专题02 相似三角形中的基本模型（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以五大相似模型为核心，通过“条件-结论”表格系统提炼解题方法，构建从基础模型到综合应用的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |子母型与射影型|含10道题（选择/填空/解答）|提炼“共角得相似”核心，射影型三相似关系|从基础共角模型到直角三角形射影定理应用| |一线三等角与三垂直|含10道题（含中考真题）|同侧/异侧相似判定，垂直条件转化|静态模型到动态旋转（如等腰直角三角形）的迁移| |手拉手与旋转|含10道题（综合探究题）|“一转成双”新相似生成，手拉线夹角规律|共顶点相似三角形旋转中的不变量推理| |A字型与筝型|含10道题（动点问题）|平行/等角判定A字相似，筝型双相似关系|从平行线分线段到复杂图形中的相似构造| |8字型与蝶型|含10道题（面积比问题）|正/斜8字相似性质，蝶型面积比例关系|从简单相交线到梯形/正方形中的相似应用|

专题02 相似三角形中的基本模型 题型一 子母型与射影型相似 题型二 一线三等角与一线三垂直模型 题型三 手拉手与旋转模型 题型四 A字型与筝型相似 题型五 8字型与蝶型相似 题型一：子母型与射影型相似 类型 子母型 射影型 图例 条件 ∠ACD=∠ABC ∠ACD=90︒，CD⊥AB 结论 ∆ADC∽∆ACB ∆ADC∽∆CDB∽∆ACB 1．（2026·上海虹口·一模）如图，在中，，点在边上，且，如果，那么的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·上海长宁·一模）在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）如图，已知在中，点D、E分别在边、上，，，下列结论中错误的是（    ）    A． B． C． D． 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，，则__________． 5. （2025上海一模）定义：当一个三角形有两个内角的差为时，这个三角形叫做“差直角三角形”．如图，在中，，点是边上的一动点（且），若是“差直角三角形”，则的长为__________． 6. （上海市崇明区2023-2024学年（一模））如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且． (1)求证：； (2)联结，与相交于点O，若，求证：． 7. （上海市松江区2023-2024学年（一模））已知：如图，在中，点D、E分别在边、上，，．求证： (1)； (2) 8．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，已知在中，，点D在边上，，，E，F分别是垂足． (1)求证：； (2)连接，求证：． 9．（2026·上海闵行·三模）已知：如图，在四边形中，，，，是上一点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求证． 10．（2026·上海虹口·二模）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、，，延长交于点，交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)如果，求证：． 题型二：一线三等角与一线三垂直 类型 一线三等角 一线三垂直 同侧 相似 ∠CDE=∠A=∠B ⟹ ∆ADC∽∆BED 异侧 相似 ∠CAE=∠CDB=∠EBF⟹ ∆ADC∽∆EBA 1. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（   ） A．三个同学都正确 B．只有乙和丙同学正确 C．只有甲和丙同学正确 D．只有甲同学正确 2.（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 3. 如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 4．如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形有公共顶点A，且，，点E恰好落在边上（与点不重合），与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：． 5. 如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 6. （2025·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)线段的长为 ； (2)当时，求的长； (3)当点在边上时，求证：； 7. （2025·四川资阳·一模）【探究发现】 （1）如图1，已知，，，在同一直线上，若，则，请证明； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，，，点在边上，于点，连接．若，求的值； 8. （上海市浦东模范中学2025-2026学年上学期九年级期中）（1）如图1，在中，，，D是边上一点，，F是边上一点，．求的长； （2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． （3）在中，，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，，求y关于x的函数解析式及定义域． 9．（2026·广东汕头·三模）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：； (2)若点P为的中点，正方形的边长为2，求的长； (3)若四边形为矩形，连接，，点P为的中点，点H为的中点，求的长． 10．（25-26八年级下·吉林·期中）【问题背景】中，，，为上的动点，小明拿含角的透明三角板，使角的顶点落在点，三角板可绕点旋转． 【用数学的眼光观察】 (1)如图①，当三角板的两边分别交、于点、时，以下结论正确的是：_____； ①；②；③；④． 【用数学的知识计算】 (2)当，时，则的值为_____； 【用数学的思维思考】 (3)将三角板绕点旋转到图②情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点、，与相似吗？请说明理由． 题型三：手拉手与旋转模型 类型 手拉手 图例 条件 ∆ABC∽∆ADE,两个相似共顶点， 结论 一转成双产生新相似∆ABD∽∆ACE， 手拉线夹角等于共角∠BPC=∠BAC=∠DAE 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，点E为外一点，与交于点F，点D在线段上，连接，，，若，则图中的相似三角形共有（   ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 4. （24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，在矩形纸片中，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，此时恰好经过点D，连接，则的长为（   ） A． B．3 C． D． 5. （24-25九年级上·四川巴中·期末）如图所示，在正方形中，对角线，交于点，点在线段上，连接，作交于点，连接交于点，则下列结论正确的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.（四川遂宁·中考真题）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．(填序号)    7．（1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值．   8. 【问题呈现】 （1）如图1，和是两个有公共顶点A的等边三角形，连接，．求的值． 【类比探究】 （2）如图2，和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，，连接，．求证：． （3）如图3，和是两个有公共顶点A的直角三角形，，连接，．若能，请直接写出此时与的数量关系． 9. （2025·黑龙江齐齐哈尔·中考改编）综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________； (2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； (3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则BG=__________； 10. （2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 题型四：A字型和筝型相似 类型 正A字型 斜A字型 筝型 图例 性质 DE//BC⟹ ∆ADE∽∆ABC ∠ADE=∠ABC ⟹ ∆ADE∽∆ABC AE ∆ADE∽∆ABC、∆AEC∽∆ADB 1．如图，在中，点D、E分别在边上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，点、分别在的边、上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使与相似，那么这个条件是（   ） A． B． C． D．． 3．如图，，，，，则_________ ． 4．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 5. （上海市浦东新区2025--2026学年上学期九年级期中数学试卷）如图，在中，，，，动点从点出发沿着线段向终点运动，速度为每秒3个单位长度，过点作交直线于点，连接．设点的运动时间为秒．在运动过程中，当为等腰三角形时，的值是_______． 6．如图，在中，，，D、E分别在、上，，． (1)求证：． (2)若，求的长 7．如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 8．如图，中，是直角，过斜边中点M而垂直于斜边的直线交的延长线于E，交于D，连接．求证： (1)； (2)． 9．如图，在中，于点，于点，连接，求证：． 10．如图，中，垂足为点D，垂足为点E，与相交于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 题型五：8字型和蝶型相似 类型 正8字型 斜8字型 蝶型 图例 性质 DE//BC⟹ ∆ADE∽∆ABC ∠ADE=∠ABC ⟹ ∆ADE∽∆ABC AE ∆ADE∽∆ABC、∆AEC∽∆ADB 1．如图，中，交于点，，，，，则的长等于（ ） A． B． C． D． 2．如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形 中， 为 的中点，连接 并延长，交 边的延长线于点 ，对角线 交 于点 ，已知 ，则线段 的长是 （    ） A． B． C． D． 4．如图，线段交于点，，那么___________． 5．如图，梯形中，，对角线相交于点O，如果的面积是面积的2倍，那么与的面积之比是 __. 6．如图，，，， (1)求证：； (2)求的长． 7. （24—25上学期上海航华中学九年级期中）如图，在中，，，过点作，垂足为点． 点是延长线上一点，连结，当时，求线段的长． 8. 如图，四边形中，为边上一点，，，交于点． (1)求证： (2)求证：∆ECF∆ADF 9．在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，延长交于点O，请判断O是否为的中点，并说明理由； 10．【知识背景】如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相似三角形中的基本模型 题型一 子母型与射影型相似 题型二 一线三等角与一线三垂直模型 题型三 手拉手与旋转模型 题型四 A字型与筝型相似 题型五 8字型与蝶型相似 题型一：子母型与射影型相似 类型 子母型 射影型 图例 条件 ∠ACD=∠ABC ∠ACD=90︒，CD⊥AB 结论 ∆ADC∽∆ACB ∆ADC∽∆CDB∽∆ACB 1．（2026·上海虹口·一模）如图，在中，，点在边上，且，如果，那么的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据，，证明，整理得，又因为，，求出，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2026·上海长宁·一模）在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：三角形纸片中，， A、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； B、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； C、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； D、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与相似，故此选项正确； 故选：D． 3．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）如图，已知在中，点D、E分别在边、上，，，下列结论中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意，易证，，然后根据相似三角形对应边成比例列出式子，得到，，，再结合比例式逐项判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C错误，符合题意； ，故D正确，不符合题意． 故选：C． 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，，则__________． 【答案】 【详解】解：∵∠C=90°，CD⊥AB， ∴∠ACB=∠ADC=90°， ∵∠CAD=∠BAC， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∴AC2=AD•AB 同理△BCD∽△BAC， ∴ ∴BC2=BD•AB， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5. （2025上海一模）定义：当一个三角形有两个内角的差为时，这个三角形叫做“差直角三角形”．如图，在中，，点是边上的一动点（且），若是“差直角三角形”，则的长为__________． 【答案】或 【详解】解：如图，过点作于，过点作，交于． ∵，， ∴为中点，， ∴． ∵， ∴为钝角． 分两种情况： ①，则， ∵∠BDC=∠A+∠ACD，∠A=∠B ∴∠ACD=90︒ ∴， ∴ ∴； ②，则， ∵ ∴. ∴CN=DN ∵， ∴， ∴，即， 设DN=CN=x 则 ∴x= ∴ ，解得， ∴， ∴． 综上，的长为或． 6. （上海市崇明区2023-2024学年（一模））如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且． (1)求证：； (2)联结，与相交于点O，若，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； (2) 证明：∵ ∴； 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 由（1）知， ∴， ∴， 即． ∵， ∴． 7. （上海市松江区2023-2024学年（一模））已知：如图，在中，点D、E分别在边、上，，．求证： (1)； (2) 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， 8．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，已知在中，，点D在边上，，，E，F分别是垂足． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1) 如图，∵，， ∴，而， ∴， ∴， ∴； (2) 如图，设与的交点为， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，则， 又∵， ∴， ∴；而， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题． （1）证明，得到，即可解决问题； （2）如图，设与的交点为，先证明，得，则，进而可证明，得到，这是解决该问题的关键性结论；证明，结合，得到，列出比例式即可解决问题． 解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答． 【详解】（1）略 （2）略 9．（2026·上海闵行·三模）已知：如图，在四边形中，，，，是上一点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求证． 【答案】(1)证明：在和中， ， ，  ， ， ， ， ， 又，， ， 四边形是菱形． (2)证明：， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ，， ， ， ， ． 【分析】（1）先由三条边对应相等得到，结合得到，利用等角对等边得到即可得证； （2）由结合，推得，从而，再利用相似三角形性质结合可得证． 【详解】（1）略 （2）略 10．（2026·上海虹口·二模）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、，，延长交于点，交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， ∵在 和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形为正方形． (2)证明：连接， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，，， 由勾股定理得： ， ∵ ， ∴， 即， ∵， ∴， ∵由（）知 ，即， ∴， ∵是的外角， ∴， 在中，由内角和定理： ， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴，即，代入， 得：． 【分析】（）先利用已知的两个直角，通过减去公共角，推导出；再结合，用证明，得到；接着结合，判定四边形是矩形，最后根据邻边，得出四边形为正方形； （）连接，先由（）中正方形的性质，结合勾股定理得到；再利用等腰直角的角度关系和外角定理，推导出；随后通过两角对应相等证明，得到比例式，交叉相乘后结合，证得． 【详解】（1）略 （2）略 题型二：一线三等角与一线三垂直 类型 一线三等角 一线三垂直 同侧 相似 ∠CDE=∠A=∠B ⟹ ∆ADC∽∆BED 异侧 相似 ∠CAE=∠CDB=∠EBF⟹ ∆ADC∽∆EBA 1. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（   ） A．三个同学都正确 B．只有乙和丙同学正确 C．只有甲和丙同学正确 D．只有甲同学正确 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，由等腰三角形的性质可得，利用三角形外角性质可得，即可，即可判断甲；证明即可判断乙；证明，由等腰三角形的性质即可判断丙；据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故甲同学说法正确； 若， ∵， ∴， ∴，故乙同学说法正确； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中点，故丙同学说法正确； 综上，三个同学说法都正确， 故选：． 2.（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【分析】过A作轴于C，过B作轴于D，构成一个“一线三垂直”的模型，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 3. 如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)的长为3或6． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，从而证出，根据相似三角形的判定定理即可证出结论； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式即可求出的长，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或， 即的长为3或6． 4．如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形有公共顶点A，且，，点E恰好落在边上（与点不重合），与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 证明：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴． 在和中，，， 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰三角形的定义． （1）根据得到，即，证明，即可证明； （2）根据和是等腰直角三角形可知，，进而得到，，即，根据，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 5. 如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由“一线三等角”可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 6. （2025·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)线段的长为 ； (2)当时，求的长； (3)当点在边上时，求证：； 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴； （2）解：如图，在中，，，点为边的中点， ∴，， ∵， ∴，而， ∴， ∴； （3）证明：∵旋转， ∴， 如图，∵，， ∴， ∵，， ∴； 7. （2025·四川资阳·一模）【探究发现】 （1）如图1，已知，，，在同一直线上，若，则，请证明； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，，，点在边上，于点，连接．若，求的值； 【答案】（1）见解析；（2）； 【详解】（1）证明：，，， ， ，，， ， ． （2）解：过点作的延长线于点， 则，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，即 ，解得， ， ，， ， ． 8. （上海市浦东模范中学2025-2026学年上学期九年级期中）（1）如图1，在中，，，D是边上一点，，F是边上一点，．求的长； （2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． （3）在中，，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，，求y关于x的函数解析式及定义域． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． （1）证明，得； （2）延长交的延长线于点T．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解； （3）过点E作与交于点F，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案； 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图2中，延长交的延长线于点T． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）如图，过点E作与交于点F，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（2026·广东汕头·三模）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：； (2)若点P为的中点，正方形的边长为2，求的长； (3)若四边形为矩形，连接，，点P为的中点，点H为的中点，求的长． 【答案】(1)证明：如图： ∵四边形是矩形， ∴ ， ∴， ∵ 分别在 上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得 ，由折叠得出，得出，即可证明； （2）设，则．由勾股定理知，求出x，再由相似三角形的性质求解即可． （3）延长，交于点M，连接．由翻折，得．根据角的和差关系得出，由等角对等边得出，由翻折，得．证明，由全等三角形的性质得出，．由勾股定理得出，进一步得出，根据勾股定理得出，证明，由相似三角形的性质得出，进而可求出的长． 【详解】（1）略； （2）解：如图1， 设，则． ∵点P为的中点，， ∴． 由，得， 解得， 由（1）知． ∴，即． ∴． （3）解：如图2，延长，交于点M，连接． 由翻折，得． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵点P为的中点， ∴． 由翻折，得． ∵点H为的中点， ∴． ∵，， ∴． ∴，． ∴． ∴， 在中，， ．∴． ∴， ∴， 在中，， 由翻折，得，． ∴． ∴． ∴，即 ∴． 10．（25-26八年级下·吉林·期中）【问题背景】中，，，为上的动点，小明拿含角的透明三角板，使角的顶点落在点，三角板可绕点旋转． 【用数学的眼光观察】 (1)如图①，当三角板的两边分别交、于点、时，以下结论正确的是：_____； ①；②；③；④． 【用数学的知识计算】 (2)当，时，则的值为_____； 【用数学的思维思考】 (3)将三角板绕点旋转到图②情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点、，与相似吗？请说明理由． 【答案】(1)②③④ (2) (3) 解：与相似，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，利用外角性质得出，即可证明，可判定②正确；根据相似三角形的性质可判定③④正确；根据没有边相等的条件，可得与不一定全等，可判定①错误；可得答案； （2）根据相似三角形的性质得出，代入各边长，即可得出的值； （3）根据外角性质得出，结合即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确， ∴，，故③④正确， ∵没有边相等的条件， ∴与不一定全等，故①错误， ∴结论正确的是②③④． （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， 解得：． （3）略 题型三：手拉手与旋转模型 类型 手拉手 图例 条件 ∆ABC∽∆ADE,两个相似共顶点， 结论 一转成双产生新相似∆ABD∽∆ACE， 手拉线夹角等于共角∠BPC=∠BAC=∠DAE 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，涉及两个角对应相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例，夹角相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即． A、∵，∴，故选项不符合题意； B、∵，∴，故选项不符合题意； C、∵，∴，故选项不符合题意； D、∵，与的大小无法判定，∴无法判断，故选项符合题意． 故选：D． 2．如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴选项B与选项C不符合题意， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项D不符合题意， 在旋转的过程中，不一定成立，故A符合题意． 3.（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，点E为外一点，与交于点F，点D在线段上，连接，，，若，则图中的相似三角形共有（   ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【答案】B 【分析】由手拉手图形得到，则，又，得到，，，得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴图中的相似三角形共有4对， 故选：B． 4. （24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，在矩形纸片中，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，此时恰好经过点D，连接，则的长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】由手拉手图形证明出，运用勾股定理得到在，则，在中，，再代入求值即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，且旋转至矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，正确得到是解题的关键． 5. （24-25九年级上·四川巴中·期末）如图所示，在正方形中，对角线，交于点，点在线段上，连接，作交于点，连接交于点，则下列结论正确的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质．证，可得，再证即可判断；证明，即可判断②；证明，，即可判断③和④，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，，， 又， ， ，， ， ，， ， 又， ， ， ， ∴；故①正确，符合题意； ， ， 又， ， ，即故②正确，符合题意； ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴，故④正确 ∵ ∴ ∴，即，故③正确，符合题意， 综上所述，①②③④正确， 故选：D． 6.（四川遂宁·中考真题）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．(填序号)    【答案】①②④ 【分析】①当时，是等边三角形，根据等角对等边，以及三角形的内角和定理即可得出，进而判断①；证明，根据全等三角形的性质判断②；作直线于点， 过点作于点，过点作于点，证明，，，即可得是的中点，故④正确，证明，可得，在中，，在中，，得出 ，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：①当时，是等边三角形， ∴ ∴ ∵等腰直角、， ∴ ∴ ∴；故①正确； ②∵等腰直角、， ∴， ∴ ∴ ∴；故②正确； ④如图所示，作直线于点， 过点作于点，过点作于点，    ∵， ∴， 又， ∴ 又∵， ∴ 同理得，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，即是的中点，故④正确， ∴， 设，则 在中， 在中， ∴ ∴ 解得： ∴， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴,故③错误 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 7．（1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值．    【答案】 （1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴，即； （3） 【分析】（1）证明，则； （2）证明，则，，证明，则，， 由，可得，即； （3）如图,过点C作，在上取点E使，连接．由（2）知：，则，，由勾股定理得，，则，即最大值为，进而可求的最大值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图,过点C作，在上取点E使，连接．    由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识．熟练掌握了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 8. 【问题呈现】 （1）如图1，和是两个有公共顶点A的等边三角形，连接，．求的值． 【类比探究】 （2）如图2，和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，，连接，．求证：． （3）如图3，和是两个有公共顶点A的直角三角形，，连接，．若能，请直接写出此时与的数量关系． 【答案】（1）； （2）∵和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴． （3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，再根据全等三角形的性质即可解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质、直角边与斜边的关系可证明，再根据相似三角形的性质对应边的比等于相似比即可解答； （3）根据、，可证，可得，在中，求出，在中，求出，再证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴，即． （2）略 （3）∵，， ∴， ∴，即， ∴， 设， 在中，， 同理，在中，设，则， ∴，，即， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查等边三角形、等腰直角三角形、直角三角形、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 9. （2025·黑龙江齐齐哈尔·中考改编）综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________； (2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； (3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则BG=__________； 【详解】（1）； ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴，即 又∵， ∴ ∴； 故答案为：相等（或）；相等（或）． （2）证明：∵四边形是正方形 ∴， ∵绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∵， ∴即 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形 又∵ ∴四边形是正方形； （3）解：∵绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∵， ∴ ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∵ ∴∆ABC∽∆FGC ∴，∠ACB=∠FCG ∴∠ACF=∠BCG ∴∆AFC∽∆BGC ∴ ∵AC= ∴BG= 10. （2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）由手拉手图形可证得，推出，根据即可求解； （2）在上截取，证明，推出，，证明是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得； （3）在上截取，证明，得到，，同理，得到是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得． 【详解】解：（1），理由如下， 如图，当点G，H重合时， ∵正方形与正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 由（1）得， ∴， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下， 由（1）得， ∴，， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， 同理，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 题型四：A字型和筝型相似 类型 正A字型 斜A字型 筝型 图例 性质 DE//BC⟹ ∆ADE∽∆ABC ∠ADE=∠ABC ⟹ ∆ADE∽∆ABC AE ∆ADE∽∆ABC、∆AEC∽∆ADB 1．如图，在中，点D、E分别在边上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】明确公共角是和的公共内角，这是判断相似的基础条件．逐个分析给出的条件：如果条件能得到两个三角形另一组对应角相等，或者得到夹的两组对应边成比例，那么可根据相似三角形的判定定理判断两个三角形相似．对应边成比例的条件需注意匹配的对应顶点关系，对应边需满足对应、对应的比例关系． 【详解】解：①由，则可判断； ②，则有，则可判断， 故不能确定； ③，，则可判断； ④，可化为，此时不确定，故不能确定； ⑤由，则可判断； 所以能满足的条件是：①③⑤，共3个， 故选C． 2．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，点、分别在的边、上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使与相似，那么这个条件是（   ） A． B． C． D．． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 有两个对应角相等的两个三角形相似； 有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； 三组对应边的比相等的两个三角形相似； 根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意得：， A． ，有两个对应角相等，能使与相似，不符合题意． B． ，有两个对应角相等，能使与相似，不符合题意． C． ，有两个对应边的比相等但夹角不一定相等，不能使与相似，符合题意． D． ，有两个对应边的比相等，且其夹角相等，能使与相似，不符合题意． 故选：C． 3．如图，，，，，则_________ ． 【答案】5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，则根据相似三角形的性质得到，再证明，根据相似三角形的性质得到，利用等比代换得到，再由得，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：5． 4．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 【答案】或 【分析】因为题目中未明确相似三角形的对应边，所以需考虑两种不同的对应情况：和，分别根据对应边成比例列出方程，求解即可得到符合条件的时间． 【详解】解：设经过秒时与相似， ∵动点的速度为，动点的速度为， ∴，， ∵， ∴， ∵是和的公共角，分两种情况讨论： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得； 综上，符合条件的的值为或． 5. （上海市浦东新区2025--2026学年上学期九年级期中数学试卷）如图，在中，，，，动点从点出发沿着线段向终点运动，速度为每秒3个单位长度，过点作交直线于点，连接．设点的运动时间为秒．在运动过程中，当为等腰三角形时，的值是_______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是分类讨论点F的位置并分析腰长． 分类讨论点F在线段上与当点在线段的延长线上两种情况，当点F在线段上时，结合与相似，由此可求解；点在线段的延长线上时，由，即可求解． 【详解】解：①当点F在线段上时， ， 当为等腰三角形时，只能是， ， ， 在中，， ， 又， 在与中， ， ， ，即， ， ∵当点F恰好运动到点C时，， 即，可得， ∴，解得， ∴， ，， ， ； ②当点F在线段的延长线上时，如图， 当点E运动到点B时，有，解得， ∴， ， 当为等腰三角形时，只能是， 此时， ， ，即， 又， ， ， ， ，即， ， 综上所述，的值为秒或秒时，为等腰三角形. 故答案为：或 ． 6．如图，在中，，，D、E分别在、上，，． (1)求证：． (2)若，求的长 【答案】(1) 证明：，，，， ，， ， 又， ； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握对应边成比例是解题关键． （1）根据两边成比例且夹角相等，可证明两个三角形相似； （2）根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ， ， ． 7．如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴， 又∵=， ∴， ∴， ∴平分． (2) ∵， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由相似三角形的判定和性质确定，即可证明； （2）根据相似三角形的判定得出，再由性质得出，利用等量代换即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 8．如图，中，是直角，过斜边中点M而垂直于斜边的直线交的延长线于E，交于D，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵是直角，， ∴， ∵， ∴； (2) 证明：∵是直角，， ∴， ∴， ∵点M为直角斜边的中点， ∴，； 而， ∴． ∴， ∴． 【分析】（1）先证明，再由公共角，便可得； （2）首先证明，再由，得，写出比例式问题即可解决． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质定理，解题的关键是证明三角形相似． 9．如图，在中，于点，于点，连接，求证：． 【答案】 证明：， ， 又， ， 又， ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先通过两组角分别相等的三角形是相似三角形，得，则，变形得，再结合，则，即可作答． 【详解】略 10．如图，中，垂足为点D，垂足为点E，与相交于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1) 证明： 于点D，于点， ， ， ． (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）利用两边成比例夹角相等的两个三角形相似证明，则，即可求出的长． 【详解】（1）略； （2）证明：， ， ， ， ， ， ∴， 解得． 题型五：8字型和蝶型相似 类型 正8字型 斜8字型 蝶型 图例 性质 DE//BC⟹ ∆ADE∽∆ABC ∠ADE=∠ABC ⟹ ∆ADE∽∆ABC AE ∆ADE∽∆ABC、∆AEC∽∆ADB 1．如图，中，交于点，，，，，则的长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，∠BDE=∠ADC可证明△BDE∽△ACD，根据相似三角形对应找到成比例找出对应边即可求出DC的长. 【详解】∵，∠BDE=∠ADC， ∴△BDE∽△ACD， ∴DC：BD=AD：DE， ∵，，AB=AD+BD， ∴AD=4，BD=6， ∴DC== = ， 故选A. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形找出对应边是解题关键. 2．如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∴，故A正确， ∴， ∴，，故B、C正确， ∴，故D错误． 3．如图，在正方形 中， 为 的中点，连接 并延长，交 边的延长线于点 ，对角线 交 于点 ，已知 ，则线段 的长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合正方形的性质得出，，再证明，然后证明，即可作答． 【详解】∵四边形为正方形， ∴，， ∵ 为 的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，线段交于点，，那么___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，先证明，由相似三角形的性质得出，由勾股定理得出，然后代入比例计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 在中，， 即， 则， ∴， 故答案为：． 5．如图，梯形中，，对角线相交于点O，如果的面积是面积的2倍，那么与的面积之比是 __. 【答案】 【分析】过点D作，垂足为M，过点B作，交的延长线于点N，根据已知易得，再根据，从而可得，然后再证明8字模型相似三角形，利用相似三角形的性质可得，从而可得，最后根据与的高相等，即可解答． 【详解】解：过点D作，垂足为M，过点B作，交的延长线于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与的高相等， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 6．如图，，，， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴，且， ∴； (2) 【分析】（1）利用平角和已知先说明，再通过相似三角形的判定说明； （2）利用相似三角形的性质，代入计算得结论． 本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定定理和相似三角形的性质是解决本题的关键． 【详解】（1）略． （2）解：∵， ∴，且，，， ∴． 7. （24—25上学期上海航华中学九年级期中）如图，在中，，，过点作，垂足为点． 点是延长线上一点，连结，当时，求线段的长． 【答案】 【详解】（1）解：过点A作，垂足为F，如图， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵ ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴． 8. 如图，四边形中，为边上一点，，，交于点． (1)求证： (2)求证：∆ECF∆ADF 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）∵ ∴∠CDF=∠EAF ∵∠DFC=∠AFE ∴∆AFD∽∆AFE ∴ ∵∠AFD=∠EFC ∴∆ADF∽∆ECF 9．在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，延长交于点O，请判断O是否为的中点，并说明理由； 【详解】（1）证明：∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （2）连接AO，设AB与OC交于点M ∵ ∴∠ACE=∠ABD ∵∠AMC=∠OMB ∴∆AMC∽∆OMB ∴∠MOB=∠BAC， ∵∠AMO=CMB ∴∆AMO∽∆CBM ∴∠AOM=∠ABC ∵∠ACB=90︒ ∴∠ABC+∠BAC=90︒ ∴∠AOM+∠MOB=90︒ ∴AO⊥BD ∵AD=AB ∴DO=BO ∴O是否为的中点 10．【知识背景】如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 【答案】(1)与相似，理由如下： ∵，， ∴； (2)①∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； (3)90； 【分析】（1）利用两角对应相等即可证明； （2）①利用两边对应成比例且夹角相等证明，推出； ②利用三角形内角和定理即可得到； （3）证明，推出，，利用（2）的结论即可得到；再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 （3）解：∵在和中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在四边形中，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02 相似三角形中的基本模型 参考答案 题型一：子母型与射影型相似 1.D 2.D 3.C 2 15 5.2或35 6. 【答案】(1) 证明：BE2=EF·AE, BEAE ∴EFBE ,∠AEB=∠BEF, ∴.△AEB∽△BEF, ∠EBF=∠BAE: AD∥BC, ,∠ADB=∠EBF, ∠BAE=∠ADB; ∠ABF=∠DBA, ∴.△DABP△AFB: (2) 证明：AB.OB=BC·AF AB BC AF-OB 由(1)知∠EBF=∠BAE, .△ABF∽△BCO. 1/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠AFB=LBOC, ∴.∠AFO=∠AOF, .AF=OA: .∠BOC=∠AOD. ∴∠AFB=∠AOD: 由(1)知∠BAE=∠ADB, .△4ODABFA. OA OD BFAF 即OAAF=OD·BF AF =OA, ∴.AF2=OD·BF 7. 【答案】(1) 证明：∠BDC=∠DEC,∠BDC=∠A+∠ACD,∠DEC=∠A+ADE ∠ADE=∠ACD, ∠A=∠A, .△ADE∽△ACD: (2) 证明：，DE∥BC, ∴.∠EDC=∠BCD, ,LBDC=∠DEC, .△DEC∽aCDB, CD DE .BC CD' .'CD2=DE.BC CBC CD2 DE DE∥BC, .△ADE-△ABC, .DE AE BC-AC' 2/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD2 AE BC-AC 8. 【答案】(1) 如图，，∠ACB=90°，CF⊥AD, ∴.∠ACD=∠AFC=90°，而∠CAD=∠FAC, ∴.△ACDr△AFC, AC AD AFAC· AC2=AF·AD; (2) 如图，设AD与CE的交点为O, E ,CE⊥AB,CF⊥AD ∴.∠AEC=∠AFC=90°， 又：∠COF=∠AOE, ∴.△COF∽AAOE ÷88E.则808， CO AO 又：∠AOC=∠EOF. ∴.△AOC∽△EOF, .∠AFE=∠ACE:而∠ACE+LCAE=∠CAE+∠B, ∠ACE=∠B,∠AFE=LB: '∠FAE=∠BAD, .△AEF∽△ADB, ∴AE:AD=BD:EF, AEDB=AD·EF 9. 【答案】(1)证明：在△ABC和△ADC中， 3/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (AB=AD BC=DC AC=AC ∴.△ABC2△ADC(SSS)」 .∠BAC=∠DAC, AD∥BC, ∠BCA=∠DAC, ∴.∠BCA=∠BAC, ∴.BC=BA, 又：AB=AD,BC=CD, ∴.AB=BC=CD=AD 四边形ABCD是菱形. (2)证明：CE2=BE.EF, CE EF BE CE' :∠CEB=∠BEC, ∴△ECFAEBC, ∴.∠ECA=∠CBE :四边形ABCD是菱形， AB∥CD,AB=BC, .∠CEB=∠ABF,∠BAC=∠ECA, ∠BAC=LCBE, .△BCE∽△AFB」 BC BE AF AB' AB2=BE·AF. 10. 【答案】(1)证明：，∠BAC=∠DAE=90°」 .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, 在 △ABD和△ACE中， 4/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AC ∠BAD=∠CAE., AD=AE ∴.△BAD≌aCAE(SAS) .∠AEC=∠ADB=90° ,∠DAE=90°，∠ADF=180°-∠ADB=90°， ∴，四边形ADFE是矩形， AD=AE, .四边形ADFE为正方形. (2)证明：连接AF, B ,四边形ADFE是正方形，AF是正方形的对角线， ∴.AD=DF,∠ADF=90°，∠AFB=45° 由勾股定理得：AF2=AD+DF2=AD2+AD2=2AD2, :AB=AC,∠BAC=90°， .∠ABC=45°，即∠ABF+∠FBC=45°， ,∠FBC=∠ACF, .∠ABF+∠ACF=45°， :由(1)知EC⊥BF,即∠BFC=90°， ∠CFG=∠BAG=90°， :∠AGF是△CGF的外角， ∴.∠AGF=∠CFG+∠ACF=90°+∠ACF, 在△AFG中，由内角和定理：∠AGF=180°-∠AFB-∠FAG=180°-45°-∠FAG=135°-∠FAG :.90°+∠ACF=135°-∠FAG 整理得∠ACF+∠FAG=45°， ,∠ABF+∠ACF=45°， 5/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠FAG=∠ABF, ,在△AFG和△BFA中 ∠FAG=∠FBA,∠AFG=∠BFA, ∴.△AFGABFA, FG AF AF=FB,即AF2=FGFB:代入AF2=2AD2, 得：2AD2=FGFB 题型二：一线三等角与一线三垂直 1.A 2.A 3. 【答案】(1) 证明：，△ABC是等边三角形， .∠A=∠C=60° ,∠BDC=∠A+∠ABD .∠BDE+∠CDE=∠A+∠ABD, .∠BDE=60°， ∠ABD=∠CDE, .△ABD∽△CDE: (2)解：：△ABC是等边三角形， AB=BC=AC=9」 .CE=BC-BE=9-7=2, ,△ABD△CDE, ADAB :CE CD' AD 9 ·2=9-4D .AD2-9AD+18=0, 解得：AD=3或AD=6, 即AD的长为3或6. 4 6/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1) 证明：∠BAC=∠EAD=90° ∴.BAC-∠EAB=∠EAD-∠EAB. ∴.∠EAC=∠DAB. 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠EAC=∠DAB. AD=AE :.△ABD≌aACE(SAS), .'.BD=CE: (2) 证明：△ABC和△ADE是等腰直角三角形， .∠C=∠ABC=45°，∠AED=∠EIDA=45°， .∠EAC+∠CEA=135°，∠BEF+∠CEA=135°， ∴.∠EAC=∠BEF 在△CAE和△BEF中，∠C=∠ABC,∠EAC=∠BEF, .△CAE∽ABEF」 5. 【详解】(1)证明：AB=AC, ∠B=∠C, :∠ADC=∠ABC+∠BAD=∠ADE+∠CDE,∠ADE=∠ABC .∠BAD=∠CDE, ∴.△ABD∽△DCE (2)解：AC=AB=8,AE=7, ∴.CE=AC-AE=1, △ABD△DCE, BD=BC-CD=6-CD,CE=AC-AE=8-7=1 0品go 解得CD=2或CD=4, .DC的长为2或4. 7/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6. 【详解】(1)解：，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4. ..AB=AC2+BC2=42: (2)解：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4,点D为边AC的中点， ∠A=∠B=45°，AD=CD=2, D F EF∥AC, 、∠FEB=∠A=45°，而∠DEF=45°， .∠DEB=90°=∠AED, AB=5AD=5: 2 (3)证明：，旋转， 、.DE=EF,LDEF=45, 如图，，∠DEF+∠BEF=∠DEB=∠A+∠ADE,∠DEF=∠A=45°， ∴.∠BEF=∠ADE, D :∠A=∠B=45°，DE=FE, ∴△ADE≌△BEF; 7. 【详解】(I)证明：：∠CBF=∠BCA+∠BAC,∠CAE=∠BAC+∠DAE,∠CBF=∠CAE, ∴.∠BCA=∠DAE, :∠BDE=∠DAE+∠DEA,∠CAE=∠BAC+∠DAE,∠BDE=∠CAE, .∠BAC=∠DEA, AABC△EDA. 8/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：过点B作BFLCD的延长线于点F, D F 则∠CFB=90°，∠BCF+∠FBC=90°， :∠ACB=90°， .∠ACE+∠BCF=∠ACB=90°， .∠ACE=∠FBC, 又AE⊥CD, .∠AED=∠AEC=90°=∠CFB, ∴△ACE∽aCBF, AC_AECE CB CF BF' ∠BED=45°， ∴.∠FBE=180°-∠CFB-∠BED=180°-90°-45°=45°， ..EF BF, AC AECE CB CF EF· AC 1 8CF2: AC AE CE 1 CB CF EF 2 设AE=a,则CF=CE+EF=2a, EF2,即CE=EF 4 CEF+EF=2a,解得EF专 3a, 4 .BF=EF=30, :∠AED=∠DFB=9O°，∠ADE=∠BDF, 9/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △AEDP△BFD, AD AE a 3 394 BD BF4 8. 【详解】解：(1)：ABC=90°，AC=BC=4, ∴.∠A=∠B=45°，AB=4V2, .BD=AB-AD=4V2-V2=3√2， :∠A+∠ACD=∠CDF+∠BDF,∠A=∠CDF=45°， ∠ACD=∠BDF, ∴△ACD∽△BDF, AC AD BD BF 42 ·32BF 郎3 (2)如图2中，延长AC交BF的延长线于点T. T 4 B D 图2 :∠A=∠CDF=∠B=45°， ∴∠T=90°，TA=TB ,∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDF+∠BDF, ∴.∠ACD=∠BDF, .△ACDP△BDF AC AD .BD BF AD DB, 9 AD “AD8, 10127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴AD=6V2, .AB=2AD=12W2, .TA=TB=12, :.CT=12-9=3,TF=12-8=4, ..CF=CT2+TF2=32+42=5: (3)如图，过点E作EF与CD交于点F,使∠EFD=45°， E B F :∠B=∠ADE=45°， ∴，∠BAD=∠EDF, ∴△ABD∽△DFE, ÷提=品。 DE=2AD,AB=42, DF=√2AB=8, :∠EFD=45°，∠ADE=45°， :.∠EFC=∠DEC=135°， ∴.△EFC∽△DEC, FC_EC EC CD, .x-8_y y x' y=Vx2-8x(x>8)」 9. 【答案】(1)证明：如图： 3 B-- H G 11/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :四边形ABCD是矩形， .∠A=∠D=∠C=90°， .∠1+∠3=90°. :E,F分别在AD,BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上， ∴.∠EPH=∠A=90° .∠1+∠2=90°， ∠3=∠2， .△EDP∽△PCH, (2)解：如图1， 图1 设DE=x,则AE=PE=2-x :点P为CD的中点，CD=2, ..PD=PC=1. 由DE2+PD2=PE2,得x2+1P=(2-x)}2, 静得。 由(1)知△EDP∽△PCH, HP 1 ÷那即23 PE ED 44 p-3 (3)解：如图2，延长AB,PG交于点M,连接AP. 12127 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B: G M 图2 由翻折，得AE=EP .∠EAP=∠EPA. ∠EAB=∠EPG=90°， ∴，∠MAP=∠MPA. ∴.MA=MP :点P为CD的中点， ..DP=CP=1 由翻折，得PG=AB=CD=2, :点H为BC的中点， .BH=CH :∠BHM=∠CHP,∠HBM=∠HCP. ·.AMBHS≌aPCH(ASA). ·BM=CP=1,HM=HP .MP=MA=BM+AB=3 HP=号MP=3 2 29 在RAPC中，C=r-心-（月-P- :CH= 2 .BC=2CH=5, :.AD=BC=5, 在RtAAPD中，AP=VAD2+DP2=N6, 由翻折，得AP⊥EF,BG⊥EF 13127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BG∥AP .△BMGAAMP BG 1 BG BM AM3,即63 BG=6 3· 10 【详解】(1)解：：AB=AC,∠BAC=90°， ·∠B=∠C=45°， .∠BPF=∠BPE+45°=∠PFC+∠C=∠PFC+45°， .∠BPE=PFC, △BPEACFP,故②正确， BE PE 六∠BEP=∠CPF,C序，故③@正确， ,没有边相等的条件， ∴，△BPE与aCFP不一定全等，故①错误， .结论正确的是②③④. (2)解：由(1)可知，△BPEACFP, BE BP PC FC' .BE =FC=7,BP=6. 76 ·PC7' 解得：PC-49 . (3)解：△BPE与△CFP相似，理由如下： :∠B=∠C=45°，∠EPF=45°，∠EPC=∠EPF+∠FPC=∠B+∠BEP, .∠BEP=∠CPF, ∴.△BPE∽aCFP 题型三：手拉手与旋转模型 14/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.D 2.A 3.B 4.D 5.D 6.①②④ 1. (1)证明：：∠ACB=∠DCE=90° ∴.∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠DCB=∠ECA, 又：CB=CA,CD=CE .△DCB≌aECA(SAS), ∴.BD=AE: (2)解：BD=2AE,BD⊥AE,证明如下： ,∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠EDC, ∴.△ACB∽△ECD CB CA CD CE' CB CD ∴CACE' ,:∠ACB=∠DCE=90° :.∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠DCB=∠ECA, CB CD 又：CACE' ∴.△DCBAECA, BD==2,∠BDC=∠AEC AE AC .'BD=2AE, '.∠BDC+∠DFE=∠AEC+∠DCE, ∴.∠DFE=∠DCE=90°，即BD⊥AE: (3)解：如图，过点C作CE⊥CD,在CE上取点E使CE=3CD,连接DE,AE 15/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D b∠==二 由(2)知：△ACE∽△BCD, BD BC 1 EAC=3 .AE=3BD .CD=10. ∴.CE=3V10, ∴由勾股定理得，DE=√CD2+CE=10, AD=6, .AE≤AD+DE=16, ∴.AE最大值为16， 6 六BD的最大值为3 8. 【答案】(1)1 (2):△ABC和△ADE是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°， AD 12 AB AE=22AC ∠DAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=45°、 .∠DAB=∠EAC,且∠ABC=∠ADE=90°， .△ADB△AEC, AD BD ·ABCE=2 ∴.CE=V2BD」 (3)CE=3BD 【详解】解：(1)，△ABC和△ADE都是等边三角形， 16127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠DAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=60°， .∠DAB=∠EAC. ∴在△ADB和△AEC中，AD=AE,∠DAB=∠EAC,AB=AC, .△ADB≌aAEC(SAS), BD ∴BD=CE'即CE =1 (2)略 3)RC0E2,∠ABC=∠A0E=909 ∴.△ABCAADE :.∠DAE=∠BAC,即∠DAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC, .∠DAB=∠EAC, 设AB=V2x,BC=2x, 在Rt△ABC中，4C=VAB+BC-V2x+(2x=6x, 同理，在Rt△ADE中，设AD=V2b,DE=2b,则AE=V6b, AD b 3 AB2x3 D4B=∠EAC'AE6励3ACV6x3,即=Ag AE-AC-3 :.△DAB△EAC, BD AD 3 ·CE=AE=3,即CE=V5BD 9. 【详解】(I)CD'=BD:∠ADC=∠ADB 将线段AD绕点A逆时针旋转9O°得到线段AD, .∠DAD'=90°，AD=AD ∠BAC=90°， ·∠BAC-∠DAC=∠DAD'-LDAC,即∠DAB=∠DAC 又：AB=AC, ∴.△DAB≌AD'AC(SAS) .CD'=BD:∠AD'C=∠ADB 故答案为：相等（或CD=BD);相等（或∠ADC=∠ADB)· 17127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：：四边形ABCD是正方形 .∠DCB=90°，BC=DC :CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE', ∴.∠ECE'=90°，CE=CE ∠DCB=∠ECE'=90°， ·.∠DCB-∠BCE=∠ECE'-∠BCE即∠DCE=∠BCE' ∴.△BCE'≌aDCE(SAS) ∴.∠BEC=∠DEC=90° .∠CED+∠CEF=180° ∴.∠CEF=90 ∴.∠BE'C=∠ECE'=∠CEF=90° .四边形CEFE'是矩形 又，CE=CE ∴四边形CEFE是正方形： (3)解：：CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE', ∴.∠ECE'=90°，CE=CE' CG 4 CE3' CG 4 …CE3 ,四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4, .CD=AB=3, BC 4 CD3 CG BC 4 CE CD 3 ,∠DCB=∠ECE'=90°， ∴∠DCB-∠BCE=∠ECE'-∠BCE即∠DCE=∠BCE ∴.△BCG∽△DCE .∠BGC=∠DEC=90° .:∠CED+∠CEF=180° ∴.∠CEF=90° 18/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BGC=∠ECG=∠CEF=90° ∴四边形CEFG是矩形， AB FC 3 BCCG4 ,△ABC∽△FGC c ACBC ∠ACB=∠FCG ∴.∠ACF=∠BCG ∴，△AFC∽△BGC AC AF ·BCBG .AC=AC2+BC2=5 8 :B65 A D G 10. 【详解】解：(1)AH=CH+V2BH,理由如下， 如图，当点G,H重合时， :正方形ABCD与正方形BEFG, AB=BC,BE=BH,∠ABC=90°，∠EBH=90°， ∴.EH=V2BH,∠ABE=90°-∠EBC=∠CBG, 、△ABE≌aCBG(SAS), ∴.AE=CG. ∴.AH=AE+EH=CH+√2BH; (2)AH=CH+√2BH,理由如下， 19127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)得△ABE≌aCBG(SAS), ∴.∠1=∠2， 在AE上截取AM=CH, E M 4 2 ∠I=∠2，AB=BC, .△MAB≌aHCB(SAS), .∠3=∠4，BM=BH, :∠5=90°-∠4-∠EBC,∠6=90°-∠3-∠EBC, .∠5=∠6， :.∠MBH=∠6+∠EBC+∠4=∠5+∠EBC+∠4=∠EBG=90°， ∴，△MBH是等腰直角三角形， .MH=√2BH, .AH AM+MH, .AH=CH+2BH: (3)CH=AH+V2BH,理由如下， 由(1)得△ABE≌aCBG(SAS), .AE=CG,∠1=∠2， 在CG上截取CM=AH, B ∠I=∠2，BC=AB 20127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.△ABH≌aCBM(SAS). ∴.BH=BM,∠3=∠4， 同理，△MBH是等腰直角三角形， .MH=√2BH, .CH CM+MH, ∴.CH=AH+V2BH」 题型四：A字型和筝型相似 1.C 2.C 3.5 4.0.8或2 212 5.3或5 6. 【答案】(1) 证明：AB=6,AC=8,BD=2,CE=5, .AD=AB-BD=4,AE=AC-CE=3. AE AD I AB AC 2 又∠DAE=∠CAB, AAED∽△ABC; (2)解：由(1)可知，△AED∽△ABC, DE AD 1 BC AC 2' DE=5, ∴.BC=10 7. 【答案】(1) 证明：∠DAE+∠AED+∠ADE=180°，∠BAC+∠B+∠C=180°，∠AED=∠B, ∴.∠ADE=∠C, 21127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、ADDF 又：ACcG' .△ADFn△ACG, ∴.∠DAF=∠CAG, ∴.AG平分∠BAC. 2) :∠AED=∠B,∠EAF=∠BAG .△AEF∽△ABG EF AF BGAG 由(1)知△ADF∽aACG, DF AF CGAG' EF DF ·BGCG 8. 【答案】(1) 证明：，∠BAC是直角，ME⊥BC, .∠BAC=∠EMC=90°， ,∠C=∠C, .△ABC∽aMEC: (2) 证明：，∠BAC是直角，ME⊥BC, .∠C+∠E=LC+LB, ∴.∠E=∠B, :点M为直角△ABC斜边的中点， .MA=MB,∠MAD=∠B: 而∠AMD=∠EMA, .△MAD∽aMEA. AM MD ÷MEAM' ∴.AM2-MD.ME. 22127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9. 【答案】 证明：·AD⊥BC,BE⊥AC, ∴.∠ADC=∠BEC=90°， 又：∠C=∠C, ·.△ADC∽△BEC, AC DC BC-EC' AC BC DC EC 又：LC=∠C, .∴△ABCOADEC 10. 【答案】(1) 证明：：BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E, .∠ADB=∠AEC=90°， ∠A=∠A, ∴.△ADB∽A△AEC (2)证明：△ADBn△AEC :D、AB AE AC AD AE AB AC' ∠A=∠A, ∴△ADE∽△ABC, AD DE AB BC' 5 DE 1315 解得DE= 13· 题型五：8字型和蝶型相似 1.A 23127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.D 3.D 4.5 5.23 6. 【答案】(1) 证明：∠ADE=∠ACB,∠ADE+∠BDF=180°，∠ACB+∠ECF=180°， ∴∠BDF=∠ECF,且∠DFB=∠CFE, ∴.aDBF∽aCEF: (2)DF=5 (2)解：：ADBFSACEF, DB CE ÷DF=CF,且BD=10'CE=6'CF=3' .DF-DB-CF_10x3 CE =5 6 1 【详解】(1)解：过点A作AF⊥BC,垂足为P,如图， D F C ,AB=AC=10,BC=12, :.BF-FC-1BC=6, 2 ∴在Rt△MCF中，AF=VAC2-FC2=8, SAAC-BD=号BCAF 2 :BD=48 CD=BC2-BD =36 24127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：∠BAD=∠E,∠ADB=∠EDC=90°， .△ABD∽△ECD 48 10 .5 ·ABBD,即EC=36, EC CD 5 .EC=1 2· 8. 【答案】(1)证明：，∠ECB=∠DCA」 ·∠ECB+∠ECA=∠DCA+∠ECA,即∠ACB=∠DCE, .DCEC 又：ACBC ∴.△ABCn△DEC: (2):△ABC∽△DEC .∠CDF=∠EAF ∠DFC=∠AFE .△AFD∽△AFE 诞宽 '∠AFD=∠EFC ∴.△ADF∽△ECF 9. 【详解】(1)证明：，△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE, .△ABC≌△ADE」 :AC=AE,AB=AD,CB=ED,∠CAB=∠EAD, AC AE ∠CAE=∠BAD,AB=AD' .△AECn△ADB: (2)连接AO,设AB与OC交于点M :△AEC∽△ADB .∠ACE=∠ABD ,∠AMC=∠OMB 25127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△AMC∽△OMB AM OM .∠MOB=∠BAC, MC BM ,∠AMO=CMB ∴.△AMO∽△CBM ∴∠AOM=∠ABC :∠ACB=90 ,.∠ABC+∠BAC=90 .∠AOMf∠MOB=90。 .AO⊥BD '.'AD=AB ∴.D0=B0 ∴O是否为DB的中点 10. 【答案】(1)△ADE与△ABC相似，理由如下： ∠E=∠C,∠EAD=∠CAB, .△ADEn△ABC: (2)①：△ADE∽△ABC AD AE AD AB ·∠AED=∠ACB'AB=AC,即AE=AC, ∠DAB=∠EAC, ∴.△ABD~△ACE, ∴∠ADB=∠AEC: ②：∠AED=∠ACB,∠ADB=∠AEC, ∴.∠CED=∠AEC+∠AED=∠ADB+∠ACB=I8O°-∠CBD. .∠CBD+∠CED=180°： AE4 (3)解：“在AABD和△ACE中，∠DAB=∠EAC:EA=CADA=BA'AD5' AC AE 4 ABAD5' :∠DAB=∠EAC, .△DAB△EAC, 26127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EC 4 ·BD5,∠ADB=LAEC' 在四边形AEDF中，∠ADF=∠AEF, 由(2)得∠EAF+∠EDF=180°， ∴.∠AED+∠AFD=180°， ,∠AED=90°， .∠AFD=90°： DA=BA,AF⊥BD, :.BF=DF=IBD, 2 EC 4 BD5' BD 5 EC4' BD .BF_2 5 ECEC 8 27127