专题01 三角形（期中复习讲义·培优版）八年级数学上学期新教材人教版

专题01 三角形（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 题型02 题型03 题型04 题型05 题型06 题型07 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 三角形的边 理解三边关系：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边；能判断三条线段能否构成三角形，会求第三边的取值范围。 基础必考点，常以选择、填空出现，易与等腰三角形结合 高、中线、角平分线 掌握三角形的高、中线、角平分线的定义与画法（含钝角三角形）；理解三条中线交于重心、中线平分面积等性质。 高频考点，常与面积、周长、推理证明结合，作图题易出 三角形内角和定理 掌握三角形内角和等于180°，会用代数法、添加辅助线法求角或证明角度关系，能结合平行线、角平分线综合求角。 核心必考点，填空、解答题高频，多与平行线、折叠结合 三角形外角 掌握外角定义及性质：三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；外角和为360°。会利用外角求角。 高频考点，常作为求角、证明的桥梁，压轴题常涉及 综合与探究 会综合运用内角和外角定理，通过设未知数、列方程解决角度计算问题；理解三角形的稳定性在实际中的应用。 解答题压轴方向，常以动角、探究规律、实际应用呈现 知识点01 三角形的有关概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的三条线段叫做三角形的边，相邻两边组成的角叫做三角形的内角，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。三角形用符号 "△" 表示，顶点是 A、B、C 的三角形记作 "△ABC"。 示例：△ABC 的三条边是AB、BC、CA，三个内角是∠A、∠B、∠C，三个顶点是A、B、C；三角形有3条边、3个内角、3个顶点。 三角形按角分类可分为钝角三角形、直角三角形及锐角三角形。 三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形中包含等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点02 三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 示例：三条线段长度分别为 3、4、5，因为 3＋4＞5、4－3＜5，所以能组成三角形；而 2、3、6 不 能组成三角形，因为 2＋3＜6。 易错点： 1. 判断能否构成三角形，只需验证：最短两边之和＞第三边即可（等价且最简）； 2. 求第三边范围：两边之差＜第三边＜两边之和。如两边为 3 和 5，第三边 x 满足 2＜x＜8；注意当第三边是一个表达式时，区分第三边的取值范围和表达式中字母的取值范围。 3. 当 “两边之和 = 第三边” 时，三点共线，不能构成三角形。 三角形的稳定性：当三角形的三边一旦确定，则三角形的形状大小边确定，这三角形的稳定性，是三角形固有的特性。 知识点03 三角形的高、中线、角平分线 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 高线的画法：一靠：将三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；二移：移动三角尺，使另一条直角边通过要作高的顶点；三画：画出垂线段。下图分别是锐角三角形、直角三角形及钝角三角形的高线的画法。 锐角三角形的三条高都在三角形内部，垂心在三角形内部；直角三角形有两条高是三角形的边，垂心在三角形的直角顶点上。钝角三角形有两条高在三角形外，垂心在三角形外。 中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做中线。 示例：如图AM是△ABC的中线 AM是三角形的中线M是BC的中点BM＝CM＝BC。 中线平分三角形的面积。即： 中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差。即： 三角形有3条中线，且三条中线交于一点，叫做三角形的重心。 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 示例：若AE平分∠BAC交BC于D，则∠BAD＝∠CAD＝∠BAC。 AD是三角形的角平分线∠1＝∠2。 三角形的角平分线把三角形分得的两个小三角形的面积比等于被角平分线分边分得的两条线段比。即。（这两个三角形的高相等） 三角形有3条角平分线，三条角平分交于一点，这一点叫做三角形的内心。 易错点： 1. 钝角三角形的高线画法，注意钝角三角形的高线在三角形外部； 2. 中线分的两个三角形的面积关系与周长关系； 3. 角平分线分得的两个三角形的面积关系及其证明。 知识点04 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180°。 示例：如图：△ABC，则∠A+∠B+∠C=180°。证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。 易错点： 证明时常添加辅助线（过顶点作平行线），把三个角拼成平角；注意内错角、 同位角对应关系。 直角三角形的性质： 有一个角是直角的三角形。用表示直角三角形ABC。直角三角形的两锐角互为余角。 示例：△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°。 反之，若∠A＋∠B＝90°，则△ABC是直角三角形。 知识点05 三角形的外角 三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；大于与它不相邻的任意一个内角。 示例：∠ABD是△ABC的一个外角。 ∠1=∠2＋∠3；∠1＞∠2，∠1＞∠3。 题型一 根据三角形的三边关系求字母的取值范围 解｜题｜技｜巧 利用“两边之差＜第三边＜两边之和”建立连不等式组，求出第三边的范围，从而求出字母的取值范围。 易｜错｜点｜拨 注意区分第三边的取值范围和字母的取值范围，若第三边是单独的字母，则第三边的取值范围等同于字母取值范围，若第三边是代数式，则字母取值范围需要在第三边的取值范围上求取。 【典例1】（2025秋•福清市期中）若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的取值范围是（　　） A．3＜x＜4 B．1＜x＜7 C．0＜x＜7 D．2＜x＜6 【答案】B 【解答】解：由题意，4﹣3＜x＜4+3，即1＜x＜7． 故选：B． 【变式1】（2026春•莲湖区校级期中）设△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a，b满足|a+b﹣6|+（a﹣b+4）2＝0，则第三边c的长度取值范围是（　　） A．3＜c＜5 B．2＜c＜4 C．4＜c＜6 D．5＜c＜6 【答案】C 【解答】解：∵|a+b﹣6|+（a﹣b+4）2＝0， ∴a+b＝6，b﹣a＝4， ∴第三边的长c的取值范围是4＜c＜6． 故选：C． 【变式2】（2025秋•许昌校级期中）如果三角形的三边长分别为3，4，1﹣2a，那么a的取值范围是 　﹣3＜a＜0　 ． 【答案】﹣3＜a＜0 【解答】解：由题意有4﹣3＜1﹣2a＜4+3，解得﹣3＜a＜0． 故答案为：﹣3＜a＜0． 【变式3】（2025秋•蚌埠期中）已知a，b，c分别为三角形ABC的三边，且满足a+c＝3b﹣2，a﹣c＝2b﹣4，则b的取值范围是（　　） A． B．1＜b＜4 C．1＜b＜3 D． 【答案】B 【解答】解：∵a，b，c分别为三角形ABC的三边， ∴a+c＞b，a﹣c＜b， ∵a+c＝3b﹣2，a﹣c＝2b﹣4， ∴， 解得：1＜b＜4， 故选：B． 题型二 根据三角形的三边关系化简绝对值 解｜题｜技｜巧 根据“两边之差＜第三边＜两边之和”之间判断绝对值符号里面的表达式与0的大小关系进而去化简绝对值，或利用“两边之差＜第三边＜两边之和”建立连不等式组，求出第三边的取值范围，再判断出绝对值符号内的表达式与0的大小关系然后化简绝对值 易｜错｜点｜拨 若绝对值内的表达式为三角形的三边的加减运算时，两正则为大于0，两负则为小于0。 【典例1】（2026春•沙坪坝区校级期中）已知△ABC的三边长分别是a，b，c，化简|a﹣b﹣c|+|a﹣b+c|的结果为（　　） A．2a﹣2b B．2b﹣2a C．2c D．﹣2c 【答案】C 【解答】解：根据三角形的三边关系得：a﹣b﹣c＜0，c+a﹣b＞0， ∴原式＝﹣（a﹣b﹣c）+（a﹣b+c）＝﹣a+b+c+a﹣b+c＝2c． 故选：C． 【典例2】（2025秋•淄博期中）已知一个三角形的三边长分别为5、x、8，则化简|x﹣2|+|x﹣13|的结果为 　11　 ． 【答案】11． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：8﹣5＜x＜8+5， ∴3＜x＜13， ∴x﹣2＞0，x﹣13＜0， ∴|x﹣2|+|x﹣13| ＝x﹣2+[﹣（x﹣13）] ＝x﹣2﹣x+13 ＝11． 故答案为：11． 【变式1】（2026春•兴庆区校级期中）已知a，b，c分别是三角形ABC的三边长，化简：|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|＝　﹣a+3b﹣c ． 【答案】﹣a+3b﹣c． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b， ∴a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0， ∴|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c| ＝a+b﹣c+[﹣（a﹣b﹣c）]﹣（a﹣b+c） ＝a+b﹣c﹣a+b+c﹣a+b﹣c ＝﹣a+3b﹣c． 故答案为：﹣a+3b﹣c． 【变式2】（2026春•鲤城区校级期中）按要求完成下列各小题． （1）在△ABC中，AB＝8，BC＝2，AC的长为偶数，求△ABC的周长； （2）已知△ABC的三边长分别为3，5，a，化简|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由三角形的三边关系可知，8﹣2＜AC＜8+2，即6＜AC＜10， ∵AC为偶数， ∴AC＝8， ∴△ABC的周长为8+2+8＝18； （2）∵△ABC的三边长分别为3，5，a， ∴5﹣3＜a＜5+3， 解得2＜a＜8， ∴|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|＝a+1﹣（8﹣a）﹣2（a﹣2）＝a+1﹣8+a﹣2a+4＝﹣3． 题型三 中线平分面积 易｜错｜点｜拨 根据中线的性质解决问题，注意关于与中点的连线是否构成三角形的中线，只有三角形的中线才满足平分三角形的面积。 【典例1】（2026春•和平区校级期中）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，，则三角形ABC的面积是（　　） A．6cm2 B．9cm2 C．12cm2 D．18cm2 【答案】C 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△ACD， ∵CE是△ACD的中线， ∴S△ACD＝2S△ACE， ∴S△ABC＝4S△ACE， ∵， ∴．． 故选：C． 【变式1】（2025秋•潮南区期中）如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G．若AG：GD＝2：1，S△ABC＝18，则图中阴影部分的面积和为 　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：由题意可得：， ∵AG：GD＝2：1， ∴，， ∵BE、CF是△ABC的中线， ∴E、F是AB、AC的中点， ∴，， ∴S阴影＝S△BFG+S△CEG＝3+3＝6． 故答案为：6． 题型四 与高线、中线及角平分线有关的多结论题目 解｜题｜技｜巧 理解高线、中线及角平分线的定义，掌握相关的性质，根据定义进行判断和根据性质进行求解。 易｜错｜点｜拨 注意高线转换90°，结合三角形的内角和转换角度问题。 【典例1】（2026春•朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有　①③④　 ． ①AD是△ABC的角平分线； ②BE是△ABD边AD上的中线； ③CH是△ACD边AD上的高； ④AH是△ACF的角平分线和高． 【答案】①③④． 【解答】解：①∵∠1＝∠2， ∴AD是△ABC的角平分线，故本小题判断正确； ②∵G为AD的中点， ∴BG是△ABD边AD上的中线，故本小题判断错误； ③∵CF⊥AD于H， ∴CH是△ACD边AD上的高，故本小题判断正确； ④∵CF⊥AD， ∴AH是△ACF的高， ∵∠1＝∠2， ∴AH是△ACF的角平分线， ∴AH是△ACF的角平分线和高，故本小题判断正确； 故答案为：①③④． 【变式1】（2025春•金水区校级期中）如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD．给出下列结论：①AB＝CD；②FG＝GC；③∠ABE＝2∠FCB；④∠BFH＝∠BHF．其中一定正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵AB＝BD， ∴AB＝CD；故①正确； ∵BE，CF分别是△ABC的高和角平分线， ∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∠ACB＝2∠ACF＝2∠FCB， ∴∠ABE+∠BAC＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ACB+∠BAC＝90°， ∴∠ABE＝∠ACB＝2∠FCB；故③正确； ∵∠ABC＝90°，∠BEC＝90°， ∴∠BFH+∠FCB＝90°，∠ECF+∠EHC＝90°， ∵∠BCF＝∠ECF， ∴∠BFH＝∠CHE， ∵∠CHE＝∠BHF， ∴∠BFH＝∠BHF；故④正确； 条件不足，无法得到FG＝GC；故②错误； 故选：A． 题型五 三角形中的折叠问题 解｜题｜技｜巧 利用折叠的性质和三角形的内角和解决问题。有时候还需要用到四边形的内角和（四边形的内角和为360°） 易｜错｜点｜拨 注意折叠的性质是折叠之后重叠的两部分一模一样，重叠的角度相等，重叠的线段相等。 【典例1】（2025秋•珠海期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝21°，则∠BDC等于（　　） A．42° B．63° C．66° D．76° 【答案】C 【解答】解：由折叠的性质可知：∠BCD＝∠ACD∠ACB＝45°， ∵∠BDC是△ACD的外角， ∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝45°+21°＝66°． 故选：C． 【变式1】（2025秋•合肥期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝114°，∠1＝45°，则∠2的度数为（　　） A．50° B．51° C．59° D．69° 【答案】B 【解答】解：∵BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB， ∴∠ABC＝2∠A′BC，∠ACB＝2∠A′CB， ∵∠A′BC+∠A′CB+∠BA′C＝180°，∠BA′C＝114°， ∴∠A′BC+∠A′CB＝180°﹣114°＝66°， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠A′BC+∠A′CB）＝2×66°＝132°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣132°＝48°， ∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝180°﹣48°＝132°， 由翻折可得，∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，即∠A′DA＝2∠ADE，∠A′EA＝2∠AED， ∠A′DA+∠A′EA＝2（∠ADE+∠AED）＝2×132°＝264°， ∵∠1+∠ADA′＝180°，∠2+∠AEA′＝180°， ∴∠1＝180°﹣∠ADA′，∠2＝180°﹣∠AEA′， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠ADA′+∠AEA′）＝360°﹣264°＝96°， ∵∠1＝45°， ∴∠2＝96°﹣∠1＝96°﹣45°＝51°． 故选：B． 【变式2】（2025秋•皮山县期中）现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠． 研究（1）：如果折成图①的形状，使点A落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 　∠1＝2∠A ． 研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2与∠A的数量关系是 　∠1+∠2＝2∠A ； 研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，∠1＝2∠A，理由是： 由折叠得：∠A＝∠DA′A， ∵∠1＝∠A+∠DA′A， ∴∠1＝2∠A； 故答案为：∠1＝2∠A； （2）如图2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是： 由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED， ∵∠ADB+∠AEC＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED， ∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A； 故答案为：∠1+∠2＝2∠A； （3）如图3，∠2﹣∠1＝2∠DAE，理由是： ∵∠2＝∠AFE+∠DAE，∠AFE＝∠A′+∠1， ∴∠2＝∠A′+∠DAE+∠1， ∵∠DAE＝∠A′， ∴∠2＝2∠DAE+∠1， ∴∠2﹣∠1＝2∠DAE． 故答案为：（1）∠1＝2∠A； （2）∠1+∠2＝2∠A． （3）∠2﹣∠1＝2∠DAE． 题型六 三角形同一个顶点引出的高线与角平分线形成的夹角 解｜题｜技｜巧 根据高线转换90°，角平分线平分角以及三角形的内角和解决问题。 【典例1】（2026春•西安校级期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝40°，∠C＝80°，求∠EAD的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°， ∵AE是角平分线， ∴（角平分线的定义）， ∵AD是高， ∴∠ADE＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝50°﹣30°＝20°． 则∠EAD的度数为20°． 故选：B． 【变式1】（2026春•中原区校级期中）如图1，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝40°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，则∠DAE＝　15°　 ； 【拓展提问】 若将条件“∠B＝70°，∠C＝40°”改为∠B﹣∠C＝20°（∠B＞∠C），其余条件不变，求∠DAE的度数； 【拓展变式】 如图2，在△ABC中，AE平分∠BAC，在AE的延长线上任取一点M，过点M作MD⊥BC于点D．直接写出∠M、∠B、∠C的数量关系　∠M（∠B﹣∠C）　 ． 【答案】15°； 【拓展提问】10°； 【拓展变式】∠M（∠B﹣∠C）． 【解答】解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝70°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC∠BAC＝35°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， 在△DAC中，∠DAC+∠ADC+∠C＝180°， ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣40°＝50°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝50°﹣35°＝15°． 故答案为：15°； 【拓展提问】解：在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°∠B∠C， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADE＝90°， 在△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝90°﹣∠B， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD ＝90°∠B∠C﹣（90°﹣∠B） （∠B﹣∠C） 20°， ＝10°， 答：∠DAE的度数为10°； 【拓展变式】如图，过点A作AN⊥BC于点N， ∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE∠BAC （180°﹣∠B﹣∠C） ＝90°（∠B+∠C）， ∵AN⊥BC， ∴∠ANB＝90°， ∴∠BAN＝90°﹣∠B． ∴∠NAE＝∠BAE﹣∠BAN ＝90°（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠B） （∠B﹣∠C）， ∵AN⊥BC，MD⊥BC， ∴∠ANE＝∠MDE＝90°， ∴AN∥MD． ∴∠M＝∠NAE（∠B﹣∠C），即∠M（∠B﹣∠C）． 故答案为：∠M（∠B﹣∠C）． 【变式2】（2026春•锦江区校级期中）在△ABC中，设∠B＝α，∠C＝β（β＞α），AD平分∠BAC，点E是BC边上一个动点，FE⊥BC交射线DA于点F． （1）如图1，若点F在线段DA上，α＝30°，β＝70°，则∠DFE的度数为　20°　 ； （2）若F为线段DA延长线上一点， ①如图2，求∠DFE的度数（用含α，β的代数式表示）； ②如图3，，，AP与EP交于点P，若3β＝180°+α，求∠P的度数． 【答案】（1）20°； （2）①； ②60°． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣α﹣β． 当α＝30°，β＝70°时， ∠BAC＝180°﹣30°﹣70°＝80°， ∵AD平分∠BAC，， 由三角形外角性质，∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°+40°＝70°， ∵FE⊥BC， ∴∠DEF＝90°， 即△DEF为直角三角形， ∠DFE＝90°﹣∠EDF＝90°﹣∠ADC＝20°， 故答案为：20°； （2）①在△ABC中，∠BAC＝180°﹣α﹣β， ∵AD平分∠BAC， ， 由三角形外角性质，， ∵FE⊥BC， ∴∠DEF＝90°，且∠EDF＝∠ADC（对顶角相等）． ， 答：∠DFE的度数为； ②∵FE⊥BC， ∴∠FEC＝90°， 由， 得， 在△ABC中，∠BAC＝180°﹣α﹣β． ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴， 由， 得， 由①的结论，． 根据“八字形”角度关系，∠P+∠FEP＝∠FAP+∠DFE， ∴∠P＝∠FAP+∠DFE﹣∠FEP ， 已知3β＝180°+α， 即﹣α+3β＝180°， 代入上式：． 答：∠P 的度数为60°． 题型七 三角形的内外角平分线形成的夹角 解｜题｜技｜巧 利用角平分线的性质以及三角形的内角和或外角定理解决问题。题目中若是判断几个量的数量关系时，用相等的或相同的量表示出需要判断关系的量，在利用式子的相加或相减或等量代换的方式消掉多余的其他未知量即可 【典例1】（2026春•莲湖区校级期中）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，如果∠A＝60°，那么∠BEC＝　120°　 ． 【答案】120°． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴，∠ECB∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB（∠ABC+∠ACB）120°＝60°． ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣60°＝120°． 故答案为：120°． 【典例2】（2026春•奉贤区期中）如图，BD、CD分别是△ABC的一条内角平分线与一条外角平分线，如果∠D＝20°，那么∠A＝（　　） A．20° B．30° C．40° D．60° 【答案】C 【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠AEC， ∴∠DBC∠ABC，∠DCE∠ACE， ∵∠DCE是△DBC的外角，∠ACE是△ABC的外角， ∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC，∠A＝∠ACE﹣∠ABC， ∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC（∠ACE﹣∠ABC）∠A， ∵∠D＝20°， ∴∠A＝2∠D＝40°， 故选：C． 【典例3】（2025秋•应城市期中）如图，已知△ABC的外角∠MCB和外角∠NBC的平分线相交于点D，如果∠A＝38°，那么∠D＝　71°　 ． 【答案】71°． 【解答】解：由三角形内角和定理可知，∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣38°＝142°， ∵∠BCM＝180°﹣∠ACB，∠CBN＝180°﹣∠ABC， ∴∠BCM+∠CBN＝180°﹣∠ACB+180°﹣∠ABC＝360°﹣（∠ACB+∠ABC）＝360°﹣142°＝218°， ∵△ABC的外角∠MCB和外角∠NBC的平分线相交于点D， ∴，， ∴， ∴∠D＝180°﹣（∠DCB+∠DBC）＝180°﹣109°＝71°， 故答案为：71°． 【变式1】（2026春•禅城区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A5BC的平分线与∠A5CD的平分线交于点A6，得∠A6，则∠A6＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD， ∴∠A1BC∠ABC，∠A1CA∠ACD， ∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC， 即∠ACD＝∠A1∠ABC， ∴∠A1（∠ACD﹣∠ABC）， ∵∠A+∠ABC＝∠ACD， ∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC， ∴∠A1∠A， ∠A2∠A1∠A，…， 以此类推，∠An∠A， ∴∠A6∠A． 故答案为：． 【变式2】（2026春•秀英区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，△ABC 的外角的平分线CD所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与△ABC的外角的平分线BE交于点E．有下列结论：①∠OBE＝90°；②∠BOC＝110°；③∠D＝20°；④∠E＝70°．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：∵OB平分∠ABC，BE平分∠CBG， ∴∠OBC∠ABC，∠CBE∠CBG， ∴∠OBC+∠CBE（∠ABC+∠CBG）180°＝90°， ∴∠OBE＝90°， 同理：∠OCE＝90°， 故①符合题意； ∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）＝90°∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°∠A＝90°40°＝110°， 故②符合题意； ∵∠DOC＝180°﹣110°＝70°， ∴∠D＝∠OCE﹣∠DOC＝90°﹣70°＝20°， 故③符合题意； ∠E＝360°﹣∠BOC﹣∠OBE﹣∠OCE＝360°﹣110°﹣90°﹣90°＝70°， 故④符合题意， ∴其中正确的结论有4个． 故选：D． 【变式3】（2026春•长清区期中）在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．如图，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为4倍角三角形，则∠ABO＝　45°或36°　 ． 【答案】45°或36°． 【解答】解：∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG， ∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG， ∴， ∵△EAF是4倍角三角形， ∴当∠EAF＝4∠E时，，当∠F＝4∠E时，， ∵∠ABO＝2∠E， ∴∠ABO＝45°或36°， 故答案为：45°或36°． 【变式4】（2025春•绿园区校级期中）教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页的部分内容． 如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数． 解：∵BP平分∠ABC（已知）， ∴． 同理可得∠PCB＝　25　 °． ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180° 　（三角形内角和定理）　 ， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质） ＝180°﹣40°﹣　25°　 ＝　115°　 ． （1）对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 问题推广： （2）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝96°，则∠BPC＝　114　 度． （3）如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝82°，则∠PBH＝　49　 度． 【答案】（1）25，（三角形内角和定理），25°，115°； （2）114； （3）49． 【解答】解：（1）∵BP平分∠ABC（已知）， ∴． 同理可得∠PCB＝25°． ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质） ＝180°﹣40°﹣25° ＝115°． 故答案为：25，（三角形内角和定理），25°，115°； （2）由折叠的性质可得∠AED＝∠PED，∠ADE＝∠PDE， ∵∠1+∠AEP＝180°，∠2+∠ADP＝180°，∠1+∠2＝96°， ∴2∠AED+2∠ADE＝264°， ∴∠AED+∠ADE＝132°， ∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝48°， ∵∠A＝48°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝132°， ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB， ∴2∠PBC+2∠PCB＝132°， 即∠PBC+∠PCB＝66°， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝114°， 故答案为：114； （3）∵AP平分∠BAC，BP平分∠CBM， ∴∠BAC＝2∠BAP，∠CBM＝2∠CBP， ∵∠CBM＝∠BAC+∠ACB， ∴∠CBP＝∠BAP+41°， ∵∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC， ∴∠ABC＝98°﹣2∠BAP， ∵∠ABC+∠CBP+∠BAP+∠P＝180°， ∴∠P＝180°﹣∠BAP﹣∠ABC﹣∠CBP＝41°， ∵BH⊥AP， 即∠BHP＝90°， ∴∠PBH＝180°﹣∠P﹣∠BHP＝49°； 故答案为：49． 【变式5】（2026春•朝阳区校级期中）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝62°，则∠BPC＝　121°　 ； （2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E，其中∠A＝58°，求∠BEC的度数； （3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，其中∠A＝α．求∠BQC＝　90°α　 （用α表示）； （4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠CBQ、∠BCQ的平分线交于点P，则延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R与∠BPC的数量关系为　∠BPC﹣∠R＝90°　 ． 【答案】（1）121°． （2）∠BEC的度数为29°． （3）90°α． （4）∠BPC﹣∠R＝90°． 【解答】解：（1）∵∠A＝62°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝118°， ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB（∠ABC+∠ACB）＝59°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝121°， 故答案为：121°． （2）∵∠ABD＝∠A+∠ACB，且∠A＝58°， ∴∠ABD﹣∠ACB＝∠A＝58°， ∵△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E， ∴∠BCE∠ACB，∠DBE∠ABD， ∵∠DBE＝∠BEC+∠BCE， ∴∠BEC＝∠DBE﹣∠BCE（∠ABD﹣∠ACB）＝29°， ∴∠BEC的度数为29°． （3）∵∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q， ∴∠QBC∠CBM（180°﹣∠ABC），∠QCB∠BCN（180°﹣∠ACB）， ∴∠QBC+∠QCB（180°﹣∠ABC）（180°﹣∠ACB）＝180°（∠ABC+∠ACB）， ∴∠BQC＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣[180°（∠ABC+∠ACB）]（∠ABC+∠ACB）， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，且∠A＝α， ∴∠BQC（180°﹣∠A）＝90°α， 故答案为：90°α． （4）∵点E在BC的延长线上， ∴∠BCQ+∠ECQ＝180°， ∵CP平分∠BCQ，CR平分∠ECQ， ∴∠PCQ∠BCQ，∠RCQ∠ECQ， ∴∠PCR＝∠PCQ+∠RCQ（∠BCQ+∠ECQ）＝90°， ∴∠CPR＝90°﹣∠R， ∵点R在BP的延长线上， ∴∠BPC+∠CPR＝180°， ∴∠BPC+90°﹣∠R＝180°， ∴∠BPC﹣∠R＝90°， 故答案为：∠BPC﹣∠R＝90°． 【变式6】（2025秋•包河区期中）已知直线AB与CD相交于点O，点E，F分别在射线OB和OD上． （1）如图1，∠BOD＝60°，EP平分∠OEF，FP平分∠OFE，求∠EPF的度数； （2）如图2，EP平分∠OEF，FG平分∠DFE，FG的反向延长线交EP于点P； ①若∠BOD＝60°，则∠P＝ 　30　 度（直接写出结果，不需说理）； ②若∠BOD＝α°，求∠P的度数（请写出完整的推理过程）． （3）如图3，点G在FE的延长线上，∠OEF的角平分线EP、∠AOF的角平分线OP与∠OEG的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若△PEQ的某一个内角是∠P的2倍，请直接写出∠OFE的度数． 【答案】（1）120°； （2）①30°；②； （3）90°或60°． 【解答】解：（1）在△OEF中，∠BOD＝60°， ∴∠OEF+∠OFE＝180°﹣∠BOD＝120°， ∵EP平分∠OEF，FP平分∠OFE， ∴∠PEF∠OEF，∠PFE∠OFE， ∴∠PEF+∠PFE（∠OEF+∠OFE）＝60°， 在△PEF中，∠EPF＝180°﹣（∠PEF+∠PFE）＝120°； （2）①∵EP平分∠OEF，FG平分∠DFE， ∴设∠OEP＝∠FEP＝θ，∠DFG＝∠EFG＝β， ∴∠OEF＝2θ，∠DFE＝2β， ∴∠DFG是△FPE的外角， ∴∠DFG＝∠P+∠FEP， ∴β＝∠P+θ， ∵∠DFE是△OEF的外角，∠BOD＝60°， ∴∠DFE＝∠BOD+∠OEF， ∴2β＝60°+2θ， ∴2（∠P+θ）＝60°+2θ， ∴∠P＝30°， 故答案为：30； ②∵∠BOD＝α°， 同①设∠OEP＝∠FEP＝θ，∠DFG＝∠EFG＝β， 则β＝∠P+θ，2β＝α°+2θ， ∴2（∠P+θ）＝α°+2θ， ∴∠P； （3）设∠OFE＝2θ， ∵∠OEF的角平分线为EP， ∴设∠OEP＝∠FEP＝β， ∴∠OEF＝2β， ∴∠OEG＝180°﹣∠OEF＝180°﹣2β， ∵∠OEG的角平分线为EQ， ∴∠OEQ∠OEG＝90°﹣β， ∴∠PEQ＝∠OEP+∠OEQ＝β+90°﹣β＝90°， ∵∠AOF是△OEF的外角， ∴∠AOF＝∠OFE+∠OEF＝2θ+2β， ∵∠AOF的角平分线为OP， ∴∠AOP∠AOF＝θ+β， ∴∠EOQ＝∠AOP＝θ+β， ∵∠AOP是△OPE的外角， ∴∠AOP＝∠P+∠OEP， ∴θ+β＝∠P+β， ∴∠P＝θ， 在△OEQ中，∠Q＝180°﹣（∠EOQ+∠OEQ）＝180°﹣（θ+β+90°﹣β）＝90°﹣θ， 在△PEQ中，∠PEQ＝90°，∠P＝θ，∠Q＝90°﹣θ， ∴当△PEQ的某一个内角是∠P的2倍时，有以下两种情况： ①当∠PEQ＝2∠P时，则90°＝2θ，此时∠OFE＝2θ＝90°； ②当∠Q＝2∠P时，则90°﹣θ＝2θ， 解得：θ＝30°，此时∠OFE＝2θ＝60°， 综上所述：∠OFE的度数为90°或60°． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2026春•新城区期中）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【解答】解：设第三边的长为x， ∵三角形的两边长分别为2和5， ∴5﹣2＜x＜2+5，即3＜x＜7， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长为5， ∴该三角形的周长为2+5+5＝12， 故选：B． 2．（2026春•城中区校级期中）下列图形中，不具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A．选项为多个三角形组成的图形，属于三角形结构，故具有稳定性，不符合题意，故错误 B．选项为三个三角形组成的图形，属于三角形结构，故具有稳定性，不符合题意，故错误 C．选项为两个三角形组成的图形，属于三角形结构，故具有稳定性，不符合题意，故错误 D．选项为四边形，非三角形结构，故不具有稳定性，符合题意，故正确 故选：D． 3．（2026春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　） A．CE B．AF C．DB D．AB 【答案】B 【解答】解：在△ABC中，BC边上的高为AF； 故选：B． 4．（2026春•福田区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　） A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△BDE的高 【答案】C 【解答】解：A、由图可知：BE是△ABD的中线，正确，不符合题意； B、由图可知：BD是△BCE的角平分线，正确，不符合题意； C、∵BD是△BCE的角平分线， ∴∠3＝∠2， ∵BE是中线， ∴∠1≠∠2， ∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意． D、由图可知： ∵∠C＝90° ∴BC是△ABE的高，正确，不符合题意； 故选：C． 5．（2026春•市中区期中）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形； ②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形； ③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形； ④因为∠A＝∠B∠C，所以∠A+∠B+∠C∠C∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形； ⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C∠A∠A+∠A＝180°，∠A，所以△ABC为钝角三角形． 所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个， 故选：C． 6．（2026春•中牟县校级期中）如图1所示的马扎是中国传统手工艺制品，可以合拢，方便携带，图2为侧面示意图．若∠1＝125°，∠2＝70°，则∠3的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．70° 【答案】C 【解答】解：∠3＝∠1﹣∠2 ＝125°﹣70° ＝55°． 故选：C． 7．（2026春•青岛期中）如图，在三角形纸片ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，将三角形纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若EF⊥AC，∠BDF＝68°，则∠A的度数为（　　） A．68° B．72° C．79° D．82° 【答案】C 【解答】解：∵∠BDF＝68°， 由折叠的性质可得∠ADE＝∠FDE（180°﹣∠BDF）（180°﹣68°）＝56°， ∵EF⊥AC， ∴∠AEF＝90°， 由折叠的性质可得∠AED＝∠FED∠AEF＝45°， ∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝79°． 故选：C． 8．（2026春•怀柔区期中）对用一副三角板可以找到多少不同的角度，两位同学进行了讨论． 小明：一副三角板可以找到30°，45°，60°，90°的角． 小丽：不止能找到这些角，还可以组成更多的角． 如图所示，当一副三角板这样摆放时，则∠1的度数为（　　） A．75° B．85° C．95° D．105° 【答案】D 【解答】解：由图可知，右侧三角板为含30°角的直角三角板，其与底边的夹角为30°，左侧三角板为等腰直角三角板，其与底边的夹角为45°， 设两斜边交点为P，与底边交点分别为A、B， ∵∠PAB＝30°，∠PBA＝45°， ∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝180°﹣30°﹣45°＝105°， ∴∠1＝∠APB＝105°， 则∠1的度数为105°， 故选：D． 9．（2026春•上海期中）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为75°，若∠D保持不变，则图中∠ECF应（　　） A．减少20° B．减少10° C．增加20° D．增加10° 【答案】C 【解答】解：∵∠ABD＝75°，∠D＝35°， ∴∠BCD＝∠ABD﹣∠D＝75°﹣35°＝40°， ∵∠ACE＝90°， ∴∠ECF＝180°﹣∠BCD﹣∠ACE＝180°﹣40°﹣90°＝50°， ∴50°﹣30°＝20°，即图中∠ECF应20°， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 10．（2026春•高州市期中）静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力F的方向OF1∥AC，支持力N的方向OF2⊥AC，重力G的方向OF3⊥AB．若∠A＝α，则∠F2OF3的度数为（　　） A．180°﹣α B． C．90°+α D．90°+2α 【答案】A 【解答】解：∵OF1∥AC，OF2⊥AC，重力G的方向OF3⊥AB．∠A＝α，如图， ∴∠2＝∠1＝90°﹣∠A＝90°﹣α，∠F3OF1＝180°﹣∠2＝90°+α， ∵OF2⊥OF1， ∴∠F1OF2＝90°， ∴∠F2OF3＝360°﹣90°﹣（90°+α）＝180°﹣α； 故选：A． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026春•青山区期中）已知一个三角形的两边a，b满足（a﹣3）2+|8﹣b|＝0，则此三角形的第三边可能为（　　） A．4 B．8 C．11 D．12 【答案】B 【解答】解：∵（a﹣3）2+|8﹣b|＝0， ∴a﹣3＝0，8﹣b＝0， ∴a＝3，b＝8， 设三角形的第三边是x， 由三角形三边关系定理得到：8﹣3＜x＜8+3， ∴5＜x＜11， ∴三角形的第三边可能为8． 故选：B． 2．（2026春•古塔区校级期中）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，BE的中点，△CEF（阴影部分）的面积是4，则△ABC的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【解答】解：∵F是BE中点， ∴S△BCE＝2S△CEF＝2×4＝8， ∵E是AD中点， ∴S△ABD＝2S△BED，S△ACD＝2S△CED， ∴S△ABD+S△ACD＝2（S△BED+S△CED） ＝2S△BEC ＝2×8 ＝16， ∴S△ABC＝16， 即△ABC的面积为16， 故选：C． 3．（2026春•乳山市期中）如图，两平面镜OM，ON的夹角∠MON＝45°，光线AE射在镜面OM上，反射光线EF经镜面ON反射后得到光线FB，此时∠MEA＝∠OEF，∠OFE＝∠NFB，则光线FB与AE的夹角∠ECF的度数为（　　） A．45° B．60° C．80° D．90° 【答案】D 【解答】解：∵两平面镜OM，ON的夹角∠MON＝45°， ∴∠OEF+∠OFE＝180°﹣∠MON＝135°， ∵∠MEA+∠OEF+∠CEF＝180°，∠MEA＝∠OEF， ∴∠OEF+∠OEF+∠CEF＝180°，即2∠OEF+∠CEF＝180°， ∵∠NFB+∠OFE+∠EFC＝180°，∠OFE＝∠NFB， ∴∠OFE+∠OFE+∠EFC＝180°，即2∠OFE+∠EFC＝180°， ∴2∠OEF+∠CEF+2∠OFE+∠EFC＝180°+180°，即2（∠OEF+∠OFE）+∠CEF+∠EFC＝360°， ∴∠CEF+∠EFC＝360°﹣2×135°＝360°﹣270°＝90°， ∴∠ECF＝180°﹣（∠CEF+∠EFC）＝180°﹣90°＝90°． 故选：D． 4．（2026春•沈阳期中）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝96°，则∠BPC＝　114°　 ． 【答案】114°． 【解答】解：根据邻补角定义得：∠AEP＝180°﹣∠1，∠ADP＝180°﹣∠2， 根据折叠的性质得：∠AED∠AEP＝90°∠1，∠ADE∠ADP＝90°∠2， ∴∠AED+∠ADE＝180°（∠1+∠2）， ∵∠A+∠AED+∠ADE＝180°， ∴∠A+180°（∠1+∠2）＝180°， ∴∠A（∠1+∠2）， ∵∠1+∠2＝96°， ∴∠A＝48°， ∵∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，∠BPC＝90°， ∴∠A＝114°， 故答案为：114°． 5．（2026春•碑林区校级期中）如图，已知线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD，AE、CE分别是∠BAD和∠BCD的三等分线，∠BAD＝3∠BAE、∠BCD＝3∠BCE．若∠B＝47°，∠D＝20°，则∠E＝　38　 ． 【答案】38°． 【解答】解：如图，AD与CE交于点点F，设∠BAD＝3x，∠BCD＝3y， ∵∠AOB＝∠COD，∠B＝47°，∠D＝20°，∴47°+3x＝20°+3y，∴y﹣x＝9°， ∵AE、CE分别是∠BAD和∠BCD的三等分线，∠BAD＝3∠BAE、∠BCD＝3∠BCE，∴∠EAF＝2x，∠FCD＝2y， ∵∠EFD＝2x+∠E＝2y+20°，∴∠E＝2y﹣2x+20°＝2（y﹣x）+20°＝18°+20°＝38°， 故答案为：38°． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026春•朝阳区校级期中）概念认识：如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三等分线”，BE是“邻BC三等分线”． 【问题解决】 （1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三等分线”，则∠ABE＝　40　 °； （2）如图②，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝72°，若∠B的邻AB三等分线与∠C的邻AC三等分线交于点P，则∠BPC＝　92　 °； （3）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三等分线和∠ACB邻BC三等分线，且∠BPC＝145°，求∠A的度数． （4）【延伸推广】在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的邻BC三等分线与∠ACD的三等分线交于点P．若∠A＝x°，∠B＝y°，直接写出∠BPC的度数．（用含x，y的代数式表示） 【答案】（1）40； （2）92； （3）75°； （4）或． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”， ∴， ∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝20°+20°＝40°， 故答案为：40； （2）∵∠B的邻AB三等分线与∠C的邻AC三等分线交于点P，∠B＝60°，∠C＝72°， ∴，， ∴∠BCP＝72°﹣24°＝48°，∠CBP＝60°﹣20°＝40°， ∴∠BPC＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝92°， 故答案为：92； （3）∵∠BPC＝145°， ∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣145°＝35°， ∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三等分线和∠ACB邻BC三等分线， ∴，， ∴， ∴∠ABC+∠ACB＝3×35°＝105°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣105°＝75°； （4）∵∠ACD为△ABC的外角，∠A＝x°，∠ABC＝y°， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝x°+y°， ∵BP是“邻BC三等分线”， ∴， 当CP是“邻AC三等分线”时， ∴， ∴， ∴； 当CP是“邻CD三等分线”时， ∴， ∴； 综上：∠BPC的度数是或． 2．（2026春•龙岗区期中）已知在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B． 【特例探究】（1）如图（a），AD⊥BC，垂足为D，若∠B＝35°，∠C＝65°，则∠DAE的度数为　15°　 ； 【一般推导】（2）如图（b），点P在线段AE上，过点P作PG⊥BC，垂足为G．请写出∠EPG与∠B，∠C之间的数量关系：　∠EPG∠C∠B ； 【拓展应用】（3）如图（c），在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EP，CP分别平分∠AEC和∠ACM，过点P作PG⊥BC交BC延长线于点G．若∠EAD＝∠CAD，∠CPG（∠B+∠CPE），求∠B的度数． 【答案】（1）15°； （2）∠EPG∠C∠B； （3）36°． 【解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠C＝65°， ∴∠BAC＝180°﹣35°﹣65°＝80°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE∠BAC＝40°． ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝25°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣25°＝15°． 故答案为：15°； （2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C． ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE∠BAC＝90°∠B∠C， ∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠C＝180°﹣（90°∠B∠C）﹣∠C＝90°∠B∠C． ∵PG⊥BC， ∴∠EPG＝90°﹣∠AEC＝90°﹣（90°∠B∠C）∠C∠B． 故答案为：∠EPG∠C∠B； （3）由上述过程可知，∠EAD∠ACB∠B． ∵∠CAD＝90°﹣∠ACB且∠EAD＝∠CAD， ∴∠ACB∠B＝90°﹣∠ACB， 则∠ACB∠B+60°． ∵CP平分∠ACM， ∴∠PCG∠ACM（180°﹣∠ACB）＝90°∠ACB． ∵PG⊥BC， ∴∠CPG＝90°﹣∠PCG∠ACB． 又∵EP平分∠AEC， ∴∠PEC∠AEC． ∵∠EAC＝∠ACM﹣∠AEC，∠CPE＝∠PCG﹣∠PEC， ∴∠CPE（∠ACM﹣∠AEC）∠EAC． ∵∠EAC∠BAC＝90°∠B∠ACB， ∴∠CPE＝45°∠B∠ACB． ∵∠CPG（∠B+∠CPE）， ∴∠ACB（∠B+45°∠B∠ACB）， ∴∠B+60°）[∠B+45°∠B（∠B+60°）]， 解得∠B＝36°， ∴∠B的度数为36°． 3．（2026春•茂南区期中）如图，锐角∠EAF，点B，C分别在AE，AF上． （1）如图1，若∠EAF＝56°，连接BC，∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠CBE的平分线与∠BCF的平分线交于点P，则a+β＝　124　 °，∠P＝　62　 °； （2）若点Q在∠EAF内部（点Q不在线段BC上），连接BQ，QC，∠EAF＝56°，∠CQB＝104°，BM，CN分别平分∠QBE和∠QCF，且BM与CN交于点D，求∠BDC的度数； （3）如图2，点G是线段CB延长线上一点，过点G作GH⊥AE于点H，∠EAF与∠CGH的平分线交于点O，请写出∠ACG与∠AOG的数量关系并说明理由． 【答案】（1）124，62； （2）∠BDC＝24°或100°； （3）∠AOG∠ACG＝45°． 【解答】解：（1）在△ABC中：α+β＝180°﹣∠EAF＝180°﹣56°＝124°， ∵BP 平分∠CBE，CP 平分∠BCF， ∴∠PBC∠CBE（180°﹣α），∠PCB∠BCF（180°﹣β）， ∠PBC+∠PCB（360°﹣（α+β）（360°﹣124°）＝118°， ∠P＝180°﹣118°＝62°； 故答案为：124，62； （2）①点Q在BC上方时，如图， ∵∠ACQ+∠ABQ＝360°﹣（∠EAF+∠CQB）＝360°﹣（56°+104°）＝200°， ∴∠FCQ+∠QBE＝360°﹣（∠ACQ+∠ABQ）＝160°， ∵BM，CN分别平分∠QBE，∠QCF， ∴∠DCQ+∠QBD（∠FCQ+∠QBE）＝80°， ∵∠QCB+∠CBQ＝180°﹣∠CQB＝76°， ∴∠DCB+∠DBC＝80°+76°＝156°， ∴∠BDC＝180°﹣（∠DCB+∠DBC）＝180°﹣156°＝24°； ②点Q在BC下方时，如图， ∵∠CQB＝104°， ∴∠QCQ+∠QBC＝180°﹣104°＝76°， ∵∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠EAF＝124°， ∴∠ACQ+∠ABQ＝124°﹣76°＝48°， ∴∠FCQ+∠QBE＝360°﹣48°＝312°， ∴∠DCQ+∠DBQ312°＝156°， ∴∠BDC＝360°﹣104°﹣156°＝100°， 综上所述，∠BDC的度数为24°或100°． （3） ∠AOG∠ACG＝45°，理由如下： ∵AO，OG分别是∠FAE和∠CGH的平分线， ∴∠CAO∠EAF，∠CGO∠CGH， ∵∠CAO+∠ACG＝∠CGO+∠AOG， ∴∠EAF+∠ACG∠CGH+∠AOG， 即∠AOG﹣∠ACG（∠EAF﹣∠CGH）， ∵∠ABC＝∠GBH， ∴∠EAF＝180°﹣∠ACG﹣∠ABC＝180°﹣∠ACG﹣∠GBH，∠CGH＝90°﹣∠GBH， ∴ ∴∠AOG∠ACG＝45°． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 题型02 题型03 题型04 题型05 题型06 题型07 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 三角形的边 理解三边关系：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边；能判断三条线段能否构成三角形，会求第三边的取值范围。 基础必考点，常以选择、填空出现，易与等腰三角形结合 高、中线、角平分线 掌握三角形的高、中线、角平分线的定义与画法（含钝角三角形）；理解三条中线交于重心、中线平分面积等性质。 高频考点，常与面积、周长、推理证明结合，作图题易出 三角形内角和定理 掌握三角形内角和等于180°，会用代数法、添加辅助线法求角或证明角度关系，能结合平行线、角平分线综合求角。 核心必考点，填空、解答题高频，多与平行线、折叠结合 三角形外角 掌握外角定义及性质：三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；外角和为360°。会利用外角求角。 高频考点，常作为求角、证明的桥梁，压轴题常涉及 综合与探究 会综合运用内角和外角定理，通过设未知数、列方程解决角度计算问题；理解三角形的稳定性在实际中的应用。 解答题压轴方向，常以动角、探究规律、实际应用呈现 知识点01 三角形的有关概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的三条线段叫做三角形的边，相邻两边组成的角叫做三角形的内角，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。三角形用符号 "△" 表示，顶点是 A、B、C 的三角形记作 "△ABC"。 示例：△ABC 的三条边是AB、BC、CA，三个内角是∠A、∠B、∠C，三个顶点是A、B、C；三角形有3条边、3个内角、3个顶点。 三角形按角分类可分为钝角三角形、直角三角形及锐角三角形。 三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形中包含等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点02 三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 示例：三条线段长度分别为 3、4、5，因为 3＋4＞5、4－3＜5，所以能组成三角形；而 2、3、6 不 能组成三角形，因为 2＋3＜6。 易错点： 1. 判断能否构成三角形，只需验证：最短两边之和＞第三边即可（等价且最简）； 2. 求第三边范围：两边之差＜第三边＜两边之和。如两边为 3 和 5，第三边 x 满足 2＜x＜8；注意当第三边是一个表达式时，区分第三边的取值范围和表达式中字母的取值范围。 3. 当 “两边之和 = 第三边” 时，三点共线，不能构成三角形。 三角形的稳定性：当三角形的三边一旦确定，则三角形的形状大小边确定，这三角形的稳定性，是三角形固有的特性。 知识点03 三角形的高、中线、角平分线 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 高线的画法：一靠：将三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；二移：移动三角尺，使另一条直角边通过要作高的顶点；三画：画出垂线段。下图分别是锐角三角形、直角三角形及钝角三角形的高线的画法。 锐角三角形的三条高都在三角形内部，垂心在三角形内部；直角三角形有两条高是三角形的边，垂心在三角形的直角顶点上。钝角三角形有两条高在三角形外，垂心在三角形外。 中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做中线。 示例：如图AM是△ABC的中线 AM是三角形的中线M是BC的中点BM＝CM＝BC。 中线平分三角形的面积。即： 中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差。即： 三角形有3条中线，且三条中线交于一点，叫做三角形的重心。 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 示例：若AE平分∠BAC交BC于D，则∠BAD＝∠CAD＝∠BAC。 AD是三角形的角平分线∠1＝∠2。 三角形的角平分线把三角形分得的两个小三角形的面积比等于被角平分线分边分得的两条线段比。即。（这两个三角形的高相等） 三角形有3条角平分线，三条角平分交于一点，这一点叫做三角形的内心。 易错点： 1. 钝角三角形的高线画法，注意钝角三角形的高线在三角形外部； 2. 中线分的两个三角形的面积关系与周长关系； 3. 角平分线分得的两个三角形的面积关系及其证明。 知识点04 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180°。 示例：如图：△ABC，则∠A+∠B+∠C=180°。证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。 易错点： 证明时常添加辅助线（过顶点作平行线），把三个角拼成平角；注意内错角、 同位角对应关系。 直角三角形的性质： 有一个角是直角的三角形。用表示直角三角形ABC。直角三角形的两锐角互为余角。 示例：△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°。 反之，若∠A＋∠B＝90°，则△ABC是直角三角形。 知识点05 三角形的外角 三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；大于与它不相邻的任意一个内角。 示例：∠ABD是△ABC的一个外角。 ∠1=∠2＋∠3；∠1＞∠2，∠1＞∠3。 题型一 根据三角形的三边关系求字母的取值范围 解｜题｜技｜巧 利用“两边之差＜第三边＜两边之和”建立连不等式组，求出第三边的范围，从而求出字母的取值范围。 易｜错｜点｜拨 注意区分第三边的取值范围和字母的取值范围，若第三边是单独的字母，则第三边的取值范围等同于字母取值范围，若第三边是代数式，则字母取值范围需要在第三边的取值范围上求取。 【典例1】（2025秋•福清市期中）若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的取值范围是（　　） A．3＜x＜4 B．1＜x＜7 C．0＜x＜7 D．2＜x＜6 【变式1】（2026春•莲湖区校级期中）设△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a，b满足|a+b﹣6|+（a﹣b+4）2＝0，则第三边c的长度取值范围是（　　） A．3＜c＜5 B．2＜c＜4 C．4＜c＜6 D．5＜c＜6 【变式2】（2025秋•许昌校级期中）如果三角形的三边长分别为3，4，1﹣2a，那么a的取值范围是 　 　 ． 【变式3】（2025秋•蚌埠期中）已知a，b，c分别为三角形ABC的三边，且满足a+c＝3b﹣2，a﹣c＝2b﹣4，则b的取值范围是（　　） A． B．1＜b＜4 C．1＜b＜3 D． 题型二 根据三角形的三边关系化简绝对值 解｜题｜技｜巧 根据“两边之差＜第三边＜两边之和”之间判断绝对值符号里面的表达式与0的大小关系进而去化简绝对值，或利用“两边之差＜第三边＜两边之和”建立连不等式组，求出第三边的取值范围，再判断出绝对值符号内的表达式与0的大小关系然后化简绝对值 易｜错｜点｜拨 若绝对值内的表达式为三角形的三边的加减运算时，两正则为大于0，两负则为小于0。 【典例1】（2026春•沙坪坝区校级期中）已知△ABC的三边长分别是a，b，c，化简|a﹣b﹣c|+|a﹣b+c|的结果为（　　） A．2a﹣2b B．2b﹣2a C．2c D．﹣2c 【典例2】（2025秋•淄博期中）已知一个三角形的三边长分别为5、x、8，则化简|x﹣2|+|x﹣13|的结果为 　 　 ． 【变式1】（2026春•兴庆区校级期中）已知a，b，c分别是三角形ABC的三边长，化简：|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|＝　 ． 【变式2】（2026春•鲤城区校级期中）按要求完成下列各小题． （1）在△ABC中，AB＝8，BC＝2，AC的长为偶数，求△ABC的周长； （2）已知△ABC的三边长分别为3，5，a，化简|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|． 题型三 中线平分面积 易｜错｜点｜拨 根据中线的性质解决问题，注意关于与中点的连线是否构成三角形的中线，只有三角形的中线才满足平分三角形的面积。 【典例1】（2026春•和平区校级期中）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，，则三角形ABC的面积是（　　） A．6cm2 B．9cm2 C．12cm2 D．18cm2 【变式1】（2025秋•潮南区期中）如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G．若AG：GD＝2：1，S△ABC＝18，则图中阴影部分的面积和为 　 　 ． 题型四 与高线、中线及角平分线有关的多结论题目 解｜题｜技｜巧 理解高线、中线及角平分线的定义，掌握相关的性质，根据定义进行判断和根据性质进行求解。 易｜错｜点｜拨 注意高线转换90°，结合三角形的内角和转换角度问题。 【典例1】（2026春•朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有　 　 ． ①AD是△ABC的角平分线； ②BE是△ABD边AD上的中线； ③CH是△ACD边AD上的高； ④AH是△ACF的角平分线和高． 【变式1】（2025春•金水区校级期中）如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD．给出下列结论：①AB＝CD；②FG＝GC；③∠ABE＝2∠FCB；④∠BFH＝∠BHF．其中一定正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 题型五 三角形中的折叠问题 解｜题｜技｜巧 利用折叠的性质和三角形的内角和解决问题。有时候还需要用到四边形的内角和（四边形的内角和为360°） 易｜错｜点｜拨 注意折叠的性质是折叠之后重叠的两部分一模一样，重叠的角度相等，重叠的线段相等。 【典例1】（2025秋•珠海期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝21°，则∠BDC等于（　　） A．42° B．63° C．66° D．76° 【变式1】（2025秋•合肥期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝114°，∠1＝45°，则∠2的度数为（　　） A．50° B．51° C．59° D．69° 【变式2】（2025秋•皮山县期中）现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠． 研究（1）：如果折成图①的形状，使点A落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 　 ． 研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2与∠A的数量关系是 　 ； 研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由． 题型六 三角形同一个顶点引出的高线与角平分线形成的夹角 解｜题｜技｜巧 根据高线转换90°，角平分线平分角以及三角形的内角和解决问题。 【典例1】（2026春•西安校级期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝40°，∠C＝80°，求∠EAD的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【变式1】（2026春•中原区校级期中）如图1，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝40°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，则∠DAE＝　 　 ； 【拓展提问】 若将条件“∠B＝70°，∠C＝40°”改为∠B﹣∠C＝20°（∠B＞∠C），其余条件不变，求∠DAE的度数； 【拓展变式】 如图2，在△ABC中，AE平分∠BAC，在AE的延长线上任取一点M，过点M作MD⊥BC于点D．直接写出∠M、∠B、∠C的数量关系　 　 ． 【变式2】（2026春•锦江区校级期中）在△ABC中，设∠B＝α，∠C＝β（β＞α），AD平分∠BAC，点E是BC边上一个动点，FE⊥BC交射线DA于点F． （1）如图1，若点F在线段DA上，α＝30°，β＝70°，则∠DFE的度数为　 　 ； （2）若F为线段DA延长线上一点， ①如图2，求∠DFE的度数（用含α，β的代数式表示）； ②如图3，，，AP与EP交于点P，若3β＝180°+α，求∠P的度数． 题型七 三角形的内外角平分线形成的夹角 解｜题｜技｜巧 利用角平分线的性质以及三角形的内角和或外角定理解决问题。题目中若是判断几个量的数量关系时，用相等的或相同的量表示出需要判断关系的量，在利用式子的相加或相减或等量代换的方式消掉多余的其他未知量即可 【典例1】（2026春•莲湖区校级期中）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，如果∠A＝60°，那么∠BEC＝　 　 ． 【典例2】（2026春•奉贤区期中）如图，BD、CD分别是△ABC的一条内角平分线与一条外角平分线，如果∠D＝20°，那么∠A＝（　　） A．20° B．30° C．40° D．60° 【典例3】（2025秋•应城市期中）如图，已知△ABC的外角∠MCB和外角∠NBC的平分线相交于点D，如果∠A＝38°，那么∠D＝　 　 ． 【变式1】（2026春•禅城区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A5BC的平分线与∠A5CD的平分线交于点A6，得∠A6，则∠A6＝ 　 ． 【变式2】（2026春•秀英区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，△ABC 的外角的平分线CD所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与△ABC的外角的平分线BE交于点E．有下列结论：①∠OBE＝90°；②∠BOC＝110°；③∠D＝20°；④∠E＝70°．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（2026春•长清区期中）在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．如图，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为4倍角三角形，则∠ABO＝　 　 ． 【变式4】（2025春•绿园区校级期中）教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页的部分内容． 如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数． 解：∵BP平分∠ABC（已知）， ∴． 同理可得∠PCB＝　 　 °． ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180° 　 　 ， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质） ＝180°﹣40°﹣　 　 ＝　 　 ． （1）对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 问题推广： （2）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝96°，则∠BPC＝　 　 度． （3）如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝82°，则∠PBH＝　 　 度． 【变式5】（2026春•朝阳区校级期中）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝62°，则∠BPC＝　 　 ； （2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E，其中∠A＝58°，求∠BEC的度数； （3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，其中∠A＝α．求∠BQC＝　 （用α表示）； （4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠CBQ、∠BCQ的平分线交于点P，则延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R与∠BPC的数量关系为　 　 ． 【变式6】（2025秋•包河区期中）已知直线AB与CD相交于点O，点E，F分别在射线OB和OD上． （1）如图1，∠BOD＝60°，EP平分∠OEF，FP平分∠OFE，求∠EPF的度数； （2）如图2，EP平分∠OEF，FG平分∠DFE，FG的反向延长线交EP于点P； ①若∠BOD＝60°，则∠P＝ 　 　 度（直接写出结果，不需说理）； ②若∠BOD＝α°，求∠P的度数（请写出完整的推理过程）． （3）如图3，点G在FE的延长线上，∠OEF的角平分线EP、∠AOF的角平分线OP与∠OEG的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若△PEQ的某一个内角是∠P的2倍，请直接写出∠OFE的度数． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2026春•新城区期中）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 2．（2026春•城中区校级期中）下列图形中，不具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　） A．CE B．AF C．DB D．AB 4．（2026春•福田区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　） A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△BDE的高 5．（2026春•市中区期中）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（2026春•中牟县校级期中）如图1所示的马扎是中国传统手工艺制品，可以合拢，方便携带，图2为侧面示意图．若∠1＝125°，∠2＝70°，则∠3的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．70° 7．（2026春•青岛期中）如图，在三角形纸片ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，将三角形纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若EF⊥AC，∠BDF＝68°，则∠A的度数为（　　） A．68° B．72° C．79° D．82° 8．（2026春•怀柔区期中）对用一副三角板可以找到多少不同的角度，两位同学进行了讨论． 小明：一副三角板可以找到30°，45°，60°，90°的角． 小丽：不止能找到这些角，还可以组成更多的角． 如图所示，当一副三角板这样摆放时，则∠1的度数为（　　） A．75° B．85° C．95° D．105° 9．（2026春•上海期中）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为75°，若∠D保持不变，则图中∠ECF应（　　） A．减少20° B．减少10° C．增加20° D．增加10° 10．（2026春•高州市期中）静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力F的方向OF1∥AC，支持力N的方向OF2⊥AC，重力G的方向OF3⊥AB．若∠A＝α，则∠F2OF3的度数为（　　） A．180°﹣α B． C．90°+α D．90°+2α 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026春•青山区期中）已知一个三角形的两边a，b满足（a﹣3）2+|8﹣b|＝0，则此三角形的第三边可能为（　　） A．4 B．8 C．11 D．12 2．（2026春•古塔区校级期中）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，BE的中点，△CEF（阴影部分）的面积是4，则△ABC的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 3．（2026春•乳山市期中）如图，两平面镜OM，ON的夹角∠MON＝45°，光线AE射在镜面OM上，反射光线EF经镜面ON反射后得到光线FB，此时∠MEA＝∠OEF，∠OFE＝∠NFB，则光线FB与AE的夹角∠ECF的度数为（　　） A．45° B．60° C．80° D．90° 4．（2026春•沈阳期中）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝96°，则∠BPC＝　 　 ． 5．（2026春•碑林区校级期中）如图，已知线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD，AE、CE分别是∠BAD和∠BCD的三等分线，∠BAD＝3∠BAE、∠BCD＝3∠BCE．若∠B＝47°，∠D＝20°，则∠E＝　 　 ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026春•朝阳区校级期中）概念认识：如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三等分线”，BE是“邻BC三等分线”． 【问题解决】 （1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三等分线”，则∠ABE＝　 　 °； （2）如图②，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝72°，若∠B的邻AB三等分线与∠C的邻AC三等分线交于点P，则∠BPC＝　 °； （3）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三等分线和∠ACB邻BC三等分线，且∠BPC＝145°，求∠A的度数． （4）【延伸推广】在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的邻BC三等分线与∠ACD的三等分线交于点P．若∠A＝x°，∠B＝y°，直接写出∠BPC的度数．（用含x，y的代数式表示） 2．（2026春•龙岗区期中）已知在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B． 【特例探究】（1）如图（a），AD⊥BC，垂足为D，若∠B＝35°，∠C＝65°，则∠DAE的度数为　 　 ； 【一般推导】（2）如图（b），点P在线段AE上，过点P作PG⊥BC，垂足为G．请写出∠EPG与∠B，∠C之间的数量关系：　 ； 【拓展应用】（3）如图（c），在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EP，CP分别平分∠AEC和∠ACM，过点P作PG⊥BC交BC延长线于点G．若∠EAD＝∠CAD，∠CPG（∠B+∠CPE），求∠B的度数． 3．（2026春•茂南区期中）如图，锐角∠EAF，点B，C分别在AE，AF上． （1）如图1，若∠EAF＝56°，连接BC，∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠CBE的平分线与∠BCF的平分线交于点P，则a+β＝　 °，∠P＝　 　 °； （2）若点Q在∠EAF内部（点Q不在线段BC上），连接BQ，QC，∠EAF＝56°，∠CQB＝104°，BM，CN分别平分∠QBE和∠QCF，且BM与CN交于点D，求∠BDC的度数； （3）如图2，点G是线段CB延长线上一点，过点G作GH⊥AE于点H，∠EAF与∠CGH的平分线交于点O，请写出∠ACG与∠AOG的数量关系并说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $