高一数学上学期期中模拟卷02（苏教版，范围：必修第一册第1章～第5章，举一反三）

2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷02 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接由交集的定义求解即可. 【解答过程】集合，，则. 故选：A. 2．（5分）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】根据存在量词命题的否定是全称量词命题求结论即可. 【解答过程】命题“，”的否定是“，”. 故选：C. 3．（5分）下列命题为真命题的是（  ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【解题思路】利用不等式性质，逐项分析判断得解. 【解答过程】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，而，则，，B错误； 对于C，由，得，则，C错误； 对于D，由，得，而，因此，D正确. 故选：D. 4．（5分）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的8倍，大约经过（   ）天（参考数据：，，） A．32 B．33 C．103 D．104 【答案】D 【解题思路】结合已知条件，利用对数运算即可求解. 【解答过程】设经过天“进步“的值是“退步”的值的倍. 则 ，即， 故，故， 故大约经过104天. 故选：D. 5．（5分）下列各组函数中，不是同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解题思路】根据题意，结合同一函数的定义，结合选项，先判定定义域，再判定对应关系，即可求解. 【解答过程】对于A，函数与的定义域都是， 且两个函数的对应关系也相同，所以两个函数是同一函数，所以A不符合题意； 对于B，函数与的定义域都是，且对应关系也相同， 所以两个函数是同一函数，所以B不符合题意； 对于C，函数满足，解得， 即函数的定义域为， 又由满足，解得，即的定义域为， 所以两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，所以C符合题意； 对于D，函数与，所以两个函数的定义域相同， 且两个函数的对应关系也相同，所以两个函数是同一函数，所以D不符合题意. 故选：C. 6．（5分）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知条件将所求式子变为，利用“1”的代换结合基本不等式求解. 【解答过程】因为，且， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 7．（5分）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，分析函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质解不等式. 【解答过程】因为，且、，， 所以. 设，则，、且， 所以在上单调递增. 又是定义在上的奇函数，所以为偶函数，且定义域为. 所以在上单调递减. 因为 ，即，且. 由 . 当时，即 ； 当时，即 . 所以不等式的解集为. 故选：D. 8．（5分）已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式恒成立可得出，再利用基本不等式可求得的最大值. 【解答过程】解：因为不等式对任意恒成立， 所以，， 因为，对称轴为，在上单调递减， 所以，当时，有最小值， 所以， 所以， 当且仅当且时等号成立，即时等号成立，满足. 所以的最大值为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）以下四个命题中，是真命题的是（ ） A． B．若，则 C．“”是“”的必要不充分条件 D．若命题：，，则的否定为：， 【答案】ACD 【解题思路】对A，配方即可判断；对B，举反例即可；对C，根据必要不充分条件的判断即可得到答案；对D，根据特称命题的否定即可得到答案. 【解答过程】对A，因为，故A正确； 对B，举例，则，则，故B错误； 对C，因为“”无法推出“”，而“”可以推出“”，故“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对D，根据特称命题的否定为全称命题知的否定为：，，故D正确. 故选：ACD. 10．（6分）已知，，，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】AC 【解题思路】直接利用基本不等式得判断A；利用基本不等式“1”的用法判断BC；根据得判断D 【解答过程】由，，，故， 当且仅当时等号成立，即，所以的最大值为，故A正确； 由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故B错误； 由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 由题知，故，故，故D错误. 故选：AC. 11．（6分）已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】ACD 【解题思路】根据赋值法，抽象函数的奇偶性，对称性，周期性，针对各个选项分别求解即可． 【解答过程】对于A，因为， 所以，所以，所以A选项正确； 对于B，所以， 所以，所以为奇函数，所以B选项错误； 对于C，因为为偶函数， 所以， 所以，又为奇函数，所以， 所以，所以， 所以，所以的周期为6， 所以， 将替换为可得，所以C选项正确； 对于D，由，可得， 所以，所以D选项正确． 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）计算：__________． 【答案】/ 【解题思路】由指数、对数的运算性质即可求解. 【解答过程】由指数幂与对数的运算性质得， 故答案为：. 13．（5分）已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有6个整数解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解题思路】利用三个二次关系计算参数，再含参解不等式，结合条件计算即可. 【解答过程】由不等式的解集为， 得，且方程的两实根分别为和3， 则，得， 所以不等式等价于， 即， 又，则，解得， 因为关于的不等式有且仅有6个整数解， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14．（5分）若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解题思路】由题意得在的单调性，然后由定义域求得不等式中的取值范围，然后整理不等式，由函数单调性建立不等式，然后解得不等式解集. 【解答过程】∵， ∴， ∴函数在上单调递减， 不等式中，即， ∴，可得， 即， ∴，解得或， ∴. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）求值： (1)； (2)； (3)，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据根式与指数分数幂的互化及指数幂的运算化简求值即可； （2）根据对数运算性质和换底公式化简求值即可； （3）结合完全平方和公式，利用指数幂的运算化简求值即可. 【解答过程】（1）原式 . （2）原式 . （3）因为，所以， 所以（负根舍去）， 由，则， 所以. 16．（15分）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）通过和两类情况讨论即可； （2）由题意得到是的真子集，再通过和两类情况讨论即可. 【解答过程】（1）， 因为， 所以当时，， 解得， 当时，，解得,此时或， 解得. 综上所述，实数的取值范围为. （2）由若命题是命题的必要不充分条件，可化为命题是命题的必要不充分条件， 即是的真子集， 所以当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立）， 解得. 综上所述，实数的取值范围为. 17．（15分）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区．设育苗区的长为，宽为．    (1)若有苗区面积为，则为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为，则为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大； (3)若使用的篱笆总长为，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为 (2)长为，宽为 (3) 【解题思路】（1）利用基本不等式求解和的最小值； （2）利用基本不等式求解积的最大值； （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值． 【解答过程】（1）依题意，所用篱笆总长为，而， 当且仅当，即，时取等号， 所以育苗区的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）依题意， 所以篱笆所围的育苗区面积为 当且仅当，即时等号成立， 所以育苗区的长为，宽为时，篱笆所围的育苗区面积最大． （3）， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值． 18．（17分）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 【答案】(1)0，2 (2)奇函数 (3) 【解题思路】（1）令可求出，令再继续分解，结合可求出的值； （2）令，对变形可得答案； （3）先利用奇偶性把不等式转化为，再根据题意确定函数的单调性，进而把问题转化为不等式恒成立问题，进一步转化为函数的最值问题即可. 【解答过程】（1）取，得，即，， ， 又因为，得，可得. （2）取，得，移项得， 函数是奇函数. （3）是奇函数，且在上恒成立， 在上恒成立， 因为函数是单调函数且； 在上是增函数， 在上恒成立，在上恒成立， 令 . 由于，， ， ，即实数k的取值范围为. 19．（17分）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间” (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)试判断函数是否存在“优美区间”并说明理由； (3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 【答案】(1) (2)函数不存在“优美区间”，理由见解析 (3) 【解题思路】（1）分析的单调性，根据所给定义，代入求解，分析可得答案. （2）分析的单调性，假设存在“优美区间”，根据所给定义，代入求解，分析可得答案. （3）分析的单调性，根据所给定义，代入求解，可得为二次方程的两个不相等实根，根据韦达定理，可得表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【解答过程】（1）设函数在上单调递增，假设是它的“优美区间”， 则，解得， 所以函数的一个“优美区间”为. （2）函数不存在“优美区间”，理由如下： 的定义域为，且在上单调递减， 假设存在“优美区间”，则， 所以，因为，所以无解，故不存在“优美区间”. （3），定义域为， 且在上单调递增， 假设存在“优美区间”，则， 整理得， 所以为二次方程的两个不相等实根， 所以判别式，解得或， 由韦达定理得， 则， 令，则， 所以当时，即时，有最大值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷02 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版必修第一册第1章~第5章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（5分）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（5分）下列命题为真命题的是（  ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．（5分）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的8倍，大约经过（   ）天（参考数据：，，） A．32 B．33 C．103 D．104 5．（5分）下列各组函数中，不是同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．（5分）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）以下四个命题中，是真命题的是（ ） A． B．若，则 C．“”是“”的必要不充分条件 D．若命题：，，则的否定为：， 10．（6分）已知，，，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 11．（6分）已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）计算：__________． 13．（5分）已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有6个整数解，则实数的取值范围是__________． 14．（5分）若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）求值： (1)； (2)； (3)，求的值. 16．（15分）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17．（15分）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区．设育苗区的长为，宽为．    (1)若有苗区面积为，则为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为，则为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大； (3)若使用的篱笆总长为，求的最小值． 18．（17分）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 19．（17分）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间” (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)试判断函数是否存在“优美区间”并说明理由； (3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $