专题02 二次函数几何综合15大题型47题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题02 二次函数几何综合 基础·固本强基 题型一．含绝对值型二次函数综合问题 题型二．组合函数 题型三．变换型二次函数问题 题型四．二次函数几何综合之三角形（重点） 题型五．二次函数几何综合之四边形（重点） 提升·进阶突破 题型六．三角形存在型问题（重点） 题型七．四边形存在型问题（重点） 题型八．角存在型问题 题型九．相似存在型问题（难点） 题型十．面积最值型问题（难点） 题型十一．线段长最值型问题 拔高·压轴破难 题型十二．胡不归问题 题型十三．动点问题（重难点） 题型十四．复杂函数探究（重难点） 题型十五．二次函数的函数综合（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一．含绝对值型二次函数综合问题 核心方法：先求原抛物线的零点、顶点，将x轴下方部分沿x轴翻折得到W型图像，零点为分段临界点，顶点翻折后为图像尖点. 对应考法：求对称轴、顶点与区间值域，直接配方得顶点式，结合区间单调性求y的范围；直线与图像恰有3个交点，临界为直线过零点或过翻折后的顶点，分别代入求解b值，如直线平移后恰有3个交点，均为直线过中间零点或过翻折顶点；解绝对值不等式，结合图像交点横坐标直接写出解集. 1．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴是直线x＝1． （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）当﹣2＜x≤3时，y的取值范围是　 　 ． （3）若，请画出y1的函数图象，记作W．当直线y＝x+b与W恰有3个交点时，则b的值为　 　 ． 【答案】（1）m＝﹣2，抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）； （2）﹣1≤y＜8； （3）0或． 【分析】（1）利用对称轴即可求出m值，进而求出顶点坐标； （2）根据抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，当﹣2＜x≤3时，求得x＝﹣2时的函数值，最小值为顶点的纵坐标，即可求解； （3）先求出翻折部分的函数解析式，画出W的图象，再利用y＝x平移得到y＝x+b，数形结合即可判断出直线与W恰有3个交点时的情况，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵y＝x2+mx的对称轴是直线x＝1， ∴， 解得：m＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）； （2）∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣1开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当x＝1时，取得最小值为﹣1， ∵|1﹣（﹣2）|＞|3﹣1|， ∴当x＝﹣2时，y取得最大值为：y＝（﹣2﹣1）2﹣1＝8， ∴当﹣2＜x≤3时，y的取值范围是﹣1≤y＜8， 故答案为：﹣1≤y＜8； （3）y1的函数图象W，如图即为所求； ∵，顶点坐标为（1，1）； y＝x+b是由y＝x平移得到的且y＝x过（1，1）； 由图可知， ①当b＝0时，y＝x恰与W有3个交点； ②将y＝x的图象向上平移后与y＝﹣x2+2x（0≤x≤2）只有一个交点时，y＝x+b与W恰有三个交点， 令﹣x2+2x＝x+b，整理得：x2﹣x+b＝0， ∵y＝x+b与只有一个交点， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4b＝0， 解得：， 综上所述，当直线y＝x+b与W恰有3个交点时，b的值为0或， 故答案为： 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象与性质，二次函数与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的平移，解答本题的关键是熟练掌握二次函数图象与性质． 2．定义：在平面直角坐标系中，y是自变量x的函数，下面构建一个新函数：当x＜0时，y′＝y；当x≥0时，y′＝﹣y，即．将变化后的函数y′称为原函数y的分叉函数．例如：二次函数y＝﹣x2+1的分叉函数为． （1）若点（n，﹣2）在反比例函数的分叉函数的图象上，求n的值． （2）已知二次函数和一次函数y2＝﹣x+3，点P在y1的分叉函数y′1的图象上，过点P作PQ∥y轴，与y2的分叉函数y′2的图象交于点Q，设点P的横坐标为t，PQ的长为y，当t＜3时，求y关于t的函数解析式． （3）当t≤x≤t+1时，二次函数y＝﹣x2﹣1的分叉函数y′的最大值为m，最小值为n，是否存在m+n＝10的情况？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）n的值为﹣3或3； （2）； （3）存在，t的值为． 【分析】（1）根据分叉函数的定义得出y′，再根据n的正负代入分叉函数求解即可求出n的值． （2）根据分叉函数的定义得出y1′和y2′，根据点t的取值范围，分别得出点P和点Q的纵坐标，然后相减即可得出y关于t的函数解析式． （3）根据分叉函数的定义得出y′，然后根据t的取值范围分类，得出y′，然后利用二次函数的图象和性质求出m和n，然后相加得出10，进而求解即可． 【解答】解：（1）当x＜0时，； 当x≥0时，， ∴， 当n≥0时，将点（n，﹣2）代入，可得， 解得n＝3． 当n＜0时，将点（n，﹣2）代入，可得， 解得n＝﹣3． 故n的值为﹣3或3． （2）根据分叉函数的定义得出二次函数的分叉函数为， 一次函数y2＝﹣x+3的分叉函数为， 当t＜0时，点P的纵坐标为． 点Q的纵坐标为yQ＝﹣t+3， 则， 当0≤t＜3时，点P的纵坐标为， 点Q的纵坐标为yQ＝t﹣3， 则， ∴ （3）根据分叉函数的定义得出， 当t+1＜0时，即t＜﹣1，y′＝﹣x2﹣1＝﹣（x﹣0）2﹣1， ∵﹣1＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当t≤x≤t+1时，y′随着x的增大而增大， ∴m＝﹣（t+1）2﹣1＝﹣t2﹣2t﹣2，n＝﹣t2﹣1， ∴m+n＝﹣t2﹣2t﹣2+（﹣t2﹣1）＝﹣2t2﹣2t﹣3， 令﹣2t2﹣2t﹣3＝10，即2t2+2t+13＝0， 则Δ＝22﹣4×2×13＝﹣100＜0， ∴方程无解． 当t＜0≤t+1，即﹣1≤t＜0时，则t+1＞0， 当x＝t时，y′取的最小值y′＝﹣t2﹣1， 当x＝t+1时，y′取的最大值y′＝（t+1）2+1＝t2+2t+2， ∴m+n＝﹣t2﹣1+t2+2t+2＝2t+1＝10， 解得t＝4.5（舍去）， 当t≥0时，y′＝x2+1， ∵1＞0， ∴抛物线开口向上， 在t≤x≤t+1上，y′随着x的增大而增大， ∴m＝（t+1）2+1＝t2+2t+2，n＝t2+1， 则m+n＝t2+2t+2+t2+1＝2t2+2t+3＝10， 即2t2+2t﹣7＝0， 解得或（舍去）； ∴当t≤x≤t+1时，二次函数y＝﹣x2﹣1的分叉函数y′的最大值为m，最小值为n，存在m+n＝10的情况．t的值为． 【点评】本题考查二次函数综合，二次函数的性质，点的坐标，待定系数法，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3．某数学兴趣小组在探究函数y＝|x2﹣4x+3|的图象和性质时，经历以下几个学习过程： （1）列表（完成以下表格）： x ⋯ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 ⋯ ⋯ 15 8 0 0 3 15 ⋯ y＝|x2﹣4x+3| ⋯ 15 8 0 0 3 15 ⋯ （2）描点并画出函数y＝|x2﹣4x+3|的图象； （3）根据图象完成以下问题： （i）数学小组探究发现直线y＝8与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象交于点E、F，E（﹣1，8），F（5，8），则不等式|x2﹣4x+3|＞8的解集是　 ； （ii）设函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与x轴交于A、B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C． ①求直线BC的解析式； ②探究应用：将直线BC沿y轴平移m个单位后与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点，求此时m的值． 【答案】（1）列表如下： x ⋯ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 ⋯ ⋯ 15 8 3 0 ﹣1 0 3 8 15 ⋯ y＝|x2﹣4x+3| ⋯ 15 8 3 0 1 0 3 8 15 ⋯ （2）函数y＝|x2﹣4x+3|的图象，如图1即为所求； （3）（i）x＜﹣1或x＞5； （ii）①y＝﹣x+3； ②m＝0或． 【分析】（1）根据函数解析式计算即可； （2）描点、连线、画函数图象即可； （3）（i）根据函数图象解答即可求解； （ii）①利用待定系数法解答即可；②当m＝0时，可知直线BC与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点；当平移后的直线与抛物线y＝﹣x2+4x﹣3只有1个交点时，直线BC与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点，利用Δ＝0求出m的值即可求解； 本题考查了画二次函数图象，二次函数与不等式，二次函数平移等，正确画出函数图象是解题的关键． 【解答】解：（1）当x＝0时，y1＝3，y＝3；当x＝2时，y1＝﹣1，y＝1；当x＝5时，y1＝8，y＝8， 列表如下： x ⋯ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 ⋯ ⋯ 15 8 3 0 ﹣1 0 3 8 15 ⋯ y＝|x2﹣4x+3| ⋯ 15 8 3 0 1 0 3 8 15 ⋯ （2）函数y＝|x2﹣4x+3|的图象，如图1即为所求； （3）（i）如图2， 由图象可知，当x＜﹣1或x＞5时，函数y＝|x2﹣4x+3|＞8， ∴不等式|x2﹣4x+3|＞8的解集是x＜﹣1或x＞5， 故答案为：x＜﹣1或x＞5； （ii）①如图3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，由表格可知点 B（3，0），C（0，3）， 把 B（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3； ②把x＝2代入y＝﹣x+3，得：y＝﹣2+3＝1， ∴点（2，1）在直线y＝﹣x+3上， 由函数图象可知，此时直线BC与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点， 即m＝0； 由图象可知，直线BC只有向上平移才能与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点， ∴平移后的直线解析式为y＝﹣x+3+m， 由﹣x2+4x﹣3＝﹣x+3+m，得：x2﹣5x+6+m＝0， 当平移后的直线与抛物线y＝﹣x2+4x﹣3只有1个交点时，直线BC与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点， 此时Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（6+m）＝0， 解得：； 综上所述，当m＝0或时，直线BC沿y轴平移m个单位后与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象，二次函数与不等式，二次函数平移等，正确画出函数图象是解题的关键． 题型二．组合函数 核心方法：按定义域规则写成分段函数，x=0为分界点，分别代入对应段解析式列方程. 对应考法：点在分叉/关联函数图像上，分x<0和x≥0两种情况代入对应解析式，解方程求坐标并验根；分段区间内的线段长度，用纵坐标差表示长度，按分界点分区间写函数解析式；新定义“互反点”即横纵坐标互为相反数，转化为点在函数图像上，代入列方程求解. 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，抛物线与y1交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的横坐标为﹣2，点C的纵坐标为﹣1，直线BC与y轴交于点E，DE＝3AE． （1）求直线BC和抛物线y2的函数解析式； （2）点P是点B，C之间的y2图象上的一点，若△BCP是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标； （3）y1，y2在直线BC下方的图象（含B，C两点）组成新图象y3，点F，G，M，N的坐标分别为（m，0），（m+4，0），（m+4，﹣2），（m，﹣2）．当四边形FGMN的边与y3的图象有四个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣x+1，； （2）； （3）或． 【分析】（1）根据题意求出点B，C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，最后用同样的方法求出抛物线y2的解析式； （2）作Rt△BCP，过点C作y轴的平行线FG，过点B作BG⊥CG交于点G，过点P作PF⊥CG交于点F，利用一线三垂直模型证明△BCG∽△CPF，设，分别求出各线段的表达式，列出方程求解a的值，从而得出点P的坐标； （3）根据已知条件得出四边形FGMN是矩形，利用图象法分情况讨论临界点的情况，从而求出m的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点A，抛物线y2与y1交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的横坐标为﹣2，点C的纵坐标为﹣1， 当x＝﹣2时，得：y＝3； 当y＝﹣1时，得：x2﹣x+3＝﹣1， 解得：x＝2或﹣4（不合题意，舍去）， ∴B（﹣2，3），C（2，﹣1）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+1， 将点B，点C的坐标分别代入抛物线，得： ， 解得：， ∴抛物线y2的函数解析式为； （2）如图1，作Rt△BCP，过点C作y轴的平行线FG，过点B作BG⊥CG交于点G，过点P作PF⊥CG交于点F， ∵∠CPF+∠PCF＝∠PCF+∠BCG＝90°， ∴∠CPF＝∠BCG， ∵∠BGC＝∠PFC＝90°， ∴△BCG∽△CPF， ∴， 设， ∴，CG＝|yB﹣yC|＝|yG﹣yC|＝4， BG＝|xG﹣xB|＝|xC﹣xB|＝4，PF＝|xC﹣xP|＝|xF﹣xP|＝2﹣a， ∴， ∴， 解得：，a2＝2（不合题意，舍去）， ∴； （3）m的取值范围是或．理由如下： ∵点F，G，M，N的坐标分别为（m，0），（m+4，0），（m+4，﹣2），（m，﹣2）， ∴GF＝NM＝4，FN＝GM＝2， ∴四边形FGMN是矩形， 要使四边形FGMN的边与y3的图象有四个公共点，此时分情况讨论： ①如图2，当矩形F1G1M1N1的临界点位于点G1处，即抛物线y2与x轴的交点， 矩形F′1G′1M′1N′1的临界点位于点F′1处，即抛物线y1与x轴的交点时： 对于抛物线， 当y2＝0时，得：x2﹣x﹣5＝0， 解得：（正值不合题意，已舍去）， ∴， ∴， 解得：， 对于抛物线， 当y1＝0时，得：x2﹣x+3＝0， 解得：（正值不合题意，已舍去）， ∴， ∴m的取值范围是； ②如图3，当矩形F2G2M2N2的临界点位于点M2处，即点M2与抛物线y2有交点， 矩形F′2G′2M′2N′2的临界点位于点N′2处，即点N′2与抛物线y2有交点时： ∴对于抛物线， 当y2＝﹣2，得：x2﹣x﹣5＝﹣2， 解得：， ∴，，即， ∵， ∴， ∴m的取值范围是， 综上所述，m的取值范围是或． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 5．在平面直角坐标系中，y是自变量x的函数，爱好创新的小鸣构建一个新函数：当x＜0时，y′＝y，当x≥0时，y′＝﹣y，即，将变换后的函数y′称为原函数y的关联函数．例如：一次函数y＝﹣x+1的关联函数为． （1）直接写出二次函数y＝x2﹣2的关联函数y′的函数表达式； （2）若点P（m，﹣6）在一次函数y＝3x+4的关联函数y′的图象上，求点P的坐标； （3）对于二次函数y＝x2+4x﹣5，是否存在实数n满足当﹣2≤x≤n时，该二次函数的关联函数y′的取值范围是﹣2n﹣4≤y′≤5，若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由； （4）二次函数l的表达式为y＝ax2﹣6ax+8a（a＜0），点M、N的坐标分别为，，连接MN，若线段MN与l的关联函数y′的图象只有一个公共点，直接写出a的值或取值范围　　 ． 【答案】（1）； （2）或； （3）不存在实数n满足当﹣2≤x≤n时，该二次函数的关联函数y′的取值范围是﹣2n﹣4≤y′≤5；理由如下： 当x＜0时，y′＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9， ∴此时函数y′的开口向上，对称轴为直线x＝﹣2， ∴当﹣2≤x＜0时，y′随x的增大而增大， 当x＝0时，x2+4x﹣5＝﹣5， ∴当﹣2≤x＜0时，﹣9≤y′＜﹣5； 当x≥0时，y′＝﹣（x2+4x﹣5）＝﹣（x+2）2+9， ∴此时函数y′的开口向下，对称轴为直线x＝﹣2， ∴当x≥0时，y′随x的增大而减小， 当x＝0时，y′＝5， ∴当x≥0时，y′≤5； 在y′＝﹣（x+2）2+9中，当y′＝﹣9时，﹣（x+2）2+9＝﹣9， 解得：或； ∵当﹣2≤x≤n时，该二次函数的关联函数y′的取值范围是﹣2n﹣4≤y′≤5， ∴当﹣2≤x≤n时，函数y′的最大值为5，最小值为﹣2n﹣4； 当时，在满足﹣2≤x≤n时，函数y′的最大值为5，最小值为﹣9， ∴﹣2n﹣4＝﹣9， 解得：（不合题意，舍去）； 当时，在满足﹣2≤x≤n时，函数y′的最大值为5，最小值为x＝n处的函数值， ∴﹣n2﹣4n+5＝﹣2n﹣4， 解得：（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）， 综上所述，不存在实数n满足当﹣2≤x≤n时，该二次函数的关联函数y′的取值范围是﹣2n﹣4≤y′≤5； （4）或或a＝﹣4． 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）根据定义求出y′，再利用待定系数法求解即可； （3）当x＜0时，y′＝（x+2）2﹣9，可求出当﹣2≤x＜0时，﹣9≤y′＜﹣5；当x≥0时，y′＝﹣（x+2）2+9，可求出当x≥0时，y′≤5；在y′＝﹣（x+2）2+9中，当y′＝﹣9时，可求出；当时，在满足﹣2≤x≤n时，函数y′的最大值为5，最小值为﹣9，则﹣2n﹣4＝﹣9，解得（舍去，）；当时，在满足﹣2≤x≤n时，函数y′的最大值为5，最小值为x＝n处的函数值，则﹣n2﹣4n+5＝﹣2n﹣4，解得（舍去，）或（舍去）；据此可得结论； （4）当x＜0时，y′＝ax2﹣6ax+8a，当x≥0时，y′＝﹣ax2+6ax﹣8a，分别求出函数y′＝ax2﹣6ax+8a和函数y′＝﹣ax2+6ax﹣8a与线段MN只有一个交点时a的取值范围即可． 【解答】解：（1）二次函数y＝x2﹣2的关联函数y′的函数表达式为；理由如下： ∵二次函数y＝x2﹣2，由关联函数的定义可知： 当x＜0时，得：y′＝x2﹣2， 当x≥0时，得：y′＝﹣（x2﹣2）＝﹣x2+2， 综上所述，二次函数y＝x2﹣2的关联函数y′的函数表达式为； （2）一次函数y＝3x+4，由关联函数的定义可知： 当x＜0时，得：y′＝3x+4， 当x≥0时，得：y′＝﹣（3x+4）＝﹣3x﹣4， ∵点P（m，﹣6）在一次函数y＝3x+4的关联函数y′的图象上， ∴当m＜0时，则3m+4＝﹣6， 解得：， 此时点P的坐标为； 当m≥0时，则﹣3m﹣4＝﹣6， 解得：， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）不存在实数n满足当﹣2≤x≤n时，该二次函数的关联函数y′的取值范围是﹣2n﹣4≤y′≤5；理由如下： 当x＜0时，y′＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9， ∴此时函数y′的开口向上，对称轴为直线x＝﹣2， ∴当﹣2≤x＜0时，y′随x的增大而增大， 当x＝0时，x2+4x﹣5＝﹣5， ∴当﹣2≤x＜0时，﹣9≤y′＜﹣5； 当x≥0时，y′＝﹣（x2+4x﹣5）＝﹣（x+2）2+9， ∴此时函数y′的开口向下，对称轴为直线x＝﹣2， ∴当x≥0时，y′随x的增大而减小， 当x＝0时，y′＝5， ∴当x≥0时，y′≤5； 在y′＝﹣（x+2）2+9中，当y′＝﹣9时，﹣（x+2）2+9＝﹣9， 解得：或； ∵当﹣2≤x≤n时，该二次函数的关联函数y′的取值范围是﹣2n﹣4≤y′≤5， ∴当﹣2≤x≤n时，函数y′的最大值为5，最小值为﹣2n﹣4； 当时，在满足﹣2≤x≤n时，函数y′的最大值为5，最小值为﹣9， ∴﹣2n﹣4＝﹣9， 解得：（不合题意，舍去）； 当时，在满足﹣2≤x≤n时，函数y′的最大值为5，最小值为x＝n处的函数值， ∴﹣n2﹣4n+5＝﹣2n﹣4， 解得：（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述，不存在实数n满足当﹣2≤x≤n时，该二次函数的关联函数y′的取值范围是﹣2n﹣4≤y′≤5； （4）a的值或取值范围为或或a＝﹣4．理由如下： 当x＜0时，y′＝ax2﹣6ax+8a， 当x≥0时，y′＝﹣（ax2﹣6ax+8a）＝﹣ax2+6ax﹣8a； 如图2，当y′＝ax2﹣6ax+8a恰好经过点M时，则， 解得：； 如图3，当x＝0，y′＝ax2﹣6ax+8a＝﹣4时， 解得：a＝﹣2， ∴当时，函数y′＝ax2﹣6ax+8a与线段MN只有一个公共点； 如图4，当函数y′＝﹣ax2+6ax﹣8a＝﹣a（x﹣3）2+a的顶点恰好在线段MN上时，则a＝﹣4； 如图5，当函数y′＝﹣ax2+6ax﹣8a恰好经过点N时，则， 解得：； 在y′＝﹣ax2+6ax﹣8a中，当y′＝0时，﹣ax2+6ax﹣8a＝0， 解得：x＝2或x＝4， ∴当时，函数y′＝﹣ax2+6ax﹣8a的顶点在直线MN下方，且在对称轴右侧一定与线段MN只有一个交点，即此时满足函数y′＝﹣ax2+6ax﹣8a与线段MN只有一个交点； 综上所述，a的值或取值范围为或或a＝﹣4， 故答案为：或或a＝﹣4． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了关联函数的定义，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，分类讨论是解答本题的关键． 6．我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），则P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”． （1）已知点（0，0）和（﹣2，2）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的“互反点”，请求出这个二次函数的解析式； （2）如图1，设函数，y＝x+n（n＜0）的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为5时，求n的值； （3）如图2，Q（m，0）为x轴上的动点，过Q作直线l⊥x轴，若函数y＝﹣x2+2（x≥m）的图象记为W1，将W1沿直线l翻折后的图象记为W2，当W1和W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，求m的取值范围． 【答案】（1）y＝x2+x； （2）； （3）﹣1＜m＜2或． 【分析】（1）将点（0，0）和（﹣2，2）代入二次函数关系式，求出解即可得出答案； （2）根据“互反点”的定义得出点A，B的坐标，再根据面积公式得出方程，然后求出解即可； （3）先求出函数y＝﹣x2+2关于直线x＝m对称的抛物线的关系式，进而得出函数y＝﹣x2+2与直线x＝m的交点坐标，然后令该点在直线y＝﹣x上求出m的值，接下来分五种情况讨论是否存在2个“互反点”，即可得出取值范围． 【解答】解：（1）∵点（0，0）和（﹣2，2）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的“互反点”，将两点的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为y＝x2+x； （2）在中， 当y＝﹣x时，得：， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴点； 在y＝x+n中， 当y＝﹣x时，得：﹣x＝x+n， 解得：， ∴点． ∴， ∴， ∴或（方程无解，舍去）， 解得：（不合题意，舍去）或； （3）函数y＝﹣x2+2关于直线x＝m对称的抛物线的关系式为y＝﹣（x﹣2m）2+2， 当x＝m时，得：y＝﹣m2+2， ∴函数y＝﹣x2+2与直线x＝m的交点坐标为（m，﹣m2+2）， 当点（m，﹣m2+2）在直线y＝﹣x上时，代入得： ﹣m2+2＝﹣m， 解得：m＝﹣1或2； 当m＜﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上恰好有2个“互反点”，分别是（2，﹣2），（﹣1，1），都在W1上，此时W2不存在“互反点”， 令﹣x＝﹣（x﹣2m）2+2， 整理得：x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0， ∴Δ＝（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＜0， 解得：， ∴当时，如图2，W1，W2两部分组成的图象上恰好有2个“互反点”，分别是（2，﹣2），（﹣1，1）； 当m＝﹣1时，得：y＝﹣（x+2）2+2， 令﹣x＝﹣（x+2）2+2， 解得：x＝﹣2或x＝﹣1， ∴W1，W2两部分组成的图象上恰好有3个“互反点”，如图3，分别是（2，﹣2），（﹣1，1），（﹣2，2）； 当﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰好有2个“互反点”，分别是（2，﹣2），（﹣1，1）； 当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰好有1个“互反点”，为（2，﹣2）； 当m＞2时，W1，W2两部分组成的图象上不存在“互反点”． 综上所述，﹣1＜m＜2或，W1，W2两部分组成的图象上恰好有2个“互反点”． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 题型三．变换型二次函数问题 核心方法：平移按“左加右减、上加下减”改写顶点式；轴对称对应坐标变号；翻折利用对称点连线被对称轴垂直平分. 对应考法：求对称抛物线，直接将y换为-y，整理得对称抛物线解析式；点关于直线对称，利用对称点连线与对称轴垂直、中点在对称轴上，列方程求对称点坐标；平移后弦长定值问题，联立平移后抛物线与直线方程，用韦达定理可证弦长为定值；特征数平移，按平移规则改写函数后对应特征数即可. 7．[24-25九年级上•上海闵行区期中]已知，如图，抛物线yx2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝x﹣2经过A、C两点． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）P为抛物线上一点，若点P关于直线AC的对称点Q落在y轴上，求P点坐标； （3）现将抛物线平移，保持顶点在直线y＝x，若平移后的抛物线与直线y＝x﹣2交于M、N两点． ①求：MN的长度； ②结合（2）的条件，直接写出△QMN的周长的最小值 　 　 ． 【答案】（1）yx2x﹣2； （2）P（6，﹣2）； （3）①2； ②42． 【分析】（1）求出A，C点的坐标，再将点坐标代入yx2+bx+c，即可得解； （2）先求出∠OCA＝45°，再由对称性可知PC⊥y轴，即可求出点P的纵坐标，最后利用二次函数的解析式求出结果； （3）①先求出平移后的抛物线，再利用（x﹣m）2+mx﹣2，得出x1+x2＝2m﹣4，x1•x2＝m2﹣4m+3，最后利用两点间的距离公式求解即可； ②作KQ⊥MN，连接MK，MP，先求出KM+MP的最小值，即KP的长，最后根据△QMN的周长的最小值，即KQ+KP，得解． 【解答】解：（1）在y＝x﹣2中，令y＝0，得x＝2，令x＝0，得y＝﹣2， ∴A（2，0），C（0，﹣2）； 抛物线yx2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，将A，C点坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为：yx2x﹣2； （2）如图， ∵OA＝OC＝2， ∴∠OCA＝45°， ∵点P关于AC的对称点Q在y轴上， ∴∠OCA＝∠PCA＝45°， ∴PC⊥y轴， ∴点P的纵坐标为﹣2， 令x2x﹣2＝﹣2， 解得x＝6或x＝0（舍去）， ∴P（6，﹣2）； （3）①设平移后的抛物线的顶点为（m，m）， ∴平移后的抛物线的解析式为：y（x﹣m）2+m， 令（x﹣m）2+mx﹣2， 整理得x2+（4﹣2m）x+m2﹣4m+3＝0， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， ∴x1+x2＝2m﹣4，x1•x2＝m2﹣4m+3， ∴MN2， ∴MN的长度为2； ②如图，作KQ∥MN，并令KQ＝MN，连接MK，MP，由题可知，P（6，﹣2），Q（0，4），KQ＝MN＝2，则只需要求QM+QN的最小值即可． ∵KQ∥MN，KQ＝MN， ∴KM＝QN即KM+MP的最小值，即KP的长， ∴K（﹣2，2）， ∴KP＝4， ∴△QMN的周长的最小值为42． 故答案为：42． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线的平移，待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，正确作出图形是解题关键． 8．[24-25九年级上•上海浦东新区期中]新定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”． （1）求：抛物线y的“同轴对称抛物线”． （2）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点D、E． ①当四边形BDEC为正方形时，求：a的值． ②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图象与一次函数y＝x﹣1相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图象向上平移得到新的抛物线L′与一次函数y＝x﹣1相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足PM+QN＝MN，试在抛物线L′上有且仅有三个点R1、R2、R3，使得△MNR1、△MNR2、△MNR3的面积均为定值S，请直接写出：R1、R2、R3的坐标． 【答案】（1）y； （2）①a； （3）（，）或（，）或（，）． 【分析】（1）求出函数的顶点（1，），由“同轴对称抛物线”的定义，求出它的顶点为（1，），即可求解析式； （2）①由题意可求点B，C，D，E的坐标，再由正方形的性质可得2﹣6a＝2或6a﹣2＝2，求出a即可； ②根据有且仅有三个点R1，R2，R3使得△MNR1，△MNR2，△MNR3的面积均为定值S，求得切点R1的坐标，根据一次函数的平移求得另外两个点的坐标． 【解答】解：（1）∵yx2+x+1（x﹣1）2， ∴“同轴对称抛物线”的顶点坐标为（1，）， ∴y（x﹣1）2； （2）①由题可知，B（1，1﹣3a）， ∴C（1，3a﹣1）， ∵抛物线y＝ax2﹣4ax+1的对称轴为x＝2， ∴D（3，1﹣3a），E（3，3a﹣1）， ∴BD＝CE＝2， ∴BC＝2﹣6a或BC＝6a﹣2， ∴2﹣6a＝2或6a﹣2＝2， ∴a＝0（舍去）或a； ②（，）或（，）或（，）；理由如下： 由题意得，L的“同轴对称抛物线”的表达式为：yx2x﹣1， 设抛物线向上平移了t个单位符合题设条件，则L′：yx2x﹣1+t， 联立yx2x﹣1和y＝x﹣1得：x2x﹣1＝x﹣1， 解得：x＝0或， 即xN﹣xM， 联立yx2x﹣1+t和y＝x﹣1得：x2x﹣1+t＝x﹣1， 则xP+xQ，xP•xQ， 则（xQ﹣xP）2＝（xQ+xP）2﹣4xPxQ6t， ∵PM+QN＝MN， ∴PQ＝PM+QN+MN＝2MN， ∵直线y＝x﹣1和x轴的夹角为45°， 则PQ（xQ﹣xP），MN（xN﹣xM）， 而PQ＝2MN， 则（xQ﹣xP）2＝4（xN﹣xM）2， 即6t＝4， 解得：t， 则L′：yx2x①； 设直线y＝x﹣1交y轴于点K（0，﹣1）（即点M），在x轴上方取点T， 过点T作直线TR∥PQ使TR和抛物线L′只有一个交点R，取KN＝KT，故点N作NR′∥PQ， 则此时，在抛物线L'上有且仅有三个点R1，R2，R3使得△MNR1，△MNR2，△MNR3的面积均为定值S， 设直线TR的表达式为：y＝x+m②， 联立①②并整理得：x2xx+m， 则Δ＝（）2﹣4×（）×（﹣m）＝0， 解得：m， 则直线TR的表达式为：y＝x， 则点T（0，）， 当m时，即x2xx， 解得：x， 则点R（，）； 则KT＝1KN， 则点N（0，）， 则直线NR′的表达式为：y＝x， 联立yx2x和y＝x得：x2xx， 解得：x， 则点R的坐标为：（，）或（，）． 综上，点R（即R1，R2，R3）的坐标为：（，）或（，）或（，）． 【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质、正方形的性质、不等式等知识点，解题的关键是根批题意画出图形，利用数形结合的思想解题． 9．[25-26九年级上•上海嘉定区期中]如图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交直线BC于点F，交抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度； （3）如果将△ECF沿直线CE翻折，点F恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）或； （3）． 【分析】（1）根据点A的坐标和对称轴可得关于a、c的方程组，解方程组可得答案； （2）首先利用点B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，则∠MBF＝∠FBM＝∠CFE＝45°，设F（m，﹣m+3），则E（m，﹣m2+2m+3），表示出EF和CF的长度，再根据相似三角形的判定与性质，从而解决问题； （3）根据平行线的性质和翻折的性质可得CF＝EF，从而得出m的方程，即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 所以，所求的抛物线的解析式是：y＝﹣x2+2x+3； （2）由题意得：B（3，0），C（0，3）， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3， ∴∠MBF＝∠FBM＝∠CFE＝45°， 设F（m，﹣m+3），则E（m，﹣m2+2m+3）， ∴， 当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时， ①若，则， ∴或m＝0（舍去）， ∴， ②若，则， ∴或m＝0（舍去）， ∴， ∴EF或； （3）∵△CEN是由△CEF沿直线CE翻折而得， ∴CN＝CF，∠NCE＝∠ECF， ∵NC∥EF， ∴∠NCE＝∠CEF， ∴∠ECF＝∠CEF， ∴CF＝EF， ∵， 解得：（舍去）， ∴， 所以，N的坐标是． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，翻折的性质，一元二次方程等知识，熟练掌握平行线与角平分线得出等腰三角形是解决问题（3）的关键． 10．[虹口区期中]我们定义【a，b，c】为函数y＝ax2+bx+c的“特征数”，如：函数y＝2x2﹣3x+5的“特征数”是【2，﹣3，5】，函数y＝x+2的“特征数”是【0，1，2】． （1）若一个函数的“特征数”是【1，﹣4，1】，将此函数图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是 　 　 ； （2）将“特征数”是【0，，﹣1】的图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是 　 　 ； （3）在（2）中，平移前后的两个函数图象分别与y轴交于A、B两点，与直线分别交于D、C两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、B、C、D四点为顶点的四边形的面积； （4）若（3）中的四边形与“特征数”是【1，﹣2b，】的函数图象有交点，求满足条件的实数b的取值范围． 【答案】（1）【1，0，﹣2】； （2）； （3）作图见解析过程；面积为； （4）． 【分析】（1）由已知可知y＝x2﹣4x+1，平移后的函数为y＝x2﹣2，则可求“特征数”； （2）由已知可知函数为，平移后函数为； （3）令x＝0，求出A（0，﹣1），B（0，1），令，求出，，则AB＝CD＝AD＝2，又由AB∥CD，可判断四边形ABCD是菱形；然后结合图形求面积即可； （4）由已知可得，则函数与AD边无交点，只能与BC边有交点，将B（0，1）代入函数，将代入函数求解即可得出结果． 【解答】解：（1）∵函数的特征数是【1，﹣4，1】， ∴函数为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3， 将函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y＝x2﹣2， ∴函数y＝x2﹣2的“特征数”是【1，0，﹣2】． 故答案为：【1，0，﹣2】； （2）∵函数的“特征数”是【0，，﹣1】， ∴， ∵函数图象向上平移2个单位， ∴平移后函数为． 故答案为：； （3）作图如图1所示： 令x＝0，则A（0，﹣1），B（0，1）， ∴AB＝2， 令，则，， ∴CD＝2，， ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵， ∴四边形ABCD是菱形，； （4）∵函数的“特征数”是【1，﹣2b，】， ∴， ∴由函数图象得：函数与AD边无交点，如图2， ∴函数与BC边有交点， 将B（0，1）代入函数，解得：， 将代入函数，解得：， ∴． 【点评】本题考查二次函数的综合、新定义，函数的平移，理解定义，能将定义与所学函数知识结合是解题的关键． 题型四．二次函数几何综合之三角形 核心方法：坐标法表示各点坐标，用斜率、距离公式转化三角形的边、角条件. 对应考法：面积相等的三角形，同底等高即点纵坐标与已知点纵坐标相等，代入抛物线求坐标；直角三角形分直角顶点在三个点三种情况，用斜率乘积为-1或勾股定理列方程；角度相等转化为正切值相等，构造直角三角形对边比邻边相等，列方程求解，如∠EDC＝∠BPE类问题，计算两角正切列方程. 11．[2024•奉贤区二模]如图，在直角坐标平面xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A、B，与y轴正半轴交于点C，顶点为P，点A坐标为（﹣1，0）． （1）写出这条抛物线的开口方向，并求顶点P的坐标（用a的代数式表示）； （2）将抛物线向下平移后经过点（0，1），顶点P平移至P′．如果锐角∠CP′P的正切值为，求a的值； （3）设抛物线对称轴与x轴交于点D，射线PC与x轴交于点E，如果∠EDC＝∠BPE，求此抛物线的表达式． 【答案】（1）开口向下，P（1，﹣4a）； （2）； （3）y＝﹣x2+2x+3． 【分析】（1）根据C点在y正半轴判断c的正负，再将点A坐标代入抛物线，求出a和c的关系，从而可以求出a的正负，即可判断开口方向，将抛物线化为顶点式即可求出P点坐标； （2）根据平移后的点，判断平移距离，从而表示出P′的坐标，然后根据正切值的定义求解a的值即可； （3）先求出B点坐标，然后用待定系数法求出PC所在直线的坐标，从而可以求出E点坐标，然后根据三角形相似的判定与性质，求出EC的长度，最后根据勾股定理求出a的值即可． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝c， ∴c＞0， 将点A坐标代入抛物线解析式得：0＝a+2a+c， ∴ac＜0， ∴抛物线开口向下， 将c＝﹣3a代入抛物线解析式：y＝ax2﹣2ax﹣3a， ∴对称轴直线为：x＝1， 令x＝1，则y＝﹣4a， ∴P（1，﹣4a）， （2）由（1）知，C（0，﹣3a）， ∴﹣3a＞1， ∴a， 平移距离为：﹣3a﹣1， ∴P′（1，1﹣a）， 点C，P，P′位置如图，作CD⊥PP′于D， ∴CD＝1，DP′＝﹣3a﹣（1﹣a）＝﹣2a﹣1， ∴﹣2a﹣1＝2， ∴a； （3）如图： 令y＝0，解得：x＝﹣1或3， ∴B（3，0）， 设PC所在直线的解析式为：y＝kx+b， 可得：， ∴k＝﹣a，b＝﹣3a， ∴E（﹣3，0）， ∴DE＝4，BE＝6，OE＝3， DC＝∠BPE，∠PEB＝∠CED， ∴△CDE∽△BPE， ∴， ∴EC•EP＝DE•BE＝24， ∵OC∥DP， ∴， ∴EC•EPEC2＝24， ∴EC2＝18， 在Rt△COE中，EC2＝OE2+OC2＝9+9a2， ∴a＝﹣1， ∴y＝﹣x2+2x+3． 【点评】本题主要考查了二次函数综合题，综合运用平移的坐标变换、三角函数值的定义以及相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 12．[奉贤区二模]如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式和对称轴； （2）联结AC、BC，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果△ABD的面积与△ABC的面积相等，求点D的坐标； （3）设点P（m，4）（m＞0），点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当∠APE＝90°，且时，求点E的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，抛物线的对称轴为x＝﹣1；（2）点D（﹣2，3）；（3）点E的坐标为：（﹣1，）． 【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣1+b+3，解得：b＝﹣2，即可求解； （2）D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），△ABD的面积与△ABC的面积相等，则yD＝yC＝3，进而求解； （3）证明△EMP∽△PNA，得到，即可求解． 【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣1+b+3， 解得：b＝﹣2， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3， 则抛物线的对称轴为x1； （2）∵D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），△ABD的面积与△ABC的面积相等， 则yD＝yC＝3， 则点C、D关于抛物线的对称轴对称， 故点D（﹣2，3）； （3）设点E（﹣1，t），过点P作x轴的垂线，交x轴于点N，交过点E和x轴的平行线于点M， ∵∠APE＝90°，则∠EPM+∠APN＝90°， ∵∠PAN+∠APN＝90°， ∴∠EPM＝∠PAN， ∵∠EMP＝∠PNA＝90°， ∴△EMP∽△PNA， ∴， 则， 解得：t， 即点E的坐标为：（﹣1，）． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中． 13．[松江区二模]如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝2x+8与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B． （1）求抛物线的表达式； （2）P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M、N． ①当MNAB时，求点P的坐标； ②联结OP交AB于点C，当点C是MN的中点时，求的值． 【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+8； （2）①当MNAB时，点P的坐标为（﹣2，8）； ②的值为1． 【分析】（1）先根据题意求出点A、B的坐标，代入y＝﹣x2+bx+c即可求得抛物线的表达式； （2）①证明△PMN∽△OBA，可得，设点M的横坐标为m（﹣4＜m＜0），则PM＝﹣m2﹣4m，又OA＝4，OB＝8，建立方程求解即可得出答案； ②连接OP交AB于点C，先求出点N的坐标，利用中点公式可求得C（，），再证明点C是AB的中点，可得C（﹣2，4），建立方程求解即可得出答案． 【解答】解：（1）∵直线y＝2x+8与x轴交于点A、与y轴交于点B， ∴令x＝0，则y＝8， 令y＝0，则x＝﹣4， ∴B（0，8），A（﹣4，0）， ∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+8； （2）①∵P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M、N， ∴PM⊥PN，∠PNM＝∠BAO， ∴∠MPN＝∠AOB＝90°， ∴△PMN∽△OBA， ∴， 设点M的横坐标为m（﹣4＜m＜0）， 则M（m，2m+8），P（m，﹣m2﹣2m+8）， ∴PM＝﹣m2﹣2m+8﹣（2m+8）＝﹣m2﹣4m， ∵B（0，8），A（﹣4，0）， ∴OA＝4，OB＝8， ∵MNAB， ∴， ∴， 解得m1＝m2＝﹣2， ∴P（﹣2，8）； ②如图，连接OP交AB于点C， ∵PN∥x轴，P（m，﹣m2﹣2m+8）， ∴点N的纵坐标为﹣m2﹣2m+8， 令y＝﹣m2﹣2m+8，则2x+8＝﹣m2﹣2m+8， 解得：x， N（，﹣m2﹣2m+8）， ∵点C是MN的中点，M（m，2m+8）， ∴C（，）， 由①知：∠MPN＝90°， 又点C是MN的中点， ∴PC＝CM＝CN， ∴∠CPN＝∠CNP，∠CPM＝∠CMP， ∵PM∥y轴、PN∥x轴， ∴∠BOC＝∠CPM，∠OBC＝∠CMP，∠OAC＝∠CNP，∠AOC＝∠CPN， ∴∠BOC＝∠OBC，∠OAC＝∠AOC， ∴AC＝OC，BC＝OC， ∴AC＝BC， ∴点C是AB的中点， ∴C（﹣2，4）， ∴2， 解得：m＝±2， ∵﹣4＜m＜0， ∴m＝﹣2， ∴PM＝﹣m2﹣4m＝﹣（﹣2）2﹣4×（﹣2）＝88， ∵PM∥y轴， ∴△PCM∽△OCB， ∴1， 故的值为1． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，中点公式的应用，难度不大，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 题型五．二次函数几何综合之四边形 核心方法：特殊四边形用坐标性质列方程，平行四边形对角线中点重合，菱形加邻边相等，矩形加邻边垂直. 对应考法：等腰三角形为基础的平行四边形，用中点公式列方程组；顶点在平行四边形内，转化为坐标的不等式，结合边界临界值求范围；矩形存在性，在平行四边形基础上，加邻边垂直条件，或用直径所对圆周角为直角判定. 14．[徐汇区二模]如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0），点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式； （2）过P作y轴的平行线交抛物线于M，当△PBM是MP为腰的等腰三角形时，求点P的坐标； （3）若顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），求m的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，y＝x+3； （2）点P的坐标为（﹣3，）或（﹣2，1）； （3）m的取值范围为：﹣2＜m＜﹣1． 【分析】（1）先求出点B（0，3），运用待定系数法可求得抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，可求得A（﹣3，0），把点A的坐标代入y＝kx+3，即可求得直线AB的解析式为y＝x+3； （2）设P（m，m+3），且﹣3≤m≤0，则M（m，﹣m2﹣2m+3），可得PM＝﹣m2﹣3m，运用两点间距离公式可得PBm，根据△PBM是MP为腰的等腰三角形，分两种情况：MP＝PB或MP＝MB，分别建立方程求解即可得出答案； （3）利用待定系数法可求得经过点D（﹣1，4）且平行直线AB的直线DG的解析式y＝x+5，联立，得x+5＝﹣x2﹣2x+3，可得点G的横坐标为﹣2，根据题意可知：点M必须在直线DG上方的抛物线上运动，故﹣2＜m＜﹣1． 【解答】解：（1）∵直线y＝kx+3交y轴于点B， ∴B（0，3）， ∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（0，3），点C（1，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3， 令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴A（﹣3，0）， 把点A的坐标代入y＝kx+3，得﹣3k+3＝0， 解得：k＝1， ∴直线AB的解析式为y＝x+3； （2）∵点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m， ∴P（m，m+3），且﹣3≤m≤0， ∵过P作y轴的平行线交抛物线于M， ∴M（m，﹣m2﹣2m+3）， ∴PM＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m， ∵PB2＝（m﹣0）2+（m+3﹣3）2＝2m2，且﹣3≤m≤0， ∴PBm， ∵△PBM是MP为腰的等腰三角形，B（0，3）， ∴MP＝PB或MP＝MB， ∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠ABO＝45°， ∵PM∥OB， ∴∠BPM＝45°， ①当MP＝PB时， ∴﹣m2﹣3mm， 解得：m＝0（舍去）或m＝﹣3， ∴P（﹣3，）； ②当MP＝MB时， 则∠PBM＝∠BPM＝45°， ∴∠BMP＝90°， ∴BM∥x轴，即点M的纵坐标为3， ∴﹣m2﹣2m+3＝3， 解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣2， ∴P（﹣2，1）， 综上所述，点P的坐标为（﹣3，）或（﹣2，1）； （3）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的顶点D（﹣1，4）， 设经过点D（﹣1，4）且平行直线AB的直线DG的解析式为y＝x+n，如图2， 则﹣1+n＝4， 解得：n＝5， ∴y＝x+5， 联立，得x+5＝﹣x2﹣2x+3， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2， ∴点G的横坐标为﹣2， ∵顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界）， ∴点M必须在直线DG上方的抛物线上运动， ∴m的取值范围为：﹣2＜m＜﹣1． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会运用分类讨论思想和方程思想解决问题，属于中考压轴题． 15．[杨浦区月考]已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与C、D不重合），且BE⊥EF． （1）如图1，如果BE＝EF，求证：CA平分∠BCD； （2）设AB＝4，BC＝2，△EFC为等腰三角形．如图2，以B点为坐标原点，以BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系． ①求点E的坐标； ②如果二次函数的图象过点B、点E和点F，求这个二次函数的解析式． 【答案】（1）四边形ABCD是矩形，如图1，过E作EG⊥CD交于G，作EH⊥BC交于H， ∴∠HCG＝∠BHE＝∠FGE＝∠CHE＝90°， ∴四边形CGEH是矩形， ∴∠GEH＝90°， ∴∠FEG+∠FEH＝90°， ∵BE⊥EF， ∴∠BEH+∠FEH＝90°， ∴∠BEH＝∠FEG， 在△BEH和△FEG中， ， ∴△BEH≌△FEG（AAS）， ∴EH＝EG， ∵EG⊥CD，EH⊥BC， ∴CA平分∠BCD； （2）①； ②． 【分析】（1）过E作EG⊥CD交于G，作EH⊥BC交于H，由矩形的判定方法得四边形ABCD是矩形，由AAS可判定△BEH≌△FEG，由全等三角形的性质EH＝EG，由角平分线的判定定理即可得证； （2）①过E作EN⊥CD交于N，作EM⊥BC交于M，由相似三角形的判定方法得△BME∽△FNE，由相似三角形的性质得，由待定系数法求得直线AC的解析式为y＝﹣x+4，设xE＝m，则yE＝﹣2m+4，代入求得 ，BE＝2FE，由等腰三角形的性质得，由勾股定理得BE2＝BM2+EM2，即可求解； ②由①得F（2，1），设二次函数解析式为y＝ax2+bx，将E、F的坐标代入，即可求解． 【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，如图1，过E作EG⊥CD交于G，作EH⊥BC交于H， ∴∠HCG＝∠BHE＝∠FGE＝∠CHE＝90°， ∴四边形CGEH是矩形， ∴∠GEH＝90°， ∴∠FEG+∠FEH＝90°， ∵BE⊥EF， ∴∠BEH+∠FEH＝90°， ∴∠BEH＝∠FEG， 在△BEH和△FEG中， ， ∴△BEH≌△FEG（AAS）， ∴EH＝EG， ∵EG⊥CD，EH⊥BC， ∴CA平分∠BCD； （2）解：①过E作EN⊥CD交于N，作EM⊥BC交于M， ∴∠BME＝∠FNE＝90°， 由（1）同理可证：∠BEM＝∠FEN， ∴△BME∽△FNE， ∴， ∵AB＝4，BC＝2， ∴A（0，4），C（2，0）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+4， 设xE＝m，则yE＝﹣2m+4， ∴BM＝m， EM＝﹣2m+4， 由（1）同理可证：四边形EMCN是矩形， ∴EN＝CM＝2﹣m， CN＝EM＝﹣2m+4， ∴， ∴， BE＝2FE， ∴BE2＝4FE2， ∴CF＝CN﹣FN， ∵△EFC为等腰三角形， ∴， 在Rt△BME中，由勾股定理得： BE2＝BM2+EM2＝m2+（﹣2m+4）2， ∴， 整理得：5m2﹣16m+12＝0， 解得：，m2＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴， ∴； ②由①得：1， ∴F（2，1）， ∵B（0，0）， ∴设二次函数解析式为y＝ax2+bx，将点E，点F的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴二次函数解析式为． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的性质，待定系数法等，能根据题意构建全等三角形及相似三角形是解题的关键． 16．[长宁区期中]如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝12． （1）求抛物线的解析式以及点D的坐标． （2）联结BD，F为抛物线上一点，当∠FAB＝∠ACO时，求点F的坐标． （3）平行于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQMN时，求菱形对角线MN的长． 【答案】（1）yx2﹣5x﹣12，点D的坐标为（5，）； （2）点F的坐标为（，）或（，）； （3）MN的长为或． 【分析】（1）由条件可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，进一步可求得D点坐标； （2）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FAG∽△ACO，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标； （3）可求得P点坐标，设T为菱形对角线的交点，设出PT的长为n，从而可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可得到n的方程，可求得n的值，从而可求得MN的长． 【解答】解：（1）∵OB＝OC＝12， ∴B（12，0），C（0，﹣12）， ∴，解得， ∴抛物线解析式为yx2﹣5x﹣12， ∵yx2﹣5x﹣12（x﹣5）2， ∴点D的坐标为（5，）； （2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G， 设F（x，x2﹣5x﹣12），则FG＝|x2﹣5x﹣12|， 在yx2﹣5x﹣12中，令y＝0可得x2﹣5x﹣12＝0，解得x＝﹣2或x＝12， ∴A（﹣2，0）， ∴OA＝2，则AG＝x+2， ∵C（0，﹣12）， ∴OC＝12， 当∠FAB＝∠ACO时， ∵∠FGA＝∠AOC＝90°， ∴△FAG∽△ACO， ∴，即， ∴， 当点F在x轴上方时，则有，解得x＝﹣2（舍去）或x，此进F点坐标为（，）； 当点F在x轴下方时，则有，解得x＝﹣2（舍去）或x，此进F点坐标为（，）； 综上可知，点F的坐标为（，）或（，）； （3）∵点P在x轴上， ∴由菱形的对称性可知P（5，0）， 如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点， ∵PQMN， ∴MTPT， 设PT＝n，则MTn， ∴M（5n，n）， ∵M在抛物线上， ∴n（5n）2﹣5（5n）﹣12，解得n或n（舍去）， ∴MN＝2MT＝3n； 当MN在x轴下方时，同理可设PT＝n，则M（5n，﹣n）， ∴﹣n（5n）2﹣5（5n）﹣12，解得n或n（舍去）， ∴MN＝2MT＝3n； 综上可知，菱形对角线MN的长为或． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、菱形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中证得△FAG∽△ACO，得到关于F点坐标的方程是解题的关键，注意分F点在x轴上方和下方两种情况，在（3）中用PT的长表示出M点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强． 提升·进阶突破 题型六．三角形存在型问题 核心方法：分类讨论顶点身份，按边相等或直角顶点分三类，用两点距离公式列方程. 对应考法：直角三角形存在性，分别以三个顶点为直角顶点，用斜率积为-1列方程，解后验证三点不共线，如△BCM为直角三角形，分M、B、C为直角三类；等腰直角三角形同时满足直角与等边，结合腰相等与垂直条件列方程；以指定边为直角边的直角三角形，限定直角顶点减少分类，直接用垂直条件列方程. 17．[24-25九年级上•上海崇明区月考]已知：抛物线y＝ax2﹣4ax+4a开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，OB＝2OA． （1）求点A、点B的坐标． （2）在抛物线上是否存在一点C，使△ABC是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（2，0），B（0，4）； （2）点C的坐标为或． 【分析】（1）将解析式化为顶点式可得A（2，0），再结合抛物线开口向上，与y轴交于B点，OB＝2OA即可得解； （2）求出抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+4，设C（m，m2﹣4m+4），则AC2＝（m﹣2）2+（m2﹣4m+4﹣0）2，BC2＝（m﹣0）2+（m2﹣4m+4﹣4）2＝m2+（m2﹣4m）2，再由勾股定理分情况计算即可得解． 【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+4a＝a（x﹣2）2， ∴顶点为A（2，0）， ∴OA＝2， ∵抛物线y＝ax2﹣4ax+4a开口向上，与y轴交于B点，OB＝2OA， ∴a＞0，当x＝0时，y＝4a＞0， ∴B（0，4a）， ∴OB＝2OA＝4， ∴B（0，4）； （2）由（1）可得：4a＝4，A（2，0），B（0，4）， ∴a＝1，AB2＝（2﹣0）2+（0﹣4）2＝20， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+4， 设C（m，m2﹣4m+4），则AC2＝（m﹣2）2+（m2﹣4m+4﹣0）2，BC2＝（m﹣0）2+（m2﹣4m+4﹣4）2＝m2+（m2﹣4m）2， ∵△ABC是以AB为直角边的直角三角形， ∴当∠ABC＝90°时，AB2+BC2＝AC2，即20+m2+（m2﹣4m）2＝（m﹣2）2+（m2﹣4m+4﹣0）2， 解得：或m＝0（不符合题意，舍去）， 此时，即； 当∠BAC＝90°时，AB2+AC2＝BC2，即20+m2+（m﹣2）2+（m2﹣4m+4﹣0）2＝（m2﹣4m）2， 解得：或m＝2（不符合题意，舍去）， 此时，即； 综上所述，点C的坐标为或． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数综合—特殊三角形问题、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 18．[24-25九年级上•上海闵行区期中]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC． （1）求线段AC的长； （2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标； （3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】（1）； （2）（1，﹣1）； （3）（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，），或（，）． 【分析】（1）根据坐标轴上点的特点求出点A，C的坐标，即可求出答案； （2）设出点P的坐标，利用PA＝PC建立方程求解，即可求出答案； （3）分三种情况，利用等腰直角三角形的性质求出前两种情况，利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案． 【解答】解：（1）针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）； 令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0， ∴x＝3或x＝﹣1， ∵点A在点B的左侧， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AC； （2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x1， ∵点P为该抛物线对称轴上， ∴设P（1，p）， ∴PA，PC， ∵PA＝PC， ∴， ∴p＝﹣1， ∴P（1，﹣1）； （3）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3）， ∴OB＝OC＝3， 设M（m，m2﹣2m﹣3）， ∵△BCM为直角三角形， ∴①当∠BCM＝90°时， 如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM＝m， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°， ∴∠HMC＝45°＝∠HCM， ∴CH＝MH， ∵CH＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m， ∴﹣m2+2m＝m， ∴m＝0（不符合题意，舍去）或m＝1， ∴M（1，﹣4）； ②当∠CBM＝90°时， 过点M作M'H'⊥x轴， 同①的方法得，M'（﹣2，5）； ③当∠BMC＝90°时，如图2， Ⅰ、当点M在第四象限时， 过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E， ∴∠CDM＝∠E＝90°， ∴∠DCM+∠DMC＝90°， ∵∠DMC+∠EMB＝90°， ∴∠DCM＝∠EMB， ∴△CDM∽△MEB， ∴， ∵M（m，m2﹣2m﹣3），B（3，0），C（0，﹣3）， ∴DM＝m，CD＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，ME＝3﹣m，BE＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3， ∴， ∴m＝0（舍去）或m＝3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m（不符合题意，舍去）或m， ∴M（，）， Ⅱ、当点M在第三象限时，M（，）， 即满足条件的M的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，），或（，）． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，直角三角形的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． 19．[2022•虹口区二模]如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，联结BC交抛物线的对称轴l于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）联结CD、BD，点P是射线DE上的一点，如果S△PDB＝S△CDB，求点P的坐标； （3）点M是线段BE上的一点，点N是对称轴l右侧抛物线上的一点，如果△EMN是以EM为腰的等腰直角三角形，求点M的坐标． 【答案】（1）yx2+2x+6； （2）P（2，2）； （3）点M的坐标为（4，2）或（2，4）． 【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）求出点C、D的坐标，利用勾股定理的逆定理可得△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，可得S△BCDBC•CD＝12，由三角形的面积公式结合S△PDB＝S△CDB可得出PD＝6，即可求解； （3）设M（m，﹣m+6），且2＜m＜6，分两种情况：①当∠MEN＝90°，EM＝EN时，②当∠EMN＝90°，EM＝MN时，根据等腰直角三角形的性质求出点M的坐标即可． 【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+6， 得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为yx2+2x+6； （2）如图： ∵yx2+2x+6（x﹣2）2+8， ∴C（0，6）、D（2，8）， ∵B（6，0）， ∴BC6， CD2， BD4， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°， ∴S△BCDBC•CD＝12， ∵S△PDBPD•（6﹣2）＝2PD＝S△CDB＝12， ∴PD＝6， ∴P（2，2）； （3）∵B（6，0），C（0，6）． ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵yx2+2x+6， ∴对称轴l为x2， 当x＝2时，y＝﹣x+6＝4， ∴E（2，4）， 设M（m，﹣m+6），且2＜m＜6， ①当∠MEN＝90°，EM＝EN时， 过点E作EH⊥MN于H， ∴MN＝2EH，∠EMN＝∠ENM＝45°， ∵∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴∠NME＝∠OCB， ∴MN∥y轴， ∴N（m，m2+2m+6）， ∴MNm2+2m+6+m﹣6m2+3m，EH＝m﹣2， ∴m2+3m＝2（m﹣2），解得m＝4或m＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴M（4，2）； ②当∠EMN＝90°，EM＝MN时， ∴EH＝NH＝MHEN，∠MEN＝∠ENM＝45°， ∵∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴∠MEN＝∠OBC， ∴EN∥x轴， ∴点N的纵坐标为4， 当y＝4时，x2+2x+6＝4， 解得x＝2+2或x＝2﹣2（不合题意，舍去）， ∴N（2+2，4）， ∴EN＝2+22＝2， ∴EH＝MHEN， ∴m＝2， ∴M（2，4）； 综上所述，点M的坐标为（4，2）或（2，4）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰直角三角形性质，解题关键是运用分类讨论思想，避免漏解． 题型七．四边形存在型问题 核心方法：按对角线组合分类，利用对角线中点重合列方程组，叠加特殊四边形条件. 对应考法：菱形存在性，先按对角线分三类，用中点公式列方程，再加邻边相等验证；已知三个点求第四个顶点的平行四边形，用中点坐标公式直接计算；矩形存在性，在平行四边形基础上，验证对角线相等或邻边垂直. 20．[25-26九年级上•闵行区月考]如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C． （1）求b，c的值； （2）如图，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D，点N是平面坐标系内一点，直线BC上是否存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）b的值为﹣2，c的值为3； （2）直线BC上存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形；或或M（1，4）或． 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）求出平移后的解析式，求出D点坐标，根据菱形的性质，分2种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：； （2）直线BC上存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，或或M（1，4）或，理由如下： 由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3， 当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+3， 把B（﹣3，0）代入，得0＝﹣3k+3，解得：k＝1， ∴y＝x+3， ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线为y＝﹣（x+1+2）2+4＝﹣（x+3）2+4， 联立：， 解得：， ∴D（﹣2，3）， 设M（m，m+3）， ∵B（﹣3，0）， ∴BM2＝（m+3）2+（m+3）2＝2（m+3）2，DM2＝（m+2）2+m2，BD2＝（3﹣2）2+32＝10， 情况1：BD为菱形的边： ①当BM＝BD时，2（m+3）2＝10， 解得：或， ∴或； ②当DM＝BD时，（m+2）2+m2＝10， 解得：m＝﹣3（舍去）或m＝1， ∴M（1，4）； 情况2：BD为菱形的对角线： ③当BM＝DM时，（m+2）2+m2＝2（m+3）2，解得：， ∴， 综上所述，直线BC上存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形；或或M（1，4）或． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，抛物线 的平移，菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 21．[25-26九年级上•浦东新区期末]如图抛物线y1＝ax2﹣4x+c与直线y2＝kx+b都经过A（0，5），B（﹣5，0）两点，该抛物线的顶点为C． （1）求此抛物线和直线AB的表达式； （2）根据图象，直接写出满足y1＞y2时x的取值范围； （3）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为，直线AB的表达式为y2＝x+5； （2）﹣5＜x＜0； （3）在射线EB上存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点；M点的坐标为（﹣3，2）或（﹣6，﹣1）． 【分析】（1）将A（0，3），B（﹣3，0），分别代入抛物线和直线的表达式中求解，得出完整表达式即可； （2）根据图象即可求解； （3）分“点M在x轴的上方”和“点M在x轴的下方”两种情况讨论，根据题意画出符合题意的图形，设出点M的坐标，依据解析式得出点N的坐标，利用M，N的坐标表示出线段MN，求出CE的长度，利用平行四边形的对边相等得到CE＝MN，得出方程求解，得出M的坐标即可． 【解答】解：（1）∵抛物线经过A（0，5），B（﹣5，0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． ∵直线y2＝kx+b经过A（0，5），B（﹣5，0）两点， ∴， 解得：， ∴直线AB的表达式为y2＝x+5； （2）∵A（0，5），B（﹣5，0）， ∴根据图象可得，当y1＞y2时，﹣5＜x＜0； （3）在射线EB上存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点；理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点C的坐标为（﹣2，9）． ∵CE∥y轴，E在直线y2＝x+5上， ∴﹣2+5＝3，点E的坐标为（﹣2，3）． ∴CE＝9﹣3＝6． 情况一：如图1，若点M在x轴的上方，连接CN， ∴四边形CEMN为平行四边形，CE＝MN． 设M（a，a+5），则N（a，﹣a2﹣4a+5）． ∴MN＝（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）＝﹣a2﹣5a， ∴﹣a2﹣5a＝6， 解得：a＝﹣3或a＝﹣2（舍去）． ∴a+5＝﹣3+5＝2， ∴M（﹣3，2）； 情况二：如图2，若点M在x轴的下方，连接EN，CM，MN， ∴四边形CENM为平行四边形，CE＝MN． 设M（a，a+5），则N（a，﹣a2﹣4a+5）． ∴MN＝（a+5）﹣（﹣a2﹣4a+5）＝a2+5a， ∴a2+5a＝6， 解得：a＝﹣6或a＝1（舍去）． ∴a+5＝﹣6+5＝﹣1， ∴M（﹣6，﹣1）， 综上所述，在射线EB上存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点；M点的坐标为（﹣3，2）或（﹣6，﹣1）． 【点评】本题主要考查了二次函数的综合运用，求二次函数、一次函数的解析式，解一元二次方程，利用点的坐标的特征表示相应线段的长度、平行四边形的性质，分类讨论、画出图形、数形结合是解题的关键． 22．[24-25九年级上•上海虹口区月考]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA． （1）试求抛物线的解析式； （2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m，试求m的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）y（x+2）（x﹣4）或yx2+x+4或y（x﹣1）2； （2）m最大值为，此时P（2，4）； （3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）． 【分析】（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），求出点C坐标代入求出a即可； （2）由△CMD∽△FMP，可得m，根据关于m关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题； （3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．分两种情形分别求解即可：①当DP是矩形的边时，有两种情形；②当DP是对角线时． 【解答】解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点， 所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4）， ∵OC＝2OA，OA＝2， ∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a， ∴y（x+2）（x﹣4）或yx2+x+4或y（x﹣1）2． （2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F． ∵CD∥PE， ∴△CMD∽△FMP， ∴m， ∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）， ∵BC的解析式为y＝﹣x+4， 设P（n，n2+n+4），则F（n，﹣n+4）， ∴PFn2+n+4﹣（﹣n+4）（n﹣2）2+2， ∴m（n﹣2）2， ∵0， ∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）． （3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形． ①当DP是矩形的边时，有两种情形， a、如图2.1中，四边形DQNP是矩形时， 由（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k， ∴直线DP的解析式为yx+1，可得D（0，1），E（，0）， 由△DOE∽△QOD可得， ∴OD2＝OE•OQ， ∴1•OQ， ∴OQ， ∴Q（，0）． 根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N， ∴N（2，4﹣1），即N（，3） b、如图2.2中，四边形PDNQ是矩形时， ∵直线PD的解析式为yx+1，PQ⊥PD， ∴直线PQ的解析式为yx， ∴Q（8，0）， 根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N， ∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）． ②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13， ∵Q是直角顶点， ∴QD2+QP2＝PD2， ∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13， 整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在， 综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）． 【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行线的性质．相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 题型八．角存在型问题 核心方法：角度关系转化为边长比例，二倍角用外角定理转化为等腰三角形. 对应考法：等角问题计算角的正切值，列方程求解点坐标；二倍角问题利用外角转化为等腰三角形，对应边相等列方程，如∠MPA＝2∠PAC类问题；回归抛物线新定义，即点与原点对称点都在抛物线上，代入得一次项系数为0，再结合顶点条件求解析式. 23．[25-26九年级上•崇明区期中]如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设四边形COBP的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，过点P作PM⊥x轴于点M，连接AC，AP，AP与y轴交于点N．当∠MPA＝2∠PAC时，求满足条件的P点坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）S的最大值为； （3）点P的坐标为． 【分析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，即可求解； （2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点P（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜3），则PN＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3，ON＝m，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到∠NAC＝∠NCA，则AN＝CN，设N（0，n），由1+n2＝（n+3）2，求出，再由待定系数法求直线AP的解析式即可；分解直线AP的解析式和抛物线的解析式，求出点P的坐标即可． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，得： ， ∴ ∴y＝x2﹣2x﹣3； （2）过点P作PN⊥x轴于点N，如图所示， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴OC＝3， ∵P为第四象限内抛物线上一点，设点P（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜3）， ∴PN＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3，ON＝m， ∵B（3，0）， ∴OB＝3， ∴BN＝3﹣m， ∴S＝S梯形PNOC+S△PNB ， ∵， ∴当时，S有最大值，． （3）设AP交y轴于点N，如图， ∵ON⊥x轴，PM⊥x轴， ∴ON∥MP， ∴∠ANO＝∠APM， ∵∠MPA＝2∠PAC， ∴∠ANO＝2∠PAC， ∴∠NAC＝∠NCA， ∴AN＝CN， 设N（0，n），则AN＝CN＝n﹣（﹣3）＝n+3， ∴1+n2＝（n+3）2， ∴， ∴， 设直线AP的解析式为y＝kx+b，把代入得：， ∴ ∴，令，解得：， ∴点P的横坐标为， 把代入得：， ∴点P的坐标为． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，求一次函数解析式，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键． 24．[2025•崇明区模拟]在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线y＝ax2+bx+c上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点A′也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A叫做这条抛物线的回归点． （1）已知点M在抛物线y＝﹣x2+2x+4上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线y＝﹣x2+2x+4是否为回归抛物线，并说明理由； （2）已知点C为回归抛物线y＝﹣x2﹣2x+c的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D．联结CO并延长，交该抛物线于点E，点F是射线CD上一点，如果∠CFE＝∠DEC，求点F的坐标． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先求出点M坐标，M'的坐标，代入解析式可求解； （2）先求出点C坐标，C'的坐标，利用回归点的定义可求解； （3）通过证明△CEF∽△CDE，可得，可求CF＝10，即可求解． 【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+2x+4是回归抛物线， 理由如下：∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+4上， ∴y＝﹣4+4+4＝4， ∴点M（2，4）， ∴点M关于坐标原点O的对称点M'（﹣2，﹣4）， 当x＝﹣2时，y＝﹣4﹣4+4＝﹣4， ∴点M'在抛物线上， ∴抛物线y＝﹣x2+2x+4是回归抛物线； （2）∵点C为回归抛物线y＝﹣x2﹣2x+c的顶点， ∴点C（﹣1，c+1）， ∴点C关于原点O的对称点C'（1，﹣c﹣1）， ∵点C是这条抛物线的回归点， ∴﹣c﹣1＝﹣1﹣2+c， ∴c＝1， ∴抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+1； （3）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+1， ∴对称点为x＝﹣1， ∴点D（﹣1，0），点C（﹣1，2）， ∴直线CO解析式为y＝﹣2x， 联立方程组， ∴，， 点E（1，﹣2）， 在△CEF和△CDE中，∠CFE＝∠CED，∠FCE＝∠ECD， ∴△CEF∽△CDE， ∴， ∴CE2＝CD•CF， ∴（﹣1﹣1）2+（2+2）2＝2CF， ∴CF＝10， ∴F（﹣1，﹣8）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，理解新定义并运用是解题的关键． 25．[2025•普陀区三模]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式和对称轴； （2）联结AC、BC，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果△ABD的面积与△ABC的面积相等，求点D的坐标； （3）设点P（m，4）（m＞0），点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当∠APE＝90°，且时，求点E的坐标． 小普和同学们对这道题展开讨论，首先确定了答案的个数为 　1　 ，接着同学们各自解题，作出辅助线：过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G．你发现下列条件中，没用的是B （选择：A．抛物线解析式；B．点D坐标；C．△EHP∽△AGP；D．PH＝5），最终计算出正确答案；同学们对这道题展开反思，发现D条件可能是错误的，你赞同吗？请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，对称轴为直线x＝﹣1； （2）D（﹣2，3）； （3）1；B； 如图，过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G， 则∠AGP＝∠EHP＝90°， ∵PH∥x轴， ∴∠EPG＝90°， ∵∠APG+∠APH＝90°，∠APE＝∠EPH+∠APH＝90°， ∴∠APG＝∠EPH， ∵∠EHP＝∠AGP＝90°， ∴△EHP∽△AGP， ∴， ∵P（m，4）（m＞0）， ∴PG＝4， ∴， 解得：HP＝5， ∴m﹣（﹣1）＝5， ∴m＝4， ∴P（4，4）， ∴，G（4，0），H（﹣1，4）， ∴AG＝3， ∵△EHP∽△AGP， ∴， ∴， ∴， ∴，即； ∴答案的个数为1个，没用的是B；D的条件是正确的， 故答案为：1；B． 【分析】（1）将点A（1，0）代入解析式，由对称轴公式，即可求解； （2）设D（n，﹣n2﹣2n+3），由即可求解； （3）过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G，由相似三角形的判定方法得△EHP∽△PGA，由相似三角形的性质得，由，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得﹣12+b+3＝0， 解得：b＝﹣2， ∴y＝﹣x2﹣2x+3， ∴， ∴对称轴为直线x＝﹣1； （2）如图， 当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， ∴OC＝3， 设D（n，﹣n2﹣2n+3）， ∵S△ABD＝S△ABC， ∴， ∴yD＝3， ∴﹣n2﹣2n+3＝3， 解得：n1＝﹣2，n2＝0（舍去）， ∴D（﹣2，3）； （3）如图，过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G， 则∠AGP＝∠EHP＝90°， ∵PH∥x轴， ∴∠EPG＝90°， ∵∠APG+∠APH＝90°，∠APE＝∠EPH+∠APH＝90°， ∴∠APG＝∠EPH， ∵∠EHP＝∠AGP＝90°， ∴△EHP∽△AGP， ∴， ∵P（m，4）（m＞0）， ∴PG＝4， ∴， 解得：HP＝5， ∴m﹣（﹣1）＝5， ∴m＝4， ∴P（4，4）， ∴，G（4，0），H（﹣1，4）， ∴AG＝3， ∵△EHP∽△AGP， ∴， ∴， ∴， ∴，即； ∴答案的个数为1个，没用的是B；D的条件是正确的， 故答案为：1；B． 【点评】本题考查了待定系数法，二次函数与面积综合，二次函数与角度综合问题等，能熟练利用待定系数法及二次函数性质、相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 题型九．相似存在型问题 核心方法：分类讨论对应顶点，按对应边成比例列方程，验证角度匹配. 对应考法：指定公共顶点的相似，如△MNE与△OBC相似，公共角为直角，分两组对应边比例列方程；已知对应边的相似，按比例式直接列方程；解后验证对应角是否相等，舍去不符合的解. 26．[24-25九年级上•上海静安区期中]如图，在直角坐标平面xOy中，对称轴为直线x的抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）、点M（1，m），与y轴交于点B． （1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点D的坐标； （2）联结AB、AM、BM，求S△ABM的面积； （3）过M作x轴的垂线与AB交于点P，Q是直线MP上点，当△BMQ与△AMP相似时，求点Q的坐标． 【答案】（1）yx2x+2，抛物线顶点D的坐标为（，）； （2）S△ABM＝3； （3）Q的坐标为（1，）或（1，﹣1）． 【分析】（1）由抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x，得①，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0），有16a+4b+2＝0②，可解得a，b，yx2x+2，即得抛物线顶点D的坐标为（，）； （2）过M作MP∥y轴交AB于P，在yx2x+2中，得B（0，2），故直线AB解析式为yx+2，令x＝1得P（1，），在yx2x+2中，可得M（1，3），从而PM＝3，S△ABMPM×|xA﹣xB|＝3； （3）过B作BH⊥MP于H，由B（0，2），M（1，3），可得BH＝MH＝1，BM2＝2，即知∠BMQ＝45°，可求出AM2+BM2＝AB2，∠AMB＝90°，故∠AMP＝90°﹣∠BMQ＝45°＝∠BMQ，要使△BMQ与△AMP相似，只需或，设Q（1，t），则MQ＝3﹣t，即得或，分别解方程可得答案． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x， ∴①， ∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）， ∴16a+4b+2＝0②， 由①②可得a，b， ∴yx2x+2， 在yx2x+2中，令x得：y（）22， ∴抛物线顶点D的坐标为（，）； （2）过M作MP∥y轴交AB于P，如图： 在yx2x+2中，令x＝0得y＝2， ∴B（0，2）， ∵A（4，0）， ∴直线AB解析式为yx+2， 在yx2x+2中，令x＝1得y＝3， ∴M（1，3）， 在yx+2中，令x＝1得y， ∴P（1，）， ∴PM＝3， ∴S△ABMPM×|xA﹣xB|4＝3； （3）过B作BH⊥MP于H，如图： 由（2）知，B（0，2），M（1，3）， ∴BH＝MH＝1，BM2＝2， ∴△BMH是等腰直角三角形， ∴∠BMQ＝45°， ∵A（4，0）， ∴AB2＝20，AM2＝18， ∴AM2+BM2＝AB2， ∴∠AMB＝90°， ∴∠AMP＝90°﹣∠BMQ＝45°＝∠BMQ， 要使△BMQ与△AMP相似，只需或， 设Q（1，t），则MQ＝3﹣t， 当时，， 解得t， ∴Q（1，）， 当时，， 解得t＝﹣1， ∴Q（1，﹣1）， 综上所述，Q的坐标为（1，）或（1，﹣1）． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，相似三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 27．[24-25九年级上•上海宝山区期中]如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBCS△ABC时，求点P的坐标； （3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直接将A（﹣2，0）和点B（8，0）代入y＝ax2+bx+8（a≠0），解出a，b的值即可得出答案； （2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，设，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标； （3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN＝EM，MN＝NE，NE＝EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）过点A（﹣2，0）和点B（8，0）， ∴， 解得． ∴抛物线解析式为：； （2）当x＝0时，y＝8， ∴C（0，8）， ∴直线BC解析式为：y＝﹣x+8， ∵， ∴， 过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F， 设， ∴F（t，﹣t+8）， ∴， ∴， 即， ∴t1＝2，t2＝6， ∴P1（2，12），P2（6，8）； （3）存在，点M的坐标为：（3，8），或（3，11）． ∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°， ∴△OBC为等腰直角三角形， 抛物线的对称轴为， ∴点E的横坐标为3， 又∵点E在直线BC上， ∴点E的纵坐标为5， ∴E（3，5）， 设， ①当MN＝EM，∠EMN＝90°， △NME∽△COB，则， 解得或（舍去）， ∴此时点M的坐标为（3，8）， ②当ME＝EN，当∠MEN＝90°时， 则， 解得：或（舍去）， ∴此时点M的坐标为； ③当MN＝EN，∠MNE＝90°时， 此时△MNE与△COB相似， 此时的点M与点E关于①的结果（3，8）对称， 设M（3，m）， 则m﹣8＝8﹣5， 解得m＝11， ∴M（3，11）； 此时点M的坐标为（3，11）； 故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（3，8）或或（3，11）． 【点评】本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线． 28．如图，在平面直角坐标系xOy中抛物线与x轴的正半轴交于点B（3，0），交y于点C，顶点A（1，﹣4），直线AB与y轴交于点D． （1）求抛物线的表达式； （2）联结BC，如果点P在x轴上，且△PBC与△BCD相似，求出点P坐标． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），将点B的坐标代入求值即可； （2）设P（t，0）．根据函数解析式求得点C的坐标，由点A、B的坐标求得直线AB的解析式，从而得到点D的坐标，然后由点的坐标可以求得△BCD的边长，所以结合相似三角形的对应边成比例求得点P的坐标．注意：在△PBC中，只能∠CBP是钝角． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0）， 把B（3，0）代入，得a（3﹣1）2﹣4＝0， 解得a＝1． 故该抛物线解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4或y＝x2﹣2x﹣3． （2）如图，连接BC，PC， 设P（t，0）． 设直线AB的解析式为：y＝kx+b（k≠0）， ∵A（1，﹣4），B（3，0）， ∴， 解得． 则直线AB的解析式为：y＝2x﹣6． 易得D（0，﹣6）． 由抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3得到：C（0，﹣3）， ∴OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴∠BCD＝135°． 易求CD＝3，BC＝3，BD＝3，PC，BP＝|3﹣t|． 结合图形知，∠PCB≠135°． ①当△PBC∽△BCD时，，即， 解得t＝﹣3（舍去）或t＝9， 此时点P的坐标是（9，0）； ②当△PBC∽△DCB时，1，即1， 解得t＝0（舍去）或t＝6， 此时点P的坐标是（6，0）； 综上所述，点P的坐标是（6，0）或（9，0）． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 29．[2026•松江区二模]在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是直线AB上一点（不与点A重合），且AB＝BC，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点D在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形OBCD是梯形，求梯形OBCD的面积； （3）点P、Q都在第三象限，其中点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，如果△APQ与△AOB相似，且边PQ与边OB对应，求点Q的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）Q（﹣1，﹣1），． 【分析】（1）根据一次函数可知A，B的坐标，进而根据AB＝BC可得点B是线段AC的中点，然后根据待定系数法即可求得二次函数表达式； （2）根据OBCD是梯形，可知OD的直线解析式，进而联立方程可知点D的坐标，根据割补法即可求解； （3）①过点A作AG⊥GP，过点Q作QH⊥PH，进而可知△GAP∽△HPQ，根据相似三角形的性质即可求解；②过点A作AM⊥QM交对称轴于M，过点P作PN⊥QN交对称轴于N，证明△NPQ∽△MQA，根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）由题可知，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B， 则点A（﹣4，0），B（0，2）， ∵C是直线AB上一点，且AB＝BC， ∴点B是线段AC的中点， 设点C（m，n）， ∴点， ∴m＝4，n＝4， ∴点C（4，4）， 将点C，点A代入抛物线y＝ax2+bx﹣2，得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）如图1，四边形OBCD是梯形， ∴OD∥AC， ∵O为原点， ∴OD的直线解析式为， 联立得：， 解得：或， ∵点D在抛物线上，且位于第一象限， ∴， 过点D作DE⊥x轴，过点C作CF⊥x轴， ∴S梯形OBCD＝S梯形OBCF﹣S梯形CDEF﹣S△ODE（2+4）×4（4）×（4﹣2）24+2； （3）①如图2，过点A作AG⊥GP，过点Q作QH⊥PH， 当∠APQ＝90°，△APQ与△AOB相似，且边PQ与边OB对应， 则2， 抛物线， ∵∠AGP＝∠PHQ＝90°， ∴∠GAP+∠APG＝90°，∠APG+∠HPQ＝90°， ∴∠GAP＝∠HPQ， ∴△GAP∽△HPQ， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 设点Q（﹣1，h），点， ∴GA，QH，HP＝﹣1﹣k， ，PG＝k﹣（﹣4）， 则2，2， 解得：k＝8或k＝﹣2， ∵点P、Q都在第三象限， ∴k＝﹣2， ∴h＝﹣1， ∴Q（﹣1，﹣1）； ②由题可得，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 如图3，过点A作AM⊥QM交对称轴于M，过点P作PN⊥QN交对称轴于N， 当∠AQP＝90°，△APQ与△AOB相似，且边PQ与边OB对应， ∴， 抛物线的解析式为， ∵∠AMQ＝∠PNQ＝90°， ∴∠NPQ+∠PQN＝90°，∠MQA+∠PQN＝90°， ∴∠NPQ＝∠MQA， ∴△NPQ∽△MQA， ∴2， 则抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 设点Q（﹣1，h），， ∴AM＝3，MQ＝0﹣h， ，PN＝﹣1﹣k， ∴2，， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，Q（﹣1，﹣1），． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，点的坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 题型十．面积最值型问题 核心方法：铅垂高法表示面积，转化为二次函数配方求最值. 对应考法：三角形面积用水平底乘以铅垂高除以2，设动点横坐标为参数，写出面积函数配方求最大值；四边形面积拆分为两个三角形，分别表示后求和；面积比例问题，先算固定三角形面积，再表示出动点三角形面积，列方程求解点坐标. 30．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于点A、B两点（点A在B的左侧），与y轴交于点C，且过点（2，﹣3）． （1）求a的值和点A，点B的坐标； （2）如图2，点P（m，n）是抛物线第四象限上的点，且m≤2.5，直线BP交y轴于点D，连结AP，过点B作BE∥AP，交y轴于点E，连结PE，求△PDE面积的最大值． 【答案】（1）1，A（﹣1，0），B（3，0）； （2）15． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可，然后令y＝0，求出方程x2﹣2x﹣3＝0的解，即可求出A、B的坐标； （2）分别求出直线BP、直线AP的解析式，根据BE∥AP可得BE的解析式，可得出D、E的坐标，即可得线段DE的长度，然后根据三角形的面积公式求出S△PDE，最后根据一次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）把（2，﹣3）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a， 得22×a﹣2×2a﹣3a＝﹣3， 解得a＝1， ∴y＝x2﹣2x﹣3， 当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）； （2）∵B（3，0）， 设直线BP的解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线BP的解析式为y＝（m+1）x﹣3（m+1）， ∴D（0，﹣3m﹣3）， 同理得：直线AP的解析式为y＝（m﹣3）x+（m﹣3）， ∵BE∥AP， 设BE的解析式为y＝（m﹣3）x+b1， ∵B（3，0）， ∴0＝3（m﹣3）+b1，解得b1＝﹣3m+9， ∴BE的解析式为y＝（m﹣3）x﹣3m+9， ∴E（0，﹣3m+9）， ∴线段DE的长度为﹣3m+9﹣（﹣3m﹣3）＝12， ∴， ∴S△PDE随m的增大而增大， 又m≤2.5 当m＝2.5时，S△PDE有最大值为6×2.5＝15， 即△PDE面积的最大值为15． 【点评】本题是二次函数综合题．考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、三角形的面积等知识，掌握数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 31．如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c图象的交点．点A在y轴上，点B的横坐标4，P为二次函数图象上动点，且位于直线AB下方，连结PA、PB．（1）求b，c的值； （2）求△ABP面积最大值． 【答案】（1）c＝5，b＝﹣5； （2）最大值为8． 【分析】（1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，设P（m，m2﹣5m+5），作PE∥OA交AB于E，则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2，得出面积，即可解答． 【解答】解：（1）A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c图象的交点．点A在y轴上，点B的横坐标4， 当x＝0时，得：y＝﹣x+5＝5； 当x＝4时，得：y＝﹣x+5＝1， ∴A（0，5），B（4，1）， 将点A，点B的坐标分别代入二次函数y＝x2+bx+c得： ， 解得：； （2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5， 设P（m，m2﹣5m+5）， 作PE∥OA交AB于E，如图， 则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2， ∴， 当m＝2时，最大值为8． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是解答本题的关键． 题型十一．线段长最值型问题 核心方法：竖直线段用纵坐标差表示，斜线段用距离公式，转化为二次函数求最值. 对应考法：竖直线段最值，如PD∥y轴时，PD长度为两点纵坐标差，代入得二次函数配方求最大值；周长最短用对称法，作定点关于对称轴的对称点，连线与对称轴交点即为最小值点；翻折后线段最值，利用对称性转化为两点间距离求解. 32．[25-26九年级上•浦东新区期末]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），过点P作PD∥y轴，交抛物线于点D，求线段PD长度的最大值； （3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△MAC的周长最小时，求点M的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）； （3）M（1，2）． 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）求出直线BC的解析式，设P（m，﹣m+3）（0＜m＜3），则D（m，﹣m2+2m+3），表示出PD，再根据二次函数的性质即可求解． （3）根据题意抛物线对称轴为x＝1，A（﹣1，0）、B（3，0）关于对称轴为直线x＝1对称，则MA＝MB，得出△MAC的周长＝MA+MC+AC＝MB+MC+AC．当B、M、C三点共线时，MB+MC最小，此时△MAC的周长最小，直线BC与对称轴为直线x＝1的交点为M，把x＝1代入y＝﹣x+3即可求解． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C， 当x＝0时，得：y＝3， ∴C（0，3）， ∴设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B的坐标代入得： 0＝3k+3， 解得：k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3． 设P（m，﹣m+3）（0＜m＜3），则D（m，﹣m2+2m+3）， ∴， ∴当时，PD最大，最大值为； （3）∵抛物线y＝﹣x2+2x+3， ∴抛物线对称轴为直线， ∵A（﹣1，0）、B（3，0）关于对称轴直线x＝1对称， ∴MA＝MB， ∴△MAC的周长＝MA+MC+AC＝MB+MC+AC． 当B、M、C三点共线时，MB+MC最小，此时△MAC的周长最小，直线BC与对称轴为直线x＝1的交点为M， 把x＝1代入y＝﹣x+3得：y＝2， ∴M（1，2）． 【点评】此题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 33．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B、与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC． （1）求抛物线的函数表达式及点B的坐标； （2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3，B（﹣3，0）； （2）线段PQ长度的最大值为． 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3，令y＝0得x2+2x﹣3＝0，即可解得B（﹣3，0）； （2）求出直线BC解析式为y＝﹣x﹣3，设P（m，﹣m﹣3），其中﹣3＜m＜0，则Q（m，m2+2m﹣3），可得PQ＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m）2，根据二次函数性质可得答案． 【解答】解：（1）把A（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+2x+c得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3， 令y＝0得x2+2x﹣3＝0， 解得x＝1或x＝﹣3， ∴B（﹣3，0）； （2）设直线BC解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线BC解析式为y＝﹣x﹣3， 设P（m，﹣m﹣3），其中﹣3＜m＜0，则Q（m，m2+2m﹣3）， ∴PQ＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m）2， ∵﹣1＜0， ∴当m时，PQ取最大值， ∴线段PQ长度的最大值为． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，二次函数的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 34．如图所示，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C（0，5），直线y＝﹣x+1与该抛物线交于D，E两点． （1）求抛物线的解析式； （2）平移线段CD，若点C的对应点C'落在抛物线上，点D的对应点D'落在直线DE上，求出此时点C'的坐标． （3）如图（2），将DE上方的抛物线沿着直线DE翻折，点P是DE上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q，连接PQ交DE于点G． ①当四边形DPEQ是菱形时，请直接写出点P的坐标； ②在点P的运动过程中，求线段PQ的最大值． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+5． （2）C′（3，2）． （3）①点P的坐标为（，）； ②线段PQ的最大值为． 【分析】（1）利用抛物线的对称轴为直线x即可求得a＝﹣1，由抛物线与y轴交于点C（0，5），可得c＝5，即可求得答案； （2）联立直线DE与抛物线的解析式可求得D（﹣1，2），E（4，﹣3），连接CC′，由平移可知四边形CDD′C′是平行四边形，得出CC′∥DE，运用待定系数法可得直线CC′的解析式为y＝﹣x+5，再联立方程组即可求得答案； （3）根据对称点的连线与对称轴垂直可得：PQ⊥DE；①设直线DE分别交x轴、y轴于点L、F，PQ交y轴于点H，过点G作GK⊥y轴于点K，则F（0，1），L（1，0），可证得△FOL是等腰直角三角形，则∠GFH＝45°，再根据菱形的性质求得点G的坐标，进而推出△FGH是等腰直角三角形，求得点H的坐标，运用待定系数法求得直线GH的解析式，再联立方程组求解即可． ②设直线DE交y轴于点F，过点P作PJ∥y轴交DE于J，设P（t，﹣t2+2t+5），则J（t，﹣t+1），可得PJ＝﹣t2+3t+4，再证得△PJG是等腰直角三角形，表示出PQ的关系式，运用二次函数的性质即可求得答案． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C（0，5）， ∴1， 解得：a＝﹣1， 又∵抛物线y＝ax2+2x+c与y轴交于点C（0，5）， ∴c＝5， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+5． （2）联立得， 解得：，， ∴D（﹣1，2），E（4，﹣3）， 如图1，连接CC′， ∵平移线段CD，且点C的对应点C'落在抛物线上，点D的对应点D'落在直线DE上， ∴四边形CDD′C′是平行四边形， ∴CC′∥DE， 设直线CC′的解析式为y＝﹣x+d，将C（0，5）代入得d＝5， ∴直线CC′的解析式为y＝﹣x+5， 联立得， 解得：（舍去），， ∴C′（3，2）． （3）①如图2，将DE上方的抛物线沿着直线DE翻折，点P是DE上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q， 由（2）知，D（﹣1，2），E（4，﹣3），设P（m，﹣m2+2m+5）， ∵四边形DPEQ是菱形， ∴PD＝PE， ∴（m+1）2+（﹣m2+2m+5﹣2）2＝（m﹣4）2+（﹣m2+2m+5+3）2， 化简得，m2﹣m﹣7＝0， 解得：m或m（舍去）， ∴点P的坐标为（，）； ②如图3，设直线DE交y轴于点F，过点P作PJ∥y轴交DE于J， 设P（t，﹣t2+2t+5），则J（t，﹣t+1）， ∴PJ＝﹣t2+2t+5﹣（﹣t+1）＝﹣t2+3t+4， 由①知∠GFH＝45°， ∵PJ∥y轴， ∴∠PJG＝∠GFH＝45°， ∵P、Q关于直线DE对称， ∴PQ⊥DE，即∠PGJ＝90°，PQ＝2PG， ∴△PJG是等腰直角三角形， ∴PGPJ， ∴PQ＝2PGPJ（﹣t2+3t+4）（t）2， ∵0， ∴当t时，线段PQ的最大值为． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，平移、翻折变换的性质等，熟练掌握二次函数的图象和性质，理解对称点的连线与对称轴垂直等相关知识是解题关键． 拔高·压轴破难 题型十二．胡不归问题 核心方法：提取系数，将带系数线段转化为垂线段，三点共线时取最小值. 对应考法：型，提取转化为，利用45°角正弦转化为点到直线的距离；3AP+4DQ型，提取系数转化为胡不归模型，用三角函数转化为垂线段求最值. 35．已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，已知点E为第四象限抛物线上的点，连接AC、BE、AE、BC，且AE和BC相交于点F，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当S2﹣S1＝1时，求点E的坐标． （3）如图2，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是直线BC下方抛物线上的两动点，且x2＝x1+1，过点P作PM∥y轴，交BC于点M，过点Q作QN⊥BC，交BC于点N．求的最大值． 【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）点E的坐标为（1，）或（1，）； （3）有最大值，其最大值是4． 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）先确定BC的解析式为：y＝x﹣3，如图1，过点E作EH∥y轴，交BC于H，设点E的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），则点H的坐标为（t，t﹣3），表示EH的长，确定AE的解析式为：y＝（t﹣3）x+t﹣3，根据S2﹣S1＝1和三角形的面积公式即可解答； （3）如图2，过点Q作QK∥y轴交BC于K，表示线段PM，KQ的长，证明△NKQ是等腰直角三角形，则KQNQ，计算PMNQ配方后即可解答． 【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）和C（0，﹣3）代入抛物线y＝x2+mx+n中， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）， 设BC的解析式为：y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴BC的解析式为：y＝x﹣3， 如图1，过点E作EH∥y轴，交BC于H， 设点E的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），则点H的坐标为（t，t﹣3）， ∴EH＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t， 同理得AE的解析式为：y＝（t﹣3）x+t﹣3， ∴点G的坐标为（0，t﹣3）， ∴CG＝t﹣3﹣（﹣3）＝t， ∴x﹣3＝（t﹣3）x+t﹣3， ∴x， ∴点F的横坐标为， ∵S2﹣S1＝1， ∴•EH•（xB﹣xF）•CG•（xF﹣xA）＝1， ∴（﹣t2+3t）（3）t（1）＝1， ∴（t﹣1）2， ∴t1＝1，t2＝1， ∴点E的坐标为（1，）或（1，）； （3）如图2，过点Q作QK∥y轴交BC于K， ∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）是直线BC下方抛物线上的两动点，且x2＝x1+1， ∴点M（x1，x1﹣3），Q（x1+1，4），K（x1+1，x1﹣2）， ∴PM＝x1﹣3﹣（2x1﹣3）3x1，KQ＝x1﹣2﹣（4）x1+2， ∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°， ∴∠OCB＝45°， ∵KQ∥y轴， ∴∠NKQ＝∠OCB＝45°， ∵QN⊥BC， ∴∠BNQ＝90°， ∴△NKQ是等腰直角三角形， ∴KQNQ， ∴PMNQ ＝PM+KQ 3x1+（x1+2） ＝﹣2（x1﹣1）2+4， ∵﹣2＜0， ∴当x1＝1时，有最大值，其最大值是4． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数表示线段的长解决问题，属于中考压轴题． 36．如图（1），二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），直线l经过B，C两点． （1）求二次函数的表达式； （2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM＝MN时，求点P的横坐标； （3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段上BC的一个动点，连接AP；点Q为线段AP上一点，且AQ＝3PQ，连接DQ，求3AP+4DQ的最小值 　 　 （直接写出答案）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）由B（3，0），C（0，﹣3）得直线BC解析式为y＝x﹣3，由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得抛物线对称轴为直线x＝1，设P（m，m﹣3），可得PM＝|m2﹣3m|，MN＝|2﹣2m|，故|m2﹣3m|＝|2﹣2m|，即可解得点P的横坐标为2或﹣1或或； （3）过Q作QG∥BC交x轴于G，作A关于QG的对称点A'，连接A'Q，A'A，A'D，A'G，由C（0，﹣3），C，D关于x轴对称，得D（0，3），在y＝x2﹣2x﹣3中，可得A（﹣1，0），AB＝4，由AQ＝3PQ，QG∥BC，即可求得G（2，0），AG＝3，而OB＝OC，有∠OBC＝45°，因AQ＝A'Q，故DQ+AQ＝DQ+A'Q≥A'D，又3AP+4DQ＝4（AP+DQ）＝4（AQ+DQ）≥4A'D，根据∠QGA＝∠CBO＝45°，AA'⊥QG，可求得A'（2，﹣3），即得A'D2，从而可求得3AP+4DQ的最小值为8． 【解答】解：（1）把B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图： 由B（3，0），C（0，﹣3）得直线BC解析式为y＝x﹣3， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线对称轴为直线x＝1， 设P（m，m﹣3），则M（m，m2﹣2m﹣3），N（2﹣m，m2﹣2m﹣3）， ∴PM＝|m2﹣3m|，MN＝|2﹣2m|， ∵PM＝MN， ∴|m2﹣3m|＝|2﹣2m|， 解得m＝2或m＝﹣1或m或m； ∴点P的横坐标为2或﹣1或或； （3）过Q作QG∥BC交x轴于G，作A关于QG的对称点A'，连接A'Q，A'A，A'D，A'G，如图： ∵C（0，﹣3），C，D关于x轴对称， ∴D（0，3）， 在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0得x＝﹣1或x＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝4， ∵AQ＝3PQ，QG∥BC， ∴AG＝3BG， ∴AG＝3，BG＝1， ∴G（2，0）， ∴AG＝3， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝45°， ∵A关于QG的对称点为A'， ∴AQ＝A'Q， ∴DQ+AQ＝DQ+A'Q≥A'D， ∴3AP+4DQ＝4（AP+DQ）＝4（AQ+DQ）≥4A'D， ∵∠QGA＝∠CBO＝45°，AA'⊥QG， ∴∠A'AG＝45°， ∵AG＝A'G＝3， ∴∠AA'G＝45°， ∴∠AGA'＝90°， ∴A'（2，﹣3）， ∴A'D2， 又3AP+4DQ≥4A'D， ∴3AP+4DQ≥8， ∴3AP+4DQ的最小值为8． 故答案为：8． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及解绝对值方程，待定系数法求解析式，二次函数图象及性质，熟练掌握二次函数图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 37．如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C（0，4），与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q． （1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝　 　 ，A （　　 ，　　 ），B （　　 ，　　 ）； （2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），试求PQPN的最大值； （3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；﹣3，0；4，0； （2）； （3）（1，3）或（，）． 【分析】（1）将C（0，4）代入y＝ax2﹣ax﹣12a可得a的值，令y＝0即可解得A、B坐标； （2）由OB＝OC可得∠CBO＝45°，从而可得△PNQ是等腰直角三角形，PQPN，故求PQPN最大值只需求出PQ最大值，用m表示出PQ即可得答案； （3）用m表示出△ACQ三边长度，分论讨论即可． 【解答】解：（1）将C（0，4）代入y＝ax2﹣ax﹣12a得4＝﹣12a， ∴a， ∴yx2x+4， 令y＝0得0x2x+4，解得x1＝4，x2＝﹣3， ∴A（﹣3，0），B（4，0）， 故答案为：；﹣3，0；4，0； （2）∵yx2x+4， ∴令x＝0得y＝4， ∴C（0，4），OC＝4， 而B（4，0）有OB＝4， ∴OB＝OC，△BOC为等腰直角三角形， ∴∠CBO＝45°， ∵PM⊥x轴， ∴∠BQM＝45°＝∠PQC， ∵PN⊥BC， ∴△PQN是等腰直角三角形， ∴PQPN， ∴PQPN＝2PQ， ∴PQPN取最大值即是PQ取最大值， 由C（0，4），B（4，0）可得BC解析式为y＝﹣x+4， ∵M（m，0）， ∴P（m，m2m+4），Q（m，﹣m+4）， ∴PQ＝（m2m+4）﹣（﹣m+4）m2m（m﹣2）2， ∴m＝2时，PQ最大值为， ∴PQPN的最大值为． （3）∵A（﹣3，0），C（0，4），Q（m，﹣m+4）， ∴AC5，AQ，CQ， 以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况： ①AC＝AQ时，5，解得m＝0（此时Q与C重合，舍去）或m＝1， ∴Q（1，3）， ②AC＝CQ时，5，解得m或m（此时M不在线段OB上，舍去）， ∴Q（，）， ③AQ＝CQ时，，解得m＝12.5（此时M不在线段OB上，舍去）， 综上所述，以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，Q（1，3）或Q（，）． 【点评】本题考查二次函数综合运用，题目较难，解题的关键是表示相关点的坐标从而表示出线段长度，再根据已知列方程求解． 38．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3），E为线段AC上一动点（不与点A、C重合）． （1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式； （2）当△EBC是以BC为底的等腰三角形时，求点E的坐标； （3）如图2，P为第三象限内抛物线上一动点，连接PE并延长垂直x轴于点D，过点E作AC的垂线，与y轴交于点G，设点P的横坐标为n，求的最大值． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3； （2）E（，）； （3）最大值． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，设E（t，﹣t﹣3），根据BE＝CE，求出t的值即可求E点坐标； （3）过点G作GQ∥DP交于Q点，则PEEG＝PE+CG＝PE+EQ＝PQ，求出PQ的最大值即为所求． 【解答】解：（1）将B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c中， ∴， 解得， ∴y＝x2+2x﹣3； （2）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0， 解得x＝1或x＝﹣3， ∴A（﹣3，0）， 设直线AC的解析式为y＝kx﹣3， ∴﹣3k﹣3＝0， 解得k＝﹣1， ∴y＝﹣x﹣3， 设E（t，﹣t﹣3）， ∵BE＝CE， ∴2t2＝（t﹣1）2+（t+3）2， 解得t， ∴E（，）； （3）∵OA＝CO， ∴∠OCA＝45°， ∵EG⊥AC， ∴∠EGC＝45°， ∴CGEG， 过点G作GQ∥DP交于Q点， ∴CG＝EQ， ∵点P的横坐标为n， ∴E（n，﹣n﹣3），P（n，n2+2n﹣3）， 直线EG的解析式为y＝x﹣2n﹣3， ∴G（0，﹣2n﹣3）， ∴CG＝﹣2n， ∴Q（n，﹣3n﹣3）， ∴PEEG＝PE+CG＝PE+EQ＝PQ＝﹣（n）2， 当n时，PEEG有最大值． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 题型十三．动点问题 核心方法：设动点横坐标为参数，用共线、比例关系表示相关点坐标，分析图形性质. 对应考法：比例延长点，如OQ＝2PO，用中点坐标的2倍得Q点坐标；面积比不变性，分别表示出两部分面积，化简得比值为定值；单调性与范围问题，分析抛物线在区域内的增减性，结合临界点确定参数范围. 39．[2026•长宁区模拟]如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx﹣1经过点（2，﹣1）．点P在此抛物线上．其横坐标为m；连接PO并延长至点Q，使OQ＝2PO．当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． （3）当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标． （4）当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣1； （2）这个面积比为，理由见解答； （3）或； （4）m≤﹣1或m＜1或为m＜1.． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，利用相似三角形的性质求出面积之比即可； （3）QM经过最低点，即经过顶点，画出示意图，先求出顶点坐标，再利用相似三角形的判定和性质求出m的值，最后分两种情况求出点Q的坐标即可； （4）根据题意，分三种情况进行分析，画出图形找出临界点，利用相似三角形的性质列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【解答】解：（1）将（2，﹣1）代入y＝x2+bx﹣得，﹣1＝4+2b﹣1， 解得b＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1； （2）如图所示，面积比保持不变为，理由如下： 根据题意可得，∠M＝∠ODQ＝90°，∠Q＝∠Q， ∴△QOD∽△QPM， ∴， ∴， ∴， 则或 ∴这个面积比为； （3）如图所示，QM经过最低点，即经过顶点， 该抛物线的顶点横坐标为， 纵坐标为， 该抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）， ∵∠PNO＝∠ODQ＝90°，∠NPO＝∠DOQ， ∴△PON∽△OQD，且相似比为， 根据顶点纵坐标可得，OD＝2， 则，即， 解得， ①当时， 即为如图所示， 此时， 点Q在第四象限， 故； ②如图所示， 当时，此时点P在第一象限，点Q在第三象限，此时， 故； 综上，或； （4）①当PQ经过顶点T时，过点T作TE⊥x轴，交x轴于点E， 由∠PNO＝∠TEO＝90°，∠PON＝∠TOE得，△PON∽△TOE， ∴，即，解得m＝1（舍去），或m＝﹣1， ∴当点P向左运动时，满足题意， ∴m≤﹣1； ②如图所示，当点Q在抛物线上时，过点Q作QE⊥x，交x轴于点E， 同理，△PON∽△QOE，相似比仍为 此时，Q[﹣2m，﹣2（m2﹣2m﹣1）]，代入抛物线解析式得，﹣2（m2﹣2m﹣1）＝（﹣2m）2+4m﹣1， 解得（舍去），或， 此时，当P点向下一直移动，直至到x轴时，都符合题意， 当x2﹣2x﹣1＝0时， 解得，x2＝1， ∴当m＜1时，符合题意； ③图所示，当点Q在抛物线上时，点Q在第二象限，点P在第四象限， 思路同②，此时Q[﹣2m，﹣2（m2﹣2m﹣1）]，代入抛物线解析式得，﹣2（m2﹣2m﹣1）＝（﹣2m）2+4m﹣1， 解得（舍去），或， 此时，当P点向右一直移动，直至到x轴时，都符合题意， ∴当时，符合题意； m＞0时，同样符合题意，应为m＜1． 综上m≤﹣1或m＜1或为m＜1时符合题意． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，利用一元二次方程解决几何问题，抛物线中动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，并发展空间想象能力，分情况研究动点问题． 40．[24-25九年级上•上海徐汇区月考]已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A（2，0）和B（8，0），与y轴交于点C，O为坐标原点，且OB＝OC． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，联结OQ．当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点Q的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ，在直线QE上是否存在点F，使得△BEF与△ADC相似？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）yx2﹣5x+8； （2）Q（4，﹣4）； （3）F的坐标为（8，4）或（3.2，﹣5.6）． 【分析】（1）求出C（0，8），用待定系数法可得y＝x2﹣5x+8； （2）由B（8，0），C（0，8）可得直线BC解析式为y＝﹣x+8，设P（m，﹣m+8），由OC＝PQ，有m2+4m＝8，即可解得Q（2，﹣2）； （3）可得直线DQ的表达式为y＝﹣2x+4，知A在直线DQ上，AD＝2，AC＝2，过点Q作QH⊥x轴于点H，过E作EK⊥x轴于K，根据∠DQE＝2∠ODQ，可得直线AQ和直线QE关于直线QH对称，有∠DAO＝∠QAH＝∠QGH＝∠EGB，GH＝AH＝2，G（6，0），从而可得直线QE的表达式为y＝2x﹣12，点E的坐标为（10，8），即得△EKB∽△COA，∠EBK＝∠CAO，故∠DAC＝∠GEB，△BEF与△ADC相似，点E与点A是对应点，设点F的坐标为（t，2t﹣12），根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵B（8，0），OB＝OC， ∴C（0，8）， 把A（2，0），B（8，0），C（0，8）代入y＝ax2+bx+c得： ， 解得， ∴yx2﹣5x+8； （2）由B（8，0），C（0，8）可得直线BC解析式为y＝﹣x+8， 设P（m，﹣m+8），则Q（m，m2﹣5m+8）， ∴PQ＝﹣m+8﹣（m2﹣5m+8）m2+4m， ∵OC∥PQ，要使四边形OCPQ恰好是平行四边形，只需OC＝PQ， ∴m2+4m＝8， 解得m＝4， ∴Q（4，﹣4）； （3）在直线QE上存在点F，使得△BEF与△ADC相似，理由如下： ∵D是OC的中点，点C（0，8）， ∴点D（0，4）， 由（2）知Q（4，﹣4）， ∴直线DQ的表达式为y＝﹣2x+4， ∵A（2，0）， ∴A在直线DQ上，AD＝2，AC＝2， 过点Q作QH⊥x轴于点H，过E作EK⊥x轴于K，如图： ∵QH∥CO，故∠AQH＝∠ODQ， ∵∠DQE＝2∠ODQ， ∴∠HQA＝∠HQE， ∴直线AQ和直线QE关于直线QH对称， ∴∠DAO＝∠QAH＝∠QGH＝∠EGB，GH＝AH＝2， ∴G（6，0）， 由点Q（4，﹣4），G（6，0）可得直线QE的表达式为y＝2x﹣12， 联立， 解得或， ∴点E的坐标为（10，8）， ∵B（8，0）， ∴BK＝2，EK＝8，BE＝2， ∴， ∵∠EKB＝90°＝∠COA， ∴△EKB∽△COA， ∴∠EBK＝∠CAO， ∴∠CAO﹣∠DAO＝∠EBK﹣∠EGB，即∠DAC＝∠GEB， ∴△BEF与△ADC相似，点E与点A是对应点， 设点F的坐标为（t，2t﹣12），则EF， 当△BEF∽△CAD时，有， ∴， 解得t＝8或t＝12（在E右侧，舍去）， ∴F（8，4）； 当△BEF∽△DAC时，， ∴， 解得t＝16.8（舍去）或t＝3.2， ∴F（3.2，﹣5.6）， 综上所述，F的坐标为（8，4）或（3.2，﹣5.6）． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形，相似三角形等知识，解题的关键是证明∠DAC＝∠GEB，从而得到△BEF与△ADC相似，点E与点A是对应点． 41．[2024•长宁区二模]在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，6），其对称轴为直线x＝2． （1）求该抛物线的表达式； （2）点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴、线段BC交于点D、E． ①当CF＝DF时，求CD的长； ②联结AC，如果△ACF的面积是△CDE面积的3倍，求点F的坐标． 【答案】（1）yx2+2x+6； （2）①5；②点F（4，6）． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①当CF＝DF时，则点F在CD的中垂线上，则（6﹣m+6）m2+2m+6，即可求解； ②证明△EMD∽△FNA，得到DE：AF＝DM：AN＝1：3，则（m+2），即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：yx2+2x+6； （2）由抛物线的表达式得，点A（﹣2，0）、C（0，6）， 设点F（m，m2+2m+6）， 由点A（﹣2，0）、F的坐标得，直线AF的表达式为：y（m﹣6）（x+2）， 则点D（0，6﹣m）， ①当CF＝DF时，则点F在CD的中垂线上， 则（6﹣m+6）m2+2m+6， 解得：m＝0（舍去）或5， 则CD＝6﹣（6﹣m）＝m＝5； ②由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+6， 联立上式和AF的表达式得：﹣x+6（m﹣6）（x+2）， 解得：xDM， 由点F的坐标得，AN＝m+2， ∵△ACF的面积是△CDE面积的3倍， 则DE：AF＝1：3 过点D作DM∥x轴，作EM⊥DM，过点F作FN⊥x轴， 则△EMD∽△FNA， 则DE：AF＝DM：AN＝1：3， 则（m+2）， 解得：m＝﹣4（舍去）或4， 即点F（4，6）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、三角形相似、中垂线的性质等，有一定的综合性，难度适中． 题型十四．复杂函数探究 核心方法：拆解新定义，转化为坐标关系与方程，结合二次函数性质推导. 对应考法：派生点新定义，按定义写出派生点坐标，求派生直线解析式；交点与比例问题，联立抛物线与派生直线，用韦达定理求坐标比；角平分线与交点，利用角平分线斜率关系，结合韦达定理列方程求参数. 42．（2026•上海）已知抛物线y＝ax2+bx+c，其对称轴交x轴于点A，将点A向右平移1个单位得到点B，点C与点B的横坐标相同，且点C的纵坐标为2a，则C点是抛物线的“派生点”，直线AC称为该抛物线的“派生直线”． （1）若抛物线的解析式为y＝2x2﹣c（c为常数），求其派生直线的表达式； （2）已知抛物线的派生点为点C，抛物线与其派生直线y＝2x﹣6的公共点为P（1，m），点Q（7，n）为其派生直线上一点，求的值，并判断点Q是否在该抛物线上． 【答案】（1）y＝4x； （2）1．Q（7，8）在抛物线上． 【分析】（1）易得对称轴，可得点A、B、C坐标，即可得解； （2）易得P（1，﹣4），Q（7，8），设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则A（，0），B（1，0），C（1，2a），根据直线AC解析式为y＝2x﹣6，可得a＝1，b＝﹣6，将点P代入可得c＝1，进而求出C点坐标，可得CP、CQ，即可得解． 【解答】解：（1）∵抛物线的解析式为y＝2x2﹣c， ∴对称轴为直线x＝0，即y轴，a＝2， ∴A（0，0）， ∴B（1，0）， ∵2a＝4， ∴C（1，4）， 设直线AC的表达式为y＝kx+b， 将A（0，0），C（1，4）代入得， ， 解得， ∴直线AC的表达式为y＝4x，即其派生直线的表达式为y＝4x； （2）将点P、Q代入直线y＝2x﹣6得，m＝﹣4，n＝8， ∴P（1，﹣4），Q（7，8）， 设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， 则A（，0），B（1，0），C（1，2a）， 由题可知直线AC解析式为y＝2x﹣6， 则， 解得或（舍）， ∵点P在抛物线上， ∴a+b+c＝﹣4，即1﹣6+c＝﹣4， 解得c＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+1， 当x＝7时，y＝8， ∴Q（7，8）在抛物线上， ∵a＝1，b＝﹣6， ∴C（4，2）， ∴CP3，CQ3， ∴1． 【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数综合等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 43．[25-26九年级上•青浦区期末]如图，平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C，抛物线M1的顶点为点D． （1）求b的值和点D的坐标； （2）已知以点G为顶点的抛物线与抛物线M1相交． ①设抛物线M1、M2的交点为点E，在抛物线M2上，如果点E与点G之间的部分是上升的，求m的取值范围； ②联结AD、AG，过点G作AD的平行线，交抛物线M2于点N，如果AG平分∠NAD，求m的值． 【答案】（1）b＝2，D（1，4）； （2）①m＞2；②． 【分析】（1）待定系数法求出b的值，一般式化为顶点式，求出D点坐标； （2）①根据抛物线的解析式得到G（m，5﹣m），进而得到点G在直线y＝﹣x+5上移动，连接直线和抛物线M1的解析式，求出x的值，再根据点E与点G之间的部分是上升的，得到点G在点H的下方时满足题意，即可得出结果； ②根据两条抛物线的a值相同，得到M2可以看作是M1平移得到，根据GN∥AD，得到AD＝NG，结合AG平分∠NAD推出AN＝NG，进而推出四边形ADGN为菱形，得到AD＝DG，列出方程进行求解即可． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入得﹣（﹣1）2﹣b+3＝0， 解得：b＝2，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）； （2）①， ∴G（m，﹣m+5）， 令x＝m，y＝﹣m+5， 则y＝﹣x+5， ∴点G在直线y＝﹣x+5上运动， 令﹣x+5＝﹣x2+2x+3， 解得x1＝1，x2＝2， ∴直线y＝﹣x+5与抛物线M1的交点为（1，﹣1+5），（2，﹣2+5），即（1，4），（2，3）， 设点H（2，3）， ∵抛物线M1、M2的交点为点E，且在抛物线M2上，点E与点G之间的部分是上升的， ∴当点G在点H下方时，符合题意，即m＞2； ②，5﹣m， ∴M2可以看作是M1平移得到， ∵D为M1的顶点，G为M2的顶点， ∴G是由D点平移得到， ∵AD∥GN， ∴点N是由点A平移得到，∠DAG＝∠AGN， ∴AD＝NG， ∴四边形ADGN为平行四边形， ∴AD＝DG， ∵A（﹣1，0），D（1，4），G（m，﹣m+5）， ∴AD2＝（﹣1﹣1）2+42＝20，DG2＝（m﹣1）2+（﹣m+5﹣4）2， ∴20＝（m﹣1）2+（﹣m+5﹣4）2， 解得m． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，正确地求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 44．[24-25九年级上•上海宝山区月考]新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点”． （1）如图，若抛物线M经过（3，0）和点A（1，0）和（0，3），则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由． （2）若直线y＝kx+b交抛物线于A，B（4，3）两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围． （3）求直线y的最值点． 【答案】（1）M上不存在最值点；理由见解答过程； （2）1≤x≤4； （3）直线y的最值点为（，）． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线M解析式为y＝（x﹣3）（x﹣1）；可知当x＞3时，xy的值随x的增大而增大，故xy没有最大值，M上不存在最值点； （2）观察图象可得1≤x≤4； （3）求出xy＝x（x）（x）2，由二次函数性质可得答案． 【解答】解：（1）M上不存在最值点；理由如下： 由抛物线M经过（3，0）和点A（1，0），设抛物线M解析式为y＝a（x﹣3）（x﹣1）， 把（0，3）代入得：3＝3a， 解得a＝1， ∴抛物线M解析式为y＝（x﹣3）（x﹣1）； ∴xy＝x（x﹣3）（x﹣1）， 当x＞3时，xy的值随x的增大而增大， ∴xy没有最大值， ∴M上不存在最值点； （2）∵A（1，0），B（4，3）， ∴观察图象可得，直线不低于抛物线时，自变量x的取值范围是1≤x≤4； （3）∵y， ∴xy＝x（x）（x）2， ∵0， ∴当x时，xy取最大值， 此时y， ∴直线y的最值点为（，）． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，一次函数等知识，解题的关键是读懂题意，理解最值点的含义． 题型十五．二次函数的函数综合 核心方法：综合运用配方求最值、分段函数、区间分类讨论等方法. 对应考法：区间最值，按对称轴与区间的位置关系，分三类讨论最大值；翻折分段函数，按定义写各段解析式，交点问题分段联立求解；面积估算，用放缩法比较函数值范围，证明面积大小关系. 45．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝﹣x2+bx+1（b为常数）． （1）若二次函数图象经过点（2，﹣5），求该函数表达式与顶点坐标． （2）当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝﹣x2+bx+1有最大值3，求b的值． （3）若抛物线与题（1）中抛物线交于A，B两点（如图所示），且这两点的横坐标分别是﹣1.2与1，两条抛物线在A，B两点之间形成一个封闭曲线．求证：封间曲线所围成的图形面积大于2． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+1，顶点坐标为； （2）或b＝﹣3； （3）由题（1）知抛物线y＝﹣x2﹣x+1的顶点为，与y轴的交点为E（0，1），抛物线与y轴交点为F（0，﹣0.8），连接BE，BF，DE，DF，AD，AF，如图， ∴EF＝1.8， 将x＝﹣1.2与x＝1分别代入y＝﹣x2﹣x+1，得：，B（1，﹣1）， ∴四边形BEDF的面积， 设直线AF的解析式为y＝kx+b，将点，点F（0，﹣0.8）代入，得：y＝﹣1.3x﹣0.8， 过点D作DG∥y轴交AF于点G， ∴G（﹣0.5，﹣0.15），， ∴△ADF的面积， ∴四边形BEDF的面积+△ADF的面积＝1.35+0.84＝2.19＞2， ∴封闭曲线所围成的图形面积大于2． 【分析】（1）运用待定系数法，顶点的坐标公式即可求出； （2）抛物线的对称轴为直线，根据对称轴在区间﹣1≤x≤2的位置，分类讨论取得最大值的条件，求出b的值； （3）求出抛物线y的顶点坐标，与y轴的交点坐标E（0，1），抛物线y1与y轴交点坐标F（0，﹣0.8），以及A，B两点的坐标，再以y轴为底，点B与点D两点的横坐标之差为高，求出四边形BEDF的面积；求出过A、F两点的直线AF的解析式，过点D作DG∥y轴交AF于点G，以DG为底，求出△ADF的面积，四边形BEDF的面积与△ADF的面积之和大于2，证明成立． 【解答】（1）解：二次函数y＝﹣x2+bx+1（b为常数）的图象经过点（2，﹣5），代入得： ﹣4+2b+1＝﹣5， 解得：b＝﹣1， ∴该函数表达式为y＝﹣x2﹣x+1＝﹣（x）2， ∴抛物线顶点坐标为； （2）解：∵抛物线a＝﹣1＜0，开口向下，对称轴为直线， ①若，即b≥4，当x＝2时，y最大值＝3， 解得：b＝3． 这与b≥4矛盾，舍去； ②若，即，当时，y最大值＝3， 解得：，． ∵﹣2＜b＜4， ∴； ③若，即b≤﹣2，当x＝﹣1时，y最大值＝3， 解得：b＝﹣3． 综上所述，或b＝﹣3； （3）证明：由题（1）知抛物线y＝﹣x2﹣x+1的顶点为，与y轴的交点为E（0，1），抛物线与y轴交点为F（0，﹣0.8），连接BE，BF，DE，DF，AD，AF，如图， ∴EF＝1.8， 将x＝﹣1.2与x＝1分别代入y＝﹣x2﹣x+1，得：，B（1，﹣1）， ∴四边形BEDF的面积， 设直线AF的解析式为y＝kx+b，将点，点F（0，﹣0.8）代入，得：y＝﹣1.3x﹣0.8， 过点D作DG∥y轴交AF于点G， ∴G（﹣0.5，﹣0.15），， ∴△ADF的面积， ∴四边形BEDF的面积+△ADF的面积＝1.35+0.84＝2.19＞2， ∴封闭曲线所围成的图形面积大于2． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，四边形的面积，三角形的面积，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 46．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m≠0）． （1）求抛物线的顶点A的坐标；（要有过程） （2）若直线y＝x﹣2与抛物线的一个交点B的横坐标为4，过点P（a，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝x﹣2于点N． ①当a＝6时，求MN的长． ②当点M在点N的下方，且线段MN的长随OP的长的增大而减小时，求a的取值范围． 【答案】（1）（2，﹣2）； （2）①10；②． 【分析】（1）一般式化成顶点式，根据顶点式，直接写出顶点坐标即可； （2）①求出B点坐标，进而求出抛物线的解析式，求出M，N的坐标，进而求出MN的长即可；②根据点M在点N的下方，求出1＜a＜4，根据MN＝a﹣2﹣a2+4a﹣2＝﹣a2+5a﹣4，结合二次函数的增减性，进行求解即可． 【解答】解：（1）y＝mx2﹣4mx+4m﹣2 ＝m（x2﹣4x+4）﹣2 ＝m（x﹣2）2﹣2； ∴顶点A的坐标为（2，﹣2）； （2）①当x＝4时，y＝x﹣2＝4﹣2＝2， ∴B（4，2）， 把B（4，2）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2，得16m﹣16m+4m﹣2＝2，解得m＝1， ∴y＝x2﹣4x+2， 由题意，M（a，a2﹣4a+2），N（a，a﹣2）， 当a＝6时，M（6，14），N（6，4）， ∴MN＝14﹣4＝10； ②由①知：M（a，a2﹣4a+2），N（a，a﹣2），抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+2， 当x2﹣4x+2＝x﹣2时，解得x＝1或x＝4， ∵点M在点N的下方， ∴1＜a＜4， ∴OP＝a，MN＝a﹣2﹣a2+4a﹣2＝﹣a2+5a﹣4， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵线段MN的长随OP的长的增大而减小，即线段MN的长随a的增大而减小，1＜a＜4， ∴． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 47．在平面直角坐标系中，某个函数图象上任意两点的坐标分别为（﹣t，y1）和（t，y2）（其中t为常数且t＞0），将x＜﹣t的部分沿直线y＝y1翻折，翻折后的图象记为G1；将x＞t的部分沿直线y＝y2翻折，翻折后的图象记为G2，将G1和G2及原函数图象剩余的部分组成新的图象G． 例如：如图，当t＝1时，原函数y＝x，图象G所对应的函数关系式为y． （1）当t时，原函数为y＝2x+1，图象G与坐标轴的交点坐标是 　 　 ． （2）对应函数y＝x2﹣2nx+n2﹣3（n为常数）． ①n＝﹣1时，若图象G与直线y＝3恰好有两个交点，求t的取值范围． ②当t＝2时，若图象G在2n﹣2≤x≤2n﹣1上的函数值y随x的增大而增大，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）（，0），（0，1），（，0）； （2）①﹣1t＜1； ②n． 【分析】（1）根据题意分别求出翻转后部分的表达式及自变量的取值范围，求出图象G与坐标轴的交点坐标即可； （2）①将n＝﹣1代入函数中求出原函数的表达式，当y＝3时求出x的值，根据图象求出t的取值范围即可； ②画出草图，分四种情况讨论：当2n﹣1≤﹣2时，n，此时图象G在2n﹣2≤x≤2n﹣1上的函数值y随x的增大而增大；当2n﹣2≥2时，n≥2，此时图象G在2n﹣2≤x≤2n﹣1上的函数值y随x的增大而减小；当n＜0时，此时图象G在2n﹣2≤x≤2n﹣1上的函数值y随x的先增大再减小；当0≤n＜1时，此时图象G在2n﹣2≤x≤2n﹣1上的函数值y随x的增大而减小；当1≤n＜2时，此时图象G在2n﹣2≤x≤2n﹣1上的函数值y随x的增大既有减小有增大． 【解答】解：（1）当x时，y＝2， 当x时，点（2，5）关于直线y＝2的对称点为（2，﹣1）， 设翻折后的函数解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴翻折后的函数的表达式为y＝﹣2x+3， 当y＝0时，x， ∴函数与x轴的交点为（，0）， 同理沿x翻折后函数的表达式为y＝﹣2x+1， ∴函数G与y轴的交点为（0，1）， ∴图象G与坐标轴的交点坐标是（，0），（0，1），（，0）， 故答案为：（，0），（0，1），（，0）； （2）①当n＝﹣1时，y＝x2+2x﹣2＝（x+1）2﹣3， 当y＝3时，x2+2x﹣2＝3， 解得x＝﹣1±， ∴图象G与直线y＝3恰好有两个交点， ∴﹣1t＜1； ②∵y＝x2﹣2nx+n2﹣3＝（x﹣n）2﹣3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝n，顶点坐标为（n，﹣3）， 当2n﹣1≤﹣2时，n，此时图象G在2n﹣2≤x≤2n﹣1上的函数值y随x的增大而增大； 当2n﹣2≥2时，n≥2，此时图象G在2n﹣2≤x≤2n﹣1上的函数值y随x的增大而减小； 当n＜0时，此时图象G在2n﹣2≤x≤2n﹣1上的函数值y随x的先增大再减小； 当0≤n＜1时，此时图象G在2n﹣2≤x≤2n﹣1上的函数值y随x的增大而减小； 当1≤n＜2时，此时图象G在2n﹣2≤x≤2n﹣1上的函数值y随x的增大既有减小有增大； 综上所述：n，此时图象G在2n﹣2≤x≤2n﹣1上的函数值y随x的增大而增大． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，解题的关键再于分类讨论和数形结合，弄清定义是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数几何综合 基础·固本强基 题型一．含绝对值型二次函数综合问题 题型二．组合函数 题型三．变换型二次函数问题 题型四．二次函数几何综合之三角形（重点） 题型五．二次函数几何综合之四边形（重点） 提升·进阶突破 题型六．三角形存在型问题（重点） 题型七．四边形存在型问题（重点） 题型八．角存在型问题 题型九．相似存在型问题（难点） 题型十．面积最值型问题（难点） 题型十一．线段长最值型问题 拔高·压轴破难 题型十二．胡不归问题 题型十三．动点问题（重难点） 题型十四．复杂函数探究（重难点） 题型十五．二次函数的函数综合（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一．含绝对值型二次函数综合问题 核心方法：先求原抛物线的零点、顶点，将x轴下方部分沿x轴翻折得到W型图像，零点为分段临界点，顶点翻折后为图像尖点. 对应考法：求对称轴、顶点与区间值域，直接配方得顶点式，结合区间单调性求y的范围；直线与图像恰有3个交点，临界为直线过零点或过翻折后的顶点，分别代入求解b值，如直线平移后恰有3个交点，均为直线过中间零点或过翻折顶点；解绝对值不等式，结合图像交点横坐标直接写出解集. 1．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴是直线x＝1． （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）当﹣2＜x≤3时，y的取值范围是　 　 ． （3）若，请画出y1的函数图象，记作W．当直线y＝x+b与W恰有3个交点时，则b的值为　 　 ． 2．定义：在平面直角坐标系中，y是自变量x的函数，下面构建一个新函数：当x＜0时，y′＝y；当x≥0时，y′＝﹣y，即．将变化后的函数y′称为原函数y的分叉函数．例如：二次函数y＝﹣x2+1的分叉函数为． （1）若点（n，﹣2）在反比例函数的分叉函数的图象上，求n的值． （2）已知二次函数和一次函数y2＝﹣x+3，点P在y1的分叉函数y′1的图象上，过点P作PQ∥y轴，与y2的分叉函数y′2的图象交于点Q，设点P的横坐标为t，PQ的长为y，当t＜3时，求y关于t的函数解析式． （3）当t≤x≤t+1时，二次函数y＝﹣x2﹣1的分叉函数y′的最大值为m，最小值为n，是否存在m+n＝10的情况？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 3．某数学兴趣小组在探究函数y＝|x2﹣4x+3|的图象和性质时，经历以下几个学习过程： （1）列表（完成以下表格）： x ⋯ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 ⋯ ⋯ 15 8 0 0 3 15 ⋯ y＝|x2﹣4x+3| ⋯ 15 8 0 0 3 15 ⋯ （2）描点并画出函数y＝|x2﹣4x+3|的图象； （3）根据图象完成以下问题： （i）数学小组探究发现直线y＝8与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象交于点E、F，E（﹣1，8），F（5，8），则不等式|x2﹣4x+3|＞8的解集是　 ； （ii）设函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与x轴交于A、B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C． ①求直线BC的解析式； ②探究应用：将直线BC沿y轴平移m个单位后与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点，求此时m的值． 题型二．组合函数 核心方法：按定义域规则写成分段函数，x=0为分界点，分别代入对应段解析式列方程. 对应考法：点在分叉/关联函数图像上，分x<0和x≥0两种情况代入对应解析式，解方程求坐标并验根；分段区间内的线段长度，用纵坐标差表示长度，按分界点分区间写函数解析式；新定义“互反点”即横纵坐标互为相反数，转化为点在函数图像上，代入列方程求解. 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，抛物线与y1交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的横坐标为﹣2，点C的纵坐标为﹣1，直线BC与y轴交于点E，DE＝3AE． （1）求直线BC和抛物线y2的函数解析式； （2）点P是点B，C之间的y2图象上的一点，若△BCP是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标； （3）y1，y2在直线BC下方的图象（含B，C两点）组成新图象y3，点F，G，M，N的坐标分别为（m，0），（m+4，0），（m+4，﹣2），（m，﹣2）．当四边形FGMN的边与y3的图象有四个公共点时，直接写出m的取值范围． 5．在平面直角坐标系中，y是自变量x的函数，爱好创新的小鸣构建一个新函数：当x＜0时，y′＝y，当x≥0时，y′＝﹣y，即，将变换后的函数y′称为原函数y的关联函数．例如：一次函数y＝﹣x+1的关联函数为． （1）直接写出二次函数y＝x2﹣2的关联函数y′的函数表达式； （2）若点P（m，﹣6）在一次函数y＝3x+4的关联函数y′的图象上，求点P的坐标； （3）对于二次函数y＝x2+4x﹣5，是否存在实数n满足当﹣2≤x≤n时，该二次函数的关联函数y′的取值范围是﹣2n﹣4≤y′≤5，若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由； （4）二次函数l的表达式为y＝ax2﹣6ax+8a（a＜0），点M、N的坐标分别为，，连接MN，若线段MN与l的关联函数y′的图象只有一个公共点，直接写出a的值或取值范围　　 ． 6．我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），则P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”． （1）已知点（0，0）和（﹣2，2）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的“互反点”，请求出这个二次函数的解析式； （2）如图1，设函数，y＝x+n（n＜0）的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为5时，求n的值； （3）如图2，Q（m，0）为x轴上的动点，过Q作直线l⊥x轴，若函数y＝﹣x2+2（x≥m）的图象记为W1，将W1沿直线l翻折后的图象记为W2，当W1和W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，求m的取值范围． 题型三．变换型二次函数问题 核心方法：平移按“左加右减、上加下减”改写顶点式；轴对称对应坐标变号；翻折利用对称点连线被对称轴垂直平分. 对应考法：求对称抛物线，直接将y换为-y，整理得对称抛物线解析式；点关于直线对称，利用对称点连线与对称轴垂直、中点在对称轴上，列方程求对称点坐标；平移后弦长定值问题，联立平移后抛物线与直线方程，用韦达定理可证弦长为定值；特征数平移，按平移规则改写函数后对应特征数即可. 7．[24-25九年级上•上海闵行区期中]已知，如图，抛物线yx2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝x﹣2经过A、C两点． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）P为抛物线上一点，若点P关于直线AC的对称点Q落在y轴上，求P点坐标； （3）现将抛物线平移，保持顶点在直线y＝x，若平移后的抛物线与直线y＝x﹣2交于M、N两点． ①求：MN的长度； ②结合（2）的条件，直接写出△QMN的周长的最小值 　 　 ． 8．[24-25九年级上•上海浦东新区期中]新定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”． （1）求：抛物线y的“同轴对称抛物线”． （2）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点D、E． ①当四边形BDEC为正方形时，求：a的值． ②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图象与一次函数y＝x﹣1相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图象向上平移得到新的抛物线L′与一次函数y＝x﹣1相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足PM+QN＝MN，试在抛物线L′上有且仅有三个点R1、R2、R3，使得△MNR1、△MNR2、△MNR3的面积均为定值S，请直接写出：R1、R2、R3的坐标． 9．[25-26九年级上•上海嘉定区期中]如图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交直线BC于点F，交抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度； （3）如果将△ECF沿直线CE翻折，点F恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标． 10．[虹口区期中]我们定义【a，b，c】为函数y＝ax2+bx+c的“特征数”，如：函数y＝2x2﹣3x+5的“特征数”是【2，﹣3，5】，函数y＝x+2的“特征数”是【0，1，2】． （1）若一个函数的“特征数”是【1，﹣4，1】，将此函数图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是 　 　 ； （2）将“特征数”是【0，，﹣1】的图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是 　 　 ； （3）在（2）中，平移前后的两个函数图象分别与y轴交于A、B两点，与直线分别交于D、C两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、B、C、D四点为顶点的四边形的面积； （4）若（3）中的四边形与“特征数”是【1，﹣2b，】的函数图象有交点，求满足条件的实数b的取值范围． 题型四．二次函数几何综合之三角形 核心方法：坐标法表示各点坐标，用斜率、距离公式转化三角形的边、角条件. 对应考法：面积相等的三角形，同底等高即点纵坐标与已知点纵坐标相等，代入抛物线求坐标；直角三角形分直角顶点在三个点三种情况，用斜率乘积为-1或勾股定理列方程；角度相等转化为正切值相等，构造直角三角形对边比邻边相等，列方程求解，如∠EDC＝∠BPE类问题，计算两角正切列方程. 11．[2024•奉贤区二模]如图，在直角坐标平面xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A、B，与y轴正半轴交于点C，顶点为P，点A坐标为（﹣1，0）． （1）写出这条抛物线的开口方向，并求顶点P的坐标（用a的代数式表示）； （2）将抛物线向下平移后经过点（0，1），顶点P平移至P′．如果锐角∠CP′P的正切值为，求a的值； （3）设抛物线对称轴与x轴交于点D，射线PC与x轴交于点E，如果∠EDC＝∠BPE，求此抛物线的表达式． 12．[奉贤区二模]如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式和对称轴； （2）联结AC、BC，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果△ABD的面积与△ABC的面积相等，求点D的坐标； （3）设点P（m，4）（m＞0），点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当∠APE＝90°，且时，求点E的坐标． 13．[松江区二模]如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝2x+8与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B． （1）求抛物线的表达式； （2）P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M、N． ①当MNAB时，求点P的坐标； ②联结OP交AB于点C，当点C是MN的中点时，求的值． 题型五．二次函数几何综合之四边形 核心方法：特殊四边形用坐标性质列方程，平行四边形对角线中点重合，菱形加邻边相等，矩形加邻边垂直. 对应考法：等腰三角形为基础的平行四边形，用中点公式列方程组；顶点在平行四边形内，转化为坐标的不等式，结合边界临界值求范围；矩形存在性，在平行四边形基础上，加邻边垂直条件，或用直径所对圆周角为直角判定. 14．[徐汇区二模]如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0），点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式； （2）过P作y轴的平行线交抛物线于M，当△PBM是MP为腰的等腰三角形时，求点P的坐标； （3）若顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），求m的取值范围． 15．[杨浦区月考]已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与C、D不重合），且BE⊥EF． （1）如图1，如果BE＝EF，求证：CA平分∠BCD； （2）设AB＝4，BC＝2，△EFC为等腰三角形．如图2，以B点为坐标原点，以BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系． ①求点E的坐标； ②如果二次函数的图象过点B、点E和点F，求这个二次函数的解析式． 16．[长宁区期中]如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝12． （1）求抛物线的解析式以及点D的坐标． （2）联结BD，F为抛物线上一点，当∠FAB＝∠ACO时，求点F的坐标． （3）平行于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQMN时，求菱形对角线MN的长． 提升·进阶突破 题型六．三角形存在型问题 核心方法：分类讨论顶点身份，按边相等或直角顶点分三类，用两点距离公式列方程. 对应考法：直角三角形存在性，分别以三个顶点为直角顶点，用斜率积为-1列方程，解后验证三点不共线，如△BCM为直角三角形，分M、B、C为直角三类；等腰直角三角形同时满足直角与等边，结合腰相等与垂直条件列方程；以指定边为直角边的直角三角形，限定直角顶点减少分类，直接用垂直条件列方程. 17．[24-25九年级上•上海崇明区月考]已知：抛物线y＝ax2﹣4ax+4a开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，OB＝2OA． （1）求点A、点B的坐标． （2）在抛物线上是否存在一点C，使△ABC是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 18．[24-25九年级上•上海闵行区期中]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC． （1）求线段AC的长； （2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标； （3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标． 19．[2022•虹口区二模]如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，联结BC交抛物线的对称轴l于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）联结CD、BD，点P是射线DE上的一点，如果S△PDB＝S△CDB，求点P的坐标； （3）点M是线段BE上的一点，点N是对称轴l右侧抛物线上的一点，如果△EMN是以EM为腰的等腰直角三角形，求点M的坐标． 题型七．四边形存在型问题 核心方法：按对角线组合分类，利用对角线中点重合列方程组，叠加特殊四边形条件. 对应考法：菱形存在性，先按对角线分三类，用中点公式列方程，再加邻边相等验证；已知三个点求第四个顶点的平行四边形，用中点坐标公式直接计算；矩形存在性，在平行四边形基础上，验证对角线相等或邻边垂直. 20．[25-26九年级上•闵行区月考]如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C． （1）求b，c的值； （2）如图，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D，点N是平面坐标系内一点，直线BC上是否存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由． 21．[25-26九年级上•浦东新区期末]如图抛物线y1＝ax2﹣4x+c与直线y2＝kx+b都经过A（0，5），B（﹣5，0）两点，该抛物线的顶点为C． （1）求此抛物线和直线AB的表达式； （2）根据图象，直接写出满足y1＞y2时x的取值范围； （3）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 22．[24-25九年级上•上海虹口区月考]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA． （1）试求抛物线的解析式； （2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m，试求m的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型八．角存在型问题 核心方法：角度关系转化为边长比例，二倍角用外角定理转化为等腰三角形. 对应考法：等角问题计算角的正切值，列方程求解点坐标；二倍角问题利用外角转化为等腰三角形，对应边相等列方程，如∠MPA＝2∠PAC类问题；回归抛物线新定义，即点与原点对称点都在抛物线上，代入得一次项系数为0，再结合顶点条件求解析式. 23．[25-26九年级上•崇明区期中]如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设四边形COBP的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，过点P作PM⊥x轴于点M，连接AC，AP，AP与y轴交于点N．当∠MPA＝2∠PAC时，求满足条件的P点坐标． 24．[2025•崇明区模拟]在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线y＝ax2+bx+c上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点A′也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A叫做这条抛物线的回归点． （1）已知点M在抛物线y＝﹣x2+2x+4上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线y＝﹣x2+2x+4是否为回归抛物线，并说明理由； （2）已知点C为回归抛物线y＝﹣x2﹣2x+c的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D．联结CO并延长，交该抛物线于点E，点F是射线CD上一点，如果∠CFE＝∠DEC，求点F的坐标． 25．[2025•普陀区三模]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式和对称轴； （2）联结AC、BC，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果△ABD的面积与△ABC的面积相等，求点D的坐标； （3）设点P（m，4）（m＞0），点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当∠APE＝90°，且时，求点E的坐标． 小普和同学们对这道题展开讨论，首先确定了答案的个数为 　1　 ，接着同学们各自解题，作出辅助线：过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G．你发现下列条件中，没用的是B （选择：A．抛物线解析式；B．点D坐标；C．△EHP∽△AGP；D．PH＝5），最终计算出正确答案；同学们对这道题展开反思，发现D条件可能是错误的，你赞同吗？请说明理由． 题型九．相似存在型问题 核心方法：分类讨论对应顶点，按对应边成比例列方程，验证角度匹配. 对应考法：指定公共顶点的相似，如△MNE与△OBC相似，公共角为直角，分两组对应边比例列方程；已知对应边的相似，按比例式直接列方程；解后验证对应角是否相等，舍去不符合的解. 26．[24-25九年级上•上海静安区期中]如图，在直角坐标平面xOy中，对称轴为直线x的抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）、点M（1，m），与y轴交于点B． （1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点D的坐标； （2）联结AB、AM、BM，求S△ABM的面积； （3）过M作x轴的垂线与AB交于点P，Q是直线MP上点，当△BMQ与△AMP相似时，求点Q的坐标． 27．[24-25九年级上•上海宝山区期中]如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBCS△ABC时，求点P的坐标； （3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 28．如图，在平面直角坐标系xOy中抛物线与x轴的正半轴交于点B（3，0），交y于点C，顶点A（1，﹣4），直线AB与y轴交于点D． （1）求抛物线的表达式； （2）联结BC，如果点P在x轴上，且△PBC与△BCD相似，求出点P坐标． 29．[2026•松江区二模]在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是直线AB上一点（不与点A重合），且AB＝BC，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点D在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形OBCD是梯形，求梯形OBCD的面积； （3）点P、Q都在第三象限，其中点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，如果△APQ与△AOB相似，且边PQ与边OB对应，求点Q的坐标． 题型十．面积最值型问题 核心方法：铅垂高法表示面积，转化为二次函数配方求最值. 对应考法：三角形面积用水平底乘以铅垂高除以2，设动点横坐标为参数，写出面积函数配方求最大值；四边形面积拆分为两个三角形，分别表示后求和；面积比例问题，先算固定三角形面积，再表示出动点三角形面积，列方程求解点坐标. 30．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于点A、B两点（点A在B的左侧），与y轴交于点C，且过点（2，﹣3）． （1）求a的值和点A，点B的坐标； （2）如图2，点P（m，n）是抛物线第四象限上的点，且m≤2.5，直线BP交y轴于点D，连结AP，过点B作BE∥AP，交y轴于点E，连结PE，求△PDE面积的最大值． 31．如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c图象的交点．点A在y轴上，点B的横坐标4，P为二次函数图象上动点，且位于直线AB下方，连结PA、PB．（1）求b，c的值； （2）求△ABP面积最大值． 题型十一．线段长最值型问题 核心方法：竖直线段用纵坐标差表示，斜线段用距离公式，转化为二次函数求最值. 对应考法：竖直线段最值，如PD∥y轴时，PD长度为两点纵坐标差，代入得二次函数配方求最大值；周长最短用对称法，作定点关于对称轴的对称点，连线与对称轴交点即为最小值点；翻折后线段最值，利用对称性转化为两点间距离求解. 32．[25-26九年级上•浦东新区期末]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），过点P作PD∥y轴，交抛物线于点D，求线段PD长度的最大值； （3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△MAC的周长最小时，求点M的坐标． 33．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B、与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC． （1）求抛物线的函数表达式及点B的坐标； （2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值． 34．如图所示，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C（0，5），直线y＝﹣x+1与该抛物线交于D，E两点． （1）求抛物线的解析式； （2）平移线段CD，若点C的对应点C'落在抛物线上，点D的对应点D'落在直线DE上，求出此时点C'的坐标． （3）如图（2），将DE上方的抛物线沿着直线DE翻折，点P是DE上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q，连接PQ交DE于点G． ①当四边形DPEQ是菱形时，请直接写出点P的坐标； ②在点P的运动过程中，求线段PQ的最大值． 拔高·压轴破难 题型十二．胡不归问题 核心方法：提取系数，将带系数线段转化为垂线段，三点共线时取最小值. 对应考法：型，提取转化为，利用45°角正弦转化为点到直线的距离；3AP+4DQ型，提取系数转化为胡不归模型，用三角函数转化为垂线段求最值. 35．已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，已知点E为第四象限抛物线上的点，连接AC、BE、AE、BC，且AE和BC相交于点F，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当S2﹣S1＝1时，求点E的坐标． （3）如图2，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是直线BC下方抛物线上的两动点，且x2＝x1+1，过点P作PM∥y轴，交BC于点M，过点Q作QN⊥BC，交BC于点N．求的最大值． 36．如图（1），二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），直线l经过B，C两点． （1）求二次函数的表达式； （2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM＝MN时，求点P的横坐标； （3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段上BC的一个动点，连接AP；点Q为线段AP上一点，且AQ＝3PQ，连接DQ，求3AP+4DQ的最小值 　 　 （直接写出答案）． 37．如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C（0，4），与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q． （1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝　 　 ，A （　　 ，　　 ），B （　　 ，　　 ）； （2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），试求PQPN的最大值； （3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 38．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3），E为线段AC上一动点（不与点A、C重合）． （1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式； （2）当△EBC是以BC为底的等腰三角形时，求点E的坐标； （3）如图2，P为第三象限内抛物线上一动点，连接PE并延长垂直x轴于点D，过点E作AC的垂线，与y轴交于点G，设点P的横坐标为n，求的最大值． 题型十三．动点问题 核心方法：设动点横坐标为参数，用共线、比例关系表示相关点坐标，分析图形性质. 对应考法：比例延长点，如OQ＝2PO，用中点坐标的2倍得Q点坐标；面积比不变性，分别表示出两部分面积，化简得比值为定值；单调性与范围问题，分析抛物线在区域内的增减性，结合临界点确定参数范围. 39．[2026•长宁区模拟]如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx﹣1经过点（2，﹣1）．点P在此抛物线上．其横坐标为m；连接PO并延长至点Q，使OQ＝2PO．当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． （3）当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标． （4）当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 40．[24-25九年级上•上海徐汇区月考]已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A（2，0）和B（8，0），与y轴交于点C，O为坐标原点，且OB＝OC． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，联结OQ．当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点Q的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ，在直线QE上是否存在点F，使得△BEF与△ADC相似？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 41．[2024•长宁区二模]在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，6），其对称轴为直线x＝2． （1）求该抛物线的表达式； （2）点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴、线段BC交于点D、E． ①当CF＝DF时，求CD的长； ②联结AC，如果△ACF的面积是△CDE面积的3倍，求点F的坐标． 题型十四．复杂函数探究 核心方法：拆解新定义，转化为坐标关系与方程，结合二次函数性质推导. 对应考法：派生点新定义，按定义写出派生点坐标，求派生直线解析式；交点与比例问题，联立抛物线与派生直线，用韦达定理求坐标比；角平分线与交点，利用角平分线斜率关系，结合韦达定理列方程求参数. 42．（2026•上海）已知抛物线y＝ax2+bx+c，其对称轴交x轴于点A，将点A向右平移1个单位得到点B，点C与点B的横坐标相同，且点C的纵坐标为2a，则C点是抛物线的“派生点”，直线AC称为该抛物线的“派生直线”． （1）若抛物线的解析式为y＝2x2﹣c（c为常数），求其派生直线的表达式； （2）已知抛物线的派生点为点C，抛物线与其派生直线y＝2x﹣6的公共点为P（1，m），点Q（7，n）为其派生直线上一点，求的值，并判断点Q是否在该抛物线上． 43．[25-26九年级上•青浦区期末]如图，平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C，抛物线M1的顶点为点D． （1）求b的值和点D的坐标； （2）已知以点G为顶点的抛物线与抛物线M1相交． ①设抛物线M1、M2的交点为点E，在抛物线M2上，如果点E与点G之间的部分是上升的，求m的取值范围； ②联结AD、AG，过点G作AD的平行线，交抛物线M2于点N，如果AG平分∠NAD，求m的值． 44．[24-25九年级上•上海宝山区月考]新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点”． （1）如图，若抛物线M经过（3，0）和点A（1，0）和（0，3），则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由． （2）若直线y＝kx+b交抛物线于A，B（4，3）两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围． （3）求直线y的最值点． 题型十五．二次函数的函数综合 核心方法：综合运用配方求最值、分段函数、区间分类讨论等方法. 对应考法：区间最值，按对称轴与区间的位置关系，分三类讨论最大值；翻折分段函数，按定义写各段解析式，交点问题分段联立求解；面积估算，用放缩法比较函数值范围，证明面积大小关系. 45．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝﹣x2+bx+1（b为常数）． （1）若二次函数图象经过点（2，﹣5），求该函数表达式与顶点坐标． （2）当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝﹣x2+bx+1有最大值3，求b的值． （3）若抛物线与题（1）中抛物线交于A，B两点（如图所示），且这两点的横坐标分别是﹣1.2与1，两条抛物线在A，B两点之间形成一个封闭曲线．求证：封间曲线所围成的图形面积大于2． 46．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m≠0）． （1）求抛物线的顶点A的坐标；（要有过程） （2）若直线y＝x﹣2与抛物线的一个交点B的横坐标为4，过点P（a，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝x﹣2于点N． ①当a＝6时，求MN的长． ②当点M在点N的下方，且线段MN的长随OP的长的增大而减小时，求a的取值范围． 47．在平面直角坐标系中，某个函数图象上任意两点的坐标分别为（﹣t，y1）和（t，y2）（其中t为常数且t＞0），将x＜﹣t的部分沿直线y＝y1翻折，翻折后的图象记为G1；将x＞t的部分沿直线y＝y2翻折，翻折后的图象记为G2，将G1和G2及原函数图象剩余的部分组成新的图象G． 例如：如图，当t＝1时，原函数y＝x，图象G所对应的函数关系式为y． （1）当t时，原函数为y＝2x+1，图象G与坐标轴的交点坐标是 　 　 ． （2）对应函数y＝x2﹣2nx+n2﹣3（n为常数）． ①n＝﹣1时，若图象G与直线y＝3恰好有两个交点，求t的取值范围． ②当t＝2时，若图象G在2n﹣2≤x≤2n﹣1上的函数值y随x的增大而增大，直接写出n的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $