第5章 函数的概念与性质16大题型80题（期中专项训练）高一数学上学期苏教版必修第一册

第5章函数的概念与性质 基础·固本强基 题型1 函数的定义域 题型2 已知函数的定义域求参数 题型3 函数求值 题型4 函数的解析式 提升·进阶突破 题型5 函数的值域 题型6 函数的单调性 题型7 函数的奇偶性 拔高·压轴破难 题型8 已知函数的值域求参数 题型9 已知函数的单调性求参数 题型10 函数的奇偶性求参数 题型11函数的奇偶性求解析式 题型12 抽象函数问题 题型13 函数的奇偶性求值 题型14 函数的奇偶性对称性求解析式 题型15 恒成立问题 题型16 存在性问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1函数的定义域（共5小题） 【模型】函数定义域 【步骤】抽象函数定义域步骤，括号里范围相同。 【易错】抽象函数定义域指的是x的范围，括号里范围相同。 1．(25-26高一上·江苏海安高级中学·期中)已知，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得的定义域，进而求得的定义域. 【详解】对于， 由解得， 所以的定义域为. 对于有， 解得，所以的定义域是. 故选：C 2．(25-26高一上·江苏无锡经开区太湖高级中学·期中)函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式和根式有意义列不等式组求解即可. 【详解】由题意可得. 故选：C 3．(25-26高一上·江苏南京金陵中学·期中)已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数定义域求法和偶次根式被开方数大于等于零可构造不等式组求得结果. 【详解】的定义域为，，解得：， 的定义域为. 故选：B. 4．(25-26高一上·江苏南通海门实验学校·期中)已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数有意义，结合抽象函数的定义列不等式式求出定义域. 【详解】由函数的定义域是及有意义， 得，解得，且， 所以函数的定义域为. 故选：C 5．(25-26高一上·江苏南京东高，雨花台中学，秦淮科技高中，金陵河西四校共同体·期中)已知函数的定义域是，则的定义域为__________. 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，函数的定义域是， 所以对于，有， 解得，所以的定义域为. 故答案为： 题型2已知函数的定义域求参数（共5小题） 【模型】已知函数的定义求参数 【步骤】函数定义域为R时，转化成恒成立问题。 【易错】含参问题，注意讨论系数为0. 6．(24-25高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由题意可知不等式的解集为R，分情况讨论，即可求解. 【详解】当时，不等式恒成立. 当时，恒成立； 当时，则需满足， 综合可得的取值范围是. 故选：C 7．(23-24高一上·江苏盐城滨海县东元高级中学与大丰区新丰中学·期中)若函数的定义域是一切实数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：对一切实数恒成立，分和两种情况，结合二次方程分析求解. 【分析】由题意可知：对一切实数恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数k的取值范围是. 故选：C. 8．(21-22高一上·江苏百校大联考·)已知函数的定义域为，则实数a的取值集合为（    ） A．{1} B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，对比即可得出. 【详解】由可得，即的定义域为，所以， 则实数a的取值集合为. 故选：A. 9．(23-24高一下·江苏如东县第一高级中学创新班·期中)若函数的定义域为R， 则实数 a的取值范围是（    ） A．[0，1] B．[0，1） C．[0，] D．[0，） 【答案】D 【分析】根据题意将问题转化为二次型不等式恒成立问题，结合对参数的讨论，根据即可求得结果. 【详解】要满足题意，只需在上恒成立即可. 当时，显然满足题意. 当时，只需， 解得. 综上所述， 故选：D. 10．(24-25高一上·江苏淮安七校联盟·期中)已知函数的定义域为，求实数k的取值范围______． 【答案】 【分析】根据函数的值域的概念以及一元二次不等式恒成立问题求解. 【详解】由题可得，对恒成立， 当时，不满足题意； 当时，要使对恒成立， 则有，解得， 所以实数k的取值范围是. 故答案为: . 题型3函数求值（共5小题） 【模型】函数求值 【步骤】复合函数，由内而外层层带入。 【易错】分段函数，注意范围， 11．(25-26高一上·江苏无锡经开区太湖高级中学·期中)已知函数的定义域为R，且对，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】通过赋值法构造方程组，解方程组即可求解. 【详解】已知对， 令得：； 令得：. 由，解得：，即. 故选：C 12．(25-26高一上·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)函数由下表给出，则（ ） x 1 2 3 4 2 4 3 1 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据表中的对应关系，求解即可得到答案． 【详解】由表格可知，时，， 所以． 故选：D． 13．(25-26高一上·江苏淮安高中协作体·期中)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，所以， 故. 故选：A. 14．(25-26高一上·江苏徐州第三十七中学·期中)设函数则______. 【答案】 【分析】根据分段函数解析式由内往外求解即可. 【详解】因为函数 所以，， 所以. 故答案为： 15．(25-26高一上·江苏淮安·调研)已知函数，则______. 【答案】 【分析】由函数解析式的含义可得. 【详解】因为函数，所以 . 故答案为：. 题型4函数的解析式（共5小题） 【模型】函数的解析式问题 【步骤】换元法，方程组，待定系数法求函数的解析式 【易错】换元法注意范围。 16．(25-26高一上·江苏徐州第三十七中学·期中)已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配凑法求函数解析式． 【详解】因为， 所以，则. 故选：C 17．(25-26高一上·江苏镇江·期中)（多选）下列各组函数是同一个函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A、D，根据函数定义域不同即可判断；再根据同一函数概念判断BC即可． 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为， 所以不是同一函数，故A不符合题意； 对于B，与定义域和对应关系均相同，是同一函数，故B符合题意； 对于C， 的定义域、对应关系、值域都相同，是同一函数，故C符合题意； 对于D，定义域不同，不是同一函数，故D不符合题意； 故选：BC． 18．(25-26高一上·江苏泰州中学·期中)一次函数（），且，求_________. 【答案】 【分析】利用整体代入法，即可列方程求解. 【详解】， 故且，结合，解得， 所以 故答案为： 19．(25-26高一上·江苏常州田家炳高级中学·期中)已知，则______． 【答案】 【分析】利用换元法可得函数的解析式. 【详解】令，则，， 所以，， 所以. 故答案为：. 20．(24-25高一上·江苏淮安高中校协作体·期中)已知二次函数满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法可求得函数的解析式. 【详解】令，则，所以， 故. 故选：A. 提升·进阶突破 题型5函数的值域（共5小题） 【模型】函数的值域 【步骤】考虑函数的图像与函数的单调性求出函数的最值 【易错】注意随时考虑定义域。 21．(25-26高一上·江苏苏州苏州大学附属中学·期中)设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化简变形为，由分式的性质求函数的值域，再由函数新定义确定的值域. 【详解】由， 由，则，故. 故选：D 22．(24-25高一上·江苏扬州中学·期中)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法并根据二次函数性质计算可得结果. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值2，即； 所以其值域为. 故选：A 23．(24-25高一上·江苏徐州第三十七中学·期中)定义运算“”：，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得函数为，再分段求值域即可. 【详解】由，可得， 所以， 当时，， 当时，在上单调递增，所以， 当时，在上单调递减，所以， 所以的值域为. 故选：A. 24．(25-26高一上·江苏扬州扬州大学附属中学·期中) （多选）已知偶函数满足：时，，则下列结论正确的有（   ）． A． B．， C．的值域为 D．的解集为 【答案】BC 【分析】利用赋值法可判断A选项，利用消元法可得函数解析式即可判断B选项，利用均值不等式可得值域即可判断C选项，解不等式，结合偶函数可判断D选项. 【详解】A选项：取，则，所以，A选项错误； B选项：由当时，，则， 解得， 当时，，则， 由函数为偶函数，所以当时，，B选项正确； C选项：当时，， 又函数为偶函数，所以当，， 即函数的值域为，C选项正确； D选项：当时。令，解得或， 又因为函数为偶函数，则的解集为，D选项错误； 故选：BC. 25．(25-26高一上·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期中) （多选）对于函数（），下面几个结论中正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数是奇函数 C．函数的值域为 D．函数在上是增函数 【答案】BCD 【分析】利用函数奇偶性定义可判断AB，再利用分段讨论单调性来求值域，可判断CD. 【详解】因为，且定义域为，所以函数是奇函数，故A错误，B正确； 当时，， 此时在时单调递增，所以， 当时，， 当时，由奇函数的对称性可知，此时， 综上可得：函数的值域为，故C正确； 当时，， 此时在时单调递增，根据奇函数对称性可知， 在时也单调递增，由于函数的定义域为，且， 所以函数在上是增函数，故D正确； 故选：BCD 题型6函数的单调性（共5小题） 【模型】函数的单调性 【步骤】复合函数的单调性口诀为同增异减。 【易错】随时考虑函数的定义域。 26．(25-26高一上·江苏盐城集团校·期中)已知函数，当时，的单调递减区间是________；当时，，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】第一问分区间去绝对值，转化为二次函数后，结合对称轴与开口方向确定单调递减区间；第二问分与讨论，利用函数单调性与判别式分析不等式成立条件，调整的取值要求以适配的限定. 【详解】（1）当时，. 时，，在上单调递增； 时，，其对称轴为，开口向下， 故函数在上单调递减，在上单调递增， （2）当时，即. 若，因，故，不等式化为. 令，其对称轴为，故在上单调递增， 需， 即，解得. 若，则当时（此时满足），，不满足在上恒成立，故不符合题意， 故的取值范围是. 故答案为：； 27．(25-26高一上·江苏连云港灌南县·期中)函数的单调递增区间是______． 【答案】 【分析】由，求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】由，可得， 因为在上单调递增，而在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性，可知的单调递增区间为. 故答案为： 28．(25-26高一上·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)已知函数，定义域为． (1)试判断函数在上的单调性，并用定义法证明． (2)求函数的值域； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) 单调递增，证明如下： 设，则， 化简得：， 因为，所以，，， 那么，即， 所以函数在上单调递增； (2)； (3) 或. 【分析】（1）通过作差比较函数值大小来判断； （2）结合单调性确定函数取值范围； （3）解不等式则依据函数单调性将函数值大小关系转化为自变量大小关系. 【详解】（1）略 （2）因为，即， 则，可得， 所以， 因此函数在区间上的值域为. （3）因为在上单调递增，且，所以可得， 解，，； 解，，； 解，即，因式分解得， 则或， 时，，取； 时，，取； 综合可得或. 29．(24-25高一上·江苏扬州中学·期中)已知函数 (1)求的值； (2)若，用单调性定义证明：函数在上是减函数． 【答案】(1) (2)证明：由题意可得， 且， ， 因为，所以，，， 所以，即， 因此函数在上是减函数． 【分析】（1）先根据函数解析式求出的值，代入即可求解； （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以. （2）略 30．(24-25高一上·江苏连云港赣榆区·期中)已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)求在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，且，则 ， 因为，所以，且，即， 所以； 故在区间上单调递增. (2)； 【分析】（1）由单调性定义证明； （2）根据单调性得最值． 【详解】（1）略 （2）由（2）知在上递增， 所以，． 题型7函数的奇偶性（共5小题） 【模型】函数的奇偶性 【步骤】考虑定义域，定义域对称，考虑奇偶函数的定义。 【易错】如果定义域不对称，函数没有家奇偶性。 31．(25-26高一上·江苏苏州常熟·期中)已知函数． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)当时，的最小值为，求实数a的值； (3)当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)当时，为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数.理由如下： 因为，定义域为， 若，则，满足 ， 所以为偶函数； 若， 因为，因为不能恒为0，所以不是偶函数； 因为，因为不能恒为0，所以不是奇函数. 所以函数为非奇非偶函数. 综上，当时，为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数. (2) (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的概念，分和讨论. （2）利用换元法，转化为二次函数在给定区间上的最小值问题求解. （3）先把问题转化成“在上恒成立”，再结合基本不等式求在的最大值即可. 【详解】（1）略 （2）因为， 设，，因为函数在上单调递增，所以. 又， 可设，. 问题转化为，的最小值为，求的值. 因为函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为. 当即时，在上单调递增，所以，不合题意； 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，可得； 当即时，在上单调递减，所以， 由 ， 因为，故不合题意，舍去. 综上可知：. （3）当时，. 问题转化为在上恒成立，求的取值范围. 由 在上恒成立. 则不小于在的最大值. 因为，当且仅当即时取等号，所以. 所以，即实数的取值范围为. 32．(25-26高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)用函数的单调性定义证明函数在上是减函数； (3)已知，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的范围. 【答案】(1)为奇函数 (2) 任取，不妨设， . 因此，即. 故在上是减函数. (3) 【分析】（1）由与的关系判断函数奇偶性； （2）用定义法证明函数的单调性； （3）由题可知在上的值域是在上值域的子集，根据（2）的结论可求出的值域，再分类讨论二次函数的对称轴的位置，结合在区间上的单调性确定值域，使其包含的值域即可得解 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称，且， 是奇函数. （2）略 （3）由（2）可知，在上是减函数，故在上的值域为. 由题可知，在上的值域是在上值域的子集. ，对称轴为. ①若，此时，则有： ，解得； ②若，此时，则有： ，此时无解； ③若，此时，则有： ，此时无解； ④若，此时，则有： ，此时无解； 综上所述，. 33．(25-26高一上·江苏常州合作学校·期中)已知函数，且. (1)求函数的解析式，判断函数的奇偶性并证明； (2)用定义证明在区间上单调递减； (3)求函数在区间上的值域.（直接写出结果） 【答案】(1) 由题设，，解得，故， 函数为奇函数，证明如下： 定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数； (2) 由（1）知，， 任取，且， 则， 因为，所以，， 则，故， 则在区间上单调递减； (3) 【分析】（1）运用代入法，结合奇函数的定义进行判断证明即可； （2）根据函数单调性的定义进行运算证明即可； （3）根据奇函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（1）（2）知，在上单调递减，且函数为奇函数， 所以在上递减，则函数在上递减， 而，， 故在区间上的值域为. 34．(25-26高一上·江苏苏州苏州大学附属中学·期中)已知． (1)若，直接写出函数的单调递增区间； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若在上的最小值是3，求实数的值． 【答案】(1)单调增区间为； (2)答案、理由为： 由，定义域关于原点对称， 若，则，故是奇函数， 若，则，此时，， 显然且， 所以既不是奇函数也不是偶函数. 综上， 当时，是奇函数； 当时，既不是奇函数也不是偶函数. (3)或2. 【分析】（1）写出函数的分段形式，再由二次函数的性质即得； （2）分和讨论，利用函数奇偶性的定义即得； （3）分情况讨论，利用二次函数的性质求在上最小值，即可得. 【详解】（1）由题设， 所以单调增区间为； （2）略 （3）， 对于图象的开口向下，且对称轴， 对于图象的开口向上，且对称轴， 当时，则，在、上单调递增，上单调递减， 当时，则，连续函数在上单调递增， 当时，则，在、上单调递增，上单调递减， 根据上述的单调性分析，结合不同范围下的图象，讨论如下： 当时，，则在上单调递增， 此时在的右侧，则，得，不满足前提；    当时，，则在上单调递增， 此时在的右侧或重合，则，得，满足前提；    当时，则在上单调递增， 此时在的左侧，在的右侧，则，得，满足前提；    当时，，则在，上单调递增，在上单调递减， 此时在的左侧，在的右侧， 而 ，则，不满足前提；    当时，，则在上单调递增，在上单调递减， 此时在的左侧，在和之间， 而 ，则，不满足前提；    当时，，则在上单调递增， 此时在左侧或重合，则，则，不满足前提；    综上，或2. 35．(25-26高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)函数的图象过点. (1)求实数的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断在区间上的单调性，并利用单调性定义证明； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)，奇函数 (2) 判断：在上单调递增，证明如下： 任取，则 因为，所以，即， 因此，故在上单调递增得证： (3) 【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式求出的值，再根据奇偶性的定义判断即可； （2）判断函数在给定区间的单调性，再根据函数单调性的定义证明即可； （3）利用函数的单调性、奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）函数图象过，所以，即，所以， 从而有，故为奇函数； （2）略 （3）因为在上单调递增，且为奇函数，所以在上单调递增， 令，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以不等式的解集为. 拔高·压轴破难 题型8已知函数的值域求参数（共5小题） 【模型】函数的值域求参数 【步骤】考虑函数的单调性，通过单调性求出函数的最值。 【易错】定义域含参，不能忽略分类讨论。 36．(24-25高一上·江苏南京六校·期中)已知函数， ，若函数的值域为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】首先化简函数，根据，，列不等式求实数的取值范围. 【详解】，则有，， 由 ，， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 本题关键点是化简函数解析式后，得到，，由函数定义域和值域，结合二次函数的性质，列不等式即可求解. 37. (22-23高一上·江苏射阳中学·期中)若函数的值域为，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围. 【详解】当时，函数的开口向下， 则函数的值域不是，不符合题意. 当时，， 定义域是，值域是符合题意. 当时，函数的值域为， 则，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 38．(22-23高一上·江苏南通海安高级中学·期中)除函数y＝x，外，再写出一个定义域和值域均为的函数______. 【答案】（答案不唯一） 【分析】由定义域与值域的概念求解， 【详解】令，满足定义域和值域均为， 故答案为：（答案不唯一） 39．(23-24高一上·江苏常州高级中学·期中)已知函数，若的值域为，则实数的值是__________. 【答案】/ 【分析】先由反比例函数的性质分析得，再由二次函数的性质确定的取值范围，从而结合函数图像即可得解. 【详解】因为， 当时，当时，，不合题意； 当时，当时，，不合题意； 所以， 当时，，即， 当时，开口向下，对称轴为， 当时，， 令，即，解得或（舍去）， 令，即，解得或， 作出的大致图象，如图， 因为的值域为，所以，解得，经检验，满足题意. 故答案为：. 40．(21-22高一上·江苏无锡北高级中学·期中)已知函数. (1)若函数定义域为，求的取值范围； (2)若函数值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，对任意都成立，由此建立关于的不等式组，解出即可； （2）依题意，能取遍所有正数，由此建立关于的不等式组，解出即可. 【详解】（1）函数定义域为， 对任意都成立， 当时，显然不恒成立，不合题意； 当时，由二次函数的性质可知，需满足，解得， 综上，实数的取值范围为 （2）函数值域为， 能取遍所有正数， 1：，解得， 2：， 符合题意 实数的取值范围为 题型9已知函数的单调性求参数（共5小题） 【模型】已知函数的单调性求参数 【步骤】分式函数适当的分离参数，通过反比例函数求出函数的单调性 【易错】分段函数不能忽略端点值。 41．(25-26高一上·江苏苏州常熟·期中)函数在区间上不是单调减函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分离常数得出，根据在区间上不是单调减函数便可得出，从而得出实数的取值范围． 【详解】在上不是单调减函数， ，解得 故答案为： 42．(25-26高一上·江苏苏州南京航空航天大学苏州附属中学·期中)已知函数 满足：对任意时， 当时，都有 成立，则实数a的取值范围是（   ） A．( ,2] B． C．[2,+∞) D．[1,2] 【答案】B 【分析】由题意得，函数在上单调递增，进而结合分段函数单调性求解即可. 【详解】由题意得，函数在上单调递增， 则，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：B. 43．(24-25高一上·江苏苏州中学·期中)已知函数在单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系求出范围. 【详解】函数中，，解得或， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数在上单调递增，因此函数的单调递增区间是， 依题意，，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D 44．(24-25高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)已知函数． (1)若满足，且，求的解析式； (2)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意计算可得，进而，解之即可求解； （2）由题意可得，解之即可求解. 【详解】（1）， ，所以. （2）因为图象为抛物线，开口向上且对称轴为，在上不单调， 所以， 即实数的取值范围为. 45．(23-24高一上·江苏镇江丹阳·期中)设是定义在上的函数，且对任意实数，有. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法求解即可； （2）由题意可得，设，结合和二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）由， 令，则， 则， 所以. （2）由， 设， 当，即时，恒成立， 此时，对称轴为， 则，即，所以； 当，即或时， 此时有或， 解得或，所以或. 综上所述，实数的取值范围为. 题型10函数的奇偶性求参数（共5小题） 【模型】已知函数的奇偶性求参数 【步骤】1.定义域的对称性，2.特殊值法，3.部分奇函数f(0)=0.4.定义法。 【易错】分段函数可以考虑端点值的对称性。 46．(25-26高一上·江苏扬州树人集团·期中)已知函数是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由函数为偶函数可得，从而可求得. 【详解】由函数是偶函数，则，可得， 所以，. 故选：A. 47．(25-26高一上·江苏无锡经开区太湖高级中学·期中)已知函数． (1)若是奇函数，求实数a的值； (2)若 ①判断函数的单调性，并证明你的结论； ②已知，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)①的单调递增，证明如下： 在R上任取，且， 则， 因为，在R上恒正，且单调递增， 所以，， 所以，即， 所以在R上单调递增. ② 【分析】（1）根据是奇函数，可得，可求得a值，根据奇偶性的定义，检验即可得. （2）①根据定义证明单调性的方法，取值、作差、整理、定号，得结论，即可得证. ②设由（1）及①可得，为奇函数且单调递增，将条件转化为，可得，利用基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）因为是奇函数，，所以， 解得，所以， 则，满足奇函数定义. 所以是奇函数，实数a的值为1. （2）①当时，在R上单调递增，证明略； ②设， 由（1）可得为奇函数，由①可得单调递增， 因为对，关于x的不等式恒成立， 所以， 即， 所以，可得， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，即实数k的取值范围是. 48．(25-26高一上·江苏宝应中学·期中)已知是定义在上的奇函数，且. (1)实数，的值； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)解不等式. 【答案】(1)， (2) 在上单调递增， 证明：，，且，即，， ， ，即， 所以在上单调递增. (3). 【分析】（1）根据函数是奇函数列式计算求参，再代入检验； （2）判断单调性，再应用单调性定义证明； （3）由（2）函数是偶函数，再利用单调性化简不等式求解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以，， 因为，所以， 检验：，所以，； （2）略 （3）令，在上是偶函数， 由第（2）问知，在上单调递增. ， 所以， 解得， 所以解集为. 49．(25-26高一上·江苏苏州·期中)已知函数是定义域上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断在区间上的单调性并说明理由； (3)若正数，满足，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 由（1）知， 函数在区间上单调递减，理由如下： 任取，则，， ， 所以，因此函数在区间上单调递减； (3) 【分析】（1）借助奇函数性质计算即可得； （2）借助函数单调性定义，任取，计算正负即可得； （3）借助基本不等式计算可得范围，再结合函数单调性计算即可得. 【详解】（1）因为的定义域为且是奇函数，所以在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 所以； （2）略 （3）因为，所以，整理得， 因为，，，所以，即，且，， 所以，当且仅当时，取等号， 由，，不能由，得到， 但，时，也有，所以， 由（2）知在区间上单调递减， 所以， 当时，， 又，所以， 所以的取值范围为. 50．(25-26高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)在（2）的条件下，解不等式. 【答案】(1) (2) 在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， ∵，∴，，，， ∴， ∴在上单调递增. (3) 【分析】（1）根据、求出解析式，再利用奇函数的定义检验； （2）利用单调性的定义证明； （3）根据单调性求解不等式. 【详解】（1）因函数是定义在上的奇函数，则，即， 又因，得，故， 检验，，故为奇函数. （2）略 （3）由（2）可知，函数在区间单调递增， 所以，得， 故不等式的解集为. 题型11函数的奇偶性求解析式（共5小题） 【模型】函数的奇偶性求解析式 【步骤】令x>0,x<0,通过求解f(-x)与奇偶性，求出函数的解析式 【易错】缺号0的部分，需要单独计算。 51．(25-26高一上·江苏苏州常熟·期中)定义在上的奇函数满足时，，则当时的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的性质求解即可. 【详解】由时，，且是定义在上的奇函数， 则当时，，所以， 所以. 故选：D. 52．(25-26高一上·江苏扬州大学附属中学东部分校·期中)函数是定义在上的奇函数，且当，，则时，__________. 【答案】 【分析】当时，，所以可写出的解析式.因为函数是定义在上的奇函数，所以可以通过求得. 【详解】当时，，所以. 因为函数是定义在上的奇函数，所以. 故答案为：. 53．(25-26高一上·江苏扬州大学附属中学东部分校·期中)已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数__________. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性列方程组，解方程组可得. 【详解】因为偶函数，所以，又， 得，即①. 又为奇函数，所以，又， 得②. 将①代入②得，， ，解得. 故答案为：. 54．(25-26高一上·江苏连云港灌南县·期中)已知是定义域为的奇函数，当时，． (1)求的值； (2)求在上的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的值，再结合奇函数的性质可得出的值； （2）利用奇函数的性质可求出函数在时的解析式，再由可得出函数在上的解析式. 【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，当时，， 则，故. （2）当时，，则， 由于函数是上的奇函数，故， 因此. 55．(25-26高一上·江苏淮安高中协作体·期中)函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. (1)求的值； (2)用定义证明在上是增函数； (3)求函数解析式； (4)不等式的解集.   【答案】(1) (2) 任取、且，即， ， ，，，， 即， 在上是增函数. (3) (4) 【分析】（1）利用奇函数的性质得出，代值计算即可得解； （2）任取、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （3）当时，，可得出，由奇函数的性质得出，综合可得出函数的解析式； （4）解法一：分析函数的解析式，由题意可得，然后分、、三种情况讨论，结合函数的单调性可得出原不等式的解集；解法二：分、、三种情况讨论，结合函数的解析式以及分式不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）为奇函数，且当时，，故. （2）略 （3）当时，，则，， 又为定义在上的奇函数，， 故. （4）由（2）知函数在上为增函数， 因为函数为奇函数，故该函数在上也为增函数， 又由， 所以当时，由得， 当时，由得， 当时，由适合. 综上所述：不等式的解集为； 解法二：当时，由得或，此时； 当时，由，即，解得，此时. 又因为满足，故原不等式的解集为. 题型12抽象函数问题（共5小题） 【模型】抽象函数问题 【步骤】特殊值法，求出函数值。 【易错】部分函数，可以类比指数与对数函数。 56．(25-26高一上·江苏盐城集团校·期中)已知函数的定义域为，满足：对，都有，当时，，且． (1)求的值，并证明是奇函数； (2)证明：是上的减函数； (3)解关于的不等式． 【答案】(1) 令，得，所以． 令，得， 所以， 所以， 所以是奇函数． (2) 设，且． 由 ， 因为，所以， 因为时，， 所以，即， 即，所以， 所以是上的减函数． (3) 【分析】（1）令代入已知等式求，再令结合的结果，变形验证满足奇函数的定义. （2）设，将用的公式变形，结合时的条件，判断差值的正负，证明的减函数性质. （3）利用的公式对不等式变形，结合求出，将不等式转化为，再借助减函数的单调性转化为一元二次不等式求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由， 得， 即， 即， 即 即． 因为，所以， 又，所以， 所以． 由（2）知，是上的减函数， 所以，即， 解得或， 所以不等式的解集为． 57．(26-27高一上·江苏期中)已知函数，对任意的，且当时，． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)设函数，判断的奇偶性并说明理由． 【答案】(1)； (2) 在上单调递减； 设，因为， 所以， 所以，因为，所以， 所以，故在上单调递减. (3) 令得：，所以 ，所以， 所以 是奇函数. 【分析】（1）利用赋值法计算求解； （2）利用函数单调性的定义证明函数的单调性； （3）利用赋值结合奇函数定义可证明. 【详解】（1）令得：； （2）略 （3）略 58．(25-26高一上·江苏南京金陵中学·期中)设函数满足对，总有，且当时，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数的单调性，并说明理由； (3)若，且，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，理由如下： 取，则，解得：； 取，则， 为定义在上的奇函数. (2)在上单调递减，理由如下： 取，，其中， ，， ，且当时，，， 即，故， 在上单调递减. (3) 【分析】（1）分别赋值和即可推导得到奇偶性； （2）取，，其中，结合单调性定义可得结论； （3）利用奇偶性和抽象函数关系式可将不等式化为，结合单调性，并采用分离变量的方法得到，通过配凑法，结合对勾函数单调性可求得最小值，进而得到结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3）为定义在上的奇函数，， 又，， ， ， 在上单调递减，在上恒成立， ， ，在上单调递减，在上单调递增， ， ，， 即实数的取值范围为. 59．(25-26高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)已知函数满足对任意，都有. (1)求的值； (2)若为偶函数，求； (3)若，求的整数解. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）令即可求解； （2）令，可得，利用偶函数性质即可求解； （3）令，可得，令，可得，利用累加法即可得到的解析式，从而求得的整数解. 【详解】（1）令，得，即； （2）令，得，即， 因为是偶函数，所以有，即有，可得； （3）令，得，因为已知，所以， 令，得，即， 所以， …… 累加得，即有， 因此的整数解为或. 60．(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)定义在的函数满足，且当时，. (1)证明：函数是奇函数； (2)判断函数在上的单调性并证明. 【答案】(1) 函数的定义域为， 令，得：，， 再令，则， 即， 所以函数在上是奇函数. (2) 在上是单调递减函数， 证明如下： 任取，，且，则， 则， 因为当时，， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减. 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义证明； （2）利用函数的单调性的定义证明. 【详解】（1）略 （2）略 题型13函数的奇偶性求值（共5小题） 【模型】奇偶性求值 【步骤】通过函数的奇偶性一对称性求解函数值 【易错】函数值的带入需要在确定的范围内进行带入。 61．(25-26高一上·江苏宿迁·期中)若定义在上的偶函数和奇函数满足.则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分别令和，得到和，联立方程组，即可求解. 【详解】因为定义在上的偶函数和奇函数满足， 令，可得， 令，可得，即， 联立方程组，可得. 故选：C. 62．(25-26高一上·江苏南通·期中)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数奇偶性，借助赋值法可求出、，则可解出、，再利用赋值法，得到将，从而计算即可得. 【详解】由为奇函数，则， 令，则，故， 由为偶函数，则， 令，则，故，即， 对，令，则， 即，，解得， 故当时，， 对，令，则， 对，令，则， 则. 故选：C. 63．(25-26高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合奇函数的性质求出函数的周期，进而求出函数值. 【详解】由是定义在上的奇函数，得， 则，即， 由，得，于是， 即，因此， 函数是以4为周期的周期函数，又当时，， 所以. 故选：A 64．(25-26高一上·江苏常州金坛区第一中学·期中)设函数，且，则等于______． 【答案】 【分析】令，根据函数奇偶性，即可求得结果. 【详解】令，则， 定义域为R，定义域关于原点对称， ，则为奇函数， 因为，所以， 所以. 故答案为： 65．(24-25高一上·江苏扬州广陵区红桥高级中学·期中)已知函数且，则的值为________. 【答案】 【分析】根据函数解析式可得出为奇函数，再利用奇函数性质计算可得结果. 【详解】易知满足，即为奇函数， 所以，可得， 即可得，所以. 故答案为： 题型14函数的奇偶性对称性解不等式（共5小题） 【模型】函数的奇偶性求解析式 【步骤】根据单调性，脱去f的符号。如果是偶函数，可以加绝对值。 【易错】解决偶函数，不能忘记加绝对值。 66．(25-26高一上·江苏苏州常熟·期中) （多选）已知函数，则下列结论中满足的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用函数性质，把函数不等式转化为代数不等式求解，根据其解集进行判断. 【详解】对函数， 由 或，故函数定义域为， 因为，所以函数为偶函数， 又时，在上单调递增，所以函数在上单调递减. 所以 . 由 或. 由 或 或. 所以不等式组的解集为. 故选：BC 67．(25-26高一上·江苏无锡洛社高级中学·期中)设函数是定义在上的奇函数，对任意的，且，都有不等式，且，则满足不等式的实数的取值范围是_____ 【答案】 【分析】利用题意可证明的奇偶性和单调性，从而可利用分类思想求解不等式. 【详解】假设，则由不等式得：， ，又因为，所以在上是减函数， 又因为函数是定义在上的奇函数，所以，且是偶函数， 因为， 所以当时，有， 因为在上是减函数，所以，即此时 当时，由是偶函数， 则有， 因为在上是减函数，所以， 综上可得的取值范围是. 故答案为： 68．(25-26高一上·江苏常州合作学校·期中)函数是定义在上的偶函数，，且函数在区间上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到函数取值的正负，结合不等式，分类讨论，即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，则函数的图象关于轴对称， 又因为函数在区间上单调递减，则在单调递增， 由，可得， 所以当时，，当时，， 当时，， 又由不等式，即， 当时，则满足，可得不等式的解集为； 当时，则满足，可得不等式的解集为， 综上可得，不等式的解集为. 故选：D. 69．(25-26高一上·江苏常州高级中学·期中)已知函数为定义在上的偶函数，且当时，． (1)求当时，函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解关于的不等式，其中且． 【答案】(1)； (2) 函数在上单调递增.证明如下： 任取，则 因，故，，， 则，即在上单调递增. (3) 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【分析】（1）利用偶函数的性质，根据时的函数解析式，即可求得时的解析式； （2）运用函数的单调性定义证明即可； （3）结合函数的奇偶性与单调性，将函数不等式转化为绝对值不等式，平方后整理为含参数的二次不等式，再根据参数的不同范围分类讨论，求解不等式的解集. 【详解】（1）当时，，因是偶函数，故， 即当时，函数的解析式为. （2）略 （3）因是偶函数，且在上单调递增， 故，即得， 两边平方得：整理得， 分解因式，可得， 当时，，不等式化为， 因，故解集为； 当时，不等式化为，解集为； 当时，，且，故解集为. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 70．(25-26高一上·江苏扬州大学附属中学东部分校·期中)已知函数，，为偶函数. (1)求实数m的值； (2)判断并用定义证明在上的单调性； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)单调递增，证明： 由（1）当，得， 令， 则， 因为，所以，， 所以， 所以在上单调递增； (3) 【分析】（1）由函数为偶函数，通过特殊值求解并验证即可； （2）由单调性的定义即可求证； （3）由函数单调性、奇偶性和定义域得到求解即可. 【详解】（1）由， ， 因为为偶函数， 所以，解得， 经验证符合题意， 所以. （2）略 （3）由题意知为偶函数，且在上单调递增, 等价于； 所以，等价于，解得：， 所以不等式的解集为. 题型15恒成立问题（共5小题） 【模型】恒成立问题 【步骤】分离参数法，转化为求最值问题。 【易错】分离参数时，注意含参需要考虑范围。 71．(23-24高一上·江苏镇江镇江第一中学·期中)已知函数且． (1)证明：在区间上单调递减； (2)若对恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1)证明：由题意得，，解得，则. ，， 则， ∵，∴，， ∴，即， ∴在区间上单调递减. (2) 【分析】（1）先求得a的值，再利用函数单调性的定义证明即可. （2）不等式转化为对恒成立，令，利用函数的单调性求得最大值，即可得解． 【详解】（1）略； （2）由题意得，对恒成立， ∴对恒成立， 令， ∵在上为减函数，在上为增函数， ∴在上为减函数，， ∴，即实数t的取值范围为. 72．(23-24高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)已知函数的定义域为． (1)求的值，并证明在上单调递增； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， 任设，则， 因为，所以， 所以，所以， 可证得在上单调递增； (2) 【分析】（1）令可求出的值；再由单调性的定义证明即可； （2）令可将题意转化为，恒成立，分类讨论，，，由二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，所以，即，解得，， 此时，，成立， 所以的值为1， （2）由， 可得， 因为，由（1）知，令， 所以，恒成立 ①当时，恒成立，满足题意， ②当时，二次函数的图象开口向上， 对称轴方程为 所以当时，，解得， ③当时，二次函数的图象开口向下， 所以，解得，   综上：实数的取值范围是． 【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是将问题转化为恒成立，从而利用换元法与二次函数的性质即可得解. 73．(23-24高一上·江苏徐州·期中)已知函数 (1)若的解集为，求实数，的值； (2)对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据不等式的解集得到，解得答案. （2）变换得到，利用均值不等式计算最值即可. 【详解】（1），即，其解集为， 则，解得，； （2），，即， ，当且仅当，即时等号成立，故， 即. 74．(24-25高一上·江苏徐州铜山区·期中)已知函数. (1)当时，求解关于的不等式； (2)若不等式对于任意的上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，原不等式的解集为或.当时，原不等式的解集为或 (2) 【分析】（1）分，，三种情况解不等式即可； （2）由题意可得对于任意的恒成立，分类讨论可求得实数的取值范围. 【详解】（1） 因为所以或1 ①当即时，原不等式可化为，所以； ②当即时，所以或； ③当即时，所以或； 综上：当时，原不等式的解集为或. 当时，原不等式的解集为或. （2）， 即对于任意的恒成立 令，， ①当时，，，所以不符合题意； ②当时，无最小值，所以不符合题意； ③当时，的对称轴为 当，即时，得最小值为 所以，又因为，不符合题意； 当，即时， 得最小值为，所以， 又因为，所以符合题意； 综上实数的取值范围是. 75．(24-25高一上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)给定函数. (1)当，时，求证：在区间上单调递增； (2)已知在区间上的最大值为，求的最小值； (3)若在上恒成立且，求证：. 【答案】(1)证明：由题设，令，则， ，而， 所以，即，故在区间上单调递增，得证. (2)； (3)证明：由，得恒成立，则，即， 又，得. 综上，，整理得，则，所以. 【分析】（1）利用单调性定义证明即可； （2）由，结合已知得，代入目标式并应用二次函数性质求最值； （3）根据已知得、，联立即可证结论. 【详解】（1）略 （2）由，当且仅当，即时等号成立，此时， 所以，当时，取得最小值为. （3）略 题型16存在性问题（共5小题） 【模型】存在问题 【步骤】分离参数法，任意与存在，可以转化为集合问题 【易错】注意分类讨论。 76．(25-26高一上·江苏无锡第一中学·期中)已知函数，函数． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最小值； (3)已知函数，对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上的最小值为 (3) 【分析】（1）利用换元法令，即可求得函数的解析式； （2）结合（1）中结论对参数分类讨论可求得函数在的最小值； （3）利用对勾函数性质求得，再结合题意可知只需满足即可，对分类讨论得出相应不等式可得结果. 【详解】（1）令，可得， 由可得； 所以函数的解析式为 （2）由（1）可得， 易知函数关于对称，且开口向上， 当时，，此时函数在上单调递增， 因此； 当时，，函数在上单调递减，在单调递增； 因此； 当时，，此时函数在上单调递减， 因此 综上可知，函数在的最小值为； （3）易知，由对勾函数单调性可知在上单调递增， 因此对任意，满足恒成立， 由“对任意，总存在，使得”可得即可， 因此； 又因为， 由（2）中分析可知当时，， 所以只需满足即可，解得； 当时，，因此只需满足，解得与矛盾，此时无解； 综上可知， 所以实数的取值范围为 77．(25-26高一上·江苏奔牛高级中学·期中)已知函数. (1)讨论在上的单调性； (2)设函数，若，求的取值范围. 【答案】(1)f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增； (2). 【分析】（1）在上单调递减，在上单调递增，根据单调性的定义并应用作差法判断的符号，即可得； （2）先确定函数在上的值域，再根据，确定与值域的关系，即可得a的取值范围． 【详解】（1）在上单调递减，在上单调递增，理由如下： 由 ， 当，则， ∴，则，此时， 当，则， ∴，则，此时， ∴在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增． 若，则， ∵， ∴，则在上的值域为， 所以， 若，则，则， 依题意，得，则，解得， 故a的取值范围为. 78．(23-24高一上·江苏宿迁泗阳县泗阳中学·期中)已知函数． (1)若方程的两根分别是，满足，求实数的值； (2)若对，都存在，使得对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用韦达定理代入计算即可； （2）将问题转化为对任意恒成立，求出得到关于的恒成立问题，继续转化为最值求解即可. 【详解】（1）若方程的两根分别是，得，得 又由韦达定理得， 因为 所以 所以， 解得； （2）若对，都存在，使得对任意恒成立， 则对任意恒成立， 对于，，， 对称轴， 则， 对于，， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以在时恒成立， 所以 又，当取最小值，且最小值为 所以， 解得. 79．(23-24高一上·江苏常州高级中学·期中)已知函数. (1)求关于的不等式的解集， (2)若对任意的正实数，存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为. (2) 【分析】（1）依题意化简不等式得，从而分类讨论即可得解； （2）由题意可得，然后分，和三种情况讨论的最大值，从而可求得结果. 【详解】（1）因为， 所以由，得， 化简得，即，即， 当时，该不等式无解， 当时，不等式化为，解得或， 当时，不等式化为，解得或， 综上，当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为. （2）因为对任意的正实数，存在，使得， 所以， 易知当时，在上单调递增， 所以时，，且， 因为，所以， 当，即时，， 因为，所以，所以； 当，即时，令，得， 所以，故； 当，即时，所以， 因为，所以，所以； 综上，，所以的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题第2小题的解决关键在于分类讨论的正负情况，从而确定，由此得解. 80．(25-26高一上·江苏南通·期中)已知函数. (1)利用定义证明在区间上单调递增； (2)解不等式：； (3)若，，都有，求的取值范围. 【答案】(1) 设，则 ， 由、，则、， 故，故在区间上单调递增； (2) (3) 【分析】（1）借助函数单调性定义，设出，作差计算即可得； （2）借助换元法，令，再分与讨论即可得； （3）求出的最大值后，借助参变分离可得在上有解，计算出在上的最大值即可得. 【详解】（1）略 （2）由题意可得，则， 令，则有，即， 若，即时，恒成立，即有； 若，则时，， 化简得，解得， 又，故； 综上可得，即，则或；故不等式解集 （3）由函数在上单调递增，则， 由题意可得在上有解， 则在上有解， 由在上递增，故， 即，又，故. $函学科网·上好课 基础固本强基 提升进阶突破 拔高·压轴破难 www.zxxk.com 上好每一堂课 第5章函数的概念与性质 题型图谱导航总览 题型1函数的定义域 题型2已知函数的定义域求参数 题型3函数求值 题型4函数的解析式 题型5函数的值域 题型6函数的单调性 题型7函数的奇偶性 题型8已知函数的值域求参数 题型9已知函数的单调性求参数 题型10函数的奇偶性求参数 题型11函数的奇偶性求解析式 题型12抽象函数问题 题型13函数的奇偶性求值 题型14函数的奇偶性对称性求解析式 题型15恒成立问题 题型16存在性问题 1/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1函数的定义域（共5小题） 【模型】函数定义域 【步骤】抽象函数定义域步骤，括号里范围相同。 【易错】抽象函数定义域指的是×的范围，括号里范围相同。 1.(25-26高一上-江苏海安高级中学期中己知fx=x+1+3-x,则函数gx=fx+1的定义域是 () A.0,2 B.0,4 c.1-2,2 D.-1,3 2。(25-26高一上江苏无锡经开区太湖高级中学·期中)函数f孔×)=×+1 1+2-x的定义域是() A.[-1,2 B.（-1,2)U(2,+o c.-1,2 D.[-1,2)U(2,+∞） 3.(2526高一上江苏南京金陵中学期中已知函数fx的定义域为3,9则函数hx=f3x+/4-x的 定义域为() A.-2,2 B.1,2 c.1,3 D.3,9 4.(25-26高一上江苏南通海门实验学校期中)已知函数y=fx)的定义域是[-5,1]，则函数 g(x)=f2x+1) 的定义域是() X+2 A.（-0o,-2)U(-2,0 B.[-9,-2)U(-2,3] c.[-3,-2)U（-2,0] D.[-3,0] 5.(25-26高一上江苏南京东高，雨花台中学，秦淮科技高中，金陵河西四校共同体期中)已知函数 y=fx的定义域是-1,2，则y=f3x-1的定义域为 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型2已知函数的定义域求参数（共5小题） 【模型】已知函数的定义求参数 【步骤】函数定义域为R时，转化成恒成立问题。 【易错】含参问题，注意讨论系数为O, 6.(24-25高一上江苏常州北郊高级中学.期中)若函数fx= kX+kx+的定义域为R,则实数k的取值 范围是() A.(0,4 B.0,4] c.0,4 D.k<0或k>4 x+5 7.(23-24高一上江苏盐城滨海县东元高级中学与大丰区新丰中学.期中)若函数y= kx2+4kx+4 的定义域 是一切实数，则实数k的取值范围是() A.0,+o B.-00,0 c.0,1 D.0,1 8.(21-22高一上江苏百校大联考)已知函数f(x)=√a-x的定义域为-∞，1]，则实数a的取值集合为 () A.{1} B.(-0∞，1] c.[1,+o) D.（-∞，1)U(1,+00) ax-2 9.(23-24高一下江苏如东县第一高级中学创新班期中)若函数y= Yax2-4ax+ 的定义域为R,则实数 a的取值范围是() A.[0,1] B.[0,1) 1 c.0, D.[0, 10.(24-25高一上-江苏淮安七校联盟期中)已知函数f(X)=kX.4X+3的定义域为R· 求实数k的取值 范围 题型3函数求值（共5小题） 【模型】函数求值 【步骤】复合函数，由内而外层层带入。 【易错】分段函数，注意范围， 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(25-26高一上·江苏无锡经开区太湖高级中学.期中)已知函数f(x)的定义域为R,且对 Yx∈R,fx)-2xf(-x)=3,则f(1)=（) 8.、 11 9 C. D.3 12.(25-26高一上·江苏南京师范大学附属实验学校期中)函数fx由下表给出，则f(4)=() 2 3 f(x) 4 3 1 A.4 B.3 C.2 D.1 13.25:26高一上江苏淮安高中协作体：期中已知fx=乙：则ff-2小=（） A.1 B.-1 c.2 D.-2 14.(25-26高一上江苏徐州第三十七中学期中)设函数fx=则ff10川= 15.(2526高一上江苏淮安调所)已知函数fx=3-22则f×= 题型4函数的解析式（共5小题） 【模型】函数的解析式问题 【步骤】换元法，方程组，待定系数法求函数的解析式 【易错】换元法注意范围。 16.(25-26高一上江苏徐州第三十七中学期中)已知f2x=4x-1,则fx+1的解析式是(). A.fx+1=x2-1 B.fx+1=4x2+8x+3 C.fx+1=x2+2x D.fx+1=8x2-1 17.(25-26高一上江苏镇江·期中)（多选）下列各组函数是同一个函数的有() A.y=x,y= B.y=xl,y=x C. y=2,s=29 D.y=x2x∈-1,1，y=x2x∈0,1 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(25-26高一上江苏泰州中学期中)一次函数f(x)=ax+b(a<0),且f(f(x)=9x+16,求f(x)= 19.2526高一上-江苏常州田家炳高级中学期中已知fRx+2=x+1'则fX一 20.(24-25高一上江苏淮安高中校协作体.期中)已知二次函数fx满足fx+1=x2+x+2,则fx的解析 式为() A.f(x=x2-x+2 B.fx)=x2+x-2 C.f(x)=x2-x-2 D.fx=x+x+2 提升进阶突破 题型5函数的值域（共5小题） 【模型】函数的值域 【步骤】考虑函数的图像与函数的单调性求出函数的最值 【易错】注意随时考虑定义域。 21. (25-26高一上江苏苏州苏州大学附属中学.期中)设x∈R,用x表示不超过x的最大整数，则y=x称 为商断函数，例如：-2.1=-33.11=3已知函数fx=2x号则函数y=fx的值域是（） Γ1+x22 A.0,1 B.{-1,1 c.{-1,0 D.-1,0,1 22.(24-25高一上江苏扬州中学.期中)函数y=1+x+只/1-2x的值域为() A.-00,2 B.-00,2 c.0,2 D.2,+o 23.(24-25高一上江苏徐州第三十七中学期中)定义运算“*”：a*b=乙，则函数 y=(-x2-2x+3)*(-x+1)的值域为() A.-00,3 B.-00,4 c.0,+∞ D.（-0,+0） 24.(25-26高一上江苏扬州扬州大学附属中学.期中)（多选）已知偶函数fx满足：x∈0，+∞时， fx刘-2fFx, 则下列结论正确的有()· 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.f1=1 C.fx的值域为 22 -00,3 D.fx≤-1的解集为-2，-1U1,2 25.25-26高一上江苏苏州西安交通大学苏州附属中学期中)（多选）对于函数fx=2X(X∈R), x+2 下面几个结论中正确的是() A.函数fx是偶函数 B.函数fx是奇函数 C.函数fx的值域为-2,2 D.函数fx在R上是增函数 题型6函数的单调性（共5小题） 【模型】函数的单调性 【步骤】复合函数的单调性口诀为同增异减。 【易错】随时考虑函数的定义域。 26.(25-26高一上江苏盐城集团校·期中)己知函 f(x)=xx-a-a2,当a=1时，f(x)的单调递减区间是 :当x>2时，f(x)>0,则实数a的取值范围是 27.25-26高一上-江苏连云港灌南县：期中)函数y=X+5X-4的单调递增区间是 28.25-26高一上江苏南京师范大学附属实验学校期中)已知函数fx=2x-, 定义域为[2，+0)· (1)试判断函数fx在2，+∞）上的单调性，并用定义法证明 (2)求函数fx的值域： 3)诺fa2+2小>f12a+5r求实数。的取值范围。 29.24-25高一上江苏扬州中学期中)已知函数fx=7X+2 3x 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求ff1的值： 2若gx=3fx+5,用单调性定义证明：函数gx在0,1止是减函数。 X 0.2425高一上江苏连云港赣格区期中已知函数f儿xEX名 (1)判断fx在区间0，+o∞上的单调性，并用定义进行证明： (2)求fx在区间1,3上的最大值与最小值. 题型7函数的奇偶性（共5小题） 【模型】函数的奇偶性 【步骤】考虑定义域，定义域对称，考虑奇偶函数的定义。 【易错】如果定义域不对称，函数没有家奇偶性。 31.(25-26高一上江苏苏州常熟期中)已知函数fx=x2+ax-1-0+ X 2 (1)判断x的奇偶性，并说明理由： 2当x∈1,3时，fx的最小值为5求实数a的值： (3)当x∈2，+∞时，fx≥-2恒成立，求实数a的取值范围. 32.(25-26高一上江苏宿迁沭阳县期中)已知函数fx=x+4 (1)判断函数fx的奇偶性； 2)用函数的单调性定义证明函数fx=x+4在0,2上是减函数； (3已知gN=X-2ax若对任意的x,∈1,2总存在x∈山，3使得gX=fx,成立，求实数。的范围. 3.2526商-上江苏常州合作学校期中已知函数X=冬xk∈R,且2=多 (1)求函数fx的解析式，判断函数fx的奇偶性并证明； (2)用定义证明fx在区间0，+∞上单调递减： (3)求函数fx在区间-2，-1上的值域.（直接写出结果） 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 34.(25-26高一上江苏苏州苏州大学附属中学.期中)已知fx=xx-a+2x. (1)若a=3,直接写出函数fx的单调递增区间： (2)判断fx的奇偶性，并说明理由： (3)若fx在1,3上的最小值是3，求实数a的值 35.(25-26高一上江苏南京师范大学附属中学期中)函数fx=x+m的图象过点P2,0. X (1)求实数m的值，并判断函数的奇偶性： (2)判断fx在区间0，+o∞上的单调性，并利用单调性定义证明； (3)求不等式f3x+2<0的解集， 拔高压轴破难 题型8已知函数的值域求参数（共5小题） 【模型】函数的值域求参数 【步骤】考虑函数的单调性，通过单调性求出函数的最值。 【易错】定义域含参，不能忽略分类讨论。 36.(24-25高一上·江苏南京六校.期中)已知函 fx=x2-2ax+a2-9’x∈a-3,a2a>0 ，若函数 fx的值域为-9,0，则实数a的取值范围是 37.223商一上江苏射阳中学期偌函数y=aX+4x+的值域为0，+则。的取值范国为 38.(22-23高一上江苏南通海安高级中学期中)除函数y=x,x∈1,3外，再写出一个定义域和值域均为 1,3的函数 39.(23-24高一上江苏常州高级中学.期中)已知函数fx=乙，若fx的值域为-2,2，则实数c的值是 40.21:2高一上江苏无锡北高级中学期中已知函数f(x)=-aX+2x+5 (1)若函数定义域为R,求Q的取值范围： (2)若函数值域为[0，+∞)，求a的取值范围. 8/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型9已知函数的单调性求参数（共5小题） 【模型】已知函数的单调性求参数 【步骤】分式函数适当的分离参数，通过反比例函数求出函数的单调性 【易错】分段函数不能忽略端点值。 41.(25-26高一上江苏苏州常熟期中)函数fx=ax+2 在区间0，+o∞上不是单调减函数，则实数a的取 X+1 值范围是 42.(25-26高一上江苏苏州南京航空航天大学苏州附属中学期中)已知函数 fx)=301x*4o,x<1 X2-ax+6,X1满足：对任意x,x,∈R时，当x≠x,时，都有fx小-fxx1-X小>0 成立，则实数a的取值范围是() 1 A.（32] B. C.[2,+o∞) D.[1,2] 43.24-25高一上-江苏苏州中学期中已知函数f(X)=/X.4X-5在(a,+o0)单调递增，则α的取值范围 是() A.-00,-1 B.-0∞，2 c.2,+∞ D.5,+∞ 44.(24-25高一上江苏常州北郊高级中学.期中)已知函数fx=x2+ax+b. (1)若fx满足fx+1-fx=2x-1,且f0=4,求fx的解析式： (2)若函数fx在区间1,2上不单调，求实数a的取值范围. 45.(23-24高一上·江苏镇江丹阳·期中)设fx是定义在R上的函数，且对任意实数X,有 f1-x=x2-3x+3 (1)求函数fx的解析式： ②)若函数gX=fx-ax+3在1,3上为单调递增函数，求实数。的取值范围， 题型10函数的奇偶性求参数（共5小题） 【模型】已知函数的奇偶性求参数 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【步骤】1.定义域的对称性，2.特殊值法，3.部分奇函数f(0)=0.4.定义法。 【易错】分段函数可以考虑端点值的对称性。 46.(25-26高一上江苏扬州树人集团期中)已知函数fx=x+mx+1是偶函数，则fm=() A.1 B.2 C.3 D.4 47.2526高-上江苏无锡经开区太湖高级中学期中已知函数f(X)=a-,2(a∈R)。 3*+1 (1)若fx)是奇函数，求实数a的值； (2)若a=3 ①判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论： ②已知vX∈(0，+0小关于x的不等式f(6-kx)+fx2上4恒成立，求实数k的取值范围. 48.(25:26高一上江苏宝应中学期中已知fx=3x+b 2x2+a 是定义在-1,1上的奇函数， (1)实数a,b的值： (2)判断并证明函数fx在-1,1上的单调性： 49. (25-26高一上江苏苏州期中)已知函数fx=-m x2+1 是定义域上的奇函数。 (1)求实数m的值： (2)判断fx在区间1，+o∞上的单调性并说明理由： (3)若正数a,b满足f引a=f2b,且a≠2b,求fa+bj的取值范围 50.(25-26高一上江苏扬州形江区公道中学期中)已知函数fX=x+ x2+1 是定义在R上的奇函数，且 (1)求函数fx的解析式： (2)判断fx在-1,1上的单调性，并用定义证明你的结论： (3)在(2)的条件下，解不等式f3-2x<f5x-7. 10/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型11函数的奇偶性求解析式（共5小题） 【模型】函数的奇偶性求解析式 【步骤】令x>0,x<0,通过求解f(-x)与奇偶性，求出函数的解析式 【易错】缺号0的部分，需要单独计算。 51.(25-26高一上江苏苏州常熟期中)定义在R上的奇函数fx满足x>0时，fx=X+1-1,则当x<0时 的解析式为() A.flx)=x2-1+1 B.fx=-x2.1+1 X X c.fx=x2+1+1 D.fx=-x2+1+1 X 52.(25-26高一上江苏扬州大学附属中学东部分校期中)函数fx是定义在R上的奇函数，且当x>0, fx=x2+2x+x+1则x<0时，fx= 53.(25-26高一上江苏扬州大学附属中学东部分校期中)已知函数fx,gx,hx的定义域都为R,其中 fx为奇函数，gx为偶函数，且fx=x+1hx'gx=hx-x则函数hx= 54.(25-26高一上江苏连云港灌南县·期中)已知fx是定义域为R的奇函数，当x>0时，fx=-x2+x+1. a*ff2的值： (2)求fx在R上的解析式. 55.(25-26高一上江苏准安高中协作体期中)函数fx是R上的奇函数，且当x>0时，函数的解析式为 flx)=2x-3 X+11 (1)求f-2的值 (2)用定义证明fx在0，+∞上是增函数； (3)求函数fx解析式： (4)不等式fx≥0的解集， 11/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型12抽象函数问题（共5小题） 【模型】抽象函数问题 【步骤】特殊值法，求出函数值。 【易错】部分函数，可以类比指数与对数函数。 56.(25-26高一上江苏盐城集团校期中)已知函数f(x)的定义域为R,满足：对Vx,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+fy)-1,当x>0时，f(x)<1,且f(1)=-2 (1)求f0)的值，并证明y=f(x)小-1是奇函数： (2)证明：f(x)是R上的减函数： 3)解关于x的不等式f(2×2)-2f(x)<f(3x)+4 57.(26-27高一上江苏期中)已知函数y=fx,x∈R,对任意的x,y∈R,fx+y=fx+fy-1, 且当x>0时，fx<1. (1)求f0的值： (2)判断并证明fx的单调性： (3)设函数gx=fx-1,判断gx的奇偶性并说明理由. 58.(25-26高一上江苏南京金陵中学.期中)设函数fx满足对Vx,y∈R,总有fx+y=fx+fy,且 当x>0时，fx<0. (1)判断函数fx的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数fx的单调性，并说明理由； B若f-2=),且vx∈3，+∞，都有f入x+x+f-x+x>-1,求实数A的取值范围。 59.(25-26高一上江苏南京师范大学附属中学.期中)已知函数fx满足对任意x,y∈R,都有 f(x+y =f(x +f(y +2xy+2. (1)求f0的值： (2)若fx为偶函数，求f引x: (3)若f孔-2=2，求fx=x的整数解。 60.(24-25高一上江苏连云港东海县期中)定义在R的函数fx满足fx+y=fx+fy,且当x>0时， fx<0. 12/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)证明：函数fx是奇函数： (2)判断函数fx在R上的单调性并证明！ 题型13函数的奇偶性求值（共5小题） 【模型】奇偶性求值 【步骤】通过函数的奇偶性一对称性求解函数值 【易错】函数值的带入需要在确定的范围内进行带入。 61.(25-26高一上江苏宿迁期中)若定义在R上的偶函数fx和奇函数gx满足fx-gx=x3+2x-1.则 f2=() A.5 B.6 C.7 D.8 62.(25-26高一上江苏南通期中)设函数fx的定义域为R,fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，当 7 x∈1,2时，fx=aX+b,若f0+f3=6,则f2F() a.g 63.(25-26高一上江苏南京师范大学附属中学.期中)已知f(x+1)-1是定义在R上的奇函数，且 f-2+x=f号x.当1≤x≤2时.fx)=3-2x,则f子)=() A .2 1 c 64.(25-26高一上江苏常州金坛区第一中学期中)设函数fx=ax+bx-1,且f-3=1,则f3等于 65.(24-25高一上江苏扬州广陵区红桥高级中学期中)已知函数(x)=aX+bX+3且f2024=16:则 f-2024的值为 题型14函数的奇偶性对称性解不等式（共5小题) 【模型】函数的奇偶性求解析式 【步骤】根据单调性，脱去f的符号。如果是偶函数，可以加绝对值。 13/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错】解决偶函数，不能忘记加绝对值。 66.(25-26高一上江苏苏州常熟期中)（多选）已知函数fx=X-1,则下列结论中满足 f3x-4≥f2x-2的x的取值范围为() 6 A -005 B. -0,2 C.2,+o 3 0 67.(25-26高一上江苏无锡洛社高级中学期中)设函数fx是定义在R上的奇函数，对任意的 飞，X,∈10，+o且x≠x发都有不等式XfX-f风<0且f-31=-1则满足不等式 X1-X2 x1>X的实数x的取值范围是 68.(25-26高一上江苏常州合作学校期中)函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，f(-1)=0,且函数 y=fx)在区间-，01上单调递减，则不等式f义<0的解集是() A.(-∞，-1)U(1,+∞) B.(-1,0)U(0,1) c.(-1,0)U(1,+o) D.（-∞，-1)U(0,1) 69.(25-26高一上江苏常州高级中学期中)已知函数fx为定义在R上的偶函数，且当x≥0时， f (1)求当x<0时，函数fx的解析式： (2)判断函数fx在区间[0，+o∞）上的单调性，并用单调性定义证明： (3)解关于x的不等式fax-1<fax-x,其中a∈R且a<1. 0526将一上江苏扬大学用据中学东部分饮期尼知西数智，x1,×为得 函数. (1)求实数m的值： (2)判断并用定义证明fx在0,1上的单调性； (3)解不等式ft-1<f2t. 14/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型15恒成立问题（共5小题） 【模型】恒成立问题 【步骤】分离参数法，转化为求最值问题。 【易错】分离参数时，注意含参需要考虑范围。 71.(23-24高一上江苏镇江镇江第一中学期中)已知函数fx=ax+4且f1)=3. (1)证明：fx在区间(0，+∞)上单调递减： 2)若fxs1+对vx∈1，+o∞恒成立，求实数t的取值范围。 X 72.324高-上江苏宿迁济周县期已知西fX=x号的定义该为D,Yx∈D.+f侵-0. (1)求a的值，并证明fx在0，+o∞上单调递增： 2)若不等式mfx-3m+1fx+2>2m1-对任意x∈ 1 ,2恒成立，求实数m的取值范围. X 73.(23-24高一上江苏徐州期中)已知函数y=x2-mx+3 (1)若y≤-4的解集为2，n,求实数m,n的值： (2)对于Vx∈ 2+四，不行式y2-X但线立。来实藏m伯收值花间 74.(24-25高一上江苏徐州铜山区期中)已知函数fx=ax2-a+1x+1. (1)当Q>0时，求解关于x的不等式fx>0: (2)若不等式fx≥-4x对于任意的x∈-2，+oo上恒成立，求实数a的取值范围. 75.24-25高一上江苏无锡辅仁高级中学期中)给定函数fx=,x bx2+1 a>0,b>0. (1)当a=2,b=1时，求证：fx在区间-1,1上单调递增： B记X在K创0，+国的录大位为号号-合 -二的最小值： 2 (3)若fx≤1在R上恒成立且fxo=1,求证：X,=合 15/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型16存在性问题（共5小题） 【模型】存在问题 【步骤】分离参数法，任意与存在，可以转化为集合问题 【易错】注意分类讨论。 2 76.(25-26高一上江苏无锡第一中学期中)已知函数fx-1=x-6x+7,函数gx=fx+aX. (1)求函数fx的解析式： (2)求函数gx在2,4上的最小值： 3)尼知函数hx=X+3 X 对任意x1∈2,4，总存在x2∈2,4，使得hx1≤gx,求实数a的取值范围. 77,2526高一上江苏奔牛高级中学期中已知函数f(x=X+名， (1)讨论fx)在(0，+∞)上的单调性： 2设函数gx) +4x+10-a若yx,∈[0,1,3x,∈ x2+2x+19x+9 2g-x小，k随服 78.(23-24高一上江苏宿迁泗阳县泗阳中学期中)已知函数fx=x2+ax+a-1,9x=x+4+t. (a若方程fx=0的两根分别是X,X,满足X+X=2X1x,求实数。的值： 2若对VX1∈【-2,2都存在x,∈10,4使得fx≥gx,时任意a4,4恒成立，求实数，的取值范围。 79.(23-24高一上江苏常州高级中学期中)已知函数fx=X-0+3a∈R (1)求关于x的不等式f2x-2fx-2>1的解集， (2)若对任意的正实数a,存在x,∈ 使得fxo≥m,求实数m的取值范围。 80.25-26高-上江苏南通期中)已知函数fx=ax+X-3a>0 ()利用定义证明fx在区间R3,+o∞上单调递增： 16/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)解不等式：2X+VX-3>5 3)若x1∈2,3Vx,∈3,2小都有fx小x-ax1-5求a的取值范围. 17/17