第二十七章二次函数（期中知识清单）九年级数学上学期新教材沪教版五四制

第二十七章 二次函数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 二次函数的概念 1.1 二次函数的定义 形如 （、、 是常数，且 ）的函数叫作二次函数。 示例：、、 都是二次函数； 不含二次项，不是二次函数。 1.2 自变量的取值范围 二次函数自变量 的取值范围是一切实数。 注意：在实际问题中，两个变量满足二次函数关系特指满足其表达式的特征，此时自变量 的取值还要受到实际意义的限制。 示例：增长率问题中 ，篱笆围矩形问题中 。 2. 二次函数 的图像与性质 2.1 抛物线的定义 二次函数 的图像是一条曲线，这类特殊形状的曲线是抛物线。二次函数 的图像也可称为抛物线 。 一般地，二次函数 的图像是抛物线，称为抛物线 。 图1：二次函数 的图像 2.2 抛物线 的性质 因为抛物线 上横坐标互为相反数的两点总有相同的纵坐标，所以抛物线 关于 轴对称。 通过观察可以看到，抛物线 开口向上，分别向左上方和右上方无限延伸。还可以看出， 轴是抛物线 的对称轴。抛物线 与其对称轴的交点 称为抛物线 的顶点，它也是抛物线 的最低点。 此外，在对称轴左侧，图像下降；在对称轴右侧，图像上升。也就是说，当 时，随着自变量 的增大，相应的函数值 减小；当 时，随着自变量 的增大，相应的函数值 也增大。而当 时，二次函数 取到最小值，最小值为 。 2.3 时 的图像与性质 当 时， 的图像与性质如下：开口向上，无限延伸，对称轴是 轴，顶点是原点，它是抛物线的最低点。在对称轴左侧，图像下降；在对称轴右侧，图像上升。 越大，抛物线的开口越小。 相应地，当 时，函数值 随着自变量 的增大而减小；而当 时，函数值 随着自变量 的增大而增大。当 时，二次函数 取到最小值，最小值为 。 图2：、 与 的图像 示例： 与 都开口向上，但 的开口比 小。 2.4 时 的图像与性质 当 时， 的图像与性质如下：开口向下，无限延伸，对称轴是 轴，顶点是原点，它是抛物线的最高点。在对称轴左侧，图像上升；在对称轴右侧，图像下降。 越大，抛物线的开口越小。 相应地，当 时，函数值 随着自变量 的增大而增大；而当 时，函数值 随着自变量 的增大而减小。当 时，二次函数 取到最大值，最大值为 。 示例： 开口向下，当 时取到最大值 。 3. 二次函数 的图像与性质 3.1 抛物线 的图像与性质 抛物线 可由抛物线 向上（若 ）或向下（若 ）平移 个单位长度得到，对称轴仍为 轴，顶点为 。 示例：抛物线 可由 向上平移 个单位长度得到，顶点为 。 3.2 抛物线 的图像与性质 抛物线 可由抛物线 向左（若 ）或向右（若 ）平移 个单位长度得到，对称轴为直线 ，顶点为 。 图3：、 与 的图像 示例：抛物线 可由 向左平移 个单位长度得到，对称轴为直线 ，顶点为 。 3.3 抛物线 的图像与性质 一般地，抛物线 的对称轴是直线 ，顶点是 。抛物线 可由抛物线 平移得到，平移的方向由 、 的符号决定，平移的距离由 、 的绝对值决定。 3.4 的性质 的取值 函数值的变化规律 最值 当 时，函数值 随着自变量 的增大而减小；当 时，函数值 随着自变量 的增大而增大 当 时，函数值 取到最小值，最小值为 当 时，函数值 随着自变量 的增大而增大；当 时，函数值 随着自变量 的增大而减小 当 时，函数值 取到最大值，最大值为 示例： 中 ，开口向上，当 时取到最小值 。 4. 二次函数 的图像与性质 4.1 配方化为 的形式 通过配方，二次函数 可以化为 的形式，进而得到其图像与性质。实际上， 将上式与 比较，可得 ，。 示例：，故其对称轴是直线 ，顶点是 。 4.2 对称轴与顶点坐标 抛物线 可由抛物线 平移得到，对称轴是直线 ，顶点是 。 图4：二次函数 的图像 示例：，开口向下，对称轴是直线 ，顶点是 。 5. 确定二次函数的表达式 5.1 一般式（三点待定系数法） 为确定二次函数的表达式 （），就要确定三个系数 、、 的值。而为了确定 、、 的值，一般需要三个关于 、、 的方程。如果我们知道一个二次函数图像上三个点的坐标，就可列出关于 、、 的三元一次方程组，并通过求解方程组得到 、、 的值。这种确定函数表达式的方法叫作待定系数法。 示例：图像经过 、、 三点，设 ，代入解得 ，，，故表达式为 。 5.2 顶点式 通过配方，二次函数 可以化为 的形式，它的图像是抛物线，其对称轴是直线 ，顶点是 。为确定二次函数的表达式 （），就是要确定 、、 的值。在已知顶点坐标 或对称轴直线 的情况下，通常需要补充适当的条件，组成关于 、、 的三元一次方程组，以此求得 、、 的值。 示例：顶点坐标为 且过点 ，设 ，代入点 得 ，故表达式为 。 5.3 交点式（两根式） 如果知道了抛物线 与 轴两个交点的坐标，就相当于知道了一元二次方程 的两个实数根，再加上适当的条件，我们就能确定相应的二次函数表达式。 示例：图像与 轴两个交点的横坐标分别是 、，与 轴交点的纵坐标是 ，设 ，代入得 ，故表达式为 。 6. 二次函数与一元二次方程 6.1 函数值与一元二次方程的关系 一般地，已知二次函数 的函数值为 ，要求其自变量 的值，总可化为求解关于 的一元二次方程 ，即 。反过来，解一元二次方程 ，又可以看作已知二次函数 的函数值为 ，求自变量 的值。 示例：求 函数值等于 时的 ，即解 ，得 或 。 6.2 抛物线与 轴交点的横坐标 如果二次函数 的图像与 轴有交点，那么由交点的纵坐标为 ，即 ，可知交点的横坐标一定是相应的一元二次方程 的实数根。也就是说，只要求出一元二次方程 的实数根，就能得出抛物线 与 轴交点的坐标。 示例：，令 解得 或 ，故图像与 轴两个交点的坐标分别是 和 。 6.3 判别式与交点个数 抛物线 与 轴交点的横坐标是一元二次方程 的实数根，而一元二次方程 的实数根有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根。这分别对应于抛物线 与 轴交点个数的三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。 又因为一元二次方程 实数根的个数可根据该方程的判别式 来判断，所以抛物线 与 轴交点的个数也可由相应的一元二次方程 的判别式 确定： 的取值 抛物线与 轴交点的个数 有两个交点 有且只有一个交点 没有交点 图5：抛物线与 轴交点个数的三种情况 上述结论反过来说也是正确的，即由抛物线与 轴交点的个数，也可以确定相应的一元二次方程判别式的值的符号。 示例：，，所以图像与 轴没有交点。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 抛物线与 轴两交点间的距离 抛物线与 轴两交点的横坐标为 、 时，两交点间的距离 。 【使用提醒】使用前先验证 ，抛物线确与 轴有两个交点。 1.2 与 轴交点的纵坐标是常数项 令 ，得 ，故抛物线 与 轴交于点 。已知与 轴交点的坐标，即可直接得到常数项 的值。 1.3 关于对称轴对称的两点纵坐标相等 若 、 关于对称轴 对称，即 ，则这两点的函数值相等。可用于快速求对称点、比较函数值大小。 1.4 由图像判断 、、 的符号 开口向上则 、开口向下则 ；与 轴交点在 轴上方则 、在下方则 ；对称轴 在 轴左侧时 、 同号、在右侧时 、 异号，据此确定 的符号。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求二次函数表达式的方法选择 已知图像上三个点的坐标，设一般式 列三元一次方程组；已知顶点坐标或对称轴，设顶点式 ；已知与 轴两个交点的坐标，设交点式 。如顶点为 且过点 ，设 求解最简。 2.2 平移规律（左加右减、上加下减） 由 平移得到：括号内是 “”， 向左平移、 向右平移；括号外是 “”， 向上平移、 向下平移。如 由 先向右平移 个单位、再向上平移 个单位得到。 2.3 配方法求对称轴、顶点、最值 先把二次项系数化为 （或提出 ），加上”一次项系数一半的平方”配成完全平方式，写成 ，即可直接读出对称轴 、顶点 和最值 。如 ，顶点 ，最小值为 。 2.4 判断增减性与最值的步骤 先由 的符号定开口方向，再由 定对称轴： 时在对称轴左侧 随 增大而减小、右侧增大， 处取最小值； 时情况相反。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 平移口诀 左加右减、上加下减（相对于 而言） 由 向右 、向上 平移得到 配方速记 提出二次项系数后，加”一次项系数一半的平方” 利用对称性求值 关于对称轴等距的两点纵坐标相等 对称轴为直线 时， 与 处函数值相等 交点个数速判 配方看顶点与 轴的位置，或直接算 ，与 轴只有一个交点 4. 常见考试模型 4.1 利润最大化模型 公式：总利润 （销售单价 成本） 销售量，整理成二次函数后配方，顶点纵坐标即最大利润。 限定：销售单价、销售量需为正且满足题目给定的取值范围。 示例：如 ，当销售单价为 元时最大利润为 元。 4.2 面积最值模型 公式：矩形面积 长 宽，用自变量表示后得 ，配方求最值。 限定：边长须为正，且满足 边长 周长之半（或符合几何意义）。 示例：如靠墙围矩形 ，配方得 ，最大面积为 。 4.3 抛物线轨迹模型 公式：铅球、水流等运动轨迹满足 ，落地（落水）即令 ，解方程求与 轴交点的横坐标。 限定：求得的横坐标中，不合实际意义的负根应舍去。 示例：如铅球轨迹 ，令 解得 或 （舍去），故飞出的水平距离为 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：判断二次函数时漏掉二次项系数 ，把化简后二次项抵消的式子误判为二次函数 典例：判断函数 是不是二次函数。 错解： 中含有 ，所以它是二次函数。 正解：，化简后不含二次项，最高次数是 ，所以它是一次函数，不是二次函数。 原因：概念理解错误。判断一个函数是不是二次函数，不能只看表面有没有 ，而要看化简后自变量的最高次数是否为 。学生被”含 “的表象迷惑，没有先化简再判断；凡是”形如 “的判断，都要先合并同类项、化为最简形式，再依据 且最高次数为 下结论。 易错点 2：平移方向记反，“左加右减”用错 典例：抛物线 先向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，求所得抛物线的表达式。 错解：向左平移 个单位写成 ，再向上平移 个单位得 。 正解：向左平移 个单位得 ，再向上平移 个单位得 。 原因：平移口诀记忆混乱。顶点式 中括号内是 “”，其顶点横坐标为 ：向左平移（顶点横坐标减小）对应 增大，括号内应写成 “”（加号）；向右平移对应减号。学生死记”左加右减”却记反了方向。理解的关键是回到顶点坐标的变化：顶点从 移到 ，括号内加的数正是 的相反数的相反数。 易错点 3：顶点坐标的符号写错 典例：写出抛物线 的顶点坐标。 错解：顶点坐标是 或 。 正解：顶点坐标是 。 原因：符号处理失误。顶点式 的顶点是 ：横坐标取括号内常数的相反数，纵坐标直接取括号外的常数。学生把”横坐标取相反数”的规则遗忘，或误套到纵坐标上，导致符号出错。牢记”括号内移出来要变号、括号外直接照抄”。 易错点 4：开口方向与增减性、最值混淆 典例：写出二次函数 的增减性和最值。 错解： 开口向下，所以当 时， 随 的增大而减小。 正解：配方得 。 开口向下，当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 取到最大值 。 原因：概念混淆。开口向下时，对称轴左侧图像上升、右侧图像下降，增减性方向与开口向上时恰好相反。学生习惯性套用”开口向上”的增减性规律，忽略了 的符号对增减性方向的影响。判断增减性、最值前，一定要先看 的正负，再对照对称轴。 易错点 5：求抛物线与 轴交点个数时漏掉二次项系数 的讨论 典例：当实数 满足什么条件时，抛物线 与 轴有两个交点？ 错解：令 ，得 ，即 ，所以 。 正解：由抛物线的表达式知 。对于一元二次方程 ，。当 且 ，即 且 时，抛物线与 轴有两个交点。 原因：忽略隐含条件。“抛物线”本身要求二次项系数不为 ，否则退化为一次函数，谈不上与 轴交点个数的讨论。学生只顾判别式 的符号，忘了 这个前提；含参系数时，凡涉及”抛物线”“二次函数”都要同步限定二次项系数不为 。 易错点 6：实际问题中自变量的取值范围被忽略 典例：用长 的篱笆，一面靠墙围成一个矩形花圃，设与墙垂直的边 的长为 ，写出自变量 的取值范围。 错解：由边长为正，得 。 正解：与墙平行的一边为 ，由 得 ，又 ，所以自变量 的取值范围是 。 原因：忽略隐含条件。实际问题中自变量除满足自身的 外，还要保证由它表示的其他量（如另一边长 ）也为正。学生只写出显性的 ，漏掉了”另一边长也为正”推出的范围约束。凡列函数关系，都要逐个检查题中所有相关量的实际意义，联立确定自变量的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $