专题01 三角形（必备知识+12题型+分层检测）（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材人教版

专题01 三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 三角形的有关概念 能准确描述三角形各部分名称，明确三角形的定义 基础必考点，常结合图形在小题中考查对概念的识别 三角形的分类 能根据角或边的特征，正确对三角形进行分类 高频考点，易因混淆分类标准而出错，多在选择题或填空题中出现 三角形三边关系 掌握 “三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，并能运用此关系判断三条线段能否组成三角形、求线段的取值范围等 重要考点，常以选择题、填空题形式考查，是解决三角形边长相关问题的基础 三角形的内角和定理 理解并能灵活运用三角形内角和为 180°，以及直角三角形两锐角互余等推论进行角度计算与证明 核心考点，贯穿三角形角度相关题目，在计算、证明题中高频出现 三角形的外角性质 能运用三角形外角性质进行角度的计算与推导 常与内角和定理结合考查，在几何证明与计算中应用广泛 知识点01 认识三角形 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 概念 示例 图示 顶点 三角形两边的公共点叫做三角形的顶点. 点A，点B，点C 边 组成三角形的三条线段称为三角形的三条边. 线段AB，线段BC，线段AC 内角 在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角. ∠A，∠B，∠C 三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，字母的顺序可以自由安排，即∆ABC， ∆ACB等均为同一个三角形. 【解读】 1）判定一个图形是三角形的条件【缺一不可】：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相接； 2）△ABC的三边，有时也用a，b，c表示.在上图中，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示； 知识点02 三角形的分类 1）三角形按边分类： 2）三角形按角分类： 知识点03 三角形的三边关系 文字表述 数字语言 理论依据 应用 图形 三角形的任意两边之和大于第三边 在△ABC中，a+b＞c； a+c＞b；b+c＞a 两点之间线段最短 1）判断三条已知线段能否组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）【易错】所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 三角形的任意两边之差小于第三边 在△ABC中，|a-b|＜c； |a-c|＜b；|b-c|＜a 【补充】三角形三边关系定理及其推论是判定三条线段能否构成三角形的依据，也是用于证明几何图形中线段不等关系的重要依据. 知识点04 三角形的高、中线、角平分线 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图示 作法 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 【解读】 1）一个三角形有三条高，它们都是线段，它们的位置由三角形的形状来决定： 【小结】三角形的高，一定记住垂足不一定落在三角形的边上，有能落在边的延长线上. 2）常见结论（热考）： ①三角形的高→90°的角； ②三角形的中线将一个大三角形分成两个面积相等的小三角形(等底同高)；三角形的中线延长1倍，容易构造平行四边形(倍长中线模型). ③三角形的角平分线→相等的角或成2倍关系的角. 知识点05 三角形的稳定性 三角形的稳定性: 如果一个三角形三边长确定后，那么三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 【解读】 1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． 2）四边形不具有稳定性，也就是说，四边形的四条边的长度确定后，不能确定它的形状，因为它的各个角的大小还可以改变. 因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过作辅助线转化为三角形而获得. 知识点06 三角形的内角和定理 定理：三角形三个内角和等于180°． 表达形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 证明方法： 图示 方法 构造平角 构造邻补角 构造同旁内角 具体 把三个角“移”成一个平角 可延长三角形的任一边，得到邻补角，然后过该角的顶点作该角的对边的平行线. 过三角形的一个顶点作平行于这一点所对边的射线. 【解读】无论三角形的形状、大小如何改变，三角形三个内角的和仍等于180°； 知识点07 三角形的外角 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 图中的∠ACD为△ABC的一个外角. 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°． 题型一 三角形的识别与有关概念 解｜题｜技｜巧 1）判定一个图形是三角形的条件【缺一不可】：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相接； 2）对于三角形的相关概念，切记死记硬背，要理解概念的本质属性，复杂的图形应重视图形的分解与组合. 1．（24-25八年级上·贵州·期中）下列说法正确的是（    ） A．三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 B．三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形 C．关于轴对称的两个图形大小不变，形状改变 D．两角和一边对应相等的两个三角形全等 【答案】D 【分析】分别根据三角形的定义、分类、轴对称图形的性质，全等三角形的判定，逐一判断即可得出答案； 本题考查三角形的定义、分类、轴对称图形的性质，全等三角形的判定定理，需要熟练掌握三角形的相关概念 【详解】A、由同一平面不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，故A错误； B、三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，故B错误； C、关于轴对称的两个图形大小不变，形状不变，故C错误； D、两角和一边对应相等的两个三角形全等，故D正确； 故选D 2．（23-24八年级上·山东德州·期中）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 3．（23-24八年级上·北京·单元测试）如图，下列说法错误的是（     ） A．，，是的内角 B． 是与相邻的角 C． D．的三条边分别是 ，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，熟知三角形的相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，，是的内角，原说法正确，不符合题意； B、 是与相邻的角，原说法正确，不符合题意； C、，但不一定等于，原说法错误，符合题意； D、的三条边分别是 ，，，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 4．（23-24七年级下·四川眉山·期中）下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、高线、中线的定义与性质，是基础题，需熟记．根据三角形的角平分线、高线、中线对各说法分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误； ②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确； ③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确； ④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误； ⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误． 所以正确的有两个． 故选：B． 5．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，被木条遮住了一部分，只露出，则与可能是（    ） A．一个直角，一个锐角 B．两个钝角 C．一个钝角，一个锐角 D．两个锐角 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类，理解并掌握三角形的分类是解题的关键． 三角形根据角度分为：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，是钝角， ∴与可能是两个锐角， 故选：D ． 题型二 三角形的稳定性与四边形的不稳定性 解｜题｜技｜巧 1) 三角形具有稳定性. 2) 四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了. 3）要判断图形是否具有稳定性，关键在于它的结构是不是三角形. 6．（24-25八年级上·福建厦门·期中）下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：由题意得，A、B、C三个选项中的图形都运用了三角形的稳定性，D选项中的图形具有伸缩功能，不运用三角形的稳定性， 故选：D． 7．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）2024年7月27日，在巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体决赛中，中国组合夺得金牌，这也是本届巴黎奥运会诞生的首枚金牌．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性进行作答即可． 【详解】解：这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性； 故答案为：三角形的稳定性． 8．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）给出下列图形：其中具有稳定性的是 （把序号填在横线上） 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性质． 利用三角形的稳定性进行判断即可． 【详解】解：根据三角形具有稳定性可得， 具有稳定性的图形是②和③， 故答案为：②③． 9．（2021七年级下·全国·专题练习）如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 【答案】见解析 【分析】根据题意运用四边形的不稳定性和三角形的稳定性来回答问题即可． 【详解】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离．它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了． 【点睛】本题考查了四边形的不稳定性，要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等，理解题意是解题的关键． 题型三 构成三角形的条件 解｜题｜技｜巧 若满足：最短的线段长+中间的线段长＞最长的线段长，即可构成三角形. 10．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知线段，下列长度的两条线段能与组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故不A符合题意； B、，不能组成三角形，故B不符合题意； C、，能组成三角形，故C符合题意； D、，不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 11．（2021·四川宜宾·中考真题）若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围即可得解． 【详解】根据三角形的三边关系得，即，则选项中4符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键． 12．（24-25八年级上·广东中山·期中）已知的三条边长为2，，7，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，解不等式组，根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式是解题的关键． 根据题意，得出，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得：． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，为的三边长，若，满足，且是整数，求的取值． 【答案】，，． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值和偶次幂非负性，由，得，，然后通过三角形三边关系即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∵是整数， ∴，，． 14．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）已知的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长． 【答案】(1)、、、、 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形三边之间的关系； （1）根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而即可求解； （2）将的值表示出来，分情况计算周长即可求解； 【详解】（1） 的三边长为，，， ，， ， 即，且，，均为整数， 故的取值范围为：、、、、； 故答案为：、、、、 （2）解：为偶数，， 故可取，； 当时，的周长为； 当时，的周长为 题型四 三角形三边关系的应用 解｜题｜技｜巧 三角形任意两边之和大于第三边是构成三角形的重要依据.任意给定三条线段，并不能保证可以构成三角形，必须用三角形三边的关系去验证. 15．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）平行四边形的对角线长为x、y，一边长为14，则x、y的值可能是（    ） A．12和16 B．20和22 C．10和16 D．8和36 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是利用三角形的三边关系来判断对角线的范围．根据平行四边形的对角线互相平分，则对角线的一半和已知的边组成三角形，再利用三角形的三边关系可逐个判断． 【详解】解：因为平行四边形的对角线互相平分，一边与两条对角线的一半构成三角形，所以根据三角形的三边关系进行判断： A、∵， ∴不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴能构成三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴不能构成三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴不能构成三角形，故此选项不符合题意． 故选：B． 16．（2024·河北邢台·一模）平面内，将长分别为1，1，3，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），可能是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用．如图，设这个凸四边形为，连接，并设，先在中，根据三角形的三边关系定理可得，再在中，根据三角形的三边关系定理可得，即从而可得，据此即可解答． 【详解】解：如图，如图，设这个凸四边形为，连接，并设，    在中，，即， 在中，，即， 所以 观察四个选项可知，只有选项C符合． 故选：C． 17．（23-24八年级上·四川自贡·期中）若的三边为，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，不等式的性质，绝对值，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的三边关系，得到，再去绝对值，最后合并，即可解答． 【详解】解：∵的三边为， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 18．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）已知的边，边的长度分别是不等式组的最大整数解与最小整数解；如果的周长是奇数，则的第三条边的长度的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，三角形三边关系，解题的关键在于能够准确求出不等式组的解集． 先求出不等式组的解集，然后根据解集求出其最大整数解与最小整数解，根据三边关系求出范围，再结合的周长是奇数求解即可． 【详解】解：由， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 则不等式组最大的整数解为8，最小整数解为6． ∵的周长是奇数，是偶数， 且， 则的第三条边的长度的最小值3， 故答案为：3． 19．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形两边之和大于第三边得出，，，，计算得出，即可得证，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】证明：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， 与的和小于四边形的周长． 20．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简式子 ； (2)若，，． ①x的取值范围是 ； ②当为等腰三角形时，求a，b，c的值． 【答案】(1) (2)①；②，，的值为13，13，7 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系． （1）由三角形三边关系定理得：，，即可化简； （2）①由三角形三边关系定理列出不等式组，再求解即可； ②分三种情况分类讨论，分别根据等腰列方程求解，再判断是否构成三角形即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得：，， ， 故答案为：； （2）解：①，，， ， ， 故答案为：； ②分以下三种情况： 如果的腰是，，则， ， ，， ，，符合三角形三边关系； 如果的腰是，，则， ， ，， ，，不能组成三角形； 如果的腰是，，则，此时无解； 综上，，，的值为13，13，7． 题型五 （跨章节）与等腰三角形相关的三角形三边关系的应用 解｜题｜技｜巧 题型一方法：已知等腰三角形两边长，但没有明确腰，底分别是多少，需要进行讨论，所求得的结果还要满足三角形的三边关系. 题型二方法：已知等腰三角形周长和一条边的长，需分情况讨论已知的边长是腰还是底，所求得的结果还要满足三角形的三边关系. 21．（24-25八年级上·四川德阳·期中）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（   ） A．17 B．13 C．17或13 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，非负数的性质，根据非负数的性质得到，则，再分腰长为3和7两种情况，根据构成三角形的条件验证是否能构成三角形，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为8时，则该等腰三角形的三边长为3，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为， 故选：A． 22．（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知一等腰三角形的周长为，若其中一边长为，则这个等腰三角形的腰长为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分类讨论是解题的关键．根据题意分长为的边为腰或底两种情况分析，根据构成三角形的条件取舍，即可求得答案． 【详解】解：①是腰长时，底边为：， 三角形的三边长分别为、、，能组成三角形； ②是底边长时，腰长为：， 三角形的三边长分别、、，能组成三角形； 综上所述，该等腰三角形的腰长是或， 故选：B． 23．（2025·四川成都·模拟预测）已知，则以、为边的等腰三角形的底边长为 ； 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的概念，非负数的性质，以及三角形的三边关系，因式分解等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 先对，进行因式分解，在根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得，的值，根据等腰三角形的概念进行分类讨论，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， 当三边为，，时，能构成三角形， ∴底边长为； 当三边为，，时，不能构成三角形， 综上可知：等腰三角形的底边长为， 故答案为：． 24．（24-25八年级上·全国·期末）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则这个三角形的底边为 ． 【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．考查学生分类讨论思想以及验证能力．先分类讨论，然后利用三角形的三边关系进行验证即可． 【详解】解：①当等腰三角形的腰长为4时，三角形的三边长为：， ∵， 所以不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为9时，三角形的三边长为：， 此时能构成三角形 此时这个等腰三角形的底边为4， 故答案为：4． 题型六 与三角形高线有关的计算 解｜题｜技｜巧 高与面积有关: ①有高首先想到面积，可以考虑等面积法求高线. ②高相等，面积之比等于底边之比. 25．（24-25七年级下·湖南永州·期末）在中，，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直角三角形中，点到斜边的距离可以通过面积法求解；利用两种不同的面积表达式建立方程，解出高即可. 【详解】解：∵ 为直角三角形，直角边，， ∴ ∵设点 到的距离为， ∴ ∴，解得： 故选：C. 26．（25-26八年级上·全国·周测）如图，在中，是边上的高．在中，是边上的中线．若，且，则的值为（   ） A．16 B．24 C．28 D．32 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中线和高的性质以及三角形的面积公式，根据三角形的中线平分三角形的面积求解是解题的关键. 先根据中线性质求出的面积，再根据求出的面积，再根据面积公式求出的值. 【详解】解：是边上的中线， ， 是边上的高线， 故选：D ． 27．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，是的角平分线，于点，于点，，，，则的面积是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查三角形高有关的计算问题．根据题意求出的面积，即可得到的面积． 【详解】解：∵于点E，，， ∴， 又∵， ∴的面积． 故选：C． 28．（24-25七年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（    ） A． B．8 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，割补法求不规则图形面积． 过A作于M，过B作于N，根据A、B、C的坐标可求出，，，，，然后根据求解即可． 【详解】解∶过A作于M，过B作于N， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的面积 ， 故选：A． 29．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【三角形的面积】如图，三角形的周长为40cm，P点为其内部一点，且点 P 到三边的距离均为3cm，则三角形的面积为 ． 【答案】60 【分析】此题考查求三角形的面积，过点P作，连接，得到，根据三角形的面积为 计算即可． 【详解】解：过点P作，连接， ∵点 P 到三边的距离均为3cm， ∴， ∴三角形的面积为 故答案为：60． 30．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，与都是的高，，，求与的长度之比． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式，比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 根据三角形的面积公式，得到，再利用比例的性质，即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， ∵高与的长分别为、， ， 即与的长度之比是． 题型七 根据三角形中线求长度 解｜题｜技｜巧 1）条件中有中点，想到作中线，更要想到作中位线.中点必定与中线或者中位线相联系. 2）中线性质： ①中点将边平分；②中线将面积平分； ③三边中线交点为重心，切记重心的性质. 31．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）如图，，，是的三条中线，以下结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的定义判断即可． 【详解】解：∵，，是的三条中线， ∴，， A、则，故该选项不一定正确； B、则，故该选项是正确． C、则，故该选项不一定正确； D、则与不一定相等，故该选项不一定正确； 故选：B． 32．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，是的中线，点在上，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中线的性质，设到的距离为，由是的中线，则，求出，然后由即可求解，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：设到的距离为， ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（25-26八年级上·全国·周测）已知分别是的高和中线．若，求的长． 【答案】的长为或 【分析】本题考查了三角形的高线，中线的定义，线段的和差关系，分类讨论是解题的关键． 分为在的内部和外部两种情况进行分析，先分别求出的值，再结合三角形的中线定义，即可求解． 【详解】解：分以下两种情况讨论： ①当在内部，如图： ． 是的中线， ， ； ②当在内部，如图： ． 是的中线， ， ． 综上所述，的长为或． 34．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）已知的周长为，是边上的中线． (1)如图，当时，求的长． (2)若，能否求出的长？为什么？ 【答案】(1) (2)不能，理由见详解 【分析】（1）根据三角形中线的性质解答即可； （2）根据三角形周长和边的关系解答即可． 此题考查三角形的中线以及三角形的三边关系，关键是根据三角形中线的性质解答． 【详解】（1）解： ，， ． 又∵的周长为， ． 是边上的中线， ． （2）解：不能，理由如下： ，， ． 又∵的周长为 ． ， 不能构成三角形， 则不能求出的长． 题型八 根据三角形中线求周长/面积 解｜题｜技｜巧 1）周长差=中线两边的边长差= 长边-短边 2）三角形的一条中线把原来的三角形分成两个同地等高的三角形，因此分得的两个三角形面积相等，利用这一特点可以求解有关的面积问题. 35．（辽宁省大连市高新园区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷）如图，是的中线，，，，则的周长比的周长大 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，涉及中线性质，三角形周长等知识，先由中线定义得到，再由三角形周长定义，表示出的周长比的周长差即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解： 是的中线， ， ，，， ， 故答案为：． 36．（江苏省宿迁市泗洪县新星中学2024--2025学年八年级上学期期中练习）如图，在中，于点E，为边上的中线，为中边上的中线．已知，，的面积为6． （1）与的周长之差为 ； （2）的面积为 ； （3）的面积为 ． 【答案】 2 3 1.5 【分析】本题考查三角形的面积及三角形的中线性质，熟知以上知识是解题的关键． （1）根据三角形的中线的定义，得到，再根据三角形周长的公式，代入化简，即可求得答案； （2）根据三角形的中线的性质，中线将的面积平分，可得到，据此即可求解； （3）根据三角形中线的性质，得到中线将的面积平分，进而得到，据此即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为边上的中线， ∴， ∴， ∴与的周长之差为2． 故答案为：2； （2）∵为边上的中线， ∴． ∴， 故答案为：3； （3）∵为边上的中线， ∴． ∴． 故答案为：1.5． 37．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，点在边上，连接，点为线段的中点，连接，点为线段的中点，连接、，若的面积等于，则阴影部分的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的两个小三角形得出，，，根据的面积即可求出的面积，从而求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵点E为线段的中点， ∴，， ∵的面积等于， ∴， ∴， ∴， ∵点F为线段CE的中点， ∴， 故答案为：． 38．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，点D、E、F分别是线段、、的中点．若的面积为10，则阴影部分图形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分． 连接，根据中线将三角形面积分成相等的两部分可知阴影部分的面积是的面积的，依此可求解． 【详解】解：连接， 点D、E、F分别是线段、、的中点， ，，， ， ∴， 的面积为10， ， 故答案为：． 39．（24-25七年级下·北京·开学考试）如图，在三角形中，，为的中点，若三角形的面积为120平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】阴影部分的面积是32平方厘米． 【分析】本题考查了三角形的面积，一元一次方程的应用．连接，根据三角形中线的性质，求得和的面积都等于，和的面积相等，设和的面积都等于，利用的面积为，列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵，的面积为120， ∴的面积为，的面积为， ∵为的中点， ∴和的面积都等于，和的面积相等， 设和的面积都等于， ∴的面积等于， ∵， ∴的面积等于， ∵的面积为， ∴， 解得， ∴阴影部分的面积是（平方厘米）． 题型九 与三角形角平分线有关的计算 解｜题｜技｜巧 三角形角平分线的本质是将一个内角平分为两个相等的角，因此角度计算的核心思路是：用角平分线表示出平分后的角，再结合三角形内角和定理、外角性质建立等式求解。 40．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，与高有关的计算题，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据角平分线的定义，得，结合，，故，最后根据对顶角相等，则． 【详解】证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 41．（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练掌握角平分线的定义． （1）先根据角平分线的定义得到，再根据等角的余角相等得到，然后利用得到； （2）利用等面积法计算的长． 【详解】（1）证明：平分， ， 是的高， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ，， ， ． 即的长度为． 42．（22-23八年级上·北京海淀·期中）如图，中，和的平分线交于点F，过点F作，交于点E，交于点D． (1)试确定、、之间的数量关系； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为a 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质，通过等量代换可得，，进而得到，，即可推出． （2）利用（1）中结论，通过等量代换可得． 【详解】（1）解：由题意知，平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即． （2）解：∵， ∴， 由（1）知， ∴， 即的周长为a． 【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，以及等腰三角形“等角对等边”等知识点，掌握上述知识点，熟练进行等量代换是解题的关键． 题型十 三角形高、中线、角平分线综合 解｜题｜技｜巧 · 若题目中出现 “高”，优先考虑角度为90°，以及利用面积公式建立等式。比如已知三角形三边长度，求某条高的长度时，可先通过分割法求出三角形面积，再根据面积公式求出高；或者已知不同底和高的关系，结合面积不变性列出方程求解。 · 当题目中有 “中线” 时，关注线段的等量关系以及面积的倍数关系。例如，已知三角形一边上的中线长，以及三角形的其他边长，可利用倍长中线法构造全等三角形，将分散的线段集中到一个三角形中，再利用三角形三边关系求解。 · 若出现 “角平分线”，一方面可以利用角相等进行角度计算和推理；另一方面，当有角平分线和垂线同时出现时，考虑构造等腰三角形（三线合一） ；或者根据角平分线性质作垂线，构造全等三角形，转移线段和角度。 43．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，中，为中点，延长交于E，且满足；F为上一点，且于点H，下列判断：①线段是的角平分线；②与的面积相等：③线段是的边上的高；④线段是的边上的中线．其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】此题考查三角形的面积和三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的角平分线、中线和高的定义，三角形面积公式，是解题关键． ①根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断②等底同高的两个三角形的面积相等③根据高线的定义进行判断④根据中线定义进行判断． 【详解】①∵， ∴平分． ∴是的角平分线， 故①正确； ②∵G为中点， ∴， ∴与的面积相等． 故②正确； ③∵， ∴， ∴线段是的边上的高． 故③正确； ④连接， ∵G为中点， ∴， ∴线段是的边上的中线， 故④不正确； ∴正确的个数为3． 故选：B． 44．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①；②；③ ；④．其中结论正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，灵活运用三角形的中线、高、角平分线的性质是解决本题的关键．根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度． 【详解】解： 是的中线 的面积等于的面积   故正确； ，是的高 ， 是的角平分线 又 故正确；   故正确； 故错误； 故选：C 45．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若面积为40，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线，高和中线的定义． （1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数； （2）先根据题意得到，然后利用三角形面积公式求的长． 【详解】（1）解：∵， ， ∵平分， ∴， ∵为高， ， ． （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型十一 利用三角形内角和定理解决角度计算问题 解｜题｜技｜巧 1）三角形的内角和为180°； 2）直角三角形中两锐角和为90°； 3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 46．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，于点是的平分线，交于点 ，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线及高线性质，解答的关键是沟通未知角和已知角的关系．利用内角和定理分别求出与，由角平分线定义得，即可求出． 【详解】解： ， ． ，， ． 是的平分线， ． ． 故答案为：． 47．（24-25八年级上·天津·期中）如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，轴对称的性质． 由三角形的内角和求出，再由折叠得到，进而平角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠得到， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为： 48．（24-25八年级上·广东东莞·期中）脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用角来评估脊柱侧弯的程度，当角为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯角的检测示意图，于点，于点，已知角为，则的大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，垂直的定义，对顶角相等，由得，则根据直角三角形的性质可求出，同理，最后由对顶角相等即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 49．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，点D在边上，连接，．是中边上的高线，延长交于点F．设，． (1)求的度数（用含α、β的式子表示）； (2)若，求β的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）由（1）知，，，根据，列方程即可得到结论． 【详解】（1）∵是中边上的高线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）由（1）知，，， ∵， ∴， ∴． 题型十二 利用三角形外角性质解决角度计算问题 解｜题｜技｜巧 三角形的外角实质上是与它相邻内角的邻补角求角时，当在图中发现了外角，或所求角本身是另一个三角形的外角时，通常要考虑三角形的外角性质将这些结合起来，问题就容易解决了. 50．（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，，，，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据邻补角的定义得到，根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：25． 51．（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么 ． 【答案】/180度 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角的性质，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴； 故答案为：． 52．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）在中，若，则的外角的度数为 ． 【答案】/180度 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，邻补角等知识，由，得到，求出，根据的外角度数即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 的外角度数是， 故答案为：． 53．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，求与的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的特征，三角形外角性质；能熟练利用三角形的内角和定理，直角三角形的特征，三角形外角性质进行求解是解题的关键． 由三角形内角和定理，直角三角形的特征得，再由即可求得；由三角形的外角性质得，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由三角形的外角性质得，． 54．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图①，平分． (1)求的度数； (2)如图②，若把“”变成“点在的延长线上，”，，，请用、的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）先利用三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义求出，由三角形外角的性质得到，再由垂直的定义得到，由此即可求解； （2）同（1）进行求解即可； 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ． ， ， ． （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， ． 期中基础通关练（测试时间：20分钟） 1．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用翻折变换的性质和三角形内角和定理． 通过分析翻折后形成的角与原三角形内角的关系，计算出的度数． 【详解】由题知： ， ， ， ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，在中，是上一点．连接．则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查三角形的外角问题，关键是根据三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角解答．根据三角形的外角性质进行解答即可． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 即， 故选：D． 3．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，分别是，，的中点，，则阴影部分的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质等知识点，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，即可得出结果，熟练掌握三角形中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解决此题的关键． 【详解】解：∵E是的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 故选：B． 4．（22-23七年级上·山东淄博·期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线、及其交点F．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题关键．利用三角形内角和以及角平分线的定义求解即可． 【详解】解：在中，， ， 两锐角的角平分线、交于点F， ，， ， ， 故选：A． 5．（24-25八年级上·广东湛江·期中）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．若，，，则的值为 【答案】5 【分析】本题主要考查了与三角形的高有关的计算问题，直接根据公式代值进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：5 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），连接交于点． (1)若是中线，，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． 【答案】(1)与的周长差为1 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线和高，三角形的周长，三角形的内角和，角平分线的性质，三角形外角的性质等知识点，熟记三角形中线的定义，三角形高的定义是解题的关键． （1）根据三角形周长计算公式可得到与的周长差为：，再由三角形中线的定义得到，据此代值计算即可； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形高的定义得到，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】（1）∵的周长为：，的周长为：， ∴与的周长差为：， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， 即与的周长差为1； （2）∵是的平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 7．（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 8．（24-25八年级上·全国·期中）【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”． (1)【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长； (2)【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”． 【答案】(1) (2)是“好运三角形” 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握“好运三角形”的定义，是解题的关键． （1）先根据三边关系求出的范围，再根据新定义，确定的长即可； （2）设为偶数，则，根据三角形的三边关系，列出不等式组求出的取值范围，根据的长为偶数，求出的长，进而求出的长，再根据新定义进行判断即可． 【详解】（1）解：， ，即， 为“好运三角形”， 为偶数， ； （2）设为偶数，则， 解得， 为偶数， ． ， 又， 是“好运三角形”． 9．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，是一个三角形的纸片，点D，E分别是边，上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，则与的关系是 ． (2)如图（2），如果沿直线折叠后A落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，探究，和的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，也考查了折叠的性质、三角形外角性质． （1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得； （2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，所以； （3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理得到. 【详解】（1）解：， 理由：∵沿直线折叠，且， ∴A点落在上，如图（1）， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：， 理由：连接，如图， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （3）解：． 理由：如图（3），由翻折可得：，，， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 10．（22-23八年级上·全国·期中）阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1﹣3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ；如图2， ；如图3， ； 如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (2)如图5，点O是两条内角平分线的交点，求证：． (3)如图6，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数． 【答案】(1)，，，； (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键． （1）由的度数，在中，可得与的和，又、是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案； （2）由的度数，在中，可得与的和，又、是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论； （3）先分别求出与的度数，即可求得的度数． 【详解】（1）解：如图1， ，， ， ，分别平分和 ， ， ， 如图2， 是的外角， ， ，分别平分和， ，， 是的外角， ， ， 如图3， 是的外角， ， 平分，平分， ，， ， ， 如图4， ，的三等分线交于点，， ，， 平分，平分， 平分， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）证明：平分，平分， ，， ； （3）解：是△的外角， ， ，， ， 、是的三等分线， ，， ， 是的平分线， ， ． 11．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 【答案】计算：；归纳：，证明见解析；应用：；拓展：①；②当时，为钝角三角形；当，为直角三角形；当时，为锐角三角形； 【分析】计算：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可． 归纳： 由，，，再进一步求解即可． 拓展：①利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可．②分三种情况：当时，当时，当时，分别判定即可. 【详解】解：计算：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 归纳：； 证明：， ． ，， ，， ∴， ∴， ∴； 应用：∵在纸片中剪去，得到四边形． ∴结合归纳可得：， ∵， ∴； 拓展： ①如图，∵，分别平分外角，， ∴，， ∴ ， ； ②当时， ， ， 为钝角三角形； 当时，， 为直角三角形； 当时， ， ， 由题意可得，， ，都是锐角． 为锐角三角形． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，三角形分类，四边形的内角和定理，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键． 期中综合拓展练（测试时间：12分钟） 12．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 13．（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】如图所示， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 14．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 15．（2025·北京·中考真题）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为 °． 【答案】43 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 三角形的有关概念 能准确描述三角形各部分名称，明确三角形的定义 基础必考点，常结合图形在小题中考查对概念的识别 三角形的分类 能根据角或边的特征，正确对三角形进行分类 高频考点，易因混淆分类标准而出错，多在选择题或填空题中出现 三角形三边关系 掌握 “三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，并能运用此关系判断三条线段能否组成三角形、求线段的取值范围等 重要考点，常以选择题、填空题形式考查，是解决三角形边长相关问题的基础 三角形的内角和定理 理解并能灵活运用三角形内角和为 180°，以及直角三角形两锐角互余等推论进行角度计算与证明 核心考点，贯穿三角形角度相关题目，在计算、证明题中高频出现 三角形的外角性质 能运用三角形外角性质进行角度的计算与推导 常与内角和定理结合考查，在几何证明与计算中应用广泛 知识点01 认识三角形 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 概念 示例 图示 顶点 三角形两边的公共点叫做三角形的顶点. 点A，点B，点C 边 组成三角形的三条线段称为三角形的三条边. 线段AB，线段BC，线段AC 内角 在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角. ∠A，∠B，∠C 三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，字母的顺序可以自由安排，即∆ABC， ∆ACB等均为同一个三角形. 【解读】 1）判定一个图形是三角形的条件【缺一不可】：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相接； 2）△ABC的三边，有时也用a，b，c表示.在上图中，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示； 知识点02 三角形的分类 1）三角形按边分类： 2）三角形按角分类： 知识点03 三角形的三边关系 文字表述 数字语言 理论依据 应用 图形 三角形的任意两边之和大于第三边 在△ABC中，a+b＞c； a+c＞b；b+c＞a 两点之间线段最短 1）判断三条已知线段能否组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）【易错】所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 三角形的任意两边之差小于第三边 在△ABC中，|a-b|＜c； |a-c|＜b；|b-c|＜a 【补充】三角形三边关系定理及其推论是判定三条线段能否构成三角形的依据，也是用于证明几何图形中线段不等关系的重要依据. 知识点04 三角形的高、中线、角平分线 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图示 作法 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 【解读】 1）一个三角形有三条高，它们都是线段，它们的位置由三角形的形状来决定： 【小结】三角形的高，一定记住垂足不一定落在三角形的边上，有能落在边的延长线上. 2）常见结论（热考）： ①三角形的高→90°的角； ②三角形的中线将一个大三角形分成两个面积相等的小三角形(等底同高)；三角形的中线延长1倍，容易构造平行四边形(倍长中线模型). ③三角形的角平分线→相等的角或成2倍关系的角. 知识点05 三角形的稳定性 三角形的稳定性: 如果一个三角形三边长确定后，那么三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 【解读】 1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． 2）四边形不具有稳定性，也就是说，四边形的四条边的长度确定后，不能确定它的形状，因为它的各个角的大小还可以改变. 因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过作辅助线转化为三角形而获得. 知识点06 三角形的内角和定理 定理：三角形三个内角和等于180°． 表达形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 证明方法： 图示 方法 构造平角 构造邻补角 构造同旁内角 具体 把三个角“移”成一个平角 可延长三角形的任一边，得到邻补角，然后过该角的顶点作该角的对边的平行线. 过三角形的一个顶点作平行于这一点所对边的射线. 【解读】无论三角形的形状、大小如何改变，三角形三个内角的和仍等于180°； 知识点07 三角形的外角 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 图中的∠ACD为△ABC的一个外角. 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°． 题型一 三角形的识别与有关概念 解｜题｜技｜巧 1）判定一个图形是三角形的条件【缺一不可】：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相接； 2）对于三角形的相关概念，切记死记硬背，要理解概念的本质属性，复杂的图形应重视图形的分解与组合. 1．（24-25八年级上·贵州·期中）下列说法正确的是（    ） A．三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 B．三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形 C．关于轴对称的两个图形大小不变，形状改变 D．两角和一边对应相等的两个三角形全等 2．（23-24八年级上·山东德州·期中）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A．B． C． D． 3．（23-24八年级上·北京·单元测试）如图，下列说法错误的是（     ） A．，，是的内角 B． 是与相邻的角 C． D．的三条边分别是 ，， 4．（23-24七年级下·四川眉山·期中）下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，被木条遮住了一部分，只露出，则与可能是（    ） A．一个直角，一个锐角 B．两个钝角 C．一个钝角，一个锐角 D．两个锐角 题型二 三角形的稳定性与四边形的不稳定性 解｜题｜技｜巧 1) 三角形具有稳定性. 2) 四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了. 3）要判断图形是否具有稳定性，关键在于它的结构是不是三角形. 6．（24-25八年级上·福建厦门·期中）下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A．B．C．D． 7．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）2024年7月27日，在巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体决赛中，中国组合夺得金牌，这也是本届巴黎奥运会诞生的首枚金牌．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是 ． 8．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）给出下列图形：其中具有稳定性的是 （把序号填在横线上） 9．（2021七年级下·全国·专题练习）如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 题型三 构成三角形的条件 解｜题｜技｜巧 若满足：最短的线段长+中间的线段长＞最长的线段长，即可构成三角形. 10．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知线段，下列长度的两条线段能与组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 11．（2021·四川宜宾·中考真题）若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 12．（24-25八年级上·广东中山·期中）已知的三条边长为2，，7，则x的取值范围是 ． 13．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，为的三边长，若，满足，且是整数，求的取值． 14．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）已知的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长． 题型四 三角形三边关系的应用 解｜题｜技｜巧 三角形任意两边之和大于第三边是构成三角形的重要依据.任意给定三条线段，并不能保证可以构成三角形，必须用三角形三边的关系去验证. 15．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）平行四边形的对角线长为x、y，一边长为14，则x、y的值可能是（    ） A．12和16 B．20和22 C．10和16 D．8和36 16．（2024·河北邢台·一模）平面内，将长分别为1，1，3，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），可能是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 17．（23-24八年级上·四川自贡·期中）若的三边为，则化简的结果是 ． 18．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）已知的边，边的长度分别是不等式组的最大整数解与最小整数解；如果的周长是奇数，则的第三条边的长度的最小值为 ． 19．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 20．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简式子 ； (2)若，，． ①x的取值范围是 ； ②当为等腰三角形时，求a，b，c的值． 题型五 （跨章节）与等腰三角形相关的三角形三边关系的应用 解｜题｜技｜巧 题型一方法：已知等腰三角形两边长，但没有明确腰，底分别是多少，需要进行讨论，所求得的结果还要满足三角形的三边关系. 题型二方法：已知等腰三角形周长和一条边的长，需分情况讨论已知的边长是腰还是底，所求得的结果还要满足三角形的三边关系. 21．（24-25八年级上·四川德阳·期中）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（   ） A．17 B．13 C．17或13 D．12 22．（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知一等腰三角形的周长为，若其中一边长为，则这个等腰三角形的腰长为（    ） A．或 B．或 C． D． 23．（2025·四川成都·模拟预测）已知，则以、为边的等腰三角形的底边长为 ； 24．（24-25八年级上·全国·期末）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则这个三角形的底边为 ． 题型六 与三角形高线有关的计算 解｜题｜技｜巧 高与面积有关: ①有高首先想到面积，可以考虑等面积法求高线. ②高相等，面积之比等于底边之比. 25．（24-25七年级下·湖南永州·期末）在中，，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级上·全国·周测）如图，在中，是边上的高．在中，是边上的中线．若，且，则的值为（   ） A．16 B．24 C．28 D．32 27．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，是的角平分线，于点，于点，，，，则的面积是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 28．（24-25七年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（    ） A． B．8 C． D．9 29．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【三角形的面积】如图，三角形的周长为40cm，P点为其内部一点，且点 P 到三边的距离均为3cm，则三角形的面积为 ． 30．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，与都是的高，，，求与的长度之比． 题型七 根据三角形中线求长度 解｜题｜技｜巧 1）条件中有中点，想到作中线，更要想到作中位线.中点必定与中线或者中位线相联系. 2）中线性质： ①中点将边平分；②中线将面积平分； ③三边中线交点为重心，切记重心的性质. 31．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）如图，，，是的三条中线，以下结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 32．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，是的中线，点在上，若，，则的值为 ． 33．（25-26八年级上·全国·周测）已知分别是的高和中线．若，求的长． 34．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）已知的周长为，是边上的中线． (1)如图，当时，求的长． (2)若，能否求出的长？为什么？ 题型八 根据三角形中线求周长/面积 解｜题｜技｜巧 1）周长差=中线两边的边长差= 长边-短边 2）三角形的一条中线把原来的三角形分成两个同地等高的三角形，因此分得的两个三角形面积相等，利用这一特点可以求解有关的面积问题. 35．（辽宁省大连市高新园区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷）如图，是的中线，，，，则的周长比的周长大 （用含的代数式表示）． 36．（江苏省宿迁市泗洪县新星中学2024--2025学年八年级上学期期中练习）如图，在中，于点E，为边上的中线，为中边上的中线．已知，，的面积为6． （1）与的周长之差为 ； （2）的面积为 ； （3）的面积为 ． 37．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，点在边上，连接，点为线段的中点，连接，点为线段的中点，连接、，若的面积等于，则阴影部分的面积等于 ． 38．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，点D、E、F分别是线段、、的中点．若的面积为10，则阴影部分图形的面积为 ． 39．（24-25七年级下·北京·开学考试）如图，在三角形中，，为的中点，若三角形的面积为120平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 题型九 与三角形角平分线有关的计算 解｜题｜技｜巧 三角形角平分线的本质是将一个内角平分为两个相等的角，因此角度计算的核心思路是：用角平分线表示出平分后的角，再结合三角形内角和定理、外角性质建立等式求解。 40．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 41．（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 42．（22-23八年级上·北京海淀·期中）如图，中，和的平分线交于点F，过点F作，交于点E，交于点D． (1)试确定、、之间的数量关系； (2)若，求的周长． 题型十 三角形高、中线、角平分线综合 解｜题｜技｜巧 · 若题目中出现 “高”，优先考虑角度为90°，以及利用面积公式建立等式。比如已知三角形三边长度，求某条高的长度时，可先通过分割法求出三角形面积，再根据面积公式求出高；或者已知不同底和高的关系，结合面积不变性列出方程求解。 · 当题目中有 “中线” 时，关注线段的等量关系以及面积的倍数关系。例如，已知三角形一边上的中线长，以及三角形的其他边长，可利用倍长中线法构造全等三角形，将分散的线段集中到一个三角形中，再利用三角形三边关系求解。 · 若出现 “角平分线”，一方面可以利用角相等进行角度计算和推理；另一方面，当有角平分线和垂线同时出现时，考虑构造等腰三角形（三线合一） ；或者根据角平分线性质作垂线，构造全等三角形，转移线段和角度。 43．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，中，为中点，延长交于E，且满足；F为上一点，且于点H，下列判断：①线段是的角平分线；②与的面积相等：③线段是的边上的高；④线段是的边上的中线．其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 44．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①；②；③ ；④．其中结论正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 45．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若面积为40，，求的长． 题型十一 利用三角形内角和定理解决角度计算问题 解｜题｜技｜巧 1）三角形的内角和为180°； 2）直角三角形中两锐角和为90°； 3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 46．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，于点是的平分线，交于点 ，则的度数为 ． 47．（24-25八年级上·天津·期中）如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于 ． 48．（24-25八年级上·广东东莞·期中）脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用角来评估脊柱侧弯的程度，当角为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯角的检测示意图，于点，于点，已知角为，则的大小是 ． 49．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，点D在边上，连接，．是中边上的高线，延长交于点F．设，． (1)求的度数（用含α、β的式子表示）； (2)若，求β的值． 题型十二 利用三角形外角性质解决角度计算问题 解｜题｜技｜巧 三角形的外角实质上是与它相邻内角的邻补角求角时，当在图中发现了外角，或所求角本身是另一个三角形的外角时，通常要考虑三角形的外角性质将这些结合起来，问题就容易解决了. 50．（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，，，，则 ． 51．（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么 ． 52．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）在中，若，则的外角的度数为 ． 53．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，求与的度数． 54．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图①，平分． (1)求的度数； (2)如图②，若把“”变成“点在的延长线上，”，，，请用、的代数式表示． 期中基础通关练（测试时间：20分钟） 1．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，在中，是上一点．连接．则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，分别是，，的中点，，则阴影部分的面积等于（ ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级上·山东淄博·期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线、及其交点F．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东湛江·期中）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．若，，，则的值为 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），连接交于点． (1)若是中线，，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． 7．（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 8．（24-25八年级上·全国·期中）【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”． (1)【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长； (2)【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”． 9．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，是一个三角形的纸片，点D，E分别是边，上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，则与的关系是 ． (2)如图（2），如果沿直线折叠后A落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，探究，和的关系，并说明理由． 10．（22-23八年级上·全国·期中）阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1﹣3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ；如图2， ；如图3， ； 如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (2)如图5，点O是两条内角平分线的交点，求证：． (3)如图6，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数． 11．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 期中综合拓展练（测试时间：12分钟） 12．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 13．（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 14．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·北京·中考真题）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为 °． 3 / 3 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