专题01 空间向量与立体几何（5知识&14题型&5易错）（期中知识清单）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题01空间向量与立体几何 （5知识&14题型&5易错） 【清单01】空间向量的有关概念 1、空间向量的定义及表示 （1）定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量． （2）长度（模）：空间向量的大小叫做向量的长度或模． （3）表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a、b、c，…表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为或． 2、几类特殊向量 （1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为．规定：与任意向量平行． （2）单位向量：长度为1的空间向量，即． （3）相等向量：方向相同且模相等的向量． （4）相反向量：方向相反但模相等的向量． （5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． 【清单02】空间向量的运算 1、空间向量的线性运算 （1）空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）． （2）空间向量加减法运算律 交换律： 结合律： 小结：空间向量加法的运算的小技巧 ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：． （3）空间向量的数乘：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，． 的长度是的长度的倍． 空间向量数乘的运算律：分配律；结合律． 2、空间向量的数量积 （1）数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，其范围是[0，π]. 若，则称与互相垂直，记作. ②非零向量，的数量积． （2）空间向量数量积的运算律 ①结合律：； ②交换律：； ③分配律：. 【清单03】空间向量的基本定理 1、共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得. 2、共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使. 3、空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得，其中，叫做空间的一个基底． 【清单04】空间向量及其运算的坐标表示 1、空间向量的坐标运算 若，，则： （1）； （2）； （3）； （4） 2、空间向量平行和垂直 若，，则 （1），， （2） 3、空间向量的长度、夹角公式 若，，则 （1），． （2）． 4、空间两点的距离公式 若，，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ②， 或． 【清单05】空间向量的应用 1、直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量为直线l的方向向量． （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量． 2、用向量法研究位置关系 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为， 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 平面α，β的法向量分别为， 3、用向量法研究空间角 （1）异面直线所成角 设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量． （2）直线与平面所成角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量， φ为l与α所成的角，则. （3）二面角 ①若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a. ②平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c. 4、用向量法研究空间距离 （1）点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点， 设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． （2）点到平面的距离 已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点， 过点作则平面的垂线，交平面于点， 则点到平面的距离为（如图）. （3）线面距和面面距：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． ①直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． ②两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 【题型一 空间向量的有关概念理解】 选项多为对单个或多个概念的表述（如“零向量与任意向量共线”“空间中模相等的向量相等”等），需判断对错．其解题步骤分两步： 第一步：圈出选项中的“关键词”，对照定义验证是否遗漏或篡改定义条件； 第二步：对模糊选项，构造“反例”与“特例”验证． 【例1】（24-25高二上·广东深圳·月考）下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 【变式1-1】（24-25高二上·山东·月考）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·陕西汉中·月考）（多选）下列关于空间向量的说法中不正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【变式1-3】（24-25高二上·广东广州·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【题型二 空间向量的线性运算】 向量线性运算的解题技巧 （1）向量加法的三角形法则是解决空间向量加法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． （2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量的方向，必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果． （3）利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则或平行四边形法则将目标向量转化为已知向量． 【例2】（24-25高二上·安徽合肥·期中）在空间四边形中，等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·福建福州·月考）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·陕西安康·期中）（多选）如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·山东菏泽·月考）如图，在正方体中，化简下列向量表达式： (1)； (2)． (3) 【题型三 空间向量的线性表示】 用基向量表示指定向量的方法 （1）结合已知向量和所求向量观察图形． （2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． （3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 【例3】（24-25高二上·北京·期中）如图，在三棱锥中，是的中点，若，则等于 . 【变式3-1】（24-25高二上·广东湛江·期中）如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·福建宁德·期中）如图，在直三棱柱中，点在棱上，且．设，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·湖北仙桃·期中）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型四 空间向量基本定理及应用】 本题型的核心是利用定理将空间任意向量分解为三个不共面向量的线性组合，将“空间任意向量”转化为“基底向量的线性组合”，实现“复杂向量→简单基底”的转化，为后续计算（如向量的模、点积、参数求解）提供依据．几何体中选基底技巧：优先选“从同一顶点出发、不共面的三条棱” ． 【例4】（24-25高二上·贵州贵阳·期中）若，，是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式4-1】（24-25高二上·河北邢台·期中）在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·福建莆田·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点,且，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式4-3】（24-25高二下·甘肃金昌·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【题型五 空间向量共线定理及应用】 证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 （1）存在实数，使成立． （2）对空间任一点O，有． （3）对空间任一点O，有． 【例5】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【变式5-2】（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【变式5-3】（24-25高二上·吉林白城·期中）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【题型六 空间向量的共面定理及应用】 向量共面证明思路 （1）证明点在平面ABC内，可以用，也可以用， 若用，则必须满足． （2）判断三个向量共面一般用， 证明三线共面常用， 证明四点共面常用（其中）． 【例6】（24-25高二下·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式6-1】（24-25高二上·江苏无锡·期中）设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·广东·期中）已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式6-3】（24-25高二上·上海·期中）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 【题型七 空间向量的数量积问题】 1、求夹角：设向量，所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角； 2、求长度（距离）：运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题； 3、解决垂直问题：利用，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题． 【例7】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【变式7-1】（24-25高二上·广东韶关·期中）如图，在正六棱柱中，为的中点.设.若，则的值是 . 【变式7-2】（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，向量与夹角的余弦值 . 【变式7-3】（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，则CD的长为 ． 【题型八 空间中的点坐标对称问题】 （1）关于原点对称的点，三个坐标均变为原数的相反数； （2）关于哪条坐标轴对称，相应坐标不变，另两个坐标变为原数的相反数； （3）关于哪个坐标平面对称，点在这个平面的坐标不变，另一个坐标变为原数的相反数． 简记为：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反． 【例8】（24-25高二上·河南·期中）在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点的坐标为 . 【变式8-1】（24-25高二上·广东肇庆·期中）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·安徽芜湖·期中）在空间直角坐标系中，已知点，点，则（    ） A．点和点关于轴对称 B．点和点关于轴对称 C．点和点关于轴对称 D．点和点关于原点中心对称 【变式8-3】（24-25高二上·四川·期中）（多选）在空间直角坐标系中，下列叙述正确的是（    ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于平面对称 D．坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分 【题型九 利用空间向量证明平行垂直】 1、利用空间向量证明平行的方法 （1）线线平行：证明两直线的方向向量共线． （2）线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行． （3）面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题． 2、利用空间向量证明垂直的方法 （1）线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零． （2）线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示． （3）面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示． 【例9】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【变式9-2】（24-25高二上·广东吴川·期中）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【变式9-3】（24-25高二上·江苏徐州·学情调研）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【题型十 利用空间向量求异面直线所成角】 用向量法求异面直线所成角的步骤： （1）建立空间直角坐标系； （2）用坐标表示两异面直线的方向向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； （4）注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 【例10】（24-25高二上·山东·期中）设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高二下·福建宁德·期中）如图，在四棱台中，底面ABCD是菱形，平面，直线AC与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为 . 【变式10-3】（24-25高二下·江苏泰州·期中）空间四面体中，，，且，，则直线与直线所成角的余弦值为 【题型十一 利用空间向量求直线与平面所成角】 如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有. 【例11】（24-25高二上·湖南·期中）在长方体中，已知，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高二下·重庆·月考）在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高二下·广东惠州·期中）如图，已知四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，，平面ABCD，. (1)求证：平面PCD； (2)若M是PC的中点，求PC与平面ADM所成角的正弦值. 【变式11-3】（24-25高二下·浙江·期中）如图，在四棱锥中，，，，点E在AD上，且，. (1)若点Q为线段PE的中点，证明：平面PCD； (2)若平面PAD，，求直线PD与平面PAB所成的角的正弦值. 【题型十二 利用空间向量求平面与平面所成角】 1、找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； 2、找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 【例12】（24-25高二上·山东·月考）已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25高二上·四川·期中）在正方体中，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25高二上·广东惠州·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【变式12-3】（24-25高二下·浙江杭州·期中）如图，在三棱锥中，，为的中点，平面平面． (1)证明：； (2)若，，，求平面与平面的夹角的余弦值． 【题型十三 利用空间向量求空间距离】 （1）点线距：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为． （2）点面距：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为． 【例13】（24-25高二上·吉林四平·期中）在空间直角坐标系中，已知点，向量平面，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25高二下·江苏扬州·期中）在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25高二上·山东济宁·期中）在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）（多选）已知正方体的棱长为1，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离是 B．点到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点到直线的距离为 【题型十四 利用空间向量研究动点问题】 利用空间向量解决立体几何的动点问题思路： （1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。 （2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在． 【例14】（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【变式14-1】（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【变式14-2】（24-25高二上·浙江·期中）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，为等边三角形，且S在平面上的射影为中点P，，. (1)若E为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出点M的位置并给以证明，若不存在，请说明理由. 【变式14-3】（24-25高二上·四川泸州·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【易错1】忽视零向量的特殊性致错 点拨：在进行空间向量相关概念判断时，要注意零向量的特殊性，如零向量与任意向量平行等 【典例】（23-24高二上·陕西西安·月考）下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【变式】（24-25高二上·安徽合肥·期中）（多选）下列说法正确的有（    ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 【易错2】混淆平行直线与平行向量致错 点拨：平行向量所在的直线既可能平行也可能重合；平行直线一定不重合．因此，两条平行直线的方向向量一定是平行向量，非零向量的平行向量所在的直线若不重合，则一定是平行直线． 【典例】（23-24高二上·广东汕头·月考）（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若，，则与所在直线不一定平行 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若，则存在唯一的实数λ，使 【变式】（24-25高二上·广东珠海·月考）下列说法中正确的是（    ） A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．数乘运算中，既决定大小又决定方向 D．在四边形ABCD中，一定有 【易错3】对向量同向与反向理解不清致错 点拨：由于向量可以任意平移，因此有关向量的平行问题与直线的平行问题是有区别的，并且两向量同向与两向量平行也是不等价的．若两向量平行，则两向量可能同向也可能反向． 【典例】（24-25高二上·浙江台州·期中）向量与共线，且方向相同，则 . 【变式】（23-24高二上·山东枣庄·开学考试）已知空间直角坐标系中，点，，若，且与反向共线，则 ． 【易错4】混淆向量数量积运算与实数运算致错 点拨：在进行运算前，明确你正在使用的是哪种运算，避免将数量积与向量的模长或向量间的其他运算混淆．注意实数运算的某些运算律在向量数量积运算中不成立． 【典例】（23-24高二上·浙江绍兴·月考）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 【变式】（24-25高二上·山东威海·期中）对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【易错5】混淆二面角与面面角的大小致错 点拨：二面角的平面角的取值范围是，面面角的范围时，要正确区分两者的关系，二面角既可能是锐角也可能是钝角，应仔细观察图形，避免出错． 【典例】（24-25高二上·黑龙江绥化·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【变式】（23-24高二上·河南焦作·月考）如图，过二面角内一点作于于，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01空间向量与立体几何 （5知识&14题型&5易错） 【清单01】空间向量的有关概念 1、空间向量的定义及表示 （1）定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量． （2）长度（模）：空间向量的大小叫做向量的长度或模． （3）表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a、b、c，…表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为或． 2、几类特殊向量 （1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为．规定：与任意向量平行． （2）单位向量：长度为1的空间向量，即． （3）相等向量：方向相同且模相等的向量． （4）相反向量：方向相反但模相等的向量． （5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． 【清单02】空间向量的运算 1、空间向量的线性运算 （1）空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）． （2）空间向量加减法运算律 交换律： 结合律： 小结：空间向量加法的运算的小技巧 ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：． （3）空间向量的数乘：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，． 的长度是的长度的倍． 空间向量数乘的运算律：分配律；结合律． 2、空间向量的数量积 （1）数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，其范围是[0，π]. 若，则称与互相垂直，记作. ②非零向量，的数量积． （2）空间向量数量积的运算律 ①结合律：； ②交换律：； ③分配律：. 【清单03】空间向量的基本定理 1、共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得. 2、共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使. 3、空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得，其中，叫做空间的一个基底． 【清单04】空间向量及其运算的坐标表示 1、空间向量的坐标运算 若，，则： （1）； （2）； （3）； （4） 2、空间向量平行和垂直 若，，则 （1），， （2） 3、空间向量的长度、夹角公式 若，，则 （1），． （2）． 4、空间两点的距离公式 若，，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ②， 或． 【清单05】空间向量的应用 1、直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量为直线l的方向向量． （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量． 2、用向量法研究位置关系 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为， 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 平面α，β的法向量分别为， 3、用向量法研究空间角 （1）异面直线所成角 设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量． （2）直线与平面所成角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量， φ为l与α所成的角，则. （3）二面角 ①若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a. ②平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c. 4、用向量法研究空间距离 （1）点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点， 设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． （2）点到平面的距离 已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点， 过点作则平面的垂线，交平面于点， 则点到平面的距离为（如图）. （3）线面距和面面距：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． ①直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． ②两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 【题型一 空间向量的有关概念理解】 选项多为对单个或多个概念的表述（如“零向量与任意向量共线”“空间中模相等的向量相等”等），需判断对错．其解题步骤分两步： 第一步：圈出选项中的“关键词”，对照定义验证是否遗漏或篡改定义条件； 第二步：对模糊选项，构造“反例”与“特例”验证． 【例1】（24-25高二上·广东深圳·月考）下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【解析】对于A，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A错误； 对于B，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错误； 对于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C错误； 对于D，与仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D正确，故选：D 【变式1-1】（24-25高二上·山东·月考）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个；故选：D. 【变式1-2】（24-25高二上·陕西汉中·月考）（多选）下列关于空间向量的说法中不正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【解析】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D正确；故选：ABC. 【变式1-3】（24-25高二上·广东广州·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【解析】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误.故选：BC. 【题型二 空间向量的线性运算】 向量线性运算的解题技巧 （1）向量加法的三角形法则是解决空间向量加法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． （2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量的方向，必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果． （3）利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则或平行四边形法则将目标向量转化为已知向量． 【例2】（24-25高二上·安徽合肥·期中）在空间四边形中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】,故选：C 【变式2-1】（24-25高二上·福建福州·月考）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以.故选：C 【变式2-2】（24-25高二上·陕西安康·期中）（多选）如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为E，F分别为BC，CD的中点，所以由中位线性质可知，故A正确； 若可得，由图可知不共线，矛盾，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D正确.故选：ACD 【变式2-3】（24-25高二上·山东菏泽·月考）如图，在正方体中，化简下列向量表达式： (1)； (2)． (3) 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）； （2）； （3）. 【题型三 空间向量的线性表示】 用基向量表示指定向量的方法 （1）结合已知向量和所求向量观察图形． （2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． （3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 【例3】（24-25高二上·北京·期中）如图，在三棱锥中，是的中点，若，则等于 . 【答案】 【解析】由图可得 . 【变式3-1】（24-25高二上·广东湛江·期中）如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接． 故选：B. 【变式3-2】（24-25高二下·福建宁德·期中）如图，在直三棱柱中，点在棱上，且．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接，．故选：A. 【变式3-3】（24-25高二上·湖北仙桃·期中）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，根据空间向量的运算法则，可得 .故选：B. 【题型四 空间向量基本定理及应用】 本题型的核心是利用定理将空间任意向量分解为三个不共面向量的线性组合，将“空间任意向量”转化为“基底向量的线性组合”，实现“复杂向量→简单基底”的转化，为后续计算（如向量的模、点积、参数求解）提供依据．几何体中选基底技巧：优先选“从同一顶点出发、不共面的三条棱” ． 【例4】（24-25高二上·贵州贵阳·期中）若，，是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】A选项，，所以，，是共面向量； B选项，，所以，，是共面向量； C选项，， 所以，，是共面向量； D选项，令，显然无解，故不是共面向量.故选：D 【变式4-1】（24-25高二上·河北邢台·期中）在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】由空间向量基本定理可得 又由题干，则，故.故选：C. 【变式4-2】（24-25高二下·福建莆田·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点,且，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴， ∴ ， 则，，，故．故选:A. 【变式4-3】（24-25高二下·甘肃金昌·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】连接，因为是的中点，所以， 因为三棱柱是底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形，又因为是的中点， 所以， 则， 又， 又，，不共面，所以，所以．故选：D． 【题型五 空间向量共线定理及应用】 证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 （1）存在实数，使成立． （2）对空间任一点O，有． （3）对空间任一点O，有． 【例5】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而， 据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等， 不一定有、、三点共线，选项D错误；故选：C. 【变式5-1】（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【解析】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确.故选：A 【变式5-2】（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【解析】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3.故选：C 【变式5-3】（24-25高二上·吉林白城·期中）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故.故选：C. 【题型六 空间向量的共面定理及应用】 向量共面证明思路 （1）证明点在平面ABC内，可以用，也可以用， 若用，则必须满足． （2）判断三个向量共面一般用， 证明三线共面常用， 证明四点共面常用（其中）． 【例6】（24-25高二下·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为， 所以，即， 又点M是平面内一点， 所以，解得.故选：B 【变式6-1】（24-25高二上·江苏无锡·期中）设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知，，共面， 则可设， 即， 即，解得，故选：D. 【变式6-2】（24-25高二上·广东·期中）已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】由及A，B，C，D四点共面得：， 即，又，， 所以，当且仅当时等号成立，故选：B 【变式6-3】（24-25高二上·上海·期中）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 【答案】 【解析】若，，三个向量共面，则存在实数满足， 即， 所以，解得，，. 【题型七 空间向量的数量积问题】 1、求夹角：设向量，所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角； 2、求长度（距离）：运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题； 3、解决垂直问题：利用，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题． 【例7】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【答案】 【解析】由平行六面体的所有棱长均为2，且两两所成夹角均为， 设，则 且， 如图所示，连接，由，， 可得， 所以 . 【变式7-1】（24-25高二上·广东韶关·期中）如图，在正六棱柱中，为的中点.设.若，则的值是 . 【答案】2 【解析】， ； 由题意易知， 则，， 则 ． 【变式7-2】（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，向量与夹角的余弦值 . 【答案】 【解析】如图，设，，，， 由题意易知，则， 因为，，， 所以， 所以, 所以向量与夹角的余弦值为. 【变式7-3】（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，则CD的长为 ． 【答案】 【解析】由题设，，， 所以 ， 所以. 【题型八 空间中的点坐标对称问题】 （1）关于原点对称的点，三个坐标均变为原数的相反数； （2）关于哪条坐标轴对称，相应坐标不变，另两个坐标变为原数的相反数； （3）关于哪个坐标平面对称，点在这个平面的坐标不变，另一个坐标变为原数的相反数． 简记为：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反． 【例8】（24-25高二上·河南·期中）在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点的坐标为 . 【答案】 【解析】依题意，，解得， 所以点的坐标为. 【变式8-1】（24-25高二上·广东肇庆·期中）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为：， 所以点关于轴的对称点的坐标为：.故选：B. 【变式8-2】（24-25高二上·安徽芜湖·期中）在空间直角坐标系中，已知点，点，则（    ） A．点和点关于轴对称 B．点和点关于轴对称 C．点和点关于轴对称 D．点和点关于原点中心对称 【答案】B 【解析】由于,坐标不变，其他互为相反数.则两点关于轴对称.故选：B. 【变式8-3】（24-25高二上·四川·期中）（多选）在空间直角坐标系中，下列叙述正确的是（    ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于平面对称 D．坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分 【答案】AC 【解析】A选项，点与点关于轴对称，A正确； B选项，点关于轴的对称点是，B错误； C选项，点与点关于平面对称，C正确； D选项，坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分，D错误．故选：AC． 【题型九 利用空间向量证明平行垂直】 1、利用空间向量证明平行的方法 （1）线线平行：证明两直线的方向向量共线． （2）线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行． （3）面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题． 2、利用空间向量证明垂直的方法 （1）线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零． （2）线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示． （3）面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示． 【例9】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系. 则平面的一个法向量为， 设正三棱柱中，，则，， 所以，所以, 所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：A 【变式9-1】（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【答案】证明见解析 【解析】如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ∵E，F分别为AB，的中点，∴， ，，， ∵，，∴， 又，平面， 平面． 【变式9-2】（24-25高二上·广东吴川·期中）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）根据题意可知平面平面， 平面平面， 又是正方形，所以，平面，    所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则， 所以，故共面． 又平面，所以平面； （2） 易知，所以； 又，可得； 又，平面， 所以平面. 【变式9-3】（24-25高二上·江苏徐州·学情调研）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， ，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． （2）证明：由（1）可得， ，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 【题型十 利用空间向量求异面直线所成角】 用向量法求异面直线所成角的步骤： （1）建立空间直角坐标系； （2）用坐标表示两异面直线的方向向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； （4）注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 【例10】（24-25高二上·山东·期中）设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为两条异面直线、的方向向量分别为，， ， 所以与所成的角的余弦值为， 所以，与所成的角为.故选：C. 【变式10-1】（24-25高二下·福建宁德·期中）如图，在四棱台中，底面ABCD是菱形，平面，直线AC与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取BC的中点，连接AF，则由题意可得,，且， 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，， 所以， 所以， 所以直线AC与直线所成角的余弦值为．故选：A 【变式10-2】（24-25高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为 . 【答案】 【解析】以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 因此， 所以异面直线AC与PB所成角的余弦值为. 【变式10-3】（24-25高二下·江苏泰州·期中）空间四面体中，，，且，，则直线与直线所成角的余弦值为 【答案】 【解析】在空间四面体中，，， 将四面体补成长方体， 则，解得， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 因为为的中点，则，由，可得， 所以，， 所以. 因此，直线与直线所成角的余弦值为. 【题型十一 利用空间向量求直线与平面所成角】 如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有. 【例11】（24-25高二上·湖南·期中）在长方体中，已知，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 所以，，， 所以直线与所成角的余弦值为.故选：C 【变式11-1】（24-25高二下·重庆·月考）在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 取中点，因为是棱的中点，故， 又平面，平面，则平面， 故平面即为平面 ， ， 设平面的一个法向量为，即， 令则，即为平面的一个法向量， 线面角的正弦值为.故选：C 【变式11-2】（24-25高二下·广东惠州·期中）如图，已知四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，，平面ABCD，. (1)求证：平面PCD； (2)若M是PC的中点，求PC与平面ADM所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为，平面，平面， 所以平面； （2） 以AD，AB，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 因为底面ABCD是直角梯形，，，， 所以， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 所以，所以，令，则， 设PC与平面ADM所成角为， 所以， 所以PC与平面ADM所成角的正弦值为. 【变式11-3】（24-25高二下·浙江·期中）如图，在四棱锥中，，，，点E在AD上，且，. (1)若点Q为线段PE的中点，证明：平面PCD； (2)若平面PAD，，求直线PD与平面PAB所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）过点Q作交PD于点G，连接CG， 因为Q为PE中点，所以G为PD中点，， 又因为，所以，， 所以四边形BCGQ是平行四边形，所以， 又因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD. （2）因为平面PAD，平面PAD，所以， 又因为，，所以面ABCD， 以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面PAB的一个法向量为， 所以令，，则，故， 设直线PD与平面PAB所成的角为， ， 所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为. 【题型十二 利用空间向量求平面与平面所成角】 1、找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； 2、找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 【例12】（24-25高二上·山东·月考）已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由向量与， 得， 又，则， 所以平面，的夹角的大小为．故选：C． 【变式12-1】（24-25高二上·四川·期中）在正方体中，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】两两垂直，故以为坐标原点， 所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，取的中点为，连接， 则， ，， 则， 又因为，，，平面，故平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 则，所以 为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面夹角的余弦值为．故选：D． 【变式12-2】（24-25高二上·广东惠州·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）取的中点，连接， 因为点为的中点，所以， 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为，所以，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面， 所以，又， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，    建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点为的中点，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以，                          又平面的一个法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【变式12-3】（24-25高二下·浙江杭州·期中）如图，在三棱锥中，，为的中点，平面平面． (1)证明：； (2)若，，，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为为的中点，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 因为为的中点，所以. （2）如图，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴， 过点垂直平面为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 取的中点，连接．因为，所以． 由（1）平面，平面，所以平面平面． 因为平面平面，平面，， 所以平面，所以， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 所以，即，可取． 同理，可得平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为，则 ， 所以平面与平面的夹角为. 【题型十三 利用空间向量求空间距离】 （1）点线距：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为． （2）点面距：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为． 【例13】（24-25高二上·吉林四平·期中）在空间直角坐标系中，已知点，向量平面，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，平面的一个法向量为，点， 所以， 所以点到平面的距离为．故选：A 【变式13-1】（24-25高二下·江苏扬州·期中）在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，平面的中心，平面的中心， 于是，， 设平面的法向量为，则，取，得， 则点B到平面APQ的距离为.故选：B 【变式13-2】（24-25高二上·山东济宁·期中）在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则， 所以 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：A. 【变式13-3】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）（多选）已知正方体的棱长为1，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离是 B．点到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点到直线的距离为 【答案】BC 【解析】如图，建立空间直角坐标系，则，，，， ，，， 所以，. 设，则，. 故到直线的距离，故A错误. ， 平面的一个法向量， 则点到平面的距离，故B正确. ，，. 设平面的法向量为， 则，所以 令，得，，所以. 所以点到平面的距离. ，所以， 又因平面，平面， 所以平面，同理平面， 所以平面平面， 所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面间的距离为，故C正确. 因为，所以， 又，则， 所以点到的距离，故D错.故选：BC 【题型十四 利用空间向量研究动点问题】 利用空间向量解决立体几何的动点问题思路： （1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。 （2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在． 【例14】（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在； 【解析】（1） 取的中点，连接， 因为矩形ABCD，，， 所以， 由为CD中点，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由为的中点，为四边形的中位线，， 所以，又平面，， 所以平面， 由平面，所以. （2） 作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系， 由（1）得为四边形的中位线，所以， 由得，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设点存在，，， 所以，所以， 由平面得， 所以，解得， 即，所以 所以存在点N，使得平面ADM，. 【变式14-1】（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 【解析】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面，所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 【变式14-2】（24-25高二上·浙江·期中）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，为等边三角形，且S在平面上的射影为中点P，，. (1)若E为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出点M的位置并给以证明，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在点，或，证明见解析. 【解析】（1）取中点，连接，又分别为的中点， ，，底面四边形是矩形，为棱的中点， ，，则，， 故四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面，可得平面. （2）在棱上存在点，且或，证明如下， 在等边中S在平面上的射影为中点P， 所以面，则是四棱锥的高. 设，则，结合，知矩形的面积 ，所以. 以点为原点，的方向分别为轴的正方向，在面ABCD内过点P作垂线为y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 设，则， 设平面的一个法向量为，则， 令，. 由题意， 整理得，解得或， 所以存在点，或时，使直线与平面所成角的余弦值为. 【变式14-3】（24-25高二上·四川泸州·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在， 【解析】（1）连接，， 为等边三角形，为中点，； 由题意知：平面，又平面，， ，平面，平面， 平面，； 四边形为平行四边形，， 四边形为菱形，， 分别为中点，，， 又，平面，平面. （2）方法一：由（1）知：平面，； 则以为坐标原点，正方向为轴正方向，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 点到平面的距离； 方法二：取的中点，连接，过作交于， 过作分别交的延长线于，则分别是的中点， ，平面，平面，平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离； 由（1）得：，平面， 平面，是直角三角形， 在菱形中，易得，，， ，， 即点到平面的距离为. （3）方法一：，，， 设，，， ； 由（2）知：平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ，解得：（舍）或， 此时， 在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时； 方法二：假设存在点满足题意，取的中点，连接， 过作交于，连接， ，平面， 又由（1）得：，， 二面角的平面角为，； 在菱形中，作， ，， ， 为直角三角形，，， 在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时. 【易错1】忽视零向量的特殊性致错 点拨：在进行空间向量相关概念判断时，要注意零向量的特殊性，如零向量与任意向量平行等 【典例】（23-24高二上·陕西西安·月考）下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】C 【解析】由已知， 选项A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，该选项正确； 选项B，平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可通过平移形成相交， 故一定可以确定一个平面，该选项正确； 选项C，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，选项错误； 选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确.故选：C. 【变式】（24-25高二上·安徽合肥·期中）（多选）下列说法正确的有（    ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 【答案】BC 【解析】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A错误， 对于B，由可得，故∥，B正确， 对于C，零向量与任意向量共线，故C正确， 对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D错误，故选：BC 【易错2】混淆平行直线与平行向量致错 点拨：平行向量所在的直线既可能平行也可能重合；平行直线一定不重合．因此，两条平行直线的方向向量一定是平行向量，非零向量的平行向量所在的直线若不重合，则一定是平行直线． 【典例】（23-24高二上·广东汕头·月考）（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若，，则与所在直线不一定平行 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若，则存在唯一的实数λ，使 【答案】AC 【解析】若，，当，则与所在直线不一定平行，故A正确； 向量、、共面即它们所在直线共面或不共面，故B错误； 根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，故C正确； 若，当时，则不存在实数，使使或，故D不正确．故选：AC. 【变式】（24-25高二上·广东珠海·月考）下列说法中正确的是（    ） A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．数乘运算中，既决定大小又决定方向 D．在四边形ABCD中，一定有 【答案】C 【解析】对于A，空间中共线的向量不一定在同一条直线，有可能两向量所在的直线平行，所以A错误， 对于B，两个向量不相等，有可能方向不同，模相等， 如的方向不同，但模相等，所以B错误， 对于C，向量数乘运算中，既决定大小又决定方向，所以C正确， 对于D，在平行四边形ABCD中，才有，所以D错误.故选：C 【易错3】对向量同向与反向理解不清致错 点拨：由于向量可以任意平移，因此有关向量的平行问题与直线的平行问题是有区别的，并且两向量同向与两向量平行也是不等价的．若两向量平行，则两向量可能同向也可能反向． 【典例】（24-25高二上·浙江台州·期中）向量与共线，且方向相同，则 . 【答案】14 【解析】因为向量与共线，且方向相同， 所以，则， 得到，解得，，所以. 【变式】（23-24高二上·山东枣庄·开学考试）已知空间直角坐标系中，点，，若，且与反向共线，则 ． 【答案】 【解析】由，，可得， 由于与反向共线，设， 由可得，解得，（舍去）， 故. 【易错4】混淆向量数量积运算与实数运算致错 点拨：在进行运算前，明确你正在使用的是哪种运算，避免将数量积与向量的模长或向量间的其他运算混淆．注意实数运算的某些运算律在向量数量积运算中不成立． 【典例】（23-24高二上·浙江绍兴·月考）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 【答案】B 【解析】对A，若，则，不能得出，故A错误； 对B，，当与存在零向量时，与共线成立； 当与均不为零向量时，，故夹角为或，则与共线，故B正确； 对C，若，则，不能得出，故C错误； 对D，，， 故不成立，故D错误；故选：B 【变式】（24-25高二上·山东威海·期中）对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【答案】C 【解析】选项A：若，，则与不一定平行，如在正方体中， 满足，，此时，故A说法错误； 选项B：表示与共线的向量，表示与共线的向量， 所以与不一定相等，B说法错误； 选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以，C说法正确； 选项D：若，则与模长相等，方向不一定， 所以与不一定相等，D说法错误；故选：C 【易错5】混淆二面角与面面角的大小致错 点拨：二面角的平面角的取值范围是，面面角的范围时，要正确区分两者的关系，二面角既可能是锐角也可能是钝角，应仔细观察图形，避免出错． 【典例】（24-25高二上·黑龙江绥化·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令， 则， 设平面的法向量为， ∵，，则， 令，则，∴， 又平面的法向量为， 故， 设平面与平面所成角为，，则， 故平面与平面夹角的正弦值为.故选：C. 【变式】（23-24高二上·河南焦作·月考）如图，过二面角内一点作于于，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则且， 因为，解得， 可得， 且，所以， 所以二面角的大小为．故选：C. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $