专题06 将军饮马最值7题型32题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材人教版

专题06 将军饮马最值 基础·固本强基 题型 1 将军饮马基础模型：两定一动（直线同侧求最短路径 提升·进阶突破 题型 2 将军饮马变式 1：两定一动，求线段差的最大值（重点） 题型 3 将军饮马变式 2：一定两动模型 题型 4 将军饮马变式 3：两定两动模型 题型 5 造桥选址模型 拔高·压轴破难 题型 6 将军饮马与等腰、垂直平分线、全等综合（重难点） 题型 7 将军饮马网格、坐标系中的最值计算 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 将军饮马基础模型：两定一动（直线同侧求最短路径）（共 5 小题） 【模型】两定点在定直线同侧，在直线上找一动点，使两定点到动点距离之和最小。作其中一个点关于直线的对称点，对称点与另一定点连线，和直线交点即为动点，连线长就是最短距离。 【步骤】①识别：1 条定直线，2 个定点，1 个动点在直线上；②作其中一个定点关于直线的对称点；③连接对称点与另一个定点，与直线相交；④计算线段长度。 【易错】两点在同侧时，直接连接两个定点；分不清同侧、异侧模型；对称点作错。 1．如图，某快递公司计划在主干路上设一个机器人配货总部，在主干路同侧有与两个机器人配送点，若使配货总部到两个配送点的距离和最小，则下列示意图中配货总部的位置符合要求的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，分别以点为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于，画直线为的中点，为直线上任意一点，若的面积为15，则的最小长度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，在ABC中，，， ，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 4．如图，中，，，的面积为21，于D，EF是AB边的中垂线，点P是EF上一动点，周长的最小是等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，AB边上存在点P，使PC+PD的值最小，此时∠BCP的度数是____________． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积为30，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F．若D为BC的中点，P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小为______． 提升·进阶突破 题型 2 将军饮马变式 1：两定一动，求线段差的最大值（共 3 小题） 【模型】两定点在直线同侧，直线上找动点，使|PA-PB|最大。延长AB交直线，交点即为动点；异侧则先作对称再连线。 【步骤】①看清求的是和最小，还是差最大；②两点同侧直接连线延长找交点；③异侧先作对称点。 【易错】把 “差最大” 当成 “和最小”，误用对称法；分不清最值类型。 7．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出向下平移3个单位得到的； (2)在网格中画出关于直线m对称的； (3)在直线m上画一点P，使得的值最大（保留作图痕迹）． 8．如图，为等腰直角三角形，在的内部，，为射线上一点，当最大时，的度数是______． 9．已知中，，将沿边进行对折使得点B落在点D处，过点C作垂直于点E，点P是直线CE上一动点，当的值最大时，的度数为（　　） A． B． C． D． 题型 3 将军饮马变式 2：一定两动模型（一个定点，两条定直线，双动点）（难点）（共 8 小题） 10．如图，在中，， l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． 11．如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 12．如图，在锐角中，平分，，若、分别是、上的动点，当最小时，的度数为（     ） A． B． C． D． 13．如图，已知，是内部的一个定点，且，点分别是上的动点，若使周长的最小，则最小周长是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 14．如图，在中，，，，点E在边上，且，的垂直平分线分别交于点，，点P为直线上一动点，点F为边上一动点，当的值最小时，的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 15．如图，等边的边长为，点在边上，，，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，的长为（   ） A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 16．如图，在中，，，，是边上一点且，点，分别是边，上的动点，则的最小值为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 17．如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【模型】一个定点，两条相交直线，两条直线上各有一个动点。分别作定点关于两条直线的对称点，两个对称点之间的线段长就是折线段最小值。 【步骤】①确定定点与两条动点所在直线；②定点分别向两条直线作对称；③连接两个对称点得到最短路径。 【易错】只作一次对称；对称点找错；不会转化折线段为直线段。 题型 4 将军饮马变式 3：两定两动模型（两定点、两条平行线 / 相交线，双动点）（共 2 小题） 【模型】两个定点，两条定直线上各有一个动点，求两条动线段之和最小。平移 + 对称结合，把分散线段拼接。 【步骤】①观察动点是否有固定间距（造桥选址属于此类）；②平移线段，把双动点转化为单动点；③再利用对称求最短。 【易错】忽略平移步骤；分不清造桥选址属于两定两动。 18．如图，在中，，，点D为中点，连接，点E、点F分别为、上两动点，过点F作于点H，当取最小值时，，则的面积是____． 19．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝2，ON＝5，点P、Q分别在边OB、OA上则当MP+PQ+QN的最小值时，S△NOQ+S△QOP+S△MOP＝___． 题型 5 造桥选址模型（将军饮马衍生，平行线间定长线段）（共 3 小题） 【模型】两条平行河岸，河宽固定，垂直河岸建桥，求从 A 到 B 路径最短。平移其中一个点，平移距离等于河宽，再连线。 【步骤】①平移定点，平移长度 = 河宽；②连接平移后的点与另一定点，得到桥的落点；③还原路径。 【易错】忘记桥必须垂直河岸；平移方向、长度出错。 20．如图，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现准备合作修建一座过街人行天桥．恰当地架桥可使由A单位到B单位的路程最短，请根据图中的数据求出最短路程_______． 21．解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 22．如图，一条东西流向的小河在处直角转弯，改变为南北流向，河宽不变．两地分别在河的北岸和西岸，现分别要在东西、南北流向的河上建两座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河两岸是平行线，桥与河垂直） 拔高·压轴破难 题型 6 将军饮马与等腰、垂直平分线、全等综合（重难点）（共 5 小题） 【模型】几何大题背景嵌套将军饮马，需要先利用轴对称 / 等腰性质转化边角，再构造对称求最值。 【步骤】①先根据条件推导边、角等量关系；②识别隐藏的将军饮马结构；③作对称点，计算最短路径。 【易错】看不出图形里隐藏的将军饮马模型；几何条件和最值模型脱节。 23．数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他所走路程的和最短？ 作法是：如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2：如图③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠，使得到村庄的距离最短．可过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠最短，既省人力又省物力． (1)示例1中所包含的数学原理是（   ）；示例2中所包含的数学原理是（   ）． A．两点之间，线段最短    B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图④，在等边三角形中，是的中线． (2)直接写出与的数量关系________． (3)若，为边的中点，为上一点．当的值最小时，在图④上标注点的位置，并求出的最小值． 【活动三】迁移拓展，综合应用 (4)如图（5），在中，，，点在斜边上，且，是的角平分线，，分别为，上一点，请直接写出的最小值． 24．教材呈现：以下是新教材北师大版七年级下册第页《问题解决策略：转化》的部分内容．课本提到：数学的学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决问题的一种重要策略． 【模型一】两定一动异侧求线段和最小 如图1，在直线的两侧分别有，两点，在直线上确定一个点，使得最短． 问题解决： 小明的思考过程如下：如图1，连接，两点，交直线于点，此时，，共线，即． 在直线上另取任一点，连接，，在中可知， 综上所述：．故，当，，共线时，即 【模型二】两定一动同侧求线段和最小 如图，在直线的同侧分别有，两点，在直线上确定一个点，使得最短． （问题转化）小颖认为：可以借助轴对称，将同侧问题转化为异侧问题．如图2，作点关于直线轴的对称点，连接，交于点，由轴对称可知，则 【应用】 (1)如图3，在等边中，，，是的中点，是上的一点，求的最小值； 【拓展】两动一定三角形周长最小 (2)如图4，在四边形中，，，在，上分别找一点、，当周长最小时，求的值． 25．如图，四边形的对角线、相交于点E，，，，． (1)求证：垂直平分； (2)求的长； (3)若点F为的中点，请在上找出一点P，使的值最小，并求出的最小值． 26．【教材呈现】 如图是新人教版八年级上册数学教材第65~66页的部分内容 15.1.2线段的垂直平分线 轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质． 探究 如图，直线l垂直平分，点在l上，分别比较点与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ 可以发现，，如果把线段沿直线l对折，线段与、线段与、线段与 都是重合的，因此它们也分别相等．由此猜想线段的垂直平分线有以下性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质． 如图，直线，垂足为C，，点P在l上． 求证：． 证明：当点P与点C不重合时， 请你写出完整的证明过程． （1）请根据所给教材内容，结合上图，写出完整的证明过程． 【定理应用】 （2）如图①，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，求的周长． （3）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，垂足分别为点M，N，已知的周长为15，则的长为_______． 【拓展应用】 （4）如图③，在中，，E、P分别是、上任意一点，当时，直接写出的最小值． 27．在等边中，是边上的中线，E为上一动点，连接，在的下方作等边． (1)如图1，当时，连接， ① °． ②求证：． (2)如图2，连接，是否有最小值，若有请求出此时的度数；若没有请说明理由． 题型 7 将军饮马网格、坐标系中的最值计算（压轴小题）（共 5 小题） 【模型】网格 / 平面直角坐标系背景下的将军饮马，用坐标找点， 【步骤】①写出各点坐标，作出对称点坐标；②利用两点之间距离公式计算线段长；③得到最小值。 【易错】对称点坐标算错； 28．【读一读】数形结合是初中阶段的一种重要数学思想方法，其应用可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，借助于数的精确性来阐明形的某些属性；第二种情形是“以形助数”，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系．著名的数学家华罗庚曾强调：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见通过结合抽象的数学语言和直观的几何图形，可以简化复杂问题，使抽象问题具体化，从而找到更优的解题路径． 【做一做】 如图，中，点、在轴上，点在轴上，且，，． (1)尺规作图：分别作出点关于轴的对称点，点关于轴的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接、，并直接写出点的坐标； (2)在（）的条件下，作点关于直线（直线可左右平移，直线上各点的横坐标都为）的对称点，若的面积为，求的值； (3)点、分别为、上的动点，求的最小值． 29．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于轴对称的； (2)点的坐标为（    ）； (3)在轴上找出点，使取最小值．并直接写出的坐标． 30．综合与实践课中的“最短路径问题”，可以转化为数学中求线段和的最小值问题，所以探讨线段和最小值问题成为解决此类问题的核心． (1)尺规作图：在图1中作点关于直线的对称点，连接交于点（不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔作图，再用黑色墨水笔描画清楚）； (2)在（1）中上任意找点（异于点），连接，，，，说明； (3)如图2，已知点，，点在轴上，且的值最小，求的值． 31.【任务一】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图1，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． 请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图2，在直线m上另取任一点D，连结AD，，BD， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴______，________， ∴_____ 在中， ∵， ∴． ∴，即最小， 【任务二】如图3，有两条公路AO和BO经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园P处新建如图所示的三条小路PM，PN，MN，使三条小路刚好围成一个三角形，周长的最小值为_____米． 【任务三】实践应用：如图4，在中，，，，，AD平分，M、N分别是AD、AC边上的动点，求的最小值． 32．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于． (1)求． (2)如图1，D为延长线上一动点，以为直角边作等腰三角形，连接，求直线与y轴交点F的坐标． (3)如图2，点E为y轴正半轴上一点，且，F是线段之间一点，连接，且，分别在射线、上找一点M、N，使的周长最小，求其最小值． $专题06 将军饮马最值 基础·固本强基 题型 1 将军饮马基础模型：两定一动（直线同侧求最短路径 提升·进阶突破 题型 2 将军饮马变式 1：两定一动，求线段差的最大值（重点） 题型 3 将军饮马变式 2：一定两动模型 题型 4 将军饮马变式 3：两定两动模型 题型 5 造桥选址模型 拔高·压轴破难 题型 6 将军饮马与等腰、垂直平分线、全等综合（重难点） 题型 7 将军饮马网格、坐标系中的最值计算 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 将军饮马基础模型：两定一动（直线同侧求最短路径）（共 5 小题） 【模型】两定点在定直线同侧，在直线上找一动点，使两定点到动点距离之和最小。作其中一个点关于直线的对称点，对称点与另一定点连线，和直线交点即为动点，连线长就是最短距离。 【步骤】①识别：1 条定直线，2 个定点，1 个动点在直线上；②作其中一个定点关于直线的对称点；③连接对称点与另一个定点，与直线相交；④计算线段长度。 【易错】两点在同侧时，直接连接两个定点；分不清同侧、异侧模型；对称点作错。 1．如图，某快递公司计划在主干路上设一个机器人配货总部，在主干路同侧有与两个机器人配送点，若使配货总部到两个配送点的距离和最小，则下列示意图中配货总部的位置符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用轴对称的性质将折线转化为直线即可． 【详解】解：A．不符合要求； B．不符合要求； C．不符合要求； D．作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，根据两点之间线段最短，此时为最小值，符合要求； 2．如图，在中，，分别以点为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于，画直线为的中点，为直线上任意一点，若的面积为15，则的最小长度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积，三线合一定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．如图，连接，．利用三角形的面积公式求出，再根据两点之间线段最短，线段的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：如图，连接，． ∵， 为的中点， ∴， ，， ， 由作图可知：垂直平分线段， ， ， 的最小值为6， 故选：B． 3．如图，在ABC中，，， ，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式得到AD=12，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD的长为PB+PD的最小值，即可得到结论． 【详解】∵AB=AC，BC=10，S△ABC=60，是中点， AD⊥BC于点D， ∴S△ABC= =60， ∴AD=12， 设AD与EF的交点为P， ∵EF垂直平分AB， ∴点A，B关于直线EF对称， ∴PA=PB， 此时AD的长为PB+PD的最小值， 即PB+PD的最小值为12， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 4．如图，中，，，的面积为21，于D，EF是AB边的中垂线，点P是EF上一动点，周长的最小是等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，故点D是BC边的中点，根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BP+PD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：∵△ABC是等腰三角形， AD⊥BC ∴点D是BC边的中点 ∴BD=CD==3 ∵的面积为21 ∵EF是线段AB的垂直平分线 ∴点B关于直线EF的对称点为点A ∴AD的长为BP+PD的最小值 ∴△PBD的周长最小=(BP+PD)+BD=AD+BC=7+3=10 故选D． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 5．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，AB边上存在点P，使PC+PD的值最小，此时∠BCP的度数是____________． 【答案】 【分析】过点D作关于AB对称的对称点D′，连结C D′交AB于P，由AD=AD′，CD＝2AD，可得DD′=CD，∠D′=∠DCP，再证∠D′=∠BCP即可． 【详解】解：过点D作关于AB对称的对称点D′，连结C D′交AB于P，则A、D、D'三点共线，且此时PC+PD最小， ∵AD=AD′，CD＝2AD， ∴DD′=2AD=CD， ∴∠D′=∠DCP， ∵∠A＝∠B＝90°， ∴∠A+∠B＝180°， ∴DD′∥BC， ∴∠D′=∠BCP， ∴∠BCP=∠D′=∠DCP， ∵∠C=60°， ∴∠BCP+∠DCP=2∠BCP=∠C=60°， ∴∠BCP=30°． 故答案为：30°． 【点睛】本题考查轴对称性质，等腰三角形判定与性质，两点之间线段最短，平行线性质，角的倍分，掌握轴对称性质作图构造两点之间线段最短，等腰三角形判定与性质是解题关键． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积为30，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F．若D为BC的中点，P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小为______． 【答案】13 【分析】如图所示，连接AP，根据线段垂直平分线的定义得到AP=CP，则△PCD的周长=PC+PD+CD=PA+PD+CD，从而可以推出当A、P、D三点共线时，PA+PD的值最小，即为AD，再根据三线合一定理得到AD⊥BC，，再根据三角形面积求出AD的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接AP， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴AP=CP， ∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PA+PD+CD， ∴要使△PCD的周长最小，即PD+PC的值最小，即AP+PD的值最小， ∴当A、P、D三点共线时，PA+PD的值最小，即为AD， ∵AB=AC，D为BC的中点，BC=6， ∴AD⊥BC，， ∵△ABC的面积为30， ∴， ∴AD=10， ∴△PCD的周长的最小值=AD+CD=13， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，三线合一定理，熟知垂直平分线的性质和三线合一定理是解题的关键． 提升·进阶突破 题型 2 将军饮马变式 1：两定一动，求线段差的最大值（共 3 小题） 【模型】两定点在直线同侧，直线上找动点，使|PA-PB|最大。延长AB交直线，交点即为动点；异侧则先作对称再连线。 【步骤】①看清求的是和最小，还是差最大；②两点同侧直接连线延长找交点；③异侧先作对称点。 【易错】把 “差最大” 当成 “和最小”，误用对称法；分不清最值类型。 7．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出向下平移3个单位得到的； (2)在网格中画出关于直线m对称的； (3)在直线m上画一点P，使得的值最大（保留作图痕迹）． 【答案】(1) 如图，即为所求作的三角形； (2) 如图，即为所求作的三角形； (3) 连接，并延长，交直线m于一点，该点即为点P，如图所示： ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴当、、P在同一直线上时，的值最大． 【分析】本题考查了平移作图、轴对称作图及三角形三边关系的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）作出点A、B、C平移后的对应点，然后顺次连接即可； （2）作出点A、B、C关于直线m的对称点，然后再顺次连接即可； （3）连接，并延长，交直线m于一点，该点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 8．如图，为等腰直角三角形，在的内部，，为射线上一点，当最大时，的度数是______． 【答案】/117度 【分析】作点A关于直线的对称点，连接并延长交于点，交于点D，则点就是使的值最大的点，，连接，根据题意得出，再由等角的余角相等及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接并延长交于点，交于点D，则点就是使的值最大的点，，连接， 为等腰直角三角形， ，， ∵ ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及等角的余角相等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 9．已知中，，将沿边进行对折使得点B落在点D处，过点C作垂直于点E，点P是直线CE上一动点，当的值最大时，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质；作点B关于的对称点H，连接．易得到当点在同一直线上时，有最大值根据和关于对称，易得，进而求出是等边三角形，根据外角性质可知，进而可求出答案． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点H，连接． 则 此时 ∴当点在同一直线上时，有最大值，此时， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 由题意得和关于对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，, ∵ 故选：C． 题型 3 将军饮马变式 2：一定两动模型（一个定点，两条定直线，双动点）（难点）（共 8 小题） 10．如图，在中，， l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出，将转化为．根据垂线段最短可知当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离，利用三角形面积公式即可求解．本题考查了最短路径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及“垂线段最短”是解题的关键． 【详解】解：∵l是边的中垂线，点E是直线l上动点， ∴， ∴， ∵点F是直线上动点， ∴当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离， 设点C到直线的距离为h， ∵，且，，， ∴， ∴， ∴的值最小为． 11．如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，则，当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长，再由面积公式可求解． 【详解】解：连接，， 垂直平分， ， ， 当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长， 此时， ． 12．如图，在锐角中，平分，，若、分别是、上的动点，当最小时，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性得到和，再利用两点之间线段最短和垂线段最短得到时最小，根据同角的余角相等得到，最后利用外角性质得到的度数． 【详解】解：作点C关于直线的对称点，过点作于点，交于点，延长交于点H， ∵点C和点关于直线对称， ∴，， ∴， 当、、三点共线且时，最小，最小值为线段的长， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．如图，已知，是内部的一个定点，且，点分别是上的动点，若使周长的最小，则最小周长是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、，，可证明当四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为的长；证明是等边三角形，得到，则的周长的最小值为3． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、，， 由对称性可知，，，， 的周长， ∵点P为定点， ∴点是定点， ∴当四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为的长； ，， ， ， ∴， ， 是等边三角形， ， ， ∴的周长的最小值为3． 14．如图，在中，，，，点E在边上，且，的垂直平分线分别交于点，，点P为直线上一动点，点F为边上一动点，当的值最小时，的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质，正确找出的值最小时，点的位置是解题关键． 作点关于直线的对称点，连接，得出相等的线段，根据两点之间线段最短和垂线段最短确定点的位置，然后利用线段的和差以及含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接， 则， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点，，共线时，的值最小，最小值为，由垂线段最短可知，当时，的值最小， 即的值最小， ∵垂直平分，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 当的值最小时，的长为， 故选：B． 15．如图，等边的边长为，点在边上，，，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，的长为（   ） A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题、等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质和两点之间线段最短是解题的关键． 先利用轴对称性质，将转化为，根据两点之间线段最短，当、、共线且时，取得最小值．再结合等边三角形的角度与边长，通过解直角三角形求出的长度． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接、，过点作于， ∵等边的边长为，， ∴． ∵点关于直线的对称点为，， ∴，在的延长线上，， ∴．， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． 当与重合时，取最小值，即最小， ∴取最小值时，． 故选：． 16．如图，在中，，，，是边上一点且，点，分别是边，上的动点，则的最小值为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】本题考查了求最短路径．熟练掌握轴对称性质，含30度角的直角三角形的性质，正确构造辅助线是解题的关键． 作点D关于的对称点G，过G作于F交于E，则此时，取得最小值，推出，根据，即可得到结论． 【详解】解：作点D关于的对称点G， 则， ∴， 过G作于F交于E， 当三点共线，且时，取得最小值， 此时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为2.5， 故选：B．    17．如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接 由对称性知： ∴ ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 此时 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点间线段最短等知识，解答本题的关键要明确：涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【模型】一个定点，两条相交直线，两条直线上各有一个动点。分别作定点关于两条直线的对称点，两个对称点之间的线段长就是折线段最小值。 【步骤】①确定定点与两条动点所在直线；②定点分别向两条直线作对称；③连接两个对称点得到最短路径。 【易错】只作一次对称；对称点找错；不会转化折线段为直线段。 题型 4 将军饮马变式 3：两定两动模型（两定点、两条平行线 / 相交线，双动点）（共 2 小题） 【模型】两个定点，两条定直线上各有一个动点，求两条动线段之和最小。平移 + 对称结合，把分散线段拼接。 【步骤】①观察动点是否有固定间距（造桥选址属于此类）；②平移线段，把双动点转化为单动点；③再利用对称求最短。 【易错】忽略平移步骤；分不清造桥选址属于两定两动。 18．如图，在中，，，点D为中点，连接，点E、点F分别为、上两动点，过点F作于点H，当取最小值时，，则的面积是____． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质．连接，过作点C的对称点O，连接，过点F作于点N，作于点P，利用对称的性质当点C，E，F，N，P共线时，取得最小值，设，交于点Q，证明，求得的值，再进一步证得为等边三角形，从而得到的值，由于C，O关于对称，可求出的值，最终利用三角形面积公式求得结果． 【详解】解：如图，连接，作点C关于的对称点O，连接，过点F作于点N，作于点P， 由对称可知，，， ∵，，点D为中点， ∴，即垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，垂线段最短， ∴当点C，E，F，N，P共线时，取得最小值，此时点P与点N重合， 如图，设，交于点Q， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵C，O关于对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 19．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝2，ON＝5，点P、Q分别在边OB、OA上则当MP+PQ+QN的最小值时，S△NOQ+S△QOP+S△MOP＝___． 【答案】5 【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′＝90°，S△NOQ+S△QOP+S△MOP＝计算即可． 【详解】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示： 连接M′N′，交OA和OB于Q与M，即为MP+PQ+QN的最小值． 根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝∠AOB=30°，∠ONN′=∠OMM′＝60°， ∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形， ∴∠N′OM′＝90°，OM＝M′O=2，ON＝ON′=5 根据对称可得： S△NOQ+S△QOP+S△MOP＝ ∴S△NOQ+S△QOP+S△MOP＝5 故答案为：5． 【点睛】本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键． 题型 5 造桥选址模型（将军饮马衍生，平行线间定长线段）（共 3 小题） 【模型】两条平行河岸，河宽固定，垂直河岸建桥，求从 A 到 B 路径最短。平移其中一个点，平移距离等于河宽，再连线。 【步骤】①平移定点，平移长度 = 河宽；②连接平移后的点与另一定点，得到桥的落点；③还原路径。 【易错】忘记桥必须垂直河岸；平移方向、长度出错。 20．如图，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现准备合作修建一座过街人行天桥．恰当地架桥可使由A单位到B单位的路程最短，请根据图中的数据求出最短路程_______． 【答案】85 【分析】过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短， ∵，， ∴线段可以看作由线段平移得到， ∴， ∴， 过点作于点，则，， ∴， ∴， ∴由经过天桥走到的最短路线的长为． 21．解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 【答案】(1) 点即为所求． (2) 点、、、即为所求． 【分析】（1）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求； （2）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【详解】（1）解：在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点， （2）解：在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点， 22．如图，一条东西流向的小河在处直角转弯，改变为南北流向，河宽不变．两地分别在河的北岸和西岸，现分别要在东西、南北流向的河上建两座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河两岸是平行线，桥与河垂直） 【答案】如图，在点处造桥，所得路径最短； 【分析】由于河的宽度是固定的，因此当最小时，最小，沿垂直河岸的方向平移点A到，使得河宽，再利用两点之间线段最短，可确定桥的位置． 【详解】解：如图，把河的两岸看成平行线和，将沿河岸垂直的方向平移等于河宽的距离，即点移动到点，点移动到点，则，； 同理，将点B沿垂直河岸方向平移河宽距离到点，使得，则； 所以 ， 在连接两点的线中，线段最短， 因此与直线的交点的位置即为所求，即在点处造桥，所得路径最短． 拔高·压轴破难 题型 6 将军饮马与等腰、垂直平分线、全等综合（重难点）（共 5 小题） 【模型】几何大题背景嵌套将军饮马，需要先利用轴对称 / 等腰性质转化边角，再构造对称求最值。 【步骤】①先根据条件推导边、角等量关系；②识别隐藏的将军饮马结构；③作对称点，计算最短路径。 【易错】看不出图形里隐藏的将军饮马模型；几何条件和最值模型脱节。 23．数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他所走路程的和最短？ 作法是：如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2：如图③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠，使得到村庄的距离最短．可过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠最短，既省人力又省物力． (1)示例1中所包含的数学原理是（   ）；示例2中所包含的数学原理是（   ）． A．两点之间，线段最短    B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图④，在等边三角形中，是的中线． (2)直接写出与的数量关系________． (3)若，为边的中点，为上一点．当的值最小时，在图④上标注点的位置，并求出的最小值． 【活动三】迁移拓展，综合应用 (4)如图（5），在中，，，点在斜边上，且，是的角平分线，，分别为，上一点，请直接写出的最小值． 【答案】(1)A；B (2) (3)如图①，点即为所求． 的最小值为4 (4)的最小值为 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”求解即可； （2）根据三线合一得到，，即可得到； （3）连接交于点F，连接，得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后根据等边三角形三线合一性质求解即可； （4）在上取点使，，连接，证明出，得到，然后得到当时，最小，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：示例1中所包含的数学原理是两点之间，线段最短；示例2中所包含的数学原理是垂线段最短． （2）解：∵在等边三角形中，是的中线 ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接交于点F，连接， ∵点为上一点 ∴ ∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度 ∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ∴ （4）解：如图所示，在上取点使，，连接 ∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点，G，D三点共线时，有最小值，即的长度 ∴当时，最小 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三线合一性质，轴对称的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 24．教材呈现：以下是新教材北师大版七年级下册第页《问题解决策略：转化》的部分内容．课本提到：数学的学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决问题的一种重要策略． 【模型一】两定一动异侧求线段和最小 如图1，在直线的两侧分别有，两点，在直线上确定一个点，使得最短． 问题解决： 小明的思考过程如下：如图1，连接，两点，交直线于点，此时，，共线，即． 在直线上另取任一点，连接，，在中可知， 综上所述：．故，当，，共线时，即 【模型二】两定一动同侧求线段和最小 如图，在直线的同侧分别有，两点，在直线上确定一个点，使得最短． （问题转化）小颖认为：可以借助轴对称，将同侧问题转化为异侧问题．如图2，作点关于直线轴的对称点，连接，交于点，由轴对称可知，则 【应用】 (1)如图3，在等边中，，，是的中点，是上的一点，求的最小值； 【拓展】两动一定三角形周长最小 (2)如图4，在四边形中，，，在，上分别找一点、，当周长最小时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，可证明垂直平分，得到，则当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，根据题意可得都是等边的高，则，据此可得答案； （2）分别作点关于的对称点、，连接，由轴对称的性质可得，则；可证明当、、、四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，求出，则，进而可得． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵是等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴都是等边的高， ∴， ∴的最小值为； （2）如图所示，分别作点关于的对称点、，连接， 由轴对称的性质可得， ∴； ∵的周长， ∴当、、、四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．如图，四边形的对角线、相交于点E，，，，． (1)求证：垂直平分； (2)求的长； (3)若点F为的中点，请在上找出一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【答案】(1) 解： ， 点在线段的垂直平分线上； ， 点在线段的垂直平分线上， 垂直平分； (2) (3)的最小值为3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定及性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等； （1）由线段垂直平分线的判定定理得点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，即可得证； （2）结合等边三角形的性质及直角三角形的特征得，，即可求解； （3）连接，由线段垂直平分线的性质得，可得，由等边三角形的性质即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：，垂直平分，， ，， ， ， ， ，， ； （3）解：连接交于点，则点即为所求； 连接， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ， 即的最小值为3． 26．【教材呈现】 如图是新人教版八年级上册数学教材第65~66页的部分内容 15.1.2线段的垂直平分线 轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质． 探究 如图，直线l垂直平分，点在l上，分别比较点与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ 可以发现，，如果把线段沿直线l对折，线段与、线段与、线段与 都是重合的，因此它们也分别相等．由此猜想线段的垂直平分线有以下性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质． 如图，直线，垂足为C，，点P在l上． 求证：． 证明：当点P与点C不重合时， 请你写出完整的证明过程． （1）请根据所给教材内容，结合上图，写出完整的证明过程． 【定理应用】 （2）如图①，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，求的周长． （3）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，垂足分别为点M，N，已知的周长为15，则的长为_______． 【拓展应用】 （4）如图③，在中，，E、P分别是、上任意一点，当时，直接写出的最小值． 【答案】 （1）证明：当点P与点C不重合时， ∵， ， ，， ， ； （2）（3）（4） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． （1）由，，，可证，即得； （2）根据垂直平分线的性质得到，得到，即可求出答案； （3）根据是的垂直平分线，是的垂直平分线，可得，，而的周长为，故，从而求得； （4）连接，过作于，交于，连接，由，，可得，可求；根据，，有，故，当、、共线时，，那么当，则最小，此时与重合，与重合，的最小值为的长，然后根据三角形面积求解即可． 【详解】（1） 略 （2）解：∵是的垂直平分线，， ∴, ∵的周长为13， ∴， ∴， 即的周长为． （3）解：是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， 的周长为， ， ，即， 故答案为：； （4）连接，过作于，交于，连接， 如图： ，， ， ， ， ； ，， 是线段的垂直平分线， ， ， 当、、共线时，， ∴当时，则最小，此时与重合，与重合，的最小值为的长， ， ， 解得， ∴的最小值是． 27．在等边中，是边上的中线，E为上一动点，连接，在的下方作等边． (1)如图1，当时，连接， ① °． ②求证：． (2)如图2，连接，是否有最小值，若有请求出此时的度数；若没有请说明理由． 【答案】(1)①75； ②证明：∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴； (2)有最小值， 【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得，，再根据等腰直角三角形的性质可得，求得，再利用求解即可； ②根据等边三角形的性质可得，，，再利用等量代换可得，再根据全等三角形的判定证明即可； （2）连接,可得，作点D关于的对称点G，连接、、、，则，当B、F、G三点共线，的最小值为，且时，最小，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵、是等边三角形， ∴， ∵是边上的中线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②略 （2）解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， 如图，作点D关于的对称点G，连接、、、，则， ∴当B、F、G三点共线，的最小值为，且时，最小， 由轴对称的性质得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、轴对称的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 题型 7 将军饮马网格、坐标系中的最值计算（压轴小题）（共 5 小题） 【模型】网格 / 平面直角坐标系背景下的将军饮马，用坐标找点， 【步骤】①写出各点坐标，作出对称点坐标；②利用两点之间距离公式计算线段长；③得到最小值。 【易错】对称点坐标算错； 28．【读一读】数形结合是初中阶段的一种重要数学思想方法，其应用可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，借助于数的精确性来阐明形的某些属性；第二种情形是“以形助数”，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系．著名的数学家华罗庚曾强调：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见通过结合抽象的数学语言和直观的几何图形，可以简化复杂问题，使抽象问题具体化，从而找到更优的解题路径． 【做一做】 如图，中，点、在轴上，点在轴上，且，，． (1)尺规作图：分别作出点关于轴的对称点，点关于轴的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接、，并直接写出点的坐标； (2)在（）的条件下，作点关于直线（直线可左右平移，直线上各点的横坐标都为）的对称点，若的面积为，求的值； (3)点、分别为、上的动点，求的最小值． 【答案】(1) 解：点D和点E如图所示： 在中，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 点D和点A关于x轴对称， ∴， ∴； (2) (3)的最小值为4 【分析】本题主要考查了坐标与图形，含有的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据题意画图，再根据直角三角形的性质求解即可； （2）由题易得，再根据面积建立方程求解即可； （3）根据题意，易得都是等边三角形，所以，当且仅当点A、P、Q、B依次共线时取等． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵， ∴， 由题可知， ∴，即， ∴； （3）解：如图，连接， 则，，，， ∴都是等边三角形， ∵， ∴， ∴平分， ∴所在直线垂直平分， ∴， ∵点A和点D关于x轴对称， ∴， ∴，当且仅当点A、P、Q、B共线时取等， 故的最小值为4． 29．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于轴对称的； (2)点的坐标为（    ）； (3)在轴上找出点，使取最小值．并直接写出的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) (3)如图，点即为所求； ， 【分析】（1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据点的位置，直接写出点的坐标即可； （3）连接，与轴的交点即为点，进而写出点的坐标即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 30．综合与实践课中的“最短路径问题”，可以转化为数学中求线段和的最小值问题，所以探讨线段和最小值问题成为解决此类问题的核心． (1)尺规作图：在图1中作点关于直线的对称点，连接交于点（不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔作图，再用黑色墨水笔描画清楚）； (2)在（1）中上任意找点（异于点），连接，，，，说明； (3)如图2，已知点，，点在轴上，且的值最小，求的值． 【答案】(1) 解：如图所示； (2) 证明：如图所示， ∵点关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴， 当与重合时，； 当与不重合时，中， ∵，， ∴， 综上，； (3) 【分析】本题主要考查了尺规作图—过一点作已知直线的垂线，三角形的三边关系，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作直线的垂线，然后找出点的对称点，连接两点即可得出交点； （2）根据轴对称的性质得出垂直平分，得出，然后分两种情况进行讨论，利用线段的和差以及三角形的三边关系进行证明即可； （3）取点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，取格点，根据点的坐标确定线段的长度，根据等边对等角得出角的度数，然后利用角的和差进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小， 取格点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【任务一】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 31．小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图1，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． 请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图2，在直线m上另取任一点D，连结AD，，BD， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴______，________， ∴_____ 在中， ∵， ∴． ∴，即最小， 【任务二】如图3，有两条公路AO和BO经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园P处新建如图所示的三条小路PM，PN，MN，使三条小路刚好围成一个三角形，周长的最小值为_____米． 【任务三】实践应用：如图4，在中，，，，，AD平分，M、N分别是AD、AC边上的动点，求的最小值． 【答案】任务一：，，； 任务二：500 任务三： 【分析】任务一：根据题意利用对称性和三角形的三边关系填空即可； 任务二：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到△的周长的最小值为，再证得△为边长为500的等边三角形即可得出答案； 任务三：过点作交于点，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质得到，这时有最小值，即的长度，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】任务一：证明：如图2，在直线上另取任一点，连结，，， 直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在△中， ， ． ， 即最小， 故答案为：，，； 任务二：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接， 分别交、于、，如图： ，， 的周长为， 此时的周长取得最小值，且最小值为， 由轴对称的性质得：，， ，， ，， ，， △为边长为500的等边三角形， ， △的周长的最小值为500米， 故答案为：500； 任务三：如图，过点作交于点，交于点，过点作于点， 是的平分线． ， ， 这时有最小值，即的长度， ，，，， ， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查轴对称，三角形的面积公式，三角形的三边关系，等边三角形的判定与性质，最短路径问题，角平分线的性质，文字量多，读懂题意是解题的关键． 32．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于． (1)求． (2)如图1，D为延长线上一动点，以为直角边作等腰三角形，连接，求直线与y轴交点F的坐标． (3)如图2，点E为y轴正半轴上一点，且，F是线段之间一点，连接，且，分别在射线、上找一点M、N，使的周长最小，求其最小值． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】（1）由，可得，再根据三角形面积公式计算即可； （2）过点E作轴，证得，再由此得到，根据边角关系得到，即可得到点的坐标； （3）分别作关于的对称点，连接，可得的周长最小值为，再证得是等边三角形，求得其最小值． 【详解】（1）解：由题可得：，； （2）解：过点E作轴，如图所示 可得，， ， ， 在和中， ， 则， ， ， ， ， 点F的坐标为； （3）解：分别作关于的对称点，连接，如图所示 则， 的周长为，当四点共线时， 和最小，此时，即的周长最小值为， 由对称可得，， ， ，， 是等边三角形， ， ， 即的周长最小值为9． 【点睛】本题考查了对称，点的坐标，直角三角形，等边三角形，熟练掌握各性质是解题的关键． $