛，在讨论含参方程的根的个数时，需要分类讨论.而本题集合是由两个二次方程相乘得到的方程，第一步需拆分，分别讨论根的个数，注意两个方程可能出现相同的实数根. 【必考题型四】集合的运算：交集、并集与补集 【例5】、（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算 【分析】结合集合的条件计算可得，，进而根据交集的定义求解即可. 【详解】由，，，， 则，，所以. 故选：C. 【变式5-1】、（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】集合新定义、交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解. 【详解】集合，集合，则， 由韦恩图得或. 故选：D 【变式5-2】、（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合、交集的概念及运算 【分析】判断两个集合的关系，即可求交集. 【详解】，，则是整数中的偶数， 所以集合中的元素都是集合的元素，但集合中的元素有不是集合的元素， 所以集合是集合的真子集， 所以. 故选：C 【变式5-3】、（24-25高一上·江苏镇江·期中）（多选题）若集合，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系、并集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】由集合中元素的特征可判断结论. 【详解】因为，所以， 因为 ，所以， 又是奇数，是偶数， 所以，，，，故ABD正确，C不正确； 故选：ABD. 【例6】、（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）设全集U=R,已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.85 【知识点】根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算 【分析】（1）由补集及并集运算即可求解； （2）由和两类情况讨论，列出不等式求解即可. 【详解】（1）或. 或. （2）由， 则①当时，由，解得； ②当时，或 解得或． 综上，实数的取值范围为． 【变式6-1】、（24-25高一上·海南儋州·期中）已知全集，， (1)求， (2)求 【答案】(1)， (2) 【难度】0.85 【知识点】补集的概念及运算、并集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】（1）求出集合、，再求，； （2）求出、，再求． 【详解】（1），， 所以 . 因为，所以； （2）因为，， 所以． 【变式6-2】、（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）设，， (1)，求的值； (2)若且.求的值. 【答案】(1)5 (2) 【难度】0.85 【知识点】根据集合相等关系进行计算、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）先求出集合，再结合求解即可； （2）由且可得，进而得到或，分别进行检验即可. 【详解】（1）由，， 则2和3为方程的根， 则，解得. （2）由，， 由且，则， 所以，解得或， 当时，由（1）知，，，不符合题意； 当时，，，，符合题意. 综上所述，. 【变式6-3】、（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知集合，. (1)若，求及； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；或. (2) 【难度】0.85 【知识点】根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算 【分析】（1）根据题意，将代入计算，结合集合的运算，即可得到结果； （2）根据题意，分与讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）当时，，且， 则， 又或，则或. （2）当时，则，解得， 此时满足； 当时，则，即， 由可得或， 解得或， 综上所述，实数的取值范围是. 【必考题型五】含有一个量词的命题的否定 【例7】、（24-25高一上·江苏苏州·期末）命题“”的否定为（   ） A．“” B．“” C．“” D．“” 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题求解即可. 【详解】因为，是全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，即， 故选：D. 【变式7-1】、（24-25高一上·江苏南京·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可. 【详解】命题“”为存在量词命题，而存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题“”的否定为：“”. 故选：D. 【变式7-2】、（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题，即可得出答案. 【详解】解：全称量词命题：，的否定是存在量词命题：， 故选：D. 【变式7-3】、（24-25高一上·湖北·阶段练习）命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据命题的否定的定义判断即可． 【详解】全称命题的否定是特称命题， 命题“”的否定为. 故选：B． 【必考题型六】命题真假的判断及根据命题的真假求参数的取值范围 【例8】、（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）关于直线：，有下列四个命题：如果只有一个假命题，则该命题为（   ） 甲：直线经过点；    乙：直线经过点； 丙：直线经过点；    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、判断命题的真假 【分析】根据题意，分别假设甲、乙、丙为假命题，则其余三个命题为真命题，分析推理，即可得答案. 【详解】由题可知，命题甲､乙､丙中必有一个是假命题. 若甲为假命题，则由乙､丙为真命题可得，此时与丁矛盾，故不成立； 若乙为假命题，则由甲､丙为真命题可得，，此时与丁矛盾，故不成立； 若丙为假命题，则由甲､乙为真命题可得，，此时，丁也成立，满足题意，所以假命题为丙， 故选：C. 【变式8-1】、（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】由其否定为真命题，通过求解即可； 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 【变式8-2】、（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得的取值范围》 【详解】命题“”是假命题， 则 是真命题， ∴， 解得：或， 即a的范围是 故选：D. 【变式8-3】、（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知命题“，都有”，且是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】根据是假命题，则是真命题.进而得到，根据集合之间的包含关系构造不等式组，计算即可. 【详解】是假命题，则是真命题. 由于，都有， 则. 可得 . 实数的取值范围是. 故答案为：. 【必考题型七】充分、必要及充要条件的判断 【例9】、（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知且，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】当且，可得，所以是的充分条件； 如，故是的不必要条件； 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 【变式9-1】、（2025·江苏泰州·模拟预测）已知a，b为实数，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可得结论. 【详解】由，可得且， 则由“”可得“”， 但是不能由“”得到“”，因为b可能为0， 则“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 【变式9-2】、（23-24高一上·北京·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】公式法解绝对值不等式、充分条件、必要条件 【分析】解绝对值不等式，结合充分、必要性定义判断条件间的关系即可. 【详解】由，可得，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式9-3】、24．（25-26高一上·江苏·开学考试）对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据已知定义依次判断充分性和必要性即可. 【详解】由得：，又，，充分性成立； 当时，若，，则，必要性不成立； “”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【必考题型八】根据充分、必要及充要条件求参数的取值范围 【例10】、（24-25高一上·江苏徐州·期中）设全集为实数集，集合，. (1)当时，求，； (2)若命题：，命题：，且是的充分且不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算 【分析】（1）求得集合，进而可求得，； （2）根据给定条件可得，且，求解即可. 【详解】（1）由，得， 解得， 所以， 当时，， 所以， 因为或， 所以或， （2）由（1）知，， 因为是的充分不必要条件， 所以，且， 解得. 【变式10-1】、（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】由题意可得对应的集合是对应的集合的真子集，进而可得出答案. 【详解】由，得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以（不同时取等号），解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式10-2】、（23-24高一上·北京·阶段练习）已知表示不大于的最大整数，，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】先求出集合，再由充分不必要的定义以及集合之间的包含关系即可求解. 【详解】对于集合，不失一般性我们不妨设， 此时由的定义可知，有， 所以， 若是的充分不必要条件，则 ， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式10-3】、（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，集合. (1)若且，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】（1）根据元素是否属于集合来确定不等式的取值范围； （2）充分不必要条件意味着集合是集合的真子集. 【详解】（1）因为，将代入，得到，解得. 又因为，将代入，得到，解得.   综合可得. （2）因为是的充分不必要条件，所以为的真子集。. 对于集合，方程的两个根为和. 当时，. 因为为的真子集，所以.   当时，. 此时不可能是的真子集.   当时，，也不可能是的真子集.   故满足题意时，. 【易错题型一】在解含参数集合问题时忽略空集 易错分析：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合就有可能忽视了，导致解题结果错误．尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况．考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面． 【例1】、（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知全集，集合，. (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】补集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）根据补集的运算法则即可求解； （2）根据集合的包含关系，解不等式组即可求解； （3）由可得，分和两种情况讨论实数的取值范围，最后综合讨论结果即可求解. 【详解】（1）∵全集，集合， ∴或. （2）∵，，， ∴，解得，即实数的取值范围为. （3）∵，∴. 当，即时，，符合题意； 当时，，解得. 综上，，即实数的取值范围为. 【变式1-1】、（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知全集为实数集，集合. (1)若，求图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】补集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、利用Venn图求集合 【分析】（1）根据维恩图可知阴影部分为集合，根据补集、交集运算求解； （2）转化为，分类讨论，列出不等式，求解即可. 【详解】（1）图中阴影部分表示集合为， 当时，，又或， 所以； （2）因为，所以， 当时，，解得. 当时，若，则有， 解得， 综上所述，实数的取值范围是或 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用的逻辑用语（8知识&8题型&1易错） 【清单一】集合 知识点1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：　　　　、　　　　、　　　　. （2）元素与集合的关系：　　　　或　　　　，数学符号分别记为：　　　　和　　　　. （3）集合的表示方法：　　　　、　　　　、　　　　. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 特别提醒： ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合. ④列举法：把集合的元素　　　　出来，并用花括号“　　　　”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法：用集合所含元素的　　　　表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 知识点2、集合间的基本关系 （1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中　　　　都是集合中的元素，我们就说这两个集合有　　　　关系，称　　　　　　　　 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集（proper subset）：如果集合，但　　　　，且，我们称集合是集合的　　　　，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（　　　　，且集合是集合的子集（　　　　），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作　　　　. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做　　　　，记作　　　　；是任何集合的　　　　，是任何非空集合的　　　　. 知识点3、集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 知识点4、集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． 【解题方法总结】 （1）若有限集中有个元素，则的子集有　　　　个，真子集有　　　　个，非空子集有　　　　个，非空真子集有　　　　个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． （4）,． 【清单二】常用的逻辑用语 知识点5、充分条件与必要条件 (1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的　　　　，q是p的　　　　． (2)几点说明 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 知识点6、充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 知识点7、全称量词和存在量词 （1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做　　　　，并用符号“　　　　”表示．含有全称量词的命题叫做　　　　．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“　　　　　　　　”，读作“对任意属于，有成立”． （2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做　　　　，并用符号“　　　　”表示．含有存在量词的命题叫做　　　　．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“　　　　　　　　”，读作“存在中元素，使成立”． 知识点8、含有一个量词的命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：　　　　　　　　； (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：　　　　　　　　． 注意：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一． 【必考题型一】集合的三要素 【例1】、（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）下列对象能构成集合的是（    ） A．不等式的解集 B．著名的数学家 C．非常接近的数 D．面积非常小的三角形 【变式1-1】、（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 【变式1-2】、（23-24高一·江苏·假期作业）（多选题）现有以下说法，其中正确的是（　　） A．接近于0的数的全体构成一个集合 B．正方体的全体构成一个集合 C．未来世界的高科技产品构成一个集合 D．不大于3的所有自然数构成一个集合 【变式1-3】、（24-25高一上·北京·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 【必考题型二】元素与集合的关系 【例2】、（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）（多选题）已知集合，若，则的取值为（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【变式2-1】、（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式2-2】、（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 【变式2-3】、若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为 . 【必考题型三】集合与集合的关系：子集与真子集 【例3】、（24-25高一上·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 【变式3-1】、（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】、（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）满足的集合共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-3】、（24-25高二下·江苏南京·期末）设集合，，且，则实数的值是（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【例4】、（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】、（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 【变式4-2】、（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是    （    ） A．6 B．7 C．14 D．15 【变式4-3】、（24-25高一上·江苏盐城·期中）用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，则的所有可能取值构成集合，则 . 【必考题型四】集合的运算：交集、并集与补集 【例5】、（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】、（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 【变式5-2】、（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】、（24-25高一上·江苏镇江·期中）（多选题）若集合，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【例6】、（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）设全集U=R,已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【变式6-1】、（24-25高一上·海南儋州·期中）已知全集，， (1)求， (2)求 【变式6-2】、（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）设，， (1)，求的值； (2)若且.求的值. 【变式6-3】、（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知集合，. (1)若，求及； (2)若，求实数的取值范围. 【必考题型五】含有一个量词的命题的否定 【例7】、（24-25高一上·江苏苏州·期末）命题“”的否定为（   ） A．“” B．“” C．“” D．“” 【变式7-1】、（24-25高一上·江苏南京·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】、（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-3】、（24-25高一上·湖北·阶段练习）命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 【必考题型六】命题真假的判断及根据命题的真假求参数的取值范围 【例8】、（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）关于直线：，有下列四个命题：如果只有一个假命题，则该命题为（   ） 甲：直线经过点；    乙：直线经过点； 丙：直线经过点；    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式8-1】、（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式8-2】、（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】、（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知命题“，都有”，且是假命题，则实数的取值范围是 . 【必考题型七】充分、必要及充要条件的判断 【例9】、（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知且，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式9-1】、（2025·江苏泰州·模拟预测）已知a，b为实数，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式9-2】、（23-24高一上·北京·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式9-3】、24．（25-26高一上·江苏·开学考试）对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【必考题型八】根据充分、必要及充要条件求参数的取值范围 【例10】、（24-25高一上·江苏徐州·期中）设全集为实数集，集合，. (1)当时，求，； (2)若命题：，命题：，且是的充分且不必要条件，求实数的取值范围. 【变式10-1】、（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 【变式10-2】、（23-24高一上·北京·阶段练习）已知表示不大于的最大整数，，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 【变式10-3】、（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，集合. (1)若且，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【易错题型一】在解含参数集合问题时忽略空集 易错分析：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合就有可能忽视了，导致解题结果错误．尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况．考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面． 【例1】、（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知全集，集合，. (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【变式1-1】、（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知全集为实数集，集合. (1)若，求图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $