第三章不等式（期中知识清单）高一数学上学期苏教版

第3章 不等式　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 不等式的基本性质 1.1 比较两个实数大小的基本事实 我们知道，实数可分为正数、零和负数，任给一个实数，它只可能为正数、零和负数中的一种。那么，对于任意两个实数 ，，它们的差 也只可能为正数、零和负数中的一种。当 为正数时，称 ；当 为零时，称 ；当 为负数时，称 。即有如下基本事实： · 的条件是 ； · 的条件是 ； · 的条件是 。 示例：比较 与 ：，所以 。 1.2 不等式的基本性质 利用上述的基本事实，可以证明不等式的下列基本性质。 性质1 若 ，则 。 性质2 若 ，，则 。 性质3 若 ，则 。 性质4 若 ，，则 ；若 ，，则 。 性质5 若 ，，则 。 性质6 若 ，，则 。 注意：性质3告诉我们，不等式两边都加上（或都减去）同一个实数，不等号的方向不变。利用它可以把不等式中某一项改变符号后，从不等式的一边移到另一边，即 的条件是 。 注意：性质4告诉我们，不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变。 特别地，当 ，且 时，有 。以后，可以用数学归纳法证明：若 ，则 （ 为正整数）。 示例：由 ，两边同乘 ，得 （不等号改变方向）。 2. 基本不等式 2.1 算术平均数与几何平均数 对于正数 ，，我们把 称为 ， 的算术平均数， 称为 ， 的几何平均数。 示例： 与 的算术平均数为 ，几何平均数为 。 2.2 基本不等式 如果 ， 是正数，那么 （当且仅当 时，等号成立）。 我们把不等式 （）称为基本不等式。 图1：基本不等式的几何意义 注意：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等。 2.3 基本不等式的重要变形 当 是实数时，由 可得 从而得到： 这两个不等式通常可以直接使用。 示例：，当且仅当 时取等号。 2.4 基本不等式的应用（求最值） 对于正数 ，，在运用基本不等式时，应注意： 条件 结论 和 为定值 积 有最大值 积 为定值 和 有最小值 取等号的条件：当且仅当 时。 示例： 时，，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 。 3. 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 3.1 二次函数的零点 一般地，一元二次方程 的根就是二次函数 当函数值取零时自变量 的值，即二次函数 的图象与 轴交点的横坐标，也称为二次函数 的零点。 示例：方程 的两个根 ，，就是二次函数 的零点。 3.2 判别式与方程根、函数图象、函数零点的关系 当 时，一元二次方程 的根、二次函数 的图象、二次函数 的零点之间的关系如下表所示（其中 ）： 方程的根 图象与 轴 函数的零点 有两个相异的实数根 有两个交点 有两个零点 有两个相等的实数根 有一个交点 有一个零点 没有实数根 没有交点 无零点 示例： 中 ，所以它有两个零点。 3.3 一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数最高次数是 的整式不等式叫作一元二次不等式。 示例： 是一元二次不等式； 是一次不等式，不是一元二次不等式。 3.4 一元二次不等式的解集与二次函数图象的关系 当 时，一元二次不等式 与 的解集与判别式的关系如下表所示（其中 ）： 的解集 的解集 当 时，通过不等式两边同乘以 ，可将问题转化为二次项系数为正的情形，利用上表解决。 图2：二次函数图象与一元二次不等式的解集 示例：解 ：方程 的解为 ，，所以原不等式的解集为 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 作差比较法 比较两个实数（或代数式）， 的大小，只需作差判断符号： 的条件是 ； 的条件是 ； 的条件是 。如比较 与 ：作差得 ，故 ，当 时取等号。 1.2 倒数与乘方、开方的不等式性质 若 ，则 ；若 ，则 。若 ，则 ，（ 为正整数）。 1.3 糖水不等式 若 ，，则 。如 。 1.4 基本不等式链 对正数 ，，调和平均数不大于几何平均数，几何平均数不大于算术平均数，算术平均数不大于平方平均数： 1.5 积定和最小、和定积最大 积 为定值时， 有最小值 ；和 为定值时， 有最大值 ，两者都在 时取到。 【使用提醒】利用基本不等式求最值必须满足”一正（）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到）“，缺一不可。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 解一元二次不等式的步骤 ①把二次项系数化为正数（若为负，两边同乘 并变号）；②求出相应一元二次方程的两根；③结合二次函数图象（“大于取两边，小于取中间”）写出解集。如解 ：两边同乘 得 ，两根为 ，，解集为 。 2.2 证明不等式的基本方法 作差法（作差、变形、定号、下结论）；综合法（由已知不等式出发逐步推出目标不等式）；分析法（由结论反推，寻找使结论成立的条件）。如证 ：作差 。 2.3 利用基本不等式求最值的配凑方法 先配凑出”和（或积）为定值”的结构，再用基本不等式；分式型常通过”添项、拆项、常数分离”凑出 型。如求 （）的最小值：，当 时取到。 2.4 含参数不等式的分类讨论 含参数一元二次不等式，按二次项系数是否为零、判别式的符号、两根的大小关系分类讨论。如解 ：先化为 ，再按 、、 讨论。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 十字相乘求根 一元二次方程能因式分解时，优先因式分解求根，比求根公式快 ，根为 ， 区间端点检验 解集含不含端点，看不等号是否带等号：、 含端点，、 不含端点 中 ，解集为 分式不等式先转化 分式不等式两边不能直接乘含未知数的式子，先转化为整式不等式，并注意分母不为零 解 ： 且 ，得 恒成立转化为最值 恒成立等价于 的最小值大于 ； 恒成立等价于 的最大值小于 恒成立，需 4. 常见考试模型 4.1 利用基本不等式求最值模型 公式：和定求积最大 ；积定求和最小 。 限定：须 ，且等号在 时取到；若等号取不到，最值需结合函数单调性另求。 示例：如 ，，当 时取最小值 。 4.2 一元二次不等式恒成立模型 公式： 恒成立的充要条件是 且 ； 恒成立的条件是 且 。 限定：二次项系数含参数时须先讨论 的情形。 示例：如 恒成立，需 ，即 。 【使用提醒】 且 时 恒成立；而 恒成立需 且 ，两者开口方向不同，勿混用。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：不等式两边同乘负数未变号 典例：解不等式 。 错解：两边同除以 ，得 。 正解：两边同除以 （负数），不等号改变方向，得 。 原因：忽略性质4中”不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变”这一条件。学生受”解方程两边同除”的定势影响，把不等式当成等式处理，忘记变号。凡不等式两边乘（除）负数，必须改变不等号的方向。 易错点 2：解一元二次不等式时二次项系数为负未先化正 典例：解不等式 。 错解：由 得 或 。 正解：两边同乘 ，得 ，即 ，解得 。 原因：二次项系数为负时直接套”大于取两边、小于取中间”，忽略开口向下时解集方向相反。必须先化二次项系数为正，再依据图象写解集。 易错点 3：利用基本不等式求最值忽略”三相等”（等号取不到） 典例：求 （）的最小值。 错解：，所以最小值为 。 正解： 中等号在 时取到，但 取不到 。而 在 上单调递增，故最小值为 。 原因：只记住”一正二定”，忽略”三相等”——等号必须能在定义域内取到。基本不等式给出的是下界，若等号取不到，须改用函数单调性求最值。 易错点 4： 时混淆”解集为空集”与”方程有解” 典例：解不等式 。 错解：由 得 。 正解： 恒成立， 无解，所以解集为 。 原因：概念理解错误，误把”二次函数图象与 轴只有一个交点”理解成”不等式有解”。当 时， 的解集是除 外的全体实数，而 的解集是空集。 易错点 5：分式不等式两边同乘含未知数因式未讨论符号 典例：解不等式 。 错解：两边同乘 ，得 ，所以 。 正解：因为 的符号不确定，不能直接乘。 等价于 （且 ），解得 。 原因：把”两边同乘同一个数”错误推广到”两边同乘含未知数的式子”。 的正负随 变化，直接乘会破坏不等号的方向。分式不等式应先转化为整式不等式（分子分母异号），且注意分母不为零。 学科网（北京）股份有限公司 $