第二十八章相似三角形（期中知识清单）九年级数学上学期新教材沪教版五四制

第二十八章 相似三角形　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 成比例的线段 1.1 两条线段的比 两个数或两个量 与 （）相除，叫作 与 的比，记作 （或表示为 ）， 与 的商叫作比值。如果 的值等于 ，那么 。 两条线段的长度的比叫作两条线段的比。 示例：线段 ，线段 ，则 ，比值为 。 注意：求两条线段的比时，对这两条线段一定要用同一长度单位来度量。因为线段的长度是正数，所以两条线段的比值总是正数。 1.2 成比例的线段 对于四条线段 、、、，如果 （或表示为 ），就说 、、、成比例。 示例：线段 、、、 满足 ，所以这四条线段成比例。 1.3 比例中项 如果三条线段 、、 满足 ，那么线段 叫作线段 、 的比例中项。 示例：因为 ，所以线段 是线段 、 的比例中项。 1.4 比例的性质 一般地，比例有以下性质（假设式中出现的分母均不为零）： 序号 条件 结论 （1） （2） （3） （4） 示例：由 ，根据性质（1）得 ；根据性质（2）得 。 注意：性质（4）可以推广到多个比相等的情形。 1.5 黄金分割 点 将线段 分割成两段，其中较长一段（）为较短一段（）和线段 的比例中项，这样的分割叫作黄金分割，点 叫作线段 的黄金分割点。分割得到的较长线段与整条线段的比值 叫作黄金数，它是一个无理数，近似值通常取为 。 示例：设线段 ，点 为黄金分割点，则较长段 。 1.6 平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例定理1：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例。 平行线分线段成比例定理2：两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例。 示例：在 中，（、 分别在边 、 上），则 。 注意：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。 2. 相似三角形 2.1 相似三角形的定义 如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么称这两个三角形相似。两个三角形相似可用符号“∽”表示，读作“相似于”，如 ，其中点 与点 、点 与点 、点 与点 分别对应。 两个相似三角形的对应边的比值叫作这两个相似三角形的相似比。 示例：若 且 ，则 与 的相似比 ，而 与 的相似比 。 2.2 全等三角形与相似三角形的关系 当两个相似三角形的相似比等于 时，这两个相似三角形就成为全等三角形。反过来，两个全等三角形一定是相似比等于 的相似三角形。显然，全等三角形是相似三角形的特殊情形。 2.3 三角形相似的传递性 如果两个三角形都与第三个三角形相似，那么这两个三角形相似。这个性质称为三角形相似的传递性。 2.4 相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。这个定理常被称为相似三角形的预备定理。 示例：在 中，（、 分别在边 、 上），则 。 2.5 相似三角形的判定定理 两角对应相等的两个三角形相似。 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边对应成比例的两个三角形相似。 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 示例：在 与 中，若 ，，则由两角对应相等得 。 注意：判定两个三角形相似，只需较少的条件（两角；两边及夹角；三边；直角三角形的斜边与一直角边），不必验证三个角对应相等、三条边对应成比例。 2.6 相似三角形的性质 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比以及周长的比都等于相似比。 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 示例：若 ，相似比 ，则对应高的比、周长比都是 ，面积比是 。 3. 相似多边形 3.1 相似多边形的定义 对两个边数相同的多边形，如果将一个多边形的顶点与另一个多边形的顶点依次对应，使得对应角相等，对应边成比例，那么称这两个多边形相似。 两个相似多边形的对应边的比值叫作这两个多边形的相似比。 示例：四边形 与四边形 中，若 ，，，，且 ，则这两个四边形相似。 3.2 全等多边形与相似多边形的关系 当两个相似多边形是全等形时，它们的相似比等于 ；反过来，当两个相似多边形的相似比等于 时，这两个多边形是全等形。相似三角形是相似多边形的特殊情形。 4. 位似多边形 4.1 位似关系 按一定比例进行放缩所得的两个图形之间的关系就是位似关系。显然，位似关系是一种特殊的相似关系。 示例：在射线 、、、 上分别取点 、、、，使 ，，，，则四边形 与四边形 相似，相似比为 。 4.2 平面直角坐标系中关于原点的位似 一般地，在平面直角坐标系中有两个 边形，分别记作多边形 和多边形 。如果存在一个非零常数 ，使得对任意 （），点 的横、纵坐标都是点 的横、纵坐标的 倍，那么就称多边形 与多边形 关于原点位似，原点 为位似中心， 为位似比。这时，通常简称这两个多边形位似。 示例：点 关于原点的位似比 的对应点在射线 上，坐标为 ；在射线 的反向延长线上时，坐标为 。 4.3 位似多边形的性质 如果多边形 与多边形 位似，并且位似比为 ，那么这两个多边形一定相似，并且相似比为 。于是，可以利用位似放大（若 ）或缩小（若 ）一个多边形。 特别地，当位似比 时，两个位似形重合；当位似比 时，两个位似形关于原点中心对称。 示例：四边形 与四边形 位似，位似比为 ；四边形 与四边形 也位似，位似比为 ，它们与原四边形的相似比都是 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 比例式的等价变形 由 可得 ，还可变形为 、、 等；再结合合比、分比、等比性质可继续变形。如 可化为 或 。 1.2 平行线基本图形： 字形与 字形 平行于三角形一边的直线截出“ 字形”图形，截得三角形与原三角形相似（预备定理）；两条直线被三条平行线所截形成“ 字形”（“ 字形”），对应线段成比例。找相似、列比例，先找平行线。 1.3 射影定理 在 中，， 于点 ，则 【使用提醒】使用前先确认 是直角三角形且 是斜边 上的高，否则比例式不成立。 1.4 三角形内角平分线定理 在 中， 平分 ，交边 于点 ，则 ，即角平分线把对边分成与两邻边成比例的两段。 1.5 相似三角形各量的比 相似比为 的两个相似三角形：对应高、对应中线、对应角平分线的比与周长比都等于 ，面积比等于 。故已知面积比可开方求相似比，再回求对应线段或周长。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 判定两三角形相似的思路 先找相等的角（平行线得同位角、内错角，公共角，对顶角，等角）；再找两边对应成比例且夹角相等；三边对应成比例兜底；直角三角形优先看“斜边与一直角边对应成比例”。如证 ，常用对顶角 加两边对应成比例。 2.2 由比例式求线段长 把比例式化为乘积式（）或直接代入已知线段长，列出含未知量的方程求解。如由 及 、、，得 ，。 2.3 利用相似求线段长 先证相似（常用两角对应相等），再由对应边成比例列方程求未知线段。书写时对应顶点顺序要一致，避免张冠李戴。 2.4 平面直角坐标系中作位似图形 把原图形各顶点的横、纵坐标都乘以位似比 ，描点连线即得位似图形。 时同向， 时反向（乘负数）。如作位似比为 的图形，将各顶点坐标都乘 。 2.5 相似测高 / 测距 利用太阳光线平行构造相似三角形测高，或利用标杆、交叉卡钳构造相似，求不能直接量测的距离。如交叉卡钳满足 ，由量得的 即可求 。 3. 运算小技巧 技巧 要点 示例 比例式交叉相乘 直接得 ，省去通分 由 得 合比、分比变形 由 得 、 由 得 等比性质求比 ，则 若 ，则 黄金数速记 黄金数 ，较长段为整段的 倍 线段 时较长段约为 相似比与面积比换算 面积比开方得相似比，相似比平方得面积比 相似比 时面积比为 4. 常见考试模型 4.1 相似测高模型 公式：由太阳光线（或标杆）构造两个相似三角形，物高与影长（或对应线段）成比例，。 限定：物体与地面垂直、光线平行，对应边要找准。 示例：如标杆高 、影长 ，树影长 ，则树高 。 4.2 卡钳测量模型 公式：由交叉卡钳（）得 ，故 ，。 限定：、 等长且交于点 。 示例：如 、，则内孔 ，零件厚 。 4.3 网格图判定相似 公式：用勾股定理数出各边长，再检验三边对应成比例（或两角相等）。 限定：须三边对应成比例（或两角相等）才相似，只比两组边不能判定。 示例：小方格边长为 时，三角形三边长如 、、，与另一三角形对应三边成比例即相似。 4.4 位似模型 公式：位似比 时，；位似后相似比为 。 限定： 同向、 反向；位似中心为原点。 示例： 各顶点坐标都乘 ，得关于原点位似、相似比为 的三角形。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：相似三角形的对应边写错，比例式颠倒 典例：已知 ，，，，求 的长。 错解：由相似得 ，即 ，所以 。 正解： 中 、、 分别与 、、 对应，故 对应 、 对应 ，有 ，即 ，所以 。 原因：对应关系不清导致比例式写反。学生知道“对应边成比例”，却把末项 与 的位置颠倒，写成 。写比例式时要先明确对应关系：记作 时，第一个字母 、第二个 、第三个 ，故 ，分子分母要同边取，不能交叉颠倒。 易错点 2：判定相似时漏掉“夹角相等”这个条件 典例：在 和 中，，，试判断这两个三角形是否一定相似。 错解：两边对应成比例且有一组角相等，所以 。 正解：不一定相似。判定定理要求“两边对应成比例且夹角相等”，相等的角必须是这两边所夹的角。这里 是边 、 的夹角，而给定的比例涉及 、， 不是它们的夹角，条件不满足，两三角形不一定相似。 原因：条件记忆遗漏与思维定势。学生只记住了“两边成比例 + 一角相等”，忽略了“夹角”这一关键限定，误以为任意一组对应角相等都行。这与全等三角形中“ 必须夹边、不能是 ”是同一类易错点，本质上混淆了“对应角相等”与“夹角相等”。 易错点 3：把相似比与面积比混为一谈 典例：两个相似三角形的面积比为 ，求它们的周长比。 错解：面积比等于 ，所以周长比也是 。 正解：相似三角形面积的比等于相似比的平方，故相似比 ；又周长的比等于相似比，所以周长比为 。 原因：概念混淆。学生把“面积比”与“相似比（周长比）”直接画等号，忘了面积比是相似比的平方。记牢对应关系：相似比 决定周长比 、面积比 ；反过来由面积比求周长比（相似比）要先开方，由周长比求面积比要先平方。 易错点 4：平行线分线段成比例时，对应线段找错 典例：在 中，， 在边 上， 在边 上，，，，求 的长。 错解：由 得 ，即 ，所以 。 正解：平行线分线段成比例，对应线段是“上段:下段 上段:下段”，即 ，得 ，，所以 。 原因：对应关系遗漏。学生把 的“整条边”误当成与 （上段）对应的“下段”，直接写成 。列比例式前要先分清各线段是哪一段（上段、下段还是整段）， 对应 、 对应 、 才对应 ，三者不要混用。 易错点 5：位似比为负数时，坐标漏乘负号 典例：在平面直角坐标系中，作与 关于原点位似、位似比为 的三角形，若点 的坐标为 ，求对应点 的坐标。 错解：各坐标都乘 ，得 。 正解：位似比为 ，对应点应在射线 的反向延长线上，各坐标都要乘 ，故 。 原因：符号处理失误。学生只注意了“放大 2 倍”，忽略了位似比前的负号表示反向，把“乘 ”误当成“乘 ”。位似比为 时坐标乘 （不是 ）： 同向， 反向且对应点与原点在位似中心两侧，符号不能丢。 易错点 6：判定相似多边形时，只满足“角相等”或“边成比例”之一就下结论 典例：两个矩形的四个角都对应相等（都是 ），它们一定相似吗？请说明理由。 错解：四个角都对应相等，所以这两个矩形一定相似。 正解：不一定。相似多边形要同时满足“对应角相等”和“对应边成比例”。矩形的四个角固然都是 ，但长、宽之比未必相同，如长为 、宽为 的矩形与长为 、宽为 的矩形，对应边不成比例，不相似。 原因：概念理解不完整。学生把“角相等”当成相似多边形的全部条件，忽略了“对应边成比例”这一条。相似多边形的定义是“对应角相等且对应边成比例”两者缺一不可；只有特殊的矩形（如正方形）长宽比恒为 ，才一定相似。 学科网（北京）股份有限公司 $