高一数学上学期期中模拟卷01（人教A版，范围：必修第一册第一章～第三章，举一反三）

2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷01 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版必修第一册第一章~第三章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）命题“，都有”的否定是（   ） A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 2．（5分）已知集合，，则的子集个数为（） A． B． C． D． 3．（5分）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（5分）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（5分）已知为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数和一次函数的图像关系可能是（   ） A．   B．   C．   D．   6．（5分）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）关于的不等式的解集为，则（   ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 8．（5分）已知定义在上的函数满足对，，都有，若，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）对于实数，，，正确的命题是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 10．（6分）设集合，，则（   ） A．当时， B．当时，有4个元素 C．当时， D． 11．（6分）设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如．令函数，以下结论正确的有（   ） A． B． C．的最小值为0 D．是R上的增函数 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）若幂函数在上单调递减，则实数___________． 13．（5分）如图所示，某学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为___________. 14．（5分）设定义在R上的函数满足，且当时．若对任意，不等式恒成立，则实数λ的最大值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 16．（15分）已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 17．（15分）由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台．每生产台该产品，需另投入成本万元，且，当年产量为5台时，需另投入成本225万元．由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18．（17分）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷01 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）命题“，都有”的否定是（   ） A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 【答案】A 【解题思路】根据全称量词命题的否定是特称量词命题可得结果. 【解答过程】因为全称量词命题的否定是特称量词命题， 所以“，都有”的否定“，使得”. 故选：A. 2．（5分）已知集合，，则的子集个数为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，求出中的元素，进而求得子集的个数. 【解答过程】根据题意，，故集合的子集个数为个. 故选：D. 3．（5分）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断. 【解答过程】由且，得；反之，由，得且，或者且， 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（5分）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据抽象函数的定义域先求得函数的定义域为，进而求解即可. 【解答过程】因为的定义域为，则，可得， 所以函数的定义域为， 由，解得且， 故的定义域为. 故选：D. 5．（5分）已知为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数和一次函数的图像关系可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解题思路】根据幂函数和一次函数的图像特征，对四个选项一一判断. 【解答过程】对于A：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三象限可以判断出.矛盾.故A错误； 对于B：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、四象限可以判断出，矛盾.故B错误； 对于C：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、三、四象限可以判断出，且，矛盾.故C错误； 对于D：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三、四象限可以判断出，可以同时成立，故D正确. 故选：D. 6．（5分）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】从中解出，代入整理得到，利用基本不等式求解即可. 【解答过程】，，， ， ，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值为. 故选：C. 7．（5分）关于的不等式的解集为，则（   ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】C 【解题思路】利用一元二次不等式的解集与系数的关系可判断A选项；分析可知、是关于的方程的两根，结合韦达定理可得出，利用一次不等式的解法可判断B选项；代入计算可判断C选项；利用一元二次不等式的解法可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，因为关于的不等式的解集为，则，A错； 对于B选项，由题意可知、是关于的方程的两根， 所以，即， 故不等式即为，即，解得， 所以不等式的解集为，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，不等式即为，即， 即，解得或， 故不等式的解集为，D错. 故选：C. 8．（5分）已知定义在上的函数满足对，，都有，若，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依题意根据函数单调性定义可得在上单调递增，原不等式等价于，即可解出. 【解答过程】由，得， 令，则，因此函数在上单调递增， 由，得， 由，得， 即，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）对于实数，，，正确的命题是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【答案】ABD 【解题思路】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可. 【解答过程】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，.故C错误； 对选项D，因为，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 10．（6分）设集合，，则（   ） A．当时， B．当时，有4个元素 C．当时， D． 【答案】ABD 【解题思路】根据交集和并集运算判断AB，举反例判断C，结合元素的互异性和子集关系，分类讨论判断不成立，即可判断D. 【解答过程】A选项：当时，，，所以，正确； B选项：当时，或即， 当时，，，，有4个元素； 当时，，，，有4个元素；正确； C选项：由A选项可知当时，，， ，符合，但是不满足，错误； D选项：当时，，则，， 根据集合中元素满足互异性，得到，所以， 当时，，，不满足； 当即时，，，不满足； 当，即或（舍去），即时，，，不满足； 当，即或（舍去），即时，，，不满足； 综上，不存在，使得，所以，正确； 故选：ABD. 11．（6分）设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如．令函数，以下结论正确的有（   ） A． B． C．的最小值为0 D．是R上的增函数 【答案】BC 【解题思路】根据题意，利用高斯函数的定义算出的值，即可判断A项的正误；由高斯函数的定义，证出，即可判断出B项的正误；由B项的分析可知是周期为1的周期函数，然后分析在上的解析式，即可判断C项的正误；通过举反例加以说明，即可判断D项的正误． 【解答过程】对于A，由题意得，所以A错误； 对于B，，所以B正确； 对于C，由，可知是周期为1的周期函数， 在上的值域就是在上的值域， 当时，；当时，， 可知在上的值域为，即的最小值为0，所以C正确； 对于D，，而， 所以，所以在R上不是增函数，所以D错误． 故选：BC． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）若幂函数在上单调递减，则实数___________． 【答案】 【解题思路】利用为幂函数求出的值，分别代入原函数验证是否满足要求. 【解答过程】因为为幂函数，所以， 即，，所以或. 当时，，在上单调递减，故符合； 当时，，在上单调递增，故不符合； 综上，. 故答案为：. 13．（5分）如图所示，某学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为___________. 【答案】 【解题思路】设利用旧墙的长度为米，由面积求得矩形的另一边长，根据题意求得修建此矩形场地的总费用，利用基本不等式即可求解. 【解答过程】设利用旧墙的长度为米，修建此矩形场地的总费用为元， 由题意知，矩形的另一边长为米， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 所以为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为. 故答案为：. 14．（5分）设定义在R上的函数满足，且当时．若对任意，不等式恒成立，则实数λ的最大值是___________． 【答案】2 【解题思路】利用得到函数的递推关系，可得不同区间内函数的表达式，再结合求解即可. 【解答过程】当时，， 因为，即， 所以当时，，则， 当时，，则， 当时，，则不满足恒成立， 所以令，解得或， 又，所以， 所以实数λ的最大值为2. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【解题思路】（1）由集合的交、补运算求集合； （2）由题设得，讨论、列不等式求参数范围. 【解答过程】（1）当时，， 此时，故或； （2）若，则，且， 若，则，可得； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为或. 16．（15分）已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将先求出集合，将题设问题转化为集合A是集合B的真子集，进而根据包含关系求解即可； （2）将题设问题转化为，先求出时的取值范围，进而得到时的取值范围. 【解答过程】（1）由，. 若“”是“”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集. 所以，解得， 当时，，符合题意， 故的取值范围是. （2）因为“，”是真命题，所以. 当时，因为，所以或，解得或. 所以当时，的取值范围是. 17．（15分）由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台．每生产台该产品，需另投入成本万元，且，当年产量为5台时，需另投入成本225万元．由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当年产量为50台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是900万元． 【解题思路】（1）利用利润销售收入-成本公式列式求解即可； （2）利用二次函数性质和基本不等式计算求解即可． 【解答过程】（1）由题意可得，当时，，故， 故当时，； 当时，． 故年利润关于年产量的函数关系式为 ； （2）由（1）得当时，； 当时，； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，． 而，故当时，年利润最大，最大年利润是900万元． 综上所述，当年产量为50台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是900万元． 18．（17分）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； (2) (3) 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解法，对参数进行分类讨论，进而求出结果； （2）根据二次不等式恒成立的条件，进行参变分离，进而求出参数的取值范围； （3）根据任意恒成立的条件，对函数进行变形，对新参数进行讨论，求出函数最小值，列出不等式，进而求出结果. 【解答过程】（1）由题意可知，当时，，解得； 当时，令，即，解得或. 当时，，则，解得； 当时，，则，无解； 当时，即，则，解得， 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； （2）由题意得，即， 当时，可知，可得， 因为，所以， 即，不等式恒成立，等价于，恒成立； 可知时，，所以，即实数的取值范围为； （3）由题意得，即，化简得， 可知，不等式恒成立，等价于，不等式恒成立； 当时，不等式不成立，不符合题意； 当时，，不等式恒成立， 令，则在上单调递减， 即得恒成立，解得， 当时，，不等式恒成立， 在上单调递增，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 19．（17分）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)； (3). 【解题思路】（1）通过对进行赋值，结合奇函数定义即可证明； （2）根据函数单调性的定义，可证明函数在上为减函数，即函数的最大值为，再通过赋值结合函数的奇偶性，即可求解； （3）由题意，对所有的，恒成立，即，根据函数单调性，可得恒成立，再结合一次函数的图像性质即可求解. 【解答过程】（1）奇函数，证明如下： 取，则，所以， 取，则， 所以对任意恒成立， 所以为奇函数． （2）任取且，则， 所以，所以， 又为奇函数，所以，所以． 故为上的减函数． 所以在上的最大值为， 因为， 所以， 故在上的最大值为6． （3）因为在上是减函数，所以， 因为对所有，恒成立． 所以对所有恒成立， 即对所有恒成立， 令，则， 即，解得：或． 所以实数的取值范围为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $