第三章圆锥曲线的方程（期中知识清单）高二数学上学期人教A版

第三章 圆锥曲线的方程　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 椭圆 1.1 椭圆的定义 我们把平面内与两个定点 ， 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距。 示例：设 ，动点 满足 ，因 ，故点 的轨迹是椭圆。 1.2 椭圆的标准方程 焦点在 轴上的椭圆：方程 是焦点在 轴上、两个焦点分别是 ， 的椭圆的标准方程，这里 。 焦点在 轴上的椭圆：方程 是焦点在 轴上的椭圆的标准方程。 示例： 中，，，，焦点为 ，。 注意：判断焦点位置看分母的大小： 项的分母大则焦点在 轴， 项的分母大则焦点在 轴。 1.3 椭圆的简单几何性质 以 为例： 范围 椭圆位于直线 和 围成的矩形框里，即 ，。 图1：椭圆位于直线 和 围成的矩形框内 对称性 椭圆关于 轴、 轴都是对称的。坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。 顶点 椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点，它们是 ，，，。线段 ， 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 和 ， 和 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 离心率 椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用 表示，即 。因为 ，所以 。 越接近 ，椭圆越扁平； 越接近 ，椭圆越接近于圆。 示例：椭圆 中，，，，离心率 。 2. 双曲线 2.1 双曲线的定义 一般地，我们把平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。 示例：设 ，动点 满足 ，因 ，故点 的轨迹是双曲线。 2.2 双曲线的标准方程 焦点在 轴上的双曲线：方程 是焦点在 轴上、焦点分别是 ， 的双曲线的标准方程，这里 。 焦点在 轴上的双曲线：方程 是焦点在 轴上的双曲线的标准方程。 示例： 中，，，，焦点为 ，。 注意：双曲线中 （ 最大），与椭圆 （ 最大）正好相反。 2.3 双曲线的简单几何性质 以 为例： 范围 双曲线位于直线 及其左侧和直线 及其右侧的区域，即 ，或 ；。 对称性 双曲线关于 轴、 轴和原点都是对称的。坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心。双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 顶点 双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点，即 ，。线段 叫做双曲线的实轴，它的长等于 ， 叫做双曲线的实半轴长；线段 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 ， 叫做双曲线的虚半轴长。 渐近线 双曲线 的两支向外延伸时，与两条直线 逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线，即 。实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 图2：双曲线 及其渐近线 示例：双曲线 的渐近线方程为 。 离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率。因为 ，所以双曲线的离心率 。 示例：双曲线 中，，，离心率 。 3. 抛物线 3.1 抛物线的定义 我们把平面内与一个定点 和一条定直线 （ 不经过点 ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点 叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线。 示例：点 到定点 的距离等于它到直线 的距离，则点 的轨迹是抛物线。 3.2 抛物线的标准方程 抛物线有四种形式的标准方程，其焦点坐标、准线方程如下表（）： 标准方程 焦点坐标 准线方程 开口方向 向右 向左 向上 向下 示例：抛物线 中，，焦点坐标是 ，准线方程是 。 图3：抛物线 的焦点 与准线 3.3 抛物线的简单几何性质 以 为例： 范围 因为 ，抛物线上点的横坐标 ，。当 时，抛物线在 轴的右侧，开口方向与 轴的正方向相同，向右上方和右下方无限延伸。 对称性 抛物线关于 轴对称。抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。 顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线 的顶点就是原点。 离心率 抛物线上的点 与焦点 的距离和点 到准线的距离 的比 ，叫做抛物线的离心率，用 表示。由抛物线的定义可知，。 示例：抛物线 的顶点是原点，焦点是 ，准线是 ，离心率 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 三种圆锥曲线的离心率范围与类型判断 椭圆 ，抛物线 ，双曲线 。由离心率可直接判断圆锥曲线的类型；反之，已知曲线类型即可确定离心率的范围。 1.2 抛物线的焦半径 抛物线 上一点 到焦点 的距离等于它到准线 的距离，即 。 1.3 抛物线的焦点弦长 抛物线 ，过焦点 的弦两端为 ，，则 。 1.4 椭圆、双曲线的通径 过焦点且垂直于长轴（椭圆）或实轴（双曲线）的弦叫做通径，椭圆、双曲线的通径长都是 ，抛物线的通径长是 。 1.5 等轴双曲线的特征 等轴双曲线 ，则 ，离心率 ，渐近线为 （互相垂直）。 1.6 焦点三角形（椭圆） 椭圆 上一点 与两焦点 ， 构成焦点三角形，其周长为 ；设 ，则其面积 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求圆锥曲线标准方程 先判断焦点位置（由条件或图形确定焦点在 轴还是 轴），设出相应的标准方程，再由已知条件（定义、点坐标、，， 关系、离心率等）列式求 ，。如椭圆焦点在 轴上、长半轴长 ，设 ，代入点坐标求 。 【使用提醒】焦点位置不确定时需分类讨论，或设 统一处理。 2.2 求离心率 先求出 与 （或 ， 的关系），代入 ；也可由 （椭圆）或 （双曲线）整体求解。如椭圆 中 ，则 。 2.3 直线与圆锥曲线联立 联立直线与曲线方程，消去一个变量得一元二次方程，用判别式判断公共点个数，用根与系数的关系求交点坐标之和、之积。如直线 与椭圆联立后，由 的符号判断相交、相切、相离。 【使用提醒】消元后若二次项系数含参数，须先讨论其是否为 （此时退化为一次方程），再讨论 。 2.4 弦长公式 直线 与圆锥曲线交于 ，，则 ，其中 、 是消元后所得一元二次方程的判别式与二次项系数。 2.5 点差法求中点弦 弦 的中点为 ，把 ， 两点坐标分别代入曲线方程后两式相减，利用中点与斜率关系求 。如椭圆 中以 为中点的弦的斜率 。 3. 焦点位置判断 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 椭圆焦点位置 、 项中分母大者对应焦点所在轴 ， 分母大，焦点在 轴 双曲线焦点位置 系数为正的项对应的变量所在轴 中 项为正，焦点在 轴 抛物线开口 一次项对应的变量所在轴，正负决定正半轴方向 开口向下，焦点 与焦准距 焦点到准线的距离等于 ，焦点坐标、准线方程均含 中 ，焦点 渐近线速记 焦点在 轴时，把 的 改成 即得 渐近线 4. 常见考试模型 4.1 抛物线焦点弦模型 公式：过抛物线 焦点 的弦 ，其长 ；焦点弦中通径（垂直于对称轴）最短，长为 。 限定：；弦的两端为 ，。 示例：如斜率为 的直线过 的焦点，联立得 ，则 。 4.2 定义法求轨迹模型 公式：动点到两定点距离之和为定值（大于两定点距离）时轨迹为椭圆，差的绝对值为定值（小于两定点距离）时轨迹为双曲线，到定点与定直线距离相等时轨迹为抛物线。 限定：椭圆须”和 两定点距离”，双曲线须”差 两定点距离”，否则轨迹退化或不存在。 示例：如动点到 ， 的距离之和为 ，则轨迹为椭圆，，，得 。 4.3 中点弦（点差法）模型 公式：椭圆 中以 为中点的弦所在直线的斜率 ；双曲线 对应为 。 限定：中点 须在曲线内部（否则该中点弦不存在）。 示例：如椭圆 内以 为中点的弦的斜率 。 4.4 离心率求值 / 取值范围模型 公式：由条件建立关于 ，， 的方程或不等式，结合 （椭圆）或 （双曲线）与 求解；椭圆 ，双曲线 。 限定：所得 必须落在对应圆锥曲线的离心率范围内。 示例：如椭圆 ，，则 ，，。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：双曲线定义”差的绝对值”，漏掉绝对值只求出一支 典例：已知两定点 ，，动点 满足 ，求点 的轨迹方程。 错解：由 得 ，；又 ，，所以轨迹为双曲线 。 正解：条件 表示点 到 的距离比到 的距离大 ，只对应双曲线的右支。故点 的轨迹为双曲线 的右支，即 。 原因：概念理解错误。双曲线的定义是”距离的差的绝对值”等于常数，对应左右两支；而题目只给出”差”（），没有绝对值，只能确定一支。学生看到”差等于常数”就直接套双曲线标准方程，忽视了”绝对值决定双支、无绝对值只有单支”这一区别，导致轨迹多写了一支。 易错点 2：椭圆焦点位置按”哪一项写在前”判断，而不是看分母大小 典例：求椭圆 的焦点坐标。 错解：因为 项写在前，所以焦点在 轴上，，，，无法开方，故无焦点。 正解：椭圆标准方程中 ，这里 项的分母 较大，故 ，，焦点在 轴上。，，焦点坐标为 ，。 原因：概念理解错误。学生误以为”方程中写在前面的项对应的变量所在轴就是焦点所在轴”，没有按”分母大者为 、焦点在 所在轴”来判定。焦点轴由 （较大的分母）所在项决定，而不是由书写顺序决定。 易错点 3：双曲线中 ，， 关系记成 典例：已知双曲线 的一个焦点到原点的距离为 ，实半轴长 ，求虚半轴长 。 错解：由 得 ，所以无解。 正解：双曲线中 ，又 ，，所以 ，故 。 原因：记忆混淆。学生把椭圆的 套用到了双曲线上。椭圆中 最大（），双曲线中 最大（）。可记”椭圆 最大、双曲线 最大”来区分，凡遇 ，， 关系先明确是哪类曲线。 易错点 4：抛物线焦点坐标、准线方程的符号记混 典例：求抛物线 的焦点坐标和准线方程。 错解：由 得 ，，所以焦点坐标为 ，准线方程为 。 正解： 是 型，，， 的系数为负，开口向下，焦点在 轴负半轴，焦点坐标为 ，准线方程为 。 原因：记忆缺失。抛物线四种标准方程中焦点坐标、准线方程的正负号容易记混。判断口诀：含变量的项（一次项）系数为正时，焦点在正半轴、准线在负半轴；系数为负时相反，且焦点与准线关于顶点对称、到顶点的距离都是 。 易错点 5：直线与双曲线联立，漏讨论二次项系数为 典例：求直线 与双曲线 只有一个公共点时 的值。 错解：联立消去 得 ，只有一个公共点则 ，即 ，解得 。 正解：① 当 即 时，方程退化为一次方程 ，仍有一个解，此时直线与渐近线 平行，与双曲线只有一个公共点；② 当 时，由 得 。综上， 或 。 原因：漏分类讨论。联立消元后所得方程的二次项系数含参数 ，只有二次项系数不为 时才能用判别式 判断交点个数；当 时方程退化，判别式法失效，而这恰对应直线平行于渐近线的特殊情况，同样只有一个公共点。学生默认”联立方程一定是二次的”，直接套 ，遗漏了退化情形的解。 易错点 6：把离心率 误当成 典例：已知椭圆 的离心率为 ，求 的值。 错解：因为离心率 ，所以 。 正解：离心率 ，即 。又 ，所以 ，故 。 原因：概念混淆。学生把离心率 （焦距与长轴长之比）错记成了 （短半轴长与长半轴长之比）。离心率刻画的是”扁平程度”，通过焦距 与长半轴长 之比来度量，与 是两个不同的量，二者的联系是 。 学科网（北京）股份有限公司 $