专题04 指数函数与对数函数（期中真题汇编，江苏专用）高一数学上学期

**基本信息** 汇编江苏多地高一上期中真题，聚焦指数函数、对数函数及应用三大高频考点，基础题与综合应用题梯度分布，融入生物丰富指数、人工智能成本等现实情境。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|22|指数幂化简、对数运算性质、函数单调性|结合地震能量计算、生物丰富指数等真实问题| |填空|5|函数零点、对数表示、方程根分布|设置开放型函数解析式问题，考查创新思维| |解答|29|指数对数综合运算、函数建模、利润优化|多问设计体现分层，如企业成本利润分析题融合数学建模与运算推理|

专题04 指数函数与对数函数 3大高频考点概览 考点01 指数与指数函数 考点02 对数与对数函数 考点03 函数的应用（二） 考点01 指数与指数函数 1．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）化简： （     ） A. 1 B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）化简：（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）已知，则的最小值为（　　） A. 3 B. 4 C.  D.  4．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）若，则的化简结果是（     ） A. 1 B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）已知．则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）若，则（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）设，则的分数指数幂形式为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）化简：（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）已知函数，定义域为．则的值域为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（2026·江苏淮安·11月调研）（1）计算； （2）已知，，，，求的值. 12．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）（1）计算的值； （2）已知，求的值. 13．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 考点02 对数与对数函数 1．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知，则等于 （       ） A. -1 B. 2 C. 3 D. 1 2．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 9 4．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）已知，，则实数，，中可以用，表示的有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）生物丰富指数是河流水质的一个评价指标，其中，是分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富指数越大，水质越好，如果在某河流治理前后的生物种类没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富指数由2提高到4，则（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）（多选）下列运算正确的有（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）已知，则用可表示为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）设，则的大小顺序为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）已知，且，则（　　） A. 4 B. 6 C. 15 D. 36 10．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）任何一个正实数可以表示成，此时，.当时，是位数，则是（       ） （参考数据：） A. 24位数 B. 33位数 C. 34位数 D. 43位数 11．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）（多选）已知，且满足，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 的最小值为 12．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 14．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）（1）已知，用分别表示和； （2）已知，求及的值． 15．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）计算： （1）； （2）． 16．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）求值： （1）； （2）． 17．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）（1）求的值； （2）求的值； （3）设是非零实数，已知，求的值. 18．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）计算. （1）； （2）； （3）已知，求的值. 19．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）计算 （1）求的值； （2）已知，求的值. 20．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）已知定义在上的函数满足，且．请写出一个满足条件的的解析式　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）若，则　　　　　　. 22．（2026·江苏淮安·11月调研）已知，，则　　　　　　（用含有，式子表示）. 23．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）（1）求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，，证明：. 24．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）（1）计算：； （2）设a是非零实数，已知，求的值. 25．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）（1）已知，，且，求实数的值； （2）已知，且，求的值． 26．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）计算： （1）； （2）已知，求的值. 27．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知是函数的零点，则　　　　　　. 考点03 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯88℃的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到大约需要，那么降温到大约需要（参考数据：，）（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．黄海是我国东部中强地震多发区之一，2013年4月21日，黄海海域发生里氏5.0级地震，2015年8月6日黄海海域发生里氏4.0级地震，前一次地震所释放出来的能量约是后一次的（       ）倍．（精确到1） （参考数据：，，，） A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 3．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）已知函数 ，，若方程有四个实数解，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（2026·江苏淮安·11月调研）已知函数 ，若，且，则的取值范围（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）（多选）已知函数的图象与轴交于两点．则（       ） A.  B. 若，则 C. 当时， D.  6．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）设m为实数，若二次函数在区间上仅有一个零点，则m的取值范围是　　　　　　　　　　. 7．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为 ，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 8．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 9．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）某公司为了提高生产效率，决定投入200万元购进一套生产设备，预计使用该设备后，前）年的支出成本为万元，每年的销售收入112万元，设前年的总盈利额为万元． （1）写出与的函数关系式，并求出从第几年开始盈利； （2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，以10万元价格处理该设备； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，以50万元价格处理该设备． 你认为哪种方案较为合理？请说明理由．（注：年平均盈利额为） 10．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）某单位要建造一间地面面积为16m2的背靠墙的长方体小房，房屋正面的造价为1000元/m2，房屋侧面的造价为2000元/m2，屋顶的造价为10000元.如果墙高3m，且不计地面与房屋背面的费用.设房屋正面长度为. （1）若总造价不超过62000元，求房屋正面长度x的取值范围； （2）怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少? 11．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“次函数”． （1）判断是否为的“次函数”，若是，求出；若不是，说明理由； （2）已知 为的“2次函数”，求实数的取值范围； （3）已知 若为的“2025次函数”，求的取值范围． 13．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）设二次函数． （1）若函数是定义在上的偶函数，求该函数的零点； （2）若，，解不等式（结果用含字母的式子表示）； （3）若，且存在，使得在区间上的值域也为，求实数的取值范围． 14．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步．根据国际半导体产业协会（）的数据，在截至年的4年里，中国计划建设家大型半导体工厂．某公司打算在年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为万元，若该型芯片生产线在年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚元的价格售出． （1）已知年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式； （2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润． 15．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）（1）已知，试比较方程的两根与1的大小关系，并说明理由； （2）若方程恰有3个不等实根，求实数a的取值范围； （3）若方程恰有2个不等正实根，试比较与的大小关系，并说明理由. 16．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知函数 ，若关于的方程有8个相异的实根，则实数b的取值范围为　　　　 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 3大高频考点概览 考点01 指数与指数函数 考点02 对数与对数函数 考点03 函数的应用（二） 考点01 指数与指数函数 1．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）化简： （     ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据根式的定义求值． 【详解】 . 故选：A. 2．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）化简：（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 借助平方根与立方根性质计算即可得. 【详解】 . 故选：A. 3．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）已知，则的最小值为（　　） A. 3 B. 4 C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】 依题意，， 由，得， 当且仅当即时取等号， 得到的最小值为. 故选：C 4．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）若，则的化简结果是（     ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由根式的运算性质即可求解. 【详解】 因为， 所以， 故选：D 5．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）已知．则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 可举例判断A、C、D，由题可得，结合指数函数单调性可判断B． 【详解】 对A、C、D：取，，，，此时，， ，故A、C、D错误； 对B：由，则，， 又是增函数， ，故B正确， 故选：B． 6．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用放缩法，结合代数运算确定正确答案. 【详解】 依题意，， ① 因为 ，所以. ② 由于 ，所以 ， 即： 因此，. 所以，所以. 故选：A 7．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据指数幂比较大小即可． 【详解】 ， ，，则， ． 故选：D． 8．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）设，则的分数指数幂形式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用根式与分数指数幂的互化可得出结果. 【详解】 当时，则. 故选：B. 9．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）化简：（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用根式运算、指数运算等知识进行化简求值. 【详解】 . 故选：C 10．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）已知函数，定义域为．则的值域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求关于指数函数的复合函数的值域即得, 【详解】 因为函数的定义域为 所以 ，解得. 所以的定义域为 由得 所以. 当，即时，， 当，即时，. 所以的值域为, 故选：A. 11．（2026·江苏淮安·11月调研）（1）计算； （2）已知，，，，求的值. 【答案】（1）4；（2）或6. 【分析】 （1）化根式为分数指数幂，再利用指数运算法则求解. （2）根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系，建立一元二次方程求解即得. 【详解】 （1）. （2）由，，得，而， 则是方程的两个实数根，解，得或， 因此 或 ，解得 或 ， 所以或 12．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）（1）计算的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）利用换底公式以及指对数的运算法则可得答案； （2）利用完全平方公式以及立方和公式可得答案. 【详解】 （1）原式 （2）因为，所以. 所以 13．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）由指数幂的运算和对数的运算性质即可求解； （2）由指数幂的运算结合立方和、完全平方公式即可求解. 【详解】 （1）原式 （2）因为， 所以，， ， 所以，原式 考点02 对数与对数函数 1．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知，则等于 （       ） A. -1 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】D 【详解】利用对数和指数互化，可得，，再利用即可求解. 【详解】 由得：，， 所以， 故选：D 2．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用对数的运算性质即可求解. 【详解】 . 故选：B 3．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 9 【答案】B 【分析】 根据对数的运算性质计算即可求解. 【详解】 . 故选：B 4．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）已知，，则实数，，中可以用，表示的有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【分析】 根据对数的运算性质计算可得. 【详解】 因为，， 所以， ， 无法用，表示. 故能用，表示有，共个. 故选：C 5．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）生物丰富指数是河流水质的一个评价指标，其中，是分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富指数越大，水质越好，如果在某河流治理前后的生物种类没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富指数由2提高到4，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 结合题意，利用对数的运算性质求解即可. 【详解】 由题意得，可得， 化简得，所以. 故选：D. 6．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）（多选）下列运算正确的有（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 根据对数的运算依次判断选项即可. 【详解】 A选项，，故A错误； B选项，，故B正确； C选项，，故C正确； D选项，，故D正确. 故选：BCD. 7．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）已知，则用可表示为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用换底公式换成以为底的形式，再拆分分子分母的对数结合对数运算法则,化为已知和的组合. 【详解】 已知， . 故选：B 8．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）设，则的大小顺序为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据指数函数与对数函数的性质，求得的取值范围，即可求解. 【详解】 由指数函数与对数函数的性质，可得，所以. 故选：A. 9．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）已知，且，则（　　） A. 4 B. 6 C. 15 D. 36 【答案】B 【分析】 先由题设得到、，再由对数运算性质即可求解. 【详解】 由得，由得， 则，， 因此， 因此，又因且， 故. 故选：B 10．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）任何一个正实数可以表示成，此时，.当时，是位数，则是（       ） （参考数据：） A. 24位数 B. 33位数 C. 34位数 D. 43位数 【答案】C 【分析】 先利用对数的性质进行化简，再根据题干即可求出. 【详解】 先对取常用对数，， 又， 又，， 则， 设，根据，， 这里，时，是位数，是位数. 故选：. 11．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）（多选）已知，且满足，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 的最小值为 【答案】BCD 【分析】 利用对数的运算法则化简可得到，再令 ，经计算可得到，通过代换化简可判断选项A，B，C，对于D利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】 由对数的运算法则可得：， 所以：， 所以：， 令 ， ，则 ， ，且 ， 得：，即：， 令 （因为 )，则：，， 由于 ，得：， 解得：， 又因为，故 . 于是：. 选项 A：假设A选项正确， 即：，代入得：，由 得：， 即，，而，当时，，两者不相等，故A错误； 选项 B：，，由 ， ， 所以 ，故 B 正确； 选项 C：由，，得： 计算：， ， ， 所以，故 C 正确； 选项 D：令 ，则 ，， 由基本不等式得：. 当且仅当，即，时取等号. 故的最小值为.故D正确. 故选：BCD 12．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 借助复合函数单调性计算即可得. 【详解】 由函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且在上恒成立， 则有 ，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 13．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用指对幂的计算法则以及对数的运算性质求解即可； （2）先求出，再求出，利用整体代入求解即可. 【详解】 （1）原式 ； （2），且， 原式. 14．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）（1）已知，用分别表示和； （2）已知，求及的值． 【答案】（1），； （2）， 【分析】 （1）结合换底公式，利用对数运算性质化简求解即可； （2）将平方可求得，将平方可求得，利用立方差公式即可求值. 【详解】 （1）因为， 所以； . （2）因为，所以，所以； 因为，所以或， 所以或. 15．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据指数幂的运算法则求值. （2）根据对数的运算法则求值. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： . 16．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）求值： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用指数幂的运算法则计算即可； （2）利用对数的运算法则计算即可. (1) 小问详解： 由 ； (2) 小问详解： 由 17．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）（1）求的值； （2）求的值； （3）设是非零实数，已知，求的值. 【答案】（1）；（2）1；（3）4. 【分析】 （1）根据指数性质及运算律计算求解； （2）根据对数性质及运算律计算求解； （3）根据指数性质及运算律化简计算求解； 【详解】 （1）； （2）； （3）因为，所以，所以 所以. 18．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）计算. （1）； （2）； （3）已知，求的值. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据指数幂的运算性质计算可得； （2）根据对数函数的运算性质计算可得. （3）根据指数与对数的关系得到，，再由换底公式及对数的运算性质计算可得. (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： 因为，所以，， 则， ， 所以. 19．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）计算 （1）求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）3     （2）      【分析】 （1）由对数的运算性质计算可得； （2）由指数幂的运算和平方公式以及立方和公式计算可得. (1) 小问详解： (2) 小问详解： 因为，所以， 所以， ， 所以. 20．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）已知定义在上的函数满足，且．请写出一个满足条件的的解析式　　　　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据题意，结合对数的运算性质，以及对数函数的性质，即可得到答案. 【详解】 由对数的运算法则知：， 则满足，且的一个函数解析式可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 21．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）若，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据对数运算求得正确答案. 【详解】 因为， 所以， 所以. 故答案为： 22．（2026·江苏淮安·11月调研）已知，，则　　　　　　（用含有，式子表示）. 【答案】 【分析】 根据换底公式和对数的运算性质计算即可. 【详解】 因为，所以. . 故答案为：. 23．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）（1）求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，，证明：. 【答案】（1）；（2）； （3），， 则 ，即. 【分析】 （1）借助立方和公式及对数运算法则计算即可得； （2）借助指数幂的恒等变形计算即可得； （3）借助换底公式及对数运算法则计算即可得. 【详解】 （1）原式 （2），则， ， ， 由，则； （3）略 24．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）（1）计算：； （2）设a是非零实数，已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用对数的概念、指数幂的运算和对数运算性质计算即可； （2）结合立方和公式、平方差公式和完全平方公式，利用指数幂的运算性质求解即可. 【详解】 （1）.            . （2）因为，所以，所以， 则， ， 所以. 25．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）（1）已知，，且，求实数的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）借助指数与对数的转化，结合对数运算法则计算即可得； （2）借助立方和公式因式分解后，可得，再结合指数函数单调性计算即可得. 【详解】 （1）由，则， 则， 故； （2）， 则，则， 由，则在上单调递减，则，故. 26．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）计算： （1）； （2）已知，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）通过对数运算性质化简各项后求和； （2）利用完全平方公式和立方差公式，结合已知条件逐步推导求解. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： 由，两边平方得，即. 又. 故. 27．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知是函数的零点，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意列出方程，进而得到进行求解即可. 【详解】 由题可知，， 所以， 令,则单调递增，且, 所以，所以， 所以. 故答案为： 考点03 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯88℃的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到大约需要，那么降温到大约需要（参考数据：，）（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由已知求得半衰期，然后再计算即可. 【详解】 由题意，即，解得， 设降温到大约需要，则， 即，， 所以，解得. 故选：B. 2．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．黄海是我国东部中强地震多发区之一，2013年4月21日，黄海海域发生里氏5.0级地震，2015年8月6日黄海海域发生里氏4.0级地震，前一次地震所释放出来的能量约是后一次的（       ）倍．（精确到1） （参考数据：，，，） A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 【答案】D 【分析】 由题意得到方程组，相减后得到，结合给出的参考数据，得到. 【详解】 由题意得 ， 两式相减得，而， 故， 故选：D 3．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）已知函数 ，，若方程有四个实数解，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据方程有四个实数解分析可得方程有一个正数解，一个零解，还有两个负数解，再结合一元二次方程的根与系数关系可得结果. 【详解】 因有四个实数解，所以时方程有一个实数解，时方程有三个实数解. ① 当时，由，即，因方程要有一个正实数解， 所以，即，方程有一正实数解. ② 当时，由，即，显然方程有一个实数解. 所以有两负实数解，设为，由根与系数关系得 ， ，得. 综上① ② ，得. 故选：D. 4．（2026·江苏淮安·11月调研）已知函数 ，若，且，则的取值范围（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据给定条件，分析函数性质并作出图象，建立目标式的函数关系，借助二次函数求出范围. 【详解】 函数的图象关于直线对称， 函数 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 令，则函数的图象与直线有3个交点，其横坐标为， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象，得，，， 由，得，因此， 所以的取值范围是. 故选：A 5．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）（多选）已知函数的图象与轴交于两点．则（       ） A.  B. 若，则 C. 当时， D.  【答案】ABD 【分析】 由题意知有两个不相等的实数根，利用根的判别式可判断A；由结合韦达定理求出的值；将变形利用韦达定理计算可判断C；求得，，用换元法求得的范围可判断D. 【详解】 由题意知有两个不相等的实数根， 对于A，由题意，，解得，故A正确； 对于B，根据韦达定理，得，，解得，故B正确； 对于C，当时，， ，故C不正确； 对于D，因为所以， 令，所以， 当时等号成立，所以，故D成立. 故选：ABD 6．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）设m为实数，若二次函数在区间上仅有一个零点，则m的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据二次函数的性质，要使二次函数在区间上仅有一个零点，只需当时，函数值小于0即可，列出不等式，从而可得答案. 【详解】 解：因为二次函数的对称轴为，且图像开口向上， 因为函数在区间上仅有一个零点， 所以当时，，解得. 故答案为：. 7．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为 ，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元      【分析】 （1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数； （2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可. (1) 小问详解： 由题意有销售额为， 所以当时，， 当时，， 所以 ； (2) 小问详解： （2）当时，， 当时，万元，              当时，，当且仅当， 即时等号成立，万元，             即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 8．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】（1）100个，30万元     （2）每月生产不小于70个人形机器人      【分析】 （1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. (1) 小问详解： 设平均每个人形机器人的成本为万元， 根据题意有， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. (2) 小问详解： 设月利润为万元， 则有， 由题知，整理得，解得. 故该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 9．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）某公司为了提高生产效率，决定投入200万元购进一套生产设备，预计使用该设备后，前）年的支出成本为万元，每年的销售收入112万元，设前年的总盈利额为万元． （1）写出与的函数关系式，并求出从第几年开始盈利； （2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，以10万元价格处理该设备； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，以50万元价格处理该设备． 你认为哪种方案较为合理？请说明理由．（注：年平均盈利额为） 【答案】（1），其中；第3年     （2）方案二较为合理，理由如下： 由（1）知，其中， 对方案一：由函数为二次函数， 其图象开口向下，对称轴为， 当时，可得；当时，可得， 所以当时，方案一的总获利取得最大值，最大值为万元； 对方案二：前年的平均利润为， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即时，平均利润取得最大值， 当时，可得万元， 所以方案二的总盈利为万元， 综上，可得方案一与方案二的总盈利都是万元， 当方案二更早实现收益，所以方案二更为合理，因为资金回收更早，提高了资金使用效率，降低风险.      【分析】 （1）根据题意，得到总收入为万元，总成本为万元，求得总盈利额为，其中，令，求得不等式的解集，即可得到答案. （2）方案一：由函数，结合二次函数的性质，求得方案一的总盈利；再由，结合基本不等式，求得时，平均利润取得最大值，求得方案二的总盈利，通过比较分析，得出答案. (1) 小问详解： 解：由题意知，前的总收入为万元，总成本为万元， 所以总盈利额为，其中， 令，即，即， 解得，且，所以第3年该公司可以盈利. (2) 小问详解： 略 10．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）某单位要建造一间地面面积为16m2的背靠墙的长方体小房，房屋正面的造价为1000元/m2，房屋侧面的造价为2000元/m2，屋顶的造价为10000元.如果墙高3m，且不计地面与房屋背面的费用.设房屋正面长度为. （1）若总造价不超过62000元，求房屋正面长度x的取值范围； （2）怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少? 【答案】（1）     （2）当长为，宽为时，最低总造价是元.      【分析】 （1）设底面宽，表示出房屋总造价为，由求解即可； （2）利用基本不等式即可得出． (1) 小问详解： 设底面的宽，则， 设房屋总造价为，由题意可得： ， 由，且. 由题意： 即， 解得， 所以房屋正面长度x的取值范围是 (2) 小问详解： 当且仅当 ，即 ，此时造价最低为. 即综上：当长为，宽为时，最低总造价是元. 11．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意，当时，时，函数与图象有一个公共点，当时，设，令，则函数有两个零点，根据零点存在定理求解. 【详解】 根据题意，    由于值域为， 在单调递减，在单调递增，可知， 当，时，函数单调递增，单调递减， 则两函数图象有一个公共点， 所以时，函数与图象有两个公共点， 设， 令，则函数有两个零点， 所以 ，可得 ，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 12．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“次函数”． （1）判断是否为的“次函数”，若是，求出；若不是，说明理由； （2）已知 为的“2次函数”，求实数的取值范围； （3）已知 若为的“2025次函数”，求的取值范围． 【答案】（1）是，     （2）     （3）      【分析】 （1）根据“次函数”的定义判断； （2）利用基本不等式得到的值域，然后将为的“2次函数”转化为对任意，有两个不相等的实数根，再根据二次项系数及对称轴与区间的关系分类讨论即可； （3）先求出的值域为，然后将为的“次函数”转化为对于任意，有2025个不同的实数根，最后结合函数图象与直线交点个数分析即可. (1) 小问详解： ，则的值域为， ，则的值域为， 因为，且在上单调递增， 则对任意，， 则对任意，函数与直线均有且只有一个交点， 即恰好存在个实数，使得， 所以是的“次函数”. (2) 小问详解： 由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 可知的值域为， 函数，，值域为，且单调递减， 若使为的“2次函数”， 则对任意，有两个不相等的实数根， 当时，，对任意， 方程在内有且仅有一个根， 所以只需要时，有且仅有一个实数根， 当时，，. ① 当时，，且单调递减，符合题意； 由二次函数的对称轴为， 且，， 故再分如下几类讨论函数在的单调性. ② 当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 又且， 如图可知，对任意， 当时，函数的图象与直线有且仅有一个交点， 即此时有且仅有一个实数根，满足题意； ③ 当时，， 函数在上单调递减，且， 如图可知，对任意， 当时，函数的图象与直线也有且仅有一个交点，故满足题意； ④ 当时，， 函数在上单调递减，且， 如图可知，也满足题意； ⑤ 当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 如图可知，对任意， 当时，要使函数的图象与直线有且仅有一个交点， 必须有，解得，所以. 即当时，要使有且仅有一个实数根，则； 综上所述，实数的取值范围为； (3) 小问详解： ，，则的值域为， 因为为的“2025次函数”， 所以对于任意，恰有2025个不同的实数根. 设 ， 则对任意，方程在恰有2025个不同的实数根， 如图，作出函数的部分图象. 可知对于任意，在每一段区间内， 函数的图象与直线都恰有两个交点，即方程有两个根， 所以函数的图象与直线的第与第个交点，在区间内， 因为当时，， 设方程在区间内的根为，且， 如图可知，要使任意，在恰有2025个不同的实数根， 则， 令，解得， 所以， 故要使为的“次函数”，的取值范围为. 13．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）设二次函数． （1）若函数是定义在上的偶函数，求该函数的零点； （2）若，，解不等式（结果用含字母的式子表示）； （3）若，且存在，使得在区间上的值域也为，求实数的取值范围． 【答案】（1）、     （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.     （3）      【分析】 （1）根据偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，利用二次函数的对称性可求出的值，由此可得出函数的解析式，再利用函数零点的概念求解即可； （2）由可得，将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （3）分析出函数在区间上单调递减，可得出 ，两式作差可得出，代入等式组 并化简可知、是关于的一元二次方程在上两个不等实根，结合二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的偶函数， 则定义域关于原点对称，所以且，解得， 该函数的对称轴方程为，解得，所以， 令，解得， 故函数的零点为、. (2) 小问详解： 由，则， 所以， 因为是二次函数，所以， 当时，，解原不等式得， 当时，，解原不等式得或， 综上所述：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. (3) 小问详解： 当时，在区间上单调递减， 由于，则函数在区间上单调递减， 又因为在区间上的值域也为， 所以 ，可得 ， 上述两个等式作差可得，整理可得， 将代入 得 ， 所以、是关于的一元二次方程在上两个不等实根. 所以 ，解得， 因此，实数的取值范围是. 14．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步．根据国际半导体产业协会（）的数据，在截至年的4年里，中国计划建设家大型半导体工厂．某公司打算在年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为万元，若该型芯片生产线在年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚元的价格售出． （1）已知年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式； （2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润． 【答案】（1）     （2）芯片产量为万枚时利润最大，最大利润为240万元      【分析】 （1）利用已知函数模型，结合已知条件分段讨论得出的解析式； （2）利用的解析式，分段讨论不同产量范围的利润最大值，从而得出最大利润． (1) 小问详解： 建设成本为万元，售价为每枚元，物料及人工等成本与产量（万枚）关系为： ， 当时，， 当时，， 当时，， 的函数解析式为 ． (2) 小问详解： ， 当时，单调递增，当时取得最大值，最大值为（万元）； 当时，，抛物线开口向下，对称轴为， 故在上单调递增， 在处取得最大值，最大值为（万元）； 当时，，，当且仅当， 即时取等号，即（万元）， 当年该型芯片产量为万枚时利润最大，最大利润为万元． 15．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）（1）已知，试比较方程的两根与1的大小关系，并说明理由； （2）若方程恰有3个不等实根，求实数a的取值范围； （3）若方程恰有2个不等正实根，试比较与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）；理由如下： 一元二次方程， 由韦达定理，得， 则一正一负，不妨设， 可得， 因为，所以， 经检验由可得，即可得， 因此可得. （2） （3），理由如下： 方程的两个根， 当，即时，原方程变形为， 即，易知，所以此时两根异号， 此时有效根为，且该根在内； 当时，即，原方程变形为， 解得，依题意此根必是有效根，因此，可得； 由题意可知； 所以， 要比较与的大小，只需比较与0的大小， 易知函数在上单调递增，所以； 而函数在上单调递减，所以； 可得当时，，即； 因此. 【分析】 （1）设，根据韦达定理和即可求解； （2）去绝对值，分类讨论根的情况，求出对应的取值范围，即可求解； （3）去绝对值，分别求得，，进而，将问题转化为比较的大小即可求解. 【详解】 （1）略 （2），易知. 当即或时，原方程变形为，解得， 此时方程有1个解，，所以且； 当即时，原方程变形为， 即，此时方程在内需有2个解， 设，则，开口向上， 有 ，解得. 综上，方程有3个不等的实根， 实数需满足 ，解得或. 故实数的取值范围为. （3）略 16．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知函数 ，若关于的方程有8个相异的实根，则实数b的取值范围为　　　　 【答案】 【分析】 通过分析分段函数图像，利用换元法将方程转化为二次方程，结合二次方程根的分布条件求解参数范围. 【详解】 画出函数的图像如下图所示， 当时，，在处取得最小值， 时单调递减，时单调递增； 当时，，在处取得最大值， 时单调递增，时单调递减. 令，则方程转化为. 要使原方程有个相异的实根，需有两个不同实根， 且每个对应有个解. 由的图像可知，需在内，因此的两根均在内. 设，需满足： ① 判别式或； ② 对称轴； ③. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 考点01 指数与指数函数 考点02 对数与对数函数 考点03 函数的应用（二） 考点01 指数与指数函数 1．A 2．A 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．B 9．C 10．A 11．【答案】（1）4；（2）或6. 【分析】 （1）化根式为分数指数幂，再利用指数运算法则求解. （2）根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系，建立一元二次方程求解即得. 【详解】 （1）. （2）由，，得，而， 则是方程的两个实数根，解，得或， 因此 或 ，解得 或 ， 所以或 12．【答案】（1）（2） 【分析】 （1）利用换底公式以及指对数的运算法则可得答案； （2）利用完全平方公式以及立方和公式可得答案. 【详解】 （1）原式 （2）因为，所以. 所以 13．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）由指数幂的运算和对数的运算性质即可求解； （2）由指数幂的运算结合立方和、完全平方公式即可求解. 【详解】 （1）原式 （2）因为， 所以，， ， 所以，原式 考点02 对数与对数函数 1．D 2．B 3．B 4．C 5．D 6．BCD 7．B 8．A 9．B 10．C 11．BCD 12．D 13．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用指对幂的计算法则以及对数的运算性质求解即可； （2）先求出，再求出，利用整体代入求解即可. 【详解】 （1）原式 ； （2），且， 原式. 14．【答案】（1），； （2）， 【分析】 （1）结合换底公式，利用对数运算性质化简求解即可； （2）将平方可求得，将平方可求得，利用立方差公式即可求值. 【详解】 （1）因为， 所以； . （2）因为，所以，所以； 因为，所以或， 所以或. 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据指数幂的运算法则求值. （2）根据对数的运算法则求值. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： . 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用指数幂的运算法则计算即可； （2）利用对数的运算法则计算即可. (1) 小问详解： 由 ； (2) 小问详解： 由 17．【答案】（1）；（2）1；（3）4. 【分析】 （1）根据指数性质及运算律计算求解； （2）根据对数性质及运算律计算求解； （3）根据指数性质及运算律化简计算求解； 【详解】 （1）； （2）； （3）因为，所以，所以 所以. 18．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据指数幂的运算性质计算可得； （2）根据对数函数的运算性质计算可得. （3）根据指数与对数的关系得到，，再由换底公式及对数的运算性质计算可得. (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： 因为，所以，， 则， ， 所以. 19．【答案】（1）3     （2）      【分析】 （1）由对数的运算性质计算可得； （2）由指数幂的运算和平方公式以及立方和公式计算可得. (1) 小问详解： (2) 小问详解： 因为，所以， 所以， ， 所以. 20．【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据题意，结合对数的运算性质，以及对数函数的性质，即可得到答案. 【详解】 由对数的运算法则知：， 则满足，且的一个函数解析式可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 21．【答案】 【分析】 根据对数运算求得正确答案. 【详解】 因为， 所以， 所以. 故答案为： 22．【答案】 【分析】 根据换底公式和对数的运算性质计算即可. 【详解】 因为，所以. . 故答案为：. 23．【答案】（1）；（2）； （3），， 则 ，即. 【分析】 （1）借助立方和公式及对数运算法则计算即可得； （2）借助指数幂的恒等变形计算即可得； （3）借助换底公式及对数运算法则计算即可得. 【详解】 （1）原式 （2），则， ， ， 由，则； （3）略 24．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用对数的概念、指数幂的运算和对数运算性质计算即可； （2）结合立方和公式、平方差公式和完全平方公式，利用指数幂的运算性质求解即可. 【详解】 （1）.            . （2）因为，所以，所以， 则， ， 所以. 25．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）借助指数与对数的转化，结合对数运算法则计算即可得； （2）借助立方和公式因式分解后，可得，再结合指数函数单调性计算即可得. 【详解】 （1）由，则， 则， 故； （2）， 则，则， 由，则在上单调递减，则，故. 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）通过对数运算性质化简各项后求和； （2）利用完全平方公式和立方差公式，结合已知条件逐步推导求解. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： 由，两边平方得，即. 又. 故. 27．【答案】 【分析】 根据题意列出方程，进而得到进行求解即可. 【详解】 由题可知，， 所以， 令,则单调递增，且, 所以，所以， 所以. 故答案为： 考点03 函数的应用（二） 1．B 2．D 3．D 4．A 5．ABD 6．【答案】 【分析】 根据二次函数的性质，要使二次函数在区间上仅有一个零点，只需当时，函数值小于0即可，列出不等式，从而可得答案. 【详解】 解：因为二次函数的对称轴为，且图像开口向上， 因为函数在区间上仅有一个零点， 所以当时，，解得. 故答案为：. 7．【答案】（1）     （2）100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元      【分析】 （1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数； （2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可. (1) 小问详解： 由题意有销售额为， 所以当时，， 当时，， 所以 ； (2) 小问详解： （2）当时，， 当时，万元，              当时，，当且仅当， 即时等号成立，万元，             即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 8．【答案】（1）100个，30万元     （2）每月生产不小于70个人形机器人      【分析】 （1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. (1) 小问详解： 设平均每个人形机器人的成本为万元， 根据题意有， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. (2) 小问详解： 设月利润为万元， 则有， 由题知，整理得，解得. 故该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 9．【答案】（1），其中；第3年     （2）方案二较为合理，理由如下： 由（1）知，其中， 对方案一：由函数为二次函数， 其图象开口向下，对称轴为， 当时，可得；当时，可得， 所以当时，方案一的总获利取得最大值，最大值为万元； 对方案二：前年的平均利润为， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即时，平均利润取得最大值， 当时，可得万元， 所以方案二的总盈利为万元， 综上，可得方案一与方案二的总盈利都是万元， 当方案二更早实现收益，所以方案二更为合理，因为资金回收更早，提高了资金使用效率，降低风险.      【分析】 （1）根据题意，得到总收入为万元，总成本为万元，求得总盈利额为，其中，令，求得不等式的解集，即可得到答案. （2）方案一：由函数，结合二次函数的性质，求得方案一的总盈利；再由，结合基本不等式，求得时，平均利润取得最大值，求得方案二的总盈利，通过比较分析，得出答案. (1) 小问详解： 解：由题意知，前的总收入为万元，总成本为万元， 所以总盈利额为，其中， 令，即，即， 解得，且，所以第3年该公司可以盈利. (2) 小问详解： 略 10．【答案】（1）     （2）当长为，宽为时，最低总造价是元.      【分析】 （1）设底面宽，表示出房屋总造价为，由求解即可； （2）利用基本不等式即可得出． (1) 小问详解： 设底面的宽，则， 设房屋总造价为，由题意可得： ， 由，且. 由题意： 即， 解得， 所以房屋正面长度x的取值范围是 (2) 小问详解： 当且仅当 ，即 ，此时造价最低为. 即综上：当长为，宽为时，最低总造价是元. 11．【答案】 【分析】 根据题意，当时，时，函数与图象有一个公共点，当时，设，令，则函数有两个零点，根据零点存在定理求解. 【详解】 根据题意，    由于值域为， 在单调递减，在单调递增，可知， 当，时，函数单调递增，单调递减， 则两函数图象有一个公共点， 所以时，函数与图象有两个公共点， 设， 令，则函数有两个零点， 所以 ，可得 ，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 12．【答案】（1）是，     （2）     （3）      【分析】 （1）根据“次函数”的定义判断； （2）利用基本不等式得到的值域，然后将为的“2次函数”转化为对任意，有两个不相等的实数根，再根据二次项系数及对称轴与区间的关系分类讨论即可； （3）先求出的值域为，然后将为的“次函数”转化为对于任意，有2025个不同的实数根，最后结合函数图象与直线交点个数分析即可. (1) 小问详解： ，则的值域为， ，则的值域为， 因为，且在上单调递增， 则对任意，， 则对任意，函数与直线均有且只有一个交点， 即恰好存在个实数，使得， 所以是的“次函数”. (2) 小问详解： 由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 可知的值域为， 函数，，值域为，且单调递减， 若使为的“2次函数”， 则对任意，有两个不相等的实数根， 当时，，对任意， 方程在内有且仅有一个根， 所以只需要时，有且仅有一个实数根， 当时，，. ① 当时，，且单调递减，符合题意； 由二次函数的对称轴为， 且，， 故再分如下几类讨论函数在的单调性. ② 当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 又且， 如图可知，对任意， 当时，函数的图象与直线有且仅有一个交点， 即此时有且仅有一个实数根，满足题意； ③ 当时，， 函数在上单调递减，且， 如图可知，对任意， 当时，函数的图象与直线也有且仅有一个交点，故满足题意； ④ 当时，， 函数在上单调递减，且， 如图可知，也满足题意； ⑤ 当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 如图可知，对任意， 当时，要使函数的图象与直线有且仅有一个交点， 必须有，解得，所以. 即当时，要使有且仅有一个实数根，则； 综上所述，实数的取值范围为； (3) 小问详解： ，，则的值域为， 因为为的“2025次函数”， 所以对于任意，恰有2025个不同的实数根. 设 ， 则对任意，方程在恰有2025个不同的实数根， 如图，作出函数的部分图象. 可知对于任意，在每一段区间内， 函数的图象与直线都恰有两个交点，即方程有两个根， 所以函数的图象与直线的第与第个交点，在区间内， 因为当时，， 设方程在区间内的根为，且， 如图可知，要使任意，在恰有2025个不同的实数根， 则， 令，解得， 所以， 故要使为的“次函数”，的取值范围为. 13．【答案】（1）、     （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.     （3）      【分析】 （1）根据偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，利用二次函数的对称性可求出的值，由此可得出函数的解析式，再利用函数零点的概念求解即可； （2）由可得，将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （3）分析出函数在区间上单调递减，可得出 ，两式作差可得出，代入等式组 并化简可知、是关于的一元二次方程在上两个不等实根，结合二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的偶函数， 则定义域关于原点对称，所以且，解得， 该函数的对称轴方程为，解得，所以， 令，解得， 故函数的零点为、. (2) 小问详解： 由，则， 所以， 因为是二次函数，所以， 当时，，解原不等式得， 当时，，解原不等式得或， 综上所述：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. (3) 小问详解： 当时，在区间上单调递减， 由于，则函数在区间上单调递减， 又因为在区间上的值域也为， 所以 ，可得 ， 上述两个等式作差可得，整理可得， 将代入 得 ， 所以、是关于的一元二次方程在上两个不等实根. 所以 ，解得， 因此，实数的取值范围是. 14．【答案】（1）     （2）芯片产量为万枚时利润最大，最大利润为240万元      【分析】 （1）利用已知函数模型，结合已知条件分段讨论得出的解析式； （2）利用的解析式，分段讨论不同产量范围的利润最大值，从而得出最大利润． (1) 小问详解： 建设成本为万元，售价为每枚元，物料及人工等成本与产量（万枚）关系为： ， 当时，， 当时，， 当时，， 的函数解析式为 ． (2) 小问详解： ， 当时，单调递增，当时取得最大值，最大值为（万元）； 当时，，抛物线开口向下，对称轴为， 故在上单调递增， 在处取得最大值，最大值为（万元）； 当时，，，当且仅当， 即时取等号，即（万元）， 当年该型芯片产量为万枚时利润最大，最大利润为万元． 15．【答案】（1）；理由如下： 一元二次方程， 由韦达定理，得， 则一正一负，不妨设， 可得， 因为，所以， 经检验由可得，即可得， 因此可得. （2） （3），理由如下： 方程的两个根， 当，即时，原方程变形为， 即，易知，所以此时两根异号， 此时有效根为，且该根在内； 当时，即，原方程变形为， 解得，依题意此根必是有效根，因此，可得； 由题意可知； 所以， 要比较与的大小，只需比较与0的大小， 易知函数在上单调递增，所以； 而函数在上单调递减，所以； 可得当时，，即； 因此. 【分析】 （1）设，根据韦达定理和即可求解； （2）去绝对值，分类讨论根的情况，求出对应的取值范围，即可求解； （3）去绝对值，分别求得，，进而，将问题转化为比较的大小即可求解. 【详解】 （1）略 （2），易知. 当即或时，原方程变形为，解得， 此时方程有1个解，，所以且； 当即时，原方程变形为， 即，此时方程在内需有2个解， 设，则，开口向上， 有 ，解得. 综上，方程有3个不等的实根， 实数需满足 ，解得或. 故实数的取值范围为. （3）略 16．【答案】 【分析】 通过分析分段函数图像，利用换元法将方程转化为二次方程，结合二次方程根的分布条件求解参数范围. 【详解】 画出函数的图像如下图所示， 当时，，在处取得最小值， 时单调递减，时单调递增； 当时，，在处取得最大值， 时单调递增，时单调递减. 令，则方程转化为. 要使原方程有个相异的实根，需有两个不同实根， 且每个对应有个解. 由的图像可知，需在内，因此的两根均在内. 设，需满足： ① 判别式或； ② 对称轴； ③. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $