九年级数学上学期期中分层模拟·巩固培优卷（新教材沪教版五四制九年级上册二次函数+相似三角形）

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，可以判定，故此选项不符合题意； D、，但相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，不能判定，故此选项符合题意． 2．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，故与不成位似图形， ∴与成位似图形有3个． 3．关于抛物线，下列说法中正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．图像位于第二、四象限 C．抛物线有最低点 D．抛物线在直线的左侧部分是上升的 【答案】D 【详解】解：对于抛物线，二次项系数， ∴抛物线开口向下，有最高点，故A、C错误； ∵对任意实数，， ∴，即图像位于第三、四象限及原点，故B错误； ∵该抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴在直线左侧，随的增大而增大，即图像是上升的，故D正确． 4．已知二次函数，有下列结论： ①二次函数图象与轴的交点坐标是； ②二次函数的顶点坐标是； ③若二次函数图象经过、两点，且，则； ④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则的值与无关． 其中，正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：对①：令，得，∴二次函数图象与轴交点坐标是，①正确． 对②：对函数配方得， ∴顶点坐标为，结论中横坐标错误，②错误． 对③：代入坐标得，，∵， ∴，化简得，结论错误，③错误． 对④：二次函数开口向上，对称轴为，对区间分情况讨论： 若，即，二次函数随的增大而增大，，不含； 若，即，二次函数随的增大而减小， ，不含； 若，即，最小值为顶点纵坐标，最大值在离对称轴更远的端点，计算得仍消去，不含； 因此的值与无关，④正确． 综上，正确结论共个． 5．如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交于点D，E．其中点B，C，D，E处的读数分别为8，16，，已知直尺宽为2，则的边上的高为    （   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：如图，过点A作于点F，交于点G． 由题意可知，，，， ∴，， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 故选D． 6．如图，相交于点E，且，点C，F，B在同一条直线上．已知，，．嘉嘉得出结论，淇淇得出结论，则（   ） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人均正确 D．两人均不正确 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 由上述可知， 即， ∴. 所以只有淇淇正确. 故选：B. 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分） 7．已知，则__________． 【答案】 【详解】解：∵，且，，作为分母不为， ∴，，， 将其代入所求分式得： ． 8．若点是线段上的一点，满足，已知，那么的长为___________． 【答案】/ 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 化简，得， 解得，，（负值舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 9．如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．若函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值为______． 【答案】或或1 【详解】解：当，即时，原函数为，为一次函数，与x轴只有一个交点，符合题意； 当，即时，该函数为二次函数， ∵与x轴只有一个交点， ∴， 解得：，； 综上可知a的值为或或1． 故答案为：或或1． 11．二次函数（a、b、c是常数，）的图象如图所示，则点在第__________象限． 【答案】三 【详解】解：由图知，，，对称轴为直线 ∴ 点在第三象限． 故答案为：三． 12．抛物线中， y与x的部分对应值如表：则这条抛物线的对称轴是直线___________． x 1 3 4 6 y 8 18 20 18 【答案】 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴抛物线的对称轴为直线． 故答案为：． 13．如图，矩形的四个顶点都在的边上，且边落在上，．若，，，那么的长为_______________． 【答案】 【详解】解：如图：设交于点M． ∵四边形是矩形， ， ， ， 设，则有，， ，解得：， ∴． 14．苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加___________． 【答案】 【详解】解：如图，建立直角坐标系，则， 可设这条抛物线为， 把代入得：， 解得：， ， 当时，， 解得：， 水面下降，水面宽度增加． 故答案为：． 15．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 16．如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么___________． 【答案】 【详解】解：在中， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， 则,, ,, , , , ∵， , , , , 在中，和等高， , , 故答案为：． 17．如图，矩形中，连接，点是的中点，过点作交于点，将沿直线翻折，点落在平面内点处，如果点恰在上，那么的值是___________． 【答案】 【详解】解：连接交于点M， 设， ∵点是的中点， ∴， ∵过点作交于点， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， 由折叠知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， 设的边上的高为h， 则， ∴， ∴， ∴点G在上， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（本题10分）如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和， ∴， ∴， ∴该二次函数的表达式为，.................................3分 ∴顶点坐标为；.................................4分 （2）解：由（1）得该二次函数的表达式为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，.................................5分 ∴离对称轴越远，函数值越大， 当时，，且， ∴当时，函数的最大值小于7，.................................7分 ∵顶点坐标为，即当时，函数的最小值为， ∴当时，；.................................8分 （3）解：由（2）可知，对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可知，点在该函数的图象上， 由函数图象可知，当时，或．.................................10分 19．（本题10分）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴；.................................6分 (2)解：∵， ∴， ∵的面积为， ∴．.................................10分 20．（本题10分）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【详解】（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设， 将，代入得， ∴与的函数关系式为，.................................2分 当时，（元）；.................................3分 （2）解：收支平衡满足， ∴.................................4分 解得，，此时收支平衡时收入等于成本，.................................5分 ∴收入与的新关系式为； (3)，.................................6分 理由如下： 设净收益为W， ∴，.................................8分 ， 二次函数图象开口向下， ∴当时取得最大值，.................................9分 由题意得，时净收益最大， ∴ 解得．.................................10分 21．（本题12分）如图，在四边形中，，，，点在边上，且． (1)求证：； (2)过点作射线交边于点，交的延长线于点．若，求证：． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴.................................6分 (2) 解：如图所示， 由（1）知 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴．.................................12分 22．（本题12分）综合与实践：折黄金矩形 【问题提出】 我们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．黄金矩形以协调、匀称的美感，常见于艺术、建筑、自然界中，那么，如何用不同形状的纸片折出黄金矩形，并证明这个矩形是黄金矩形呢？ 【操作探究】 (1)小创小组将一张矩形纸片（如图1）按照图2至图5的方式操作，那么图5中哪些矩形是黄金矩形？请直接写出结论． (2)小智小组将一张正方形纸片（如图6）按照图7至图10的方式操作，得到矩形，你能证明矩形是黄金矩形吗？请写出证明过程． 【学以致用】 (3)将一张矩形纸片（如图11），先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题． ①沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点E处，折痕交边于点G； ②沿过点E的直线折叠，使点D落在线段CE上的点H处，折痕交边于点F； ③沿过点E的直线折出矩形，折痕交线段于点M，连接． 如果，请说明点G是线段的黄金分割点． 【详解】（1）解：设，则 由题知，， ∴， 由折叠可知，， ∴，， ∴，， ∴矩形是黄金矩形；矩形是黄金矩形；.................................2分 (2)证明：如图所示，将折到上的对应点为点，连接，， 设，则，， 由题知，， ∴， 设，则， ∵将折到上，对应点为点， ∴，，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴矩形是黄金矩形．.................................7分 (3)如图所示示意图即为所求， 设，， ∵四边形、为矩形， ∴，，， 如图，延长、交于点T， 由折叠可知，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，.................................10分 ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点G是线段的黄金分割点．.................................12分 23．（本题13分）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由； (2)如图1，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②进一步探究可知为中心对称图形，请确定的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 【详解】(1)解：与互为“伴随对称抛物线”，.................................1分 理由如下： 的顶点为， 将代入中，得， 即经过． 的顶点为，.................................3分 将代入中，得， 即经过． 故与互为“伴随对称抛物线”．.................................4分 (2)①，.................................5分 证明如下： ∵：与： ∴，， ∵若：与：互为“伴随对称抛物线”， ，， 两式相加得． ， ．.................................7分 ②∵为中心对称图形， ∴的对称中心为线段的中点．.................................8分 ③：，， ∴，， ：， ∴，，， 如图，设与相交于点， ∵四边形为正方形， 为的对称中心，， ． 过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为． 则， ∴，.................................10分 ∴，． 设， 则，，即，． 又， ，． ∵点在上， ，化简整理得， ．.................................13分 24．（本题15分）如图①，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线AB交于点M，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点K是x轴正半轴上一点，点A，P关于点K的对称点分别为，，连接，，若，求点K的坐标； (3)如图②，矩形的边在x轴负半轴上，边在第二象限，，．将矩形沿x轴正方向平移t（）个单位，直线分别交抛物线于G，H．问：是否存在实数t，使得以点D，F，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，t的值为或或 【详解】（1）解：由， 令，则，． ∵A在B的左侧， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，． ∴， ∴． ∴抛物线的解析式为；.................................3分 （2）解：∵， ∴，． 作轴于Q，连接， ∵点A，P关于点K的对称点分别为，， ∴，，， ∵， ∴，.................................5分 ∴，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，.................................7分 ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；.................................8分 （3）解：存在． 由题意，点G的横坐标为，点H的横坐标为，如图②，若为平行四边形的一条边，则． ∴， 解得；.................................10分 如图③，④， 若为平行四边形的一条对角线，则， ∴或，， 解得．.................................14分 综上所述，t的值为或或．.................................15分 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 6 答案 D C D B D B 二、填空题 、1 32 1 11.三 9 7.3 &6*1 9.5 10.2或-2或 12.x=2 1 3 14(42-4 15.5 16.1:6 2W5 13.2 17.9 三、解答题 18.(本题10分) (1)解：二次西数=+br+C图象经过点4，-5)和B(0,8) 1+b+c=-5 .c=-8 b=2 .c=-8, ·该二次函数的表达式为'=r+2x-8=(x+1-9 3分 -1,-9) 顶点坐标为 ;.4分 (2)解：由(1)得该二次函数的表达式为"=(x+-9, .二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=-1,5分 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴离对称轴越远，函数值越大， 当x=3时，y=6+-9=7,且2-（川=I<3-(=4 当-2≤x<3时，函数的最大值小于7，.7分 -1,-9 ,顶点坐标为 ,即当2≤x<3时，函数的最小值为9， 当-2≤x<3时，-9≤y<7;8分 (3)解：由(2)可知，对称轴为直线x=-1, ·B(0,8) (-2,-8) 由对称性可知，点 在该函数的图象上， 由函数图象可知，当y之-8时，X≤-2或x20.10分 19.(本题10分) (1)证明：，∠BAC=∠FAD」 .∠BAC-∠FAE=∠FAD-∠FAE,即∠BAF=∠CAD, AB AC AFAD AB AF :AC AD' .△ABF∽aACD;6分 (2)解：.△ABF△ACD. 2/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB .S。ACD 2)万 ,△ACD的面积为8， .SAB 2m- -×8=50 4 4 .10分 20.(本题10分) (1)解：由表格数据可知y与x成正比例关系，设y=, 将x=1,y=50代入得k=50, .y与x的函数关系式为y=50x, 2分 当x=40时，y=50×40=2000(元)：.3分 (2)解：收支平衡满足y=ω， 450x=2x2+20x+50.4分 x2-120x+2000=0 (x-20)(x-100)=0 解得=20.5=100 ,此时收支平衡时收入等于成本，.5分 1 收入y与x的新关系式为y=x2+20x+500, 4 (3)m=60 6分 理由如下： 设净收益为W, =m-+20r+5--(2刘-0 .8分 .二次函数图象开口向下， 3/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m-20 x=- =2m-40 当 1 2×-4 时取得最大值，9分 W 由题意得，x=80时净收益最大， .2m-40=80 解得m=60 10分 21.（本题12分) (1)证明：∠BAD=90°，CD⊥BD, .∠BAD=∠BDC=90°， BD BC 'BD=ADBC,即ADBD, .△BADACDB. .∠DBC=∠ADB,∠C=∠ABD. .∠DBC=∠C+∠BAH,∠AHD=∠ABH+∠BAH, .∠AHD=∠DBC=∠ADH」 AH=AD6分 (2)解：如图所示， A D 由(1)知∠DBC=∠ADB AE∥BC, .△DEF∽△CBF, DE EF BC BF DE BC ·EFBF, ,∠DBE=∠ABD,∠C=∠ABD, .∠DBF=∠C, .·∠BDF=∠CDB, 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△BDF∽△CDB, BC CD :BF BD' DE CD …EFBD .BD.DE=EF.CD .12分 22.(本题12分) (1)解：设AB=2,则AB=BC=CD=2 由题知，BF=CF=)BC=1, 3 DF=VCF2+CD2=+2=5 FG=DF=5 由折叠可知， BG=BF+FG=1+5 CG=FG-FC=5-1 AB2=5-1CG5-1 .BG1+52,CD2, ,矩形ABGH是黄金矩形：矩形CGHD是黄金矩形；2分 (2)证明：如图所示，将BC折到CE上的对应点为点B',连接GE,GB, D B 设CD=2,则BC=CD=2,∠A=∠B=90°， 由题知，BF=CF=AE=ED=1, CE=ED+CD-5 设BG=x,则AG=2-x, ,将BC折到CE上，对应点为点B, .CB'=CB=2,BG=GB'=x,∠GB'C=∠GB'E=∠B=90°， 5/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EB'-CE-CB-5-2 .AG2+AE2=EB2+GB2, 即(2-x+1P=(5-2+x2, 解得*V5-1 BG 5-1 ∴.BC2, 矩形BGHC是黄金矩形.7分 (3)如图所示示意图即为所求， D G 设AE=m,ED=n, :四边形ABCD、ENCD为矩形， :.BC=AD=AE+ED=m+n,ADII BC,ED=NC=n, 如图，延长DA、CG交于点T, T E D B 由折叠可知，BC=EC=m+n,∠BCG=∠ECG,ED=EH=n, .HC=EC-EH =m+n-n=m, .TD∥BC. .∠ETC=∠BCG, ∴.∠ETC=∠ECG. 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .ET=EC=m+n, AT =ET-AE=m+n-m=n.. MH⊥EN, .MH∥ET∥NC, TE ME EH ·NC MN HC· .m+n=卫 :.n m' m=5 -n 2, .AT‖BC, AG AT n n 5-1 ∴GB BC m+n√5-1 2, 2 -n+n .点G是线段AB的黄金分割点.12分 23.(本题13分) 1解：y=-4+4与y=-+2 与 互为“伴随对称抛物线”，…1分 理由如下： y=-4+4=(x-2的顶点为2,0) 将=2代入y=-r+2 中，得y=-22+2x2=0 即'=-+2r经过(2,0) y=-r+2x=(-少+1的顶点为 ,3分 将x=l代入y=r-4+4 ，得少=-4x1+4=1 即y=r-4r+4经过 故’=-4+4与=-r+2x 互为“伴随对称抛物线”.4分 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2@8+4-0 5分 证明如下： ..C:y-a(x-h)thC:y=d(x-h)+k :44,4)4,k) 若C:y=a(x-4+与C:y=a,(x-广+互为“伴随对称抛物线”， ..k=az (hh)+kz k2=a (h)+k 两式相加得a+4)么-么了=0 h≠h2 .a1+a2=0 7分 ②C为中心对称图形， :.C的对称中心为线段44的中点.…8分 AA ·Cy=x2a+a2=0 ③： :4=1,4=-4=-1 :.C2.y=-(x-h)+k2 .4(0,0).4(么，k)飞=4 如图，设44与B8 相交于点P, 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B A ABAB2 四边形 为正方形， ·P为C的对称中心， AA2⊥BB2,BP=AP 过点P作直线山y轴，垂足为M,进点8作 ,BBN⊥1 ,垂足为 则∠B,NP=∠AM,∠BPN=∠MAP=90°-∠MPA PBN4PM(AS) .10分 PN=AM BN=PM 设8(G,当) 2 又布=公 与=么公好 +h 21 B C 点在上， 2 2, 化简整理得-2h-h2=2, 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴(-2)(-1(2+1)=(h,-2)(h,2-1)=h,3-2h2-h2+2=2+2=4 .13分 24.（本题15分) (4)解：由'=ar-2r-3a=a(c+10k-3) &~0 =-1x2=3 ,则 A在B的左侧， :(-10)B3,0) AB=4. PM=AB, .PM=4. .y=ax-2ax-3a-a(x-1)-4a :Pl-4a）,PM=-4a ∴.-4a=4, .a=-1. ·抛物线的解析式为'=-r+2x+3. 3分 (2)解：a=-1, .P(1,4)PM=4. 作0x PP 轴于Q,连接 10/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 图① 4 :点A,P关于点K的对称点分别为 :K=A4K,PK=PK∠PKM=∠PkO :∠PKM=∠PK0 △PKM≌△PKQ(SAS) 5分 PO=PM=4 MK=OK :40=AM=2 :P41R4 .∠PMA=∠PQA=90 2P4M+ZR4M=90°∠RAM+∠0RA=90 ZPAM-Z0RA △PAM∽△AP2 7分 AM PO .PM AO, AM 4 421 11/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A,M=8 .MQ=AM-A2=8-2=6 :Mk=)M0=3, M么，0) K(4,0) 8分 (3)解：存在. 由题意，点G的横坐标为-1，点H的横坐标为-4，如图②，若GH为平行四边形的一条边，则 DG=FH G FO A B 图② ：--y°+2(-0+3-2=--4+2-4)+3 19 解得1 6;10分 如图③，④， G H B 图③ 图④ 12/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若GH为平行四边形的一条对角线，则DG=FH, :（《--20-)-3=--4+2-4)+3-2或.-+2-10+3=-4-2-4)-3+2， -7±V5 t=- 解得2 .14分 197+57-5 综上所述，t的值为6或2或2.15分 13/13………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪教版五四制九年级数学上册第27~28章。 5．难度系数：0.75 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列条件中，不能判定的是..........................................................................................（      ） A．， B． C．，且 D．，且 2．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有...（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．关于抛物线，下列说法中正确的是........................................................................................（      ） A．抛物线开口向上 B．图像位于第二、四象限 C．抛物线有最低点 D．抛物线在直线的左侧部分是上升的 4．已知二次函数，有下列结论： ①二次函数图象与轴的交点坐标是； ②二次函数的顶点坐标是； ③若二次函数图象经过、两点，且，则； ④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则的值与无关． 其中，正确的结论有...................................................................................................................................（      ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交于点D，E．其中点B，C，D，E处的读数分别为8，16，，已知直尺宽为2，则的边上的高为..................................（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，相交于点E，且，点C，F，B在同一条直线上．已知，，．嘉嘉得出结论，淇淇得出结论，则........................................................................................（      ） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人均正确 D．两人均不正确 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分） 7．已知，则__________． 8．若点是线段上的一点，满足，已知，那么的长为___________． 9．如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____． 10．若函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值为______． 11．二次函数（a、b、c是常数，）的图象如图所示，则点在第__________象限． 12．抛物线中， y与x的部分对应值如表：则这条抛物线的对称轴是直线___________． x ... 1 3 4 6 ... y ... 8 18 20 18 ... 13．如图，矩形的四个顶点都在的边上，且边落在上，．若，，，那么的长为_______________． 14．苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加___________． 15．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 16．如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么___________． 17．如图，矩形中，连接，点是的中点，过点作交于点，将沿直线翻折，点落在平面内点处，如果点恰在上，那么的值是___________． 三、解答题（本大题共7小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（本题10分）如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 19．（本题10分）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 20．（本题10分）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 21．（本题12分）如图，在四边形中，，，，点在边上，且． (1)求证：； (2)过点作射线交边于点，交的延长线于点．若，求证：． 22．（本题12分）综合与实践：折黄金矩形 【问题提出】 我们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．黄金矩形以协调、匀称的美感，常见于艺术、建筑、自然界中，那么，如何用不同形状的纸片折出黄金矩形，并证明这个矩形是黄金矩形呢？ 【操作探究】 (1)小创小组将一张矩形纸片（如图1）按照图2至图5的方式操作，那么图5中哪些矩形是黄金矩形？请直接写出结论． (2)小智小组将一张正方形纸片（如图6）按照图7至图10的方式操作，得到矩形，你能证明矩形是黄金矩形吗？请写出证明过程． 【学以致用】 (3)将一张矩形纸片（如图11），先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题． ①沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点E处，折痕交边于点G； ②沿过点E的直线折叠，使点D落在线段CE上的点H处，折痕交边于点F； ③沿过点E的直线折出矩形，折痕交线段于点M，连接． 如果，请说明点G是线段的黄金分割点． 23．（本题13分）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由； (2)如图1，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②进一步探究可知为中心对称图形，请确定的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 24．（本题15分）如图①，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线AB交于点M，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点K是x轴正半轴上一点，点A，P关于点K的对称点分别为，，连接，，若，求点K的坐标； (3)如图②，矩形的边在x轴负半轴上，边在第二象限，，．将矩形沿x轴正方向平移t（）个单位，直线分别交抛物线于G，H．问：是否存在实数t，使得以点D，F，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪教版五四制九年级数学上册第27~28章。 5．难度系数：0.75 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列条件中，不能判定的是..........................................................................................（      ） A．， B． C．，且 D．，且 2．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有...（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．关于抛物线，下列说法中正确的是........................................................................................（      ） A．抛物线开口向上 B．图像位于第二、四象限 C．抛物线有最低点 D．抛物线在直线的左侧部分是上升的 4．已知二次函数，有下列结论： ①二次函数图象与轴的交点坐标是； ②二次函数的顶点坐标是； ③若二次函数图象经过、两点，且，则； ④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则的值与无关． 其中，正确的结论有...................................................................................................................................（      ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交于点D，E．其中点B，C，D，E处的读数分别为8，16，，已知直尺宽为2，则的边上的高为..................................（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，相交于点E，且，点C，F，B在同一条直线上．已知，，．嘉嘉得出结论，淇淇得出结论，则........................................................................................（      ） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人均正确 D．两人均不正确 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分） 7．已知，则__________． 8．若点是线段上的一点，满足，已知，那么的长为___________． 9．如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____． 10．若函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值为______． 11．二次函数（a、b、c是常数，）的图象如图所示，则点在第__________象限． 12．抛物线中， y与x的部分对应值如表：则这条抛物线的对称轴是直线___________． x ... 1 3 4 6 ... y ... 8 18 20 18 ... 13．如图，矩形的四个顶点都在的边上，且边落在上，．若，，，那么的长为_______________． 14．苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加___________． 15．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 16．如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么___________． 17．如图，矩形中，连接，点是的中点，过点作交于点，将沿直线翻折，点落在平面内点处，如果点恰在上，那么的值是___________． 三、解答题（本大题共7小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（本题10分）如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 19．（本题10分）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 20．（本题10分）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 21．（本题12分）如图，在四边形中，，，，点在边上，且． (1)求证：； (2)过点作射线交边于点，交的延长线于点．若，求证：． 22．（本题12分）综合与实践：折黄金矩形 【问题提出】 我们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．黄金矩形以协调、匀称的美感，常见于艺术、建筑、自然界中，那么，如何用不同形状的纸片折出黄金矩形，并证明这个矩形是黄金矩形呢？ 【操作探究】 (1)小创小组将一张矩形纸片（如图1）按照图2至图5的方式操作，那么图5中哪些矩形是黄金矩形？请直接写出结论． (2)小智小组将一张正方形纸片（如图6）按照图7至图10的方式操作，得到矩形，你能证明矩形是黄金矩形吗？请写出证明过程． 【学以致用】 (3)将一张矩形纸片（如图11），先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题． ①沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点E处，折痕交边于点G； ②沿过点E的直线折叠，使点D落在线段CE上的点H处，折痕交边于点F； ③沿过点E的直线折出矩形，折痕交线段于点M，连接． 如果，请说明点G是线段的黄金分割点． 23．（本题13分）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由； (2)如图1，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②进一步探究可知为中心对称图形，请确定的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 24．（本题15分）如图①，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线AB交于点M，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点K是x轴正半轴上一点，点A，P关于点K的对称点分别为，，连接，，若，求点K的坐标； (3)如图②，矩形的边在x轴负半轴上，边在第二象限，，．将矩形沿x轴正方向平移t（）个单位，直线分别交抛物线于G，H．问：是否存在实数t，使得以点D，F，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $