辽宁省沈阳市回民中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

数学试卷 满分:150分时间:120分钟 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A={xEN*|x<4},B={x|-2<x<3},则A∩B=( A.(-2,3) B.{0,1,2} C.{0,1,2,3 D.{1,2} 2.不等式器≥0的解集为( A.{x|-2<x≤1}B.{xx<-2或x≥1C.{x|-2≤x≤1}D.{xx≤-2或x≥1} 3.已知集合A={xax2+2x十a=0,a∈R,若集合A有且仅有2个子集,则a的取值 () A.1 B.-1 C.0,1 D.-1,0,1 4.对于实数a,b,c,下列说法正确的是() A若0>a>b>6,则。<二 B.若a>b,则a(c+1)2>b(c+1)2 C.存在a>b,使得a(c2+1)<b(c2+1)D.存在a>b>c>0,使得。<。e 5.命题p:VxER,ax2+2x+5>0为假命题的一个充分不必要条件是() A.a≤1 B.a< c.a≤目 D.a≥背 6.下列命题中,真命题的是() A.HxER,都有x2-x≥x+1 B.3xE(1,+o),使得x+号=6 C.在意非零实数a,b,都有总+>2D.函数y=号的最小值为2 7.若两个正实数x,y满足x+y=y且存在这样的x,y使不等式x+￥<m+2有解,则实 数m的取值范围是() A.(0,3) B.(G5,+∞) C.(存,+o) D.( 8.关于x的不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2),且x好-x3=15,则实数a= ) A.- 2 B.5 2 C.-5或5 D.-5或5 44 二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求 9.下列说法中正确的是() A.m<1是方程x2+x+m=0有一个正根和一个负根的必要不充分条件 B.若x,y,zER,则xy2>zy2是x>z的充分不必要条件 C.若a,b,c∈R,则关于x的不等式ax2+bx+c≥0恒成立的充要条件是b2-4aC≤0 D.命题“x<0,x2<0”的否定是“3x<0,x2≥0” 10.下列各小题中正确的有() A.方程Vx-1+x+2=0的解集为{1,-2} B.已知集合A={xx2-1=0},B={xImx=1},且AUB=A,则m的值为-1或1 C若ab>0,且点(a,b)在一次函数y=-2x+1的图像上,则+的最小值为5+2V6 D若正实数a,b满足2a+b=1,则0<8<2 11.若a>0,b>0,且21+b=2,则下列说法正确的是() A山的站大值为号 B.4a2+b2的最小值为2 C62的最小值是 D.2+的最小值为4 ab 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.已知p:-3≤x≤3q:x<a(a为实数).若9的充分不必要条件是P,则实数a的取 值范围是 13.规定记号⊙表示一种运算,定义a⊙b=vab+a+b(a,b为正实数).若1⊙k<3,则k的 取值范围为一 14.已知不等式ax2+bx+1>0的解集{-<x<1,若对VxE[4,+o),不等式bx2- mx-2a≥0成立,则实数m的最大值为 四、大题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15.(本小题共13分) 已知集合A={xx2-2x-3≤0,x∈R}B={xlx2-2mx+m2-4≤0,xER,m∈R} (1)若AnB=[0,3],求实数m的值; (2)若ACCRB,求实数m的取值范围. 16.(本小题共15分) 已知关于x的不等式ax2-3x+b<0的解集为{x|1<x<2} (1)求a,b的值,并求解不等式ax2+bx-8≥0的解集: (②)当x>0,y>0,且满足+=1时,有2x+y>k2+4恒成立,求k的取值范围。 17.(本小题共15分) 如图,互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD,现欲将其扩建成一个更大的 三角形花园APQ,要求P在射线AM上,Q在射线AN上,且PQ过点C,其中AB=30 米,AD=20米.记三角形花园APQ的面积为S. (I)当DQ的长度是多少时,S最小?并求S的最小值, (2)要使S不小于1600平方米,则DQ的长应在什么范围内? 18.(本小题共17分) 已知函数y=ax2-(a+3)x+3,aER. (I)y<4-3x对任意xER恒成立,求实数a的取值范围; (2)求不等式y≥0的解集: (3)若使关于x的方程ax2-(a+3)川x+3=2有四个不同的实根,求实数a的取值范围. 19.(本小题共17分) 法国数学家佛郎索瓦 韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系 数的关系,由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系,人们把这个关系称为 韦达定理,它的内容为:“对于一元二次方程m2+bx+c=0(a≠0),它的两根a&、B有如下关 系:a+n=名0-台 韦达定理还有逆定理,它的内容为:“如果两数a和B满足如下关系:口+B-&0-日 那么这两个数a和B是方程x2+bx+c=0( ≠0)的根.通过韦达定理的逆定理,我们就可以 利用两数的和与积的关系构造一元二次方程. 例如:m+n=-3,=2,那么m和n是方程x2+3x+2=0的两根. 请应用上述材料解决以下问题: (1)已知m、n是两个不相等的实数,且满足-2m=4,m2-2=4,求+的值; L (2)已知实数a、b满足ab+(a+b)=19,ab+ab2=78,求d2+b的值: (3)已知,x2是一元二次方程x2-x+k+3=0的两个不相等的实数根,且kN,求使 士+立的值为整数的所有k的值。1.【答案】D 【解析】利用自然数集的定义化简集合A,再利用集合的交集运算即可得解， 因为A={x∈N*Ix<4}={1,2,3,又B={x|-2<x<3}, 所以A∩B={1,2}. 故选：D 2【答案】A 【解析】根据分式不等式化为整式不等式求解即可 原不等式可化为(1-)2+0≤0，即x-1)x+2)≤0，解得-2<x≤ 2+x≠0 2+x≠0 1. 故选：A. 3.【答案】D 【解析】若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程 x+2x+u=0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围. 解：由题意可得，集合A为单元素集， (1)当a=0时，A={x2x=0}={0},此时集合A的两个子集是{0}，0， (2)当0时则△=4-4a2=0解得a=±1， 当a=-1时，集合A的两个子集是{1}，0， 当a=1,此时集合A的两个子集是{-1)，0. 综上所述，a的取值为-1,0,1. 故选：D 4.【答案】A 【解析】【分析】由条件结合不等式性质逐项判断各选项即可 对于A,若0>a>b>c,则0<a2<b2<c2, a2-b2<0,a2-c2<0,a2b2<a2c2, a2w2-b2c2<a2c2-bc,两边同除以(a2-b的a2-c2),得<二，A正 确： 对于B,当c=-1时，由a>b,可得a(c+1)2=b(c+1)2,B不正确： 对于C,c2+1≥1>0，a(c2+1)<b(c2+1)台a<b,C不正确； 对于D,若a>b>c>0,则0<a-b<a-c,所以0<是<。D不正确， 故选：A 5.【答案】B 【解析】转化问题为ax2+2x+5≤0在R上有解，求出a的取值范围，进而结合 充分不必要条件的定义判断即可求解 依题意，p:xER,ax2+2x+5≤0真命题， 所以ax2+2x+5≤0在R上有解， 当a=0时，原不等式2x+5≤0，解得x≤-3，满足题意： 当a<0时，一元二次函数y=ax2+2x+5开口向下，此时原不等式ax2+2x+ 5≤0在R上一定有解，故a<0满足题意： 当a>0时，若ax2+2x+5≤0在R上有解，则△=4-20a≥0，解得0<a≤ 综上所述，a≤ 所以命题p:xER,ax2+2x+5>0为假命题的一个充分不必要条件可以是 a< 6【答案】B 【解析】解：对于A,当x=1时x2-x=12-1=0,x+1=1+1= 2,显然x2-x<x+1, 所以Hx∈R,都有x2-x≥x+1成立为假命题. 对于B,显然当x=2时，x+手=6成立，故为真命题 对于C,当a=-b≠0时，则+号=-1+(-1)=-2，故不成立，为假命 题 对于D,y-9-2+9+>2,当且仅当于9=点时， 取等号，即x2+9=1,显然无解，即取不到最小值2，故不成立，为假命 题 故选B 7.【答案】C 【解析】利用基本不等式得到x+的最小值，再结合题意建立不等式，求解参 数范围即可. 因为x+y=xy,所以+是=1， 则x++=1+++++≥+2层×=号 y 当且仅当头=时取等，此时解得x=y=3, 而x+<m+2,可得<m+2,解得mE(,+),故C正确 故选：C 8.【答案】A 【解析】由已知得出x1与x2为方程x2-2ax-8a2=0的两个根，根据韦达定理得 出x1+x2=2a,x1x2=-8a2,即可由x子-x经=15，化简代入，即可解出a的值， 再根据不等式的运算验证即可得出答案， 不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2), x1与x2为方程x2-2ax-8a2=0的两个根， x1+X2=2a,X1x2=-8a2, x好-x经=15， (x好-x2)2=225, [(x1-x2)x1+x2)]2=225, (x1-x2)2(x1+x2)2=225, [x1+x2)2-4xx2](G+x2)2=225, 则4a2(4a2+32a2)=225,即144a4-225,解得a=±5， x1<x2,x1x2=-8a2<0,.x1<0<x2 当a=-时，x1+x2=2a<0,即x1<-x2, x>x2,则x好-x3>0,满足条件， 当a=时，x1+x2=2a>0,即x1>-x2, ∴x1<x2,则x好-x子<0，不满足条件， 综上，a=-5, 故选：A 9【答案】ABD 【解析】 【分析】对A,B,C,D四个选项，根据相关知识逐个判断是否正确即可. 【详解】对于A,令f(x)=x2+x+m,方程x2+x+m=0有一个正根和一个负根，则 f(0)<0,解得m<0, 所以m<1是方程x2+x+m=0有一个正根和一个负根的必要不充分条件，故A正确： 对于B,当y=0时，当x>z,则xy2=zy2, 若xy2>zy2成立，则y≠0，则y2>0,所以x>z, 所以xy2>zy2是x>z的充分不必要条件，故B正确： 对于C,当a<0时，若b2-4ac≤0，则ax2+bx+c≤0恒成立，故C错误； 对于D,命题“x<0,x2<0”的否定是“x<0,x2≥0”，故D正确. 故选：ABD 10【答案】CD 【解析】选项A,根据根式及绝对值的性质求解方程的解集；选项B,根据集 合的并集运算可得B∈A,分类讨论求解m的值；选项C,由条件得2a+b=1, 结合1的妙用，利用基本不等式求解+的最小值；选项D,通过变形得二 -2-。二利用不等式的性质求解。 选项A,因为Vx-1≥0，x+2引≥0，要使Vx-1+x+2引=0，则x-1=0且x+ 2=0, 即x=1且x=-2,不可能成立，所以方程√x-1+x+2=0无解，故A错误； 选项B,集合A={xx2-1=0}={x1(x+1)c-1)=0}={-1,1}, 因为AUB=A,所以B∈A, 当B=时，m=0,满足B≤A, 当B≠时，B=xmx=1=总}， 因为BcA,所以1=1或2=-1，解得m=1或m=-1. 综上，m的值为0或1或-1，故B错误： 选项C,因为点(a,b)在一次函数y=-2x+1的图像上， 所以b=-2a+1,即2a+b=1. 又因为b>0,所以+=+3(2a+)=5+会+号≥5+2层g-5+26, a b 当且仅g=号即a=号，b=公时取等号。 2 所以+的最小值为5+2V6,故C正确： 选项D,正实数a,b满足2a+b=1,可得b=1-2a, 则--名=2-2-品 a-1 因为a>0,b>0,2a+b=1,所以b=1-2a>0,可得0<a<3, 则-1<a-1<-克所以-2<号<-1，则2<是<4， 所以0<-2-二<2，即0<<2，故D正确. 故选：CD. 11【答案】ABD 【解析】 【分析】直接根据基本不等式即可判断A:结合a+办≥a+b 2è 即可判断B;由题知 、2 6+子。=6+02心6a+3动=6，进而结合基本不等式1的用法求解即可判断 C:根据+：=2++：，结合基本不等式求解即可判断D. a 【详解】解：对于A选项，因为a>0,b>0,2a+b=2≥2V2ab,所以，ab≤，当 且仅当2a=b=1时等号成立，故A选项正确： 对于B选项，由不等式+b a+b 得≥( =1,所以4a2+b2≥2当且 仅当2a=b=1时等号成立，故4a2+b2的最小值为2，故B选项正确： 对于C选项，由2a+b=2得6a+3b=6,所以，1 +。66+a 2 1 (+a2)【4a+)+(2a+2b=5+a+]≥5+ 4atb 2(a+b)」 6 2 2(a+b),4(4a+b】 4a+b 2(a+b) 2 当且仅当4a+b=a+b,即a=0,b=2时等号成立，此时与a> 0矛盾，故取不到最小值，故C选项错误： 对于D选项，由题知+台=+后2++后≥2+2 层君=4当且仅当a=b=月 时等号成立，故a的最小值为4，D选项正确。 故选：ABD 12.【答案】(3，+o) 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义求解， 【详解】由题意p是q的充分不必要条件，所以a>3. 故答案为：(3，+o) 13.【答案】(0,1) 【解析】由题意得√R+1+k<3,即(R+2)(√-1)<0，解得0<k<1.因此k的取值范 围是(0,1) 14.【答案】5 【解析】根据一元二次不等式的解集求参数α，b,代入所求不等式，利用二次函 数根的分布列不等式即可得实数m的最大值 解：不等式ax2+bx+1>0的解集x-号<x<1,则方程ax2+bx+1=0 ×1=解得子 的两根为-，1，且a<0,所以3，十1三-名 所以不等式bx2-mx-2a≥0为x2-mx+4≥0，对Vxe[4,+o)不等式恒成 立，则① s4 ,解得m≤5， 42-4m+4≥0 >4 或② 2 (学2-m×受+4≥0' 无解。 综上，m≤5，所以实数m的最大值为5. 故答案为：5. 15[解析]A=x-1≤3) B={x-2≤s+2}. (1).A∩B=[0,3], 「m-2=0 「m=2 ·m+23,e1,m=2 故所求实数m的值为2 (2)CRB={xx<1-2或x>1+2)} ACCRB,.m-2>3或+2<-1. .>5或K-3. 因此实数m的取值范围是m>5或K一3. 16【答案】(1)a=1,b=2:解集为(-0，-4U[2,+0).(2)(-2,2) 【分析】(1)根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求出α，b的 值，进而求解不等式。 (2)根据基本不等式求出2x+y的最值，结合不等式恒成立即可求出范围. 【详解】(1)由题意知，1和2是ax2-3x+b=0的两个根，且a>0, 所以1+2-名，12-名，解得a=1,b=2 将a=1,b=2代入ax2+bx-8≥0可得，x2+2x-8≥0，即(x-2)(x+4)≥0， 解得x≤-4或x≥2. 所以解集为(-0，-4U[2,+o) (2)由(1)知，+号=+号=1(x>0,y>0), 所以2x+y=(2x+y)G+)=2+号++224+2臣×2=4+2×2=8， 当且仅当5=兰即y=2x=4时，等号成立. 所以2x+y的最小值为8. 又2x+y>k2+4恒成立，故k2+4<8恒成立，即k2<4,解得-2<k<2. k的取值范围为(-2,2) 17.[解析](1)设D9=x米(x0),则A2=x+20, 器器亮碧 AP= 0则s=号AP40=15x+203 30x+20 =150+0+402120,当且仪当=20时取等号. (2).S21600,.3x2-200x+1200≥0， 20 ∴0<3或260 答：(1)当DQ的长度是20米时，S最小，且S的最小值为1200平方米： (②要使S不小于160平方米，则D0的取值范围是0D0或D060, 18.【答案】(1){a1-4<a≤0} (2) 当a<0时，不等式的解集为x≤x≤1}： 当a=0时，不等式的解集为{x|x≤1： 当0<a<3时，不等式的解集为x1x≤1或x≥引： 当a=3时，不等式的解集为R: 当a>3时，不等式的解集为xx≤：或x≥1} (3)a1a>0. 【分析】(1)先把原不等式整理成一个标准的二次不等式，然后分情况讨论系数为0和不为0 的情况，确保这个不等式对所有实数x都成立，从而确定α的取值范围. (2)先把不等式左边因式分解，再根据系数a的不同取值，比较两个根的大小，从而确定不 等式的解集 (3)先通过换元把含绝对值的方程转化为普通二次方程，再根据原方程要有四个不同实根的 要求，转化为这个二次方程必须有两个不相等的正根，进而求出α的取值范围。 【详解】(1)由题有ax2-(a+3)x+3<4-3x恒成立，即ax2-ax-1<0恒成立， 当a=0时，-1<0恒成立，符合题意； 当a≠0时，测观=n<042”0 得-4<a<0, 综上可得，a的取值范围是{al-4<a≤0) (2)由题ax2-(a+3)x+3≥0，即(ax-3)(x-1)≥0， 当a=0时，-3x+3≥0→x≤1，所以不等式的解集为{xx≤1： 当a>0时，(x-)x-1)=0,x=或x=1, ①当0<a<3时，>1，不等式的解集为x1x≤1或≥引： ②当a=3时，不等式的解集为R, 国当a>3时，<1，不等式的解集为xx≤之1： 当a<0,则<1，不等式的解集为{x≤x≤1} 综上可得：当a<0时，不等式的解集为x2≤x≤1}： 当a=0时，不等式的解集为{x1x≤1： 当0<a<3时，不等式的解集为x1x≤1或≥引： 当a=3时，不等式的解集为R: 当a>3时，不等式的解集为{xx≤x≥1} (3)由题可知关于x的方程ax2-(a+3)川x+1=0有四个不同实根，令u=x≥0， 则关于u的方程au2一(a+3)u+1=0有两个不同正根， 4=(a+3)2-4a>0 则 a*3>0 ,可得a>0: 1>0 故实数a的取值范围是{ala>0}. 19【答案】()-子 (2)157 (3)24 【分析】(1)利用两个等式特征，可将m,n可看作方程x2-2x一4=0的两个异实数根， 由韦达定理即可求出所求式的值： (2)设s=a+b,p=ab,可将，P看作方程t2-19t+78=0的两个实数根，求出两 根，分情况讨论求解即得： (3)由4>0以及k∈N*,求得k≥7，利用韦达定理求得x1+x2,x1x2,将所求式整理化 简得产+兰=(k-3)2-和g结合题设条件，即可求得k的所有取值 【详解】(1)已知m和n满足m2-2m=4和n2-2n=4,且m≠n。 将方程变形为：m2-2m-4=0,n2-2n-4=0. 因此，m和n是二次方程x2-2x-4=0的两个根. 4=4+16=20>0, 由韦达定理得： m+n=-=-2=2 a 1 =-4 (2)已知实数a,b满足：ab+(a+b)=19,a2b+ab2=78. 设s=a+b,p=ab,则： ab+(a+b)=p+s=19, a2b+ab2 ab(a+b)=ps 78. 解方程组：”78 s和p是方程t2-19t+78=0的根，解方程得： {时8 a2+b2=(a+b)2-2ab=s2-2p, 若s=13,p=6,则a,b是方程x2-13x+6=0的二实根，此方程有实根， 因此a2+b2=s2-2p=132-2·6=169-12=157; 若s=6,p=13,则a,b是方程x2-6x+13=0的二实根，而此方程无实根， 所以a2+b2的值为157. (3)由韦达定理得： Sx1+x2=k (x1X2=k+3’ 生+生=+=+2+P-31=k2-3k+3》=k3-3k2-9k X2X1 X1X2 1x2 k+3 k+3 =k2-6k+9- =k-3)2-品 27 此式需为整数，因k为整数，（化-3）为整数，放名需为整数 x1,x2是一元二次方程x2-kx+k+3=0的两个不相等的实数根， 故4=k2-4k-12>0, 解得：k<-2或k>6, 27 又kEN,所以k≥7，又本3需为整数， 所以27的正因数：1,3,9,27， 故k=24.