第13章 培优专练3 本章考试热点题型(培优训练)-【教与学·学导练】2026-2027学年八年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

数学 八年级 上册 配人教版 数学 八年级 上册 配人教版 第十一章　三　角　形 培优专练3 本章考试热点题型 数学 八年级 上册 配人教版 1. 【问题情境】数学课上，同学们探索三角形中角之间的关系. 如图P13－3－1①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，P 是线段DB上的一点，过点P作AB的垂线，垂足为E. 【特例分析】 （1）若∠BAC＝50°，求∠ADC与∠DPE的度数； 　图P13－3－1 数学 八年级 上册 配人教版 解：（1）∵∠BAC＝50°，∠C＝90°， ∴∠B＝90°－50°＝40°. ∵PE⊥AB， ∴∠PEB＝90°. ∴∠DPE＝∠PEB＋∠B＝130°. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠BAC＝25°. ∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝65°. 数学 八年级 上册 配人教版 【类比探究】 （2）善思小组在（1）的基础上，改变∠B的大小，经过探究， 他们发现∠ADC与∠DPE之间存在特定的等量关系. 请你猜想 ∠ADC与∠DPE之间的数量关系，并证明； 解：（2）∠DPE＝2∠ADC. 证明如下： 由（1）可知∠DPE＝90°＋∠B， ∠ADC＝∠B＋∠BAC＝∠B＋（90° －∠B）＝45°＋∠B. ∴∠DPE＝2∠ADC. 数学 八年级 上册 配人教版 【拓展探究】 （3）如图P13－3－1②，敏学小组画出了点P，E分别在线段 DB，AB延长线上时的情形，其余条件不变，画出∠DPE的平 分线，交AD的延长线于点F. 请在图中补全图形，并求出 ∠AFP的度数. 　图P13－3－1 数学 八年级 上册 配人教版 解：（3）补全图形如答图P13－3－1，设PF交AE于 点J. ∵PE⊥AE，∠C＝90°， ∴∠C＝∠E＝90°. ∵∠ABC＝∠PBE， ∴90°－∠ABC＝90°－∠PBE，即∠CAB＝ ∠BPE. ∵AD，PF分别平分∠CAB，∠BPE， ∴∠FAJ＝∠CAB，∠EPJ＝∠BPE. 　答图P13－3－1 数学 八年级 上册 配人教版 ∴∠FAJ＝∠EPJ. ∵∠AJF＝∠PJE， ∴180°－∠FAJ－∠AJF＝180°－∠EPJ－ ∠PJE，即∠AFP＝∠E＝90°. 　答图P13－3－1 数学 八年级 上册 配人教版 2. 【问题情境】数学课上李老师在三角形中添加了一些线段，让 同学们探究角之间的数量关系. 已知在△ABC中，∠ABC＝ ∠ACB，CD是△ABC的角平分线，E是边BC上一点，∠CDE＝ ∠A. 请探究∠ACD与∠BED之间的数量关系. 【特例探究】 （1）勤奋小组采用从特殊到一般的方法对这个问题进行分析： ①如图P13－3－2①，若∠A＝40°，求此时∠ACD和∠BED 的度数； 图P13－3－2 数学 八年级 上册 配人教版 解：（1）①∵∠A＝40°， ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝140°. ∵∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝×140°＝70°. ∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB＝35°. ∵∠CDE＝∠A＝40°， ∴∠BED＝∠BCD＋∠CDE＝75°. 数学 八年级 上册 配人教版 ②勤奋小组发现无论△ABC是锐角三角形、直角三角形或钝角三 角形，这两个角之间的关系始终不变. 请写出∠ACD与∠BED之 间的数量关系，并根据图P13－3－2②证明你的结论； 图P13－3－2 数学 八年级 上册 配人教版 ②3∠ACD＋∠BED＝180°. 证明如下：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD，∠ACB＝2∠ACD. ∵∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝2∠ACD. ∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴∠A＝180°－4∠ACD. ∵∠A＝∠CDE，∴∠CDE＝180°－4∠ACD. ∴∠BED＝∠CDE＋∠DCE＝180°－4∠ACD＋∠ACD＝180° －3∠ACD. ∴3∠ACD＋∠BED＝180°. 数学 八年级 上册 配人教版 【深入探究】 （2）善思小组受到启发，进一步探究：如图P13－3－2③，在 △ABC中，∠A＜60°，∠ABC＝∠ACB. 作△ABC的外角∠BCM 的平分线，与AB的延长线交于点D，E是线段BC延长线上一点， ∠CDE＝∠A. 请在图中补全图形，并写出此时∠ACD与∠BED之 间的数量关系. 图P13－3－2 数学 八年级 上册 配人教版 解：（2）补全图形如答图P13－3－2. 　∵CD平分∠BCM， ∴∠BCD＝∠DCM. 设∠A＝∠CDE＝x，则∠ABC＝ ∠ACB＝＝90°－. ∴∠BCD＝∠DCM＝＝45°＋. 答图P13－3－2 数学 八年级 上册 配人教版 ∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝90°－＋45°＋＝ 135°－， ∠BED＝∠BCD－∠CDE＝45°＋－x＝45°－x. ∴4（135°－∠ACD）＝（45°－∠BED）. ∴3∠ACD－∠BED＝360°. 答图P13－3－2 数学 八年级 上册 配人教版 谢 谢 ! 数学 八年级 上册 配人教版 $