专题05 等腰、等边三角形模型9题型42题（含辅助线 + 动点）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材人教版

专题05 等腰、等边三角形模型（含辅助线 + 动点） 基础·固本强基 题型 1 等边三角形平行线截割模型 题型 2 等腰三角形三线合一模型 提升·进阶突破 题型 3 维维安尼模型（等边内点垂线段定值） 题型 4 等腰三角形一腰上的高分类模型 题型 5 连环等腰递推模型 拔高·压轴破难 题型 6 共顶点等边手拉手模型（重难点） 题型 7 等边 60° 半角模型（压轴） 题型 8 等腰三角形存在性动点模型（压轴） 题型 9 等腰等边多结论模型（压轴小题） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 等边三角形平行线截割模型（共 4小题） 【模型】平行于等边一边的直线截另外两边，得到小等边三角形。 【辅助线】过一点作三角形一边的平行线。 【步骤】①作平行线，构造同位角得 60°；②判定新三角形为等边；③等量代换线段。 【易错】无平行线条件，直接判定小三角形为等边。 1．（25-26八年级上·山东德州·期末）已知如图1，在等边中，点E是上一点，延长到点D，使，． (1)若E是的中点，试判断的形状及的长； 拓展应用：当点E是上的任意一点时（不与A，B重合）（如图2）． (2)证明； (3)猜想、、三边关系，并说明理由． 2．（25-26七年级下·山东济南·期末）问题解决 是等边三角形，点是直线上一点（不与，重合），点在射线上（不与，重合），且，连接，探究与的数量关系． (1)【特例探究】从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图1，当点在边的中点时，请你直接写出线段与的数量关系________________； (2)【数学思考】如图2，当点是边上任意一点时（不是中点），同学们讨论发现结论依然成立．小颖的思路是通过作，然后证明和全等，进而得到结论．请你依据小颖的思路写出完整的证明过程； 类比延伸： (3)【拓展应用】如图3，是等边三角形，点在边上，点在的延长线上，，与的平分线所在的直线相交于点，请写出，，的数量关系并证明． 3．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）综合实践 数学是一门充满乐趣，奥妙，又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”．几何图形变幻无穷，但只要我们借助图形的直观，从特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．于是数学课上，刘老师出示了以下的题目：如图，在等边中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： (1)【特殊情况，归纳猜想】如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出你的结论： （选填“”、“”或者“=”）； (2)【特例启发，推理证明】如图2，当不是的中点时，小优和小秀认为（1）中的结论仍然成立，所以他们尝试过点E作，交于点F．刘老师肯定了这种做法，请你帮助小优和小秀完成接下来的证明过程； (3)【拓展延伸，问题解决】当点E在的延长线上时，点D在边上，且，请自己画图，并探究（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 4．（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）探究解题 【问题探究】 (1)如图，在等边中，点为边上的点，点在的延长线上，连接、，且． ①如图1，若点为的中点，，则的长为________； ②如图2，若点为边上任意一点，过作交于点，探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 (2)如图3，在形如等边三角形的市民公园中，、、均为步道，休息长椅D在步道BC的中点处，规划管理处计划在边的延长线上增设一个景观平台（周边的地可利用），要求景观平台到公园入口和休息长椅的距离相等（即），、为两条石板小路．已知米，石板小路与步道相交于点，在点处设置饮水补给站，求饮水补给站到公园入口的距离．（步道、石板小路的宽度忽略不计，公园入口、休息长椅、景观平台、引水补给站的大小均忽略不计） 题型 2 等腰三角形三线合一模型（共 5 小题） 【模型】等腰顶角平分线、底边上中线、底边上的高三线合一。 【辅助线】遇等腰，作底边上的高（或顶角平分线 / 底边中线）。 【步骤】①等腰三角形，作底边垂线；②同时得到垂直、平分底边、平分顶角；③转化边角。 【易错】对腰作高，误用三线合一结论。 5．（26-27八年级上·青海·期中）如图，点在线段上，，，，是的中点． (1)求证： (2)直线与直线有怎样的位置关系？证明你的结论． 6．（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，点D是的中点，于点E，于点F． (1)求证：平分； (2)求证：． 7．（26-27八年级上·天津南开·阶段检测）已知，中，，，点，分别在，边上， ． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 ． 类比思考： (2)如图2，若，且点是边上的任意一点，小颖发现的度数为定值．求的度数； 联系拓广： (3)如图3，将问题情境中的“点，分别在，边上”改为“点，分别在、的延长线上”，其余条件不变．直接写出的度数 （用含的式子表示）． 8．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，垂直平分，分别交，于点，，且满足． (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 9．（2026·湖南长沙·三模）如图，中，，是的中线．以点为圆心，的长为半径作弧，分别交，于点，，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 提升·进阶突破 题型 3 维维安尼模型（等边内点垂线段定值）（难点）（共 2 小题） 【模型】等边内任意一点向三边作垂线，三条垂线段之和 = 等边的高。 【辅助线】过内部点，分别向三边作垂线段。 【步骤】①连接该点与三个顶点，分割成三个小三角形；②面积法列等式；③推导线段和为定值。 【易错】点在三角形外部，直接套用 “线段之和等于高”。 10．（23-24八年级上·安徽六安·阶段检测）阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． (1)深入探究 将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； (2)理解与应用 当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 11．（2023·广西贵港·模拟预测）阅读理解学习 如图，在中，，是的高，是边上一点，，分别与直线垂直，垂足分别为，求证：．小刚发现：连接，有，即，由可得． 请你模仿小刚的思路或者用你的新思路解决以下问题： (1)如图，当点在的延长线上，且上面问题中其它条件不变时，请直接写出此时线段之间的数量关系______． (2)如图，当点是内一点，且，是的高，分别与直线垂直，垂足分别为点，猜想此时线段之间的数量关系是______．并说明理由． 题型 4 等腰三角形一腰上的高分类模型（共 4 小题） 【模型】等腰顶角分锐角、钝角两类；高位置一内一外。 【辅助线】分两种情况画出腰上的高。 【步骤】①分类画图；②利用直角互余求顶角；③检验图形合理性。 【易错】只画高在内部，漏掉钝角等腰三角形。 12．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，它的底角为________． 13．（25-26八年级上·广东湛江·阶段检测）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形底角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 14．（25-26八年级上·山东日照·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的底角的度数是（） A． B． C．或 D．或 15．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知等腰腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角的度数为_______． 题型 5 连环等腰递推模型（共 3 小题） 【模型】外角构造新等腰，层层传递等角。 【辅助线】标记所有相等角，必要时延长线段构造外角。 【步骤】①标记第一组等角；②外角定理推导下一组等角；逐层推导。 【易错】角度代换混乱，找不到边角传递关系。 16．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管、、⋯添加的钢管长度都与相等，则最多能添加这样的钢管（   ） A．2根 B．4根 C．5根 D．无数根 17．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在第1个中，，，在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个，在边上取一点E，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第2026个三角形中以为顶点的底角度数是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，在第1个中，，，在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个……按此做法继续下去，则第2025个三角形中，以为顶点的底角的度数是___________． 拔高·压轴破难 题型 6 共顶点等边手拉手模型（重难点）（共 8 小题） 【模型】两个等边共顶点，拉手边相等，夹角 60°。 【辅助线】连接两组拉手线段。 【步骤】①识别共顶点双等边；②角的加减得到夹角相等；③证边角关系，得结论。 【易错】找不到夹角相等，辅助线连接线段错误。 19．（25-26七年级下·河南郑州·期中）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型初现】 (1)如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A．    B．    C．    D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 (2)如图2，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边，、交于点，证明：，并求出的度数； 【模型深化】 (3)如图3，、是等腰直角三角形，，，，连接、，探究、的数量关系与位置关系，并给出证明； 【拓展延伸】 (4)如图4，是等腰直角三角形，其中，，，连接，请直接写出、、之间的数量关系． 20．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图1，在中，分别以为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为___________，位置关系为___________； (2)类比探究 如图2，已知，以为边分别向外作等边和等边，交于点，求的大小． (3)解决问题 如图3，已知点在等边的外部，并且点与点位于线段的异侧，连接．若，，，则的长为___________． 21．（24-25七年级下·山东济宁·期末）【问题提出】如图，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 (1)在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图，若点在边上，求证：． ②如图，若点在边的延长线上，线段之间的数量关系为______，并加以说明． (2)如图，在等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出之间的数量为______．（直接写出结论不用说明理由） 22．（25-26七年级下·山东济南·期中）【模型构建】 如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．如果把的腰看作大手，的腰看作小手，，可视作大手拉着小手，这就是“手拉手模型”．可探究和的数量关系． 探索思路如下： ， （___________）， 即（___________）， 在与中， ， （___________）， （___________）． (1)请在上面（   ）中填写适当的理由． 【深入探究】 (2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断直线、的数量关系和位置关系并证明： 【拓展应用】 (3)如图③，在中，，点为的中点，以为边在下方构造等边，连接，，．已知点到的距离为1，的面积为，求的值． 23．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接，若，试说明点B，点D，点E在同一直线上； (3)如图3，已知点E在等边外，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，猜测线段三者之间的数量关系，并说明理由． 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ______________________． (2)如图，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，则 ___________． (3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 25．（25-26八年级上·山东济南·期中）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （1）等边三角形中，E是边上一定点，D是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图2，若点D在边上，线段、、之间的关系为______（直接写出结论）； ②如图3，若点D在边的延长线上，试证明线段、、之间的关系； （2）如图4，等腰中，，，，且交于点D，以为边作等边，直线交直线于点F，连接交于点M，写出、、之间的数量关系，并加以说明． 26．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】（1）如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （2）等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为______． （3）如图4，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则最小值是______． 题型 7 等边 60° 半角模型（压轴）（共 4 小题） 【模型】等边顶角含 30° 半角，存在线段和差关系。 【辅助线】旋转：将含半角一侧三角形绕等边顶点旋转 60°，使等边两边重合。 【步骤】①旋转构造全等；②转化线段；③证明线段和差等式。 【易错】旋转方向不对，不会构造全等。 27．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图1，已知是边长为6的等边三角形，以为底边作一个顶角为的等腰三角形．点M，N分别是边与边上的点，并且满足． 要想证明为的平分线，刘同学做了如下思考，如图2，延长至点F，使，连接，通过证明① ，得到，进而证得② ，得证为的平分线； (1)请你将刘同学的思考过程补充完整．①______，②______． (2)在刘同学的思路下求的周长； (3)当点D在内部时，其他条件不变，直接写出的周长． 【答案】(1)，， (2)12 28．（2025八年级上·全国·专题练习）【综合与探究】如图1，已知是边长为3的等边三角形，以为底边作一个顶角为的等腰．分别在边、上取点M、N，使． (1)小宛猜想是的平分线，作了如下思考，如图2，延长至F，使，连接，通过证明________，得到，再证明________，即可得到是的平分线； (2)请结合小宛的思路，完整证明他的猜想，并求出的周长； (3)当点D在内部时，其他条件不变，直接写出的周长． 29．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，根据三角形全等的条件，可以得到，从而根据三角形全等的性质得到，由，进而得到，这样，就可以根据三角形全等的条件，确定，则可得到、、之间的数量关系是 ． 【探索延伸】 (2)如图2，在四边形中，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 30．（22-23八年级上·河北唐山·期中）问题背景： (1)如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段、、之间的数量关系，嘉琪同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_________． (2)探索延伸：①如图2，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． ②如图2，若五边形的面积为30，，，直接写出点到的距离． 题型 8 等腰三角形存在性动点模型（压轴）（共 4 小题） 【模型】定线段 AB，动点 P 在直线上，构成等腰△ABP，两圆一线找点。 【辅助线】①以 A 为圆心 AB 长画圆；②以 B 为圆心 AB 长画圆；③作 AB 垂直平分线。 【步骤】①用 “两圆一线” 画出全部动点；②分类讨论三种等腰情况；③检验点是否在限定轨迹。 【易错】漏画点，不检验动点范围。 31．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线” （1）下列三角形，不存在“和谐分割线”的是　 　 （ 填序号） ①等边三角形     ②等腰直角三角形    ③顶角150°的等腰三角形 （2）如图2，Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝2，试探索Rt△ABC是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由． （3）如图3，△ABC中，∠A＝42°，若线段CD是△ABC的“和谐分割线”，且△BCD是等腰三角形，求出所有符合条件的∠B的度数． 32．（22-23八年级上·浙江金华·阶段检测）（1）如图1，线段的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． （2）如图1，如果与直线l所成的锐角为60°，以为一边画等腰三角形，并使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． 想一想：如图2，中， ，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画　 　条． 算一算：如图3，在中，，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数． 33．（24-25八年级上·广东汕头·期中）（1）已知中，， ①求出与的度数． ②请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来，只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数） （2）已知中，是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系． 34．（24-25八年级上·广东广州·期末）阅读两则材料，然后根据材料解决问题： 【材料一】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 【材料二】从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形互为“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 解决以下4个问题： (1)如图1，在中，，，，写出图中的一对“等角三角形”； (2)如图2，中，，，是的角平分线．求证：为的“等角分割线”； (3)在中，，是的等角分割线，则的度数可以是（   ） A．    B．    C．    D． 题型 9 等腰等边多结论模型（压轴小题）（共 8 小题） 【模型】多等腰、等边叠加，判断多个命题真假。 【辅助线】按需作高、连线、旋转、平行线。 【步骤】①逐个推导结论；区分模型结论与陷阱；②辅助线按需添加。 【易错】凭图形直观判断，不严谨推导。 35．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）如图，和均是等边三角形，A，C，B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 36．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，，分别是的内角和外角的平分线，且，平分交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 37．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，中，，，D是的中点，点E、F分别在边上，且．以下四个结论：①；②；③；④．上述结论正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 38．（25-26八年级下·安徽宿州·期中）如图，是等边三角形，，分别为，边上的点，且，，相交于点，连接并延长到点，与相交于点，延长到点，连接，，若，，点是的中点，下列结论： ； ； ； ，其中正确结论的序号是（） A． B． C． D． 39．（25-26八年级上·广东韶关·阶段检测）在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有（    ）个． ①； ②； ③连接，则有是等边三角形； ④连接，则有垂直平分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．（25-26八年级上·重庆合川·期末）如图，是的高，，是以为斜边的等腰直角三角形，连接，，延长交于点，下列结论：①；②；③；④；其中正确的有（   ） A．①②④ B．①③ C．①④ D．①③④ 41．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，是的角平分线，是上一点，且，连接，过点作于点，连接．有下列结论：①；②；③．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 42．（25-26八年级上·北京通州·期末）如图，在等边中，，点是的中点，点是上一动点，连接，在的右侧作等边，连接，下列结论：①；②；③；④的周长最小值是6；⑤的大小随着点的移动而发生变化；⑥当的周长最小时，．其中正确的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 $专题05 等腰、等边三角形模型（含辅助线 + 动点） 基础·固本强基 题型 1 等边三角形平行线截割模型 题型 2 等腰三角形三线合一模型 提升·进阶突破 题型 3 维维安尼模型（等边内点垂线段定值） 题型 4 等腰三角形一腰上的高分类模型 题型 5 连环等腰递推模型 拔高·压轴破难 题型 6 共顶点等边手拉手模型（重难点） 题型 7 等边 60° 半角模型（压轴） 题型 8 等腰三角形存在性动点模型（压轴） 题型 9 等腰等边多结论模型（压轴小题） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 等边三角形平行线截割模型（共 4小题） 【模型】平行于等边一边的直线截另外两边，得到小等边三角形。 【辅助线】过一点作三角形一边的平行线。 【步骤】①作平行线，构造同位角得 60°；②判定新三角形为等边；③等量代换线段。 【易错】无平行线条件，直接判定小三角形为等边。 1．（25-26八年级上·山东德州·期末）已知如图1，在等边中，点E是上一点，延长到点D，使，． (1)若E是的中点，试判断的形状及的长； 拓展应用：当点E是上的任意一点时（不与A，B重合）（如图2）． (2)证明； (3)猜想、、三边关系，并说明理由． 【答案】(1)等腰三角形，12 (2) 证明：过点E作交AC于点F，如图 ，． 在等边三角形中，， ， ∴在中，， ． ， ， 在和中， ， ， ． (3) 猜想：，理由如下： 由（1）知，， 是等边三角形， ． 又， ， ． 【分析】（1）先推导出，得到，则，推导出是等腰三角形，进而得到，则，即可解答； （2）过点E作交AC于点F，得到，，推导出，，进而证明，则，即可解答； （3）先推导出是等边三角形，得到，进而证明，则，即可解答． 【详解】（1）解：是等边三角形，E是的中点， 平分，， ， ， ． 是的外角， ， ， 是等腰三角形 在等边三角形中，，E是的中点， ，， ． （2）略 （3）略 2．（25-26七年级下·山东济南·期末）问题解决 是等边三角形，点是直线上一点（不与，重合），点在射线上（不与，重合），且，连接，探究与的数量关系． (1)【特例探究】从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图1，当点在边的中点时，请你直接写出线段与的数量关系________________； (2)【数学思考】如图2，当点是边上任意一点时（不是中点），同学们讨论发现结论依然成立．小颖的思路是通过作，然后证明和全等，进而得到结论．请你依据小颖的思路写出完整的证明过程； 类比延伸： (3)【拓展应用】如图3，是等边三角形，点在边上，点在的延长线上，，与的平分线所在的直线相交于点，请写出，，的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)证明：如图2，过点作，交于点， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 又， ． 在和中， ，，， ， ； (3)结论： 证明：过作交于， 是等边三角形， ∴同理可得是等边三角形， ， ， ， 在中，，，， ， 平分， ， ， ， 在与中，， ， ， ． 【分析】（1）根据等边三角形的性质结合等角对等边即可得到与的数量关系； （2）添加辅助线，结合等边三角形的性质证明和全等，由此可证明； （3）添加辅助线，证明与全等，由此可得，再由边的关系证明即可． 【详解】（1）解：， ∵是等边三角形，点D在边的中点， ∴，，且平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略； （3）略． 3．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）综合实践 数学是一门充满乐趣，奥妙，又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”．几何图形变幻无穷，但只要我们借助图形的直观，从特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．于是数学课上，刘老师出示了以下的题目：如图，在等边中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： (1)【特殊情况，归纳猜想】如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出你的结论： （选填“”、“”或者“=”）； (2)【特例启发，推理证明】如图2，当不是的中点时，小优和小秀认为（1）中的结论仍然成立，所以他们尝试过点E作，交于点F．刘老师肯定了这种做法，请你帮助小优和小秀完成接下来的证明过程； (3)【拓展延伸，问题解决】当点E在的延长线上时，点D在边上，且，请自己画图，并探究（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【答案】(1)= (2)如图，过点作交于点， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (3)不发生变化，证明如下： 如图，过点作交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）过点作交于点，可证是等边三角形，得到，再证明，得到，即可求证； （）过点作交的延长线于点，同理（）证明即可求证； 【详解】（1）解：∵是等边三角形，点为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）略 4．（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）探究解题 【问题探究】 (1)如图，在等边中，点为边上的点，点在的延长线上，连接、，且． ①如图1，若点为的中点，，则的长为________； ②如图2，若点为边上任意一点，过作交于点，探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 (2)如图3，在形如等边三角形的市民公园中，、、均为步道，休息长椅D在步道BC的中点处，规划管理处计划在边的延长线上增设一个景观平台（周边的地可利用），要求景观平台到公园入口和休息长椅的距离相等（即），、为两条石板小路．已知米，石板小路与步道相交于点，在点处设置饮水补给站，求饮水补给站到公园入口的距离．（步道、石板小路的宽度忽略不计，公园入口、休息长椅、景观平台、引水补给站的大小均忽略不计） 【答案】(1)①1； ②，理由如下： ， ， ． ，即， ， ． ， 为等边三角形， ． ， ， 在和中，，，， ． ， ． (2)饮水补给站到公园入口的距离为900米 【分析】（1）①根据是等边三角形，，得出，，结合点为的中点，得出，根据，得出，即可得出，则，得出； ②根据，得出，结合，得出，根据，得出．证出为等边三角形，则．结合，得出，证明，得出，即可得． （2）如图3，过作交的延长线于点，则，，证明为等边三角形，则．证明，得出，再证明，得出，结合，即可得出． 【详解】（1）解：①∵是等边三角形，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②略 （2）解：如图3，过作交的延长线于点， 则，，． 为等边三角形， ． ， ． ， ． ， ， 在和中，，，， ， ． 点为的中点， ，， ． ， 在和中，，，， ． ． ． ，即饮水补给站到公园入口的距离为900米． 题型 2 等腰三角形三线合一模型（共 5 小题） 【模型】等腰顶角平分线、底边上中线、底边上的高三线合一。 【辅助线】遇等腰，作底边上的高（或顶角平分线 / 底边中线）。 【步骤】①等腰三角形，作底边垂线；②同时得到垂直、平分底边、平分顶角；③转化边角。 【易错】对腰作高，误用三线合一结论。 5．（26-27八年级上·青海·期中）如图，点在线段上，，，，是的中点． (1)求证： (2)直线与直线有怎样的位置关系？证明你的结论． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)解：，理由如下， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴． 【分析】（1）根据平行线的性质得到内错角相等，再根据即可证明； （2）由全等三角形的性质得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得到． 【详解】（1）证明：略 （2）解：，理由略 6．（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，点D是的中点，于点E，于点F． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵，点D是的中点， ∴平分（等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合，三线合一）． (2)证明：∵平分，，， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一进行证明即可； （2）根据角平分线的性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 7．（26-27八年级上·天津南开·阶段检测）已知，中，，，点，分别在，边上， ． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 ． 类比思考： (2)如图2，若，且点是边上的任意一点，小颖发现的度数为定值．求的度数； 联系拓广： (3)如图3，将问题情境中的“点，分别在，边上”改为“点，分别在、的延长线上”，其余条件不变．直接写出的度数 （用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得，，再根据角之间的数量关系，计算即可求解； （2）根据等腰三角形的性质，可得，再根据外角的性质和角之间的数量关系，可得； （3）根据等腰三角形的性质，可得，再根据角之间的数量关系和三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解： ， 是等腰三角形， 平分，， ，，即， ， ， ； （2）解： ，， ， ，， ， 则的度数为； （3）解： ，， ， ， ， 则的度数为． 8．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，垂直平分，分别交，于点，，且满足． (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由等腰顶角求底角，依托三线合一得到，借助三角形外角建立角度等式算出； （2）利用三线合一推出，对周长做线段等量代换，结合转化线段，代入长度求出周长． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 解得； （2）∵，， ∴， ∴， ∴的周长：， 由（1）知：， ∴， ∴的周长：． 9．（2026·湖南长沙·三模）如图，中，，是的中线．以点为圆心，的长为半径作弧，分别交，于点，，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：， ∴， 以点为圆心，的长为半径作弧，分别交，于点，， ∴， ∴ ∵为的中线， ． 在和中， ， ； (2)的度数为 【分析】（1）由作图知：，得到．由可证明； （2）由等腰三角形的性质求出，由作图知：．得出，进而利用三角形内角和即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：，为的中线， ， ∵， ， 由作图可得， ， ∴， 又， ∴． 提升·进阶突破 题型 3 维维安尼模型（等边内点垂线段定值）（难点）（共 2 小题） 【模型】等边内任意一点向三边作垂线，三条垂线段之和 = 等边的高。 【辅助线】过内部点，分别向三边作垂线段。 【步骤】①连接该点与三个顶点，分割成三个小三角形；②面积法列等式；③推导线段和为定值。 【易错】点在三角形外部，直接套用 “线段之和等于高”。 10．（23-24八年级上·安徽六安·阶段检测）阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． (1)深入探究 将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； (2)理解与应用 当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：，理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； (2) 解：，理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积； （1）连接、、，利用计算即可； （2）连接、、，利用计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 11．（2023·广西贵港·模拟预测）阅读理解学习 如图，在中，，是的高，是边上一点，，分别与直线垂直，垂足分别为，求证：．小刚发现：连接，有，即，由可得． 请你模仿小刚的思路或者用你的新思路解决以下问题： (1)如图，当点在的延长线上，且上面问题中其它条件不变时，请直接写出此时线段之间的数量关系______． (2)如图，当点是内一点，且，是的高，分别与直线垂直，垂足分别为点，猜想此时线段之间的数量关系是______．并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（）连接，由的面积的面积的面积，得到 ，又，即可推出； （）连接，由，得到，又，即可证明； 本题考查了三角形的面积，等腰三角形、等边三角形的性质，掌握面积法解答问题是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接， ∵，，， ∴的面积，的面积，的面积， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：． 理由：连接， ∵是的高，分别与直线垂直， ∴的面积，的面积，的面积， 的面积， ， ∴， ， ， 故答案为：． 题型 4 等腰三角形一腰上的高分类模型（共 4 小题） 【模型】等腰顶角分锐角、钝角两类；高位置一内一外。 【辅助线】分两种情况画出腰上的高。 【步骤】①分类画图；②利用直角互余求顶角；③检验图形合理性。 【易错】只画高在内部，漏掉钝角等腰三角形。 12．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，它的底角为________． 【答案】 或 【分析】需分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，分别计算即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论：当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，设等腰三角形，为边上的高， ， ， ， ， ， ； 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，设等腰三角形，为延长线上的高， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，该等腰三角形的底角为或． 13．（25-26八年级上·广东湛江·阶段检测）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形底角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的外角的定义及性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，需分为锐角三角形和为钝角三角形两种情况讨论，分别计算底角． 【详解】解：设等腰三角形中，，作腰上的高，垂足为D， 则，． ∵与的夹角为，即， ∴在中，． 当为锐角三角形时， 点D在上，， ∴底角． 当为钝角三角形时， 点D在的延长线上，， ∴， ∴底角． 综上，底角为或， 故选：C． 14．（25-26八年级上·山东日照·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的底角的度数是（） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形性质及高的位置分类讨论，注意高在三角形内部或外部时顶角的不同求法． 分三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，利用直角三角形性质求顶角或顶角补角，再根据等腰三角形内角和求底角． 【详解】当三角形为锐角三角形时，如图1，    设等腰中，于D，． 在中，， ∴， ∴底角． 当三角形为钝角三角形时，如图2， 的延长线于D， 在中，， ∴， ∴， ∴底角． 综上，底角为或． 故选：C． 15．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知等腰腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角的度数为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况． 【详解】解∶本题有两种情况如图 当为锐角三角形时，如图1， 由题可知，， 三角形的顶角为． 当为钝角三角形时，如图2， ， ． ， ． 三角形的顶角为． 故答案为：或． 题型 5 连环等腰递推模型（共 3 小题） 【模型】外角构造新等腰，层层传递等角。 【辅助线】标记所有相等角，必要时延长线段构造外角。 【步骤】①标记第一组等角；②外角定理推导下一组等角；逐层推导。 【易错】角度代换混乱，找不到边角传递关系。 16．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管、、⋯添加的钢管长度都与相等，则最多能添加这样的钢管（   ） A．2根 B．4根 C．5根 D．无数根 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．利用三角形的外角性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算求解． 【详解】解：如图，∵，， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 故，不能再添加了． 综上，最多能添加这样的钢管5根． 故选：C． 17．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在第1个中，，，在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个，在边上取一点E，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第2026个三角形中以为顶点的底角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的底角度数． 【详解】解：在中，，， ， ，是的外角， ； 同理可得，， 第个三角形中以为顶点的底角度数是． 第2026个三角形中以为顶点的底角度数是， 故选：D． 18．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，在第1个中，，，在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个……按此做法继续下去，则第2025个三角形中，以为顶点的底角的度数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键． 根据等腰三角形的性质，由，，得，，那么；由，得，根据三角形外角的性质，由，得，以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， …， 以此类推，以为顶点的底角度数是， ∴以为顶点的底角度数是． 故答案为：． 拔高·压轴破难 题型 6 共顶点等边手拉手模型（重难点）（共 8 小题） 【模型】两个等边共顶点，拉手边相等，夹角 60°。 【辅助线】连接两组拉手线段。 【步骤】①识别共顶点双等边；②角的加减得到夹角相等；③证边角关系，得结论。 【易错】找不到夹角相等，辅助线连接线段错误。 19．（25-26七年级下·河南郑州·期中）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型初现】 (1)如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A．    B．    C．    D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 (2)如图2，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边，、交于点，证明：，并求出的度数； 【模型深化】 (3)如图3，、是等腰直角三角形，，，，连接、，探究、的数量关系与位置关系，并给出证明； 【拓展延伸】 (4)如图4，是等腰直角三角形，其中，，，连接，请直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)C (2) 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∵，， ∴ ， ∵， ∴ ； (3) ，且， 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设交于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴； (4) 【分析】（1）通过角的和差运算得到两边的夹角相等，结合已知的两组等边，可用判定三角形全等； （2）先利用等边三角形的边、角性质证得 ，再通过角的等量代换结合三角形内角和求出； （3）由角的和差得夹角相等证得 ，再通过角的转化证明两线夹角为，得出 ； （4）利用“同角的余角相等”推出，再代入的内角和定理得到三个角的数量关系． 【详解】（1）解：，，，符合“两边及其夹角对应相等”的全等判定定理； （2）略 （3）略 （4）解：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是手拉手模型的经典呈现，核心是共顶点等腰三角形通过证全等，得对应边相等且夹角等于原顶角，拓展题则巧用同角的余角相等结合三角形内角和完成角的转化． 20．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图1，在中，分别以为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为___________，位置关系为___________； (2)类比探究 如图2，已知，以为边分别向外作等边和等边，交于点，求的大小． (3)解决问题 如图3，已知点在等边的外部，并且点与点位于线段的异侧，连接．若，，，则的长为___________． 【答案】(1)， (2) (3)5 【分析】（1）设交于点，结合等腰直角三角形的定义，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，即可证明； （2）结合等边三角形的性质，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，再证明，然后由三角形内角和定理即可获得答案； （3）在上取点，使得，证明为等边三角形，利用“”证明，，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，设交于点， ∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：，； （2）∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）如下图，在上取点，使得， ∵，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了“手拉手模型”的应用，涉及的知识点包括全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义、三角形内角和定理等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题关键． 21．（24-25七年级下·山东济宁·期末）【问题提出】如图，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 (1)在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图，若点在边上，求证：． ②如图，若点在边的延长线上，线段之间的数量关系为______，并加以说明． (2)如图，在等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出之间的数量为______．（直接写出结论不用说明理由） 【答案】(1) ①证明：如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ② 证明：如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． (2)． 【分析】（1）①如图，过点作，交于点，易证是等边三角形，得出，证明，得出，即可得出结论； ②如图，过点作，交于点，易证是等边三角形，得出，证明，得出，即可得出结论； （2）先根据等边的性质结合三角形的内角和定理和外角的性质推出，再如图，在上截取，连接，易证是等边三角形，证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：①略 ②略 （2） 证明：∵是等边三角形， ∴，． 又∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴，． ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形全等的性质和判定，三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 22．（25-26七年级下·山东济南·期中）【模型构建】 如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．如果把的腰看作大手，的腰看作小手，，可视作大手拉着小手，这就是“手拉手模型”．可探究和的数量关系． 探索思路如下： ， （___________）， 即（___________）， 在与中， ， （___________）， （___________）． (1)请在上面（   ）中填写适当的理由． 【深入探究】 (2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断直线、的数量关系和位置关系并证明： 【拓展应用】 (3)如图③，在中，，点为的中点，以为边在下方构造等边，连接，，．已知点到的距离为1，的面积为，求的值． 【答案】(1)等式性质；；；全等三角形的对应边相等 (2) ，；证明如下： 延长与交于点H， 和为等腰直角三角形， ，，，， ， 即， （）， ，， ， 即． (3) 【分析】（1）根据三角形全等的判定与性质填空即可； （2）延长与交于点H，类比（1）的证明方法，先证明，得到，，再证明即可； （3）以为边向右上方作等边三角形，延长，交于点F，连接，根据已知先求出，然后证明根据全等三角形的判定与性质，逐步证明，，，即可求得答案． 【详解】（1）解：， （等式性质）， 即， 在与中， ， （）， （全等三角形的对应边相等）． （2）解：略； （3）解：以为边向右上方作等边三角形，延长，交于点F，连接， 点M到的距离为1，的面积为， ， ， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ，， 点为的中点， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】对于图形变换问题，要把握好图形变换前后解题思路的延续性，用类似的方法解答． 23．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接，若，试说明点B，点D，点E在同一直线上； (3)如图3，已知点E在等边外，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，猜测线段三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点B，点D，点E在同一直线上； (3) 解：结论：，理由如下， 如图3，在线段上取一点H，使得，设交于点O， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形的内角和等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理证明结论； （2）根据题意得到证明，证明，得到，进而得到答案； （3）在线段上取一点H，使得，证明，得到，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，结合图形计算，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ______________________． (2)如图，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，则 ___________． (3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3) 且，理由如下： 如下图所示， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ∴． 【分析】（1）由，可证，根据全等三角形的判定证明即可； （2）先根据等边三角形的性质得到，，，再证明得到，再利用的外角性质求得即可求解； （3）证明得到，，进而利用三角形的内角和定理证明即可． 【详解】（1）（1）解：， ， ， 在和中，， ， 故答案为：，； （2）解：等边和等边， ，，， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）略 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握“手拉手全等模型”，能找到全等三角形是解答的关键 25．（25-26八年级上·山东济南·期中）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （1）等边三角形中，E是边上一定点，D是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图2，若点D在边上，线段、、之间的关系为______（直接写出结论）； ②如图3，若点D在边的延长线上，试证明线段、、之间的关系； （2）如图4，等腰中，，，，且交于点D，以为边作等边，直线交直线于点F，连接交于点M，写出、、之间的数量关系，并加以说明． 【答案】 问题提出：证明：∵、都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 方法应用：（1）①； ②证明：过点作，交于点，如下图： 是等边三角形，， ，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：，是等边三角形， ，，， ，， 在中， ， ， ，， 垂直平分， ， ， ， 如下图，在上截取， ，， 是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， ， 。 【分析】问题提出：根据等边三角形的性质可得，再通过角的转换可得，进而可证明，则可证明； 方法应用：（1）①过点E作，交于点，可证是等边三角形，得到，，再证明，得到，进而由即可求证；②过点E作，交于点，同理①证明是等边三角形和即可求证； （2）由等边三角形的性质得，，，即得，，进而可得，得到，又由线段垂直平分线的性质得，得到，即得到，在上截取，可得是等边三角形，进而可证，得到，由得，即可求解． 【详解】解：问题提出：略 方法应用：（1）证明：过点E作，交于点G，如下图： 是等边三角形，， ，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②略 （2）略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确画出辅助线是解题的关键． 26．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】（1）如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （2）等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为______． （3）如图4，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则最小值是______． 【答案】 （1）证明：∵都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：过点E作，交于点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②； （3）有最小值，最小值为； 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质． （1）证明，即可证明； （2）①过点E作，交于点G，先证明是等边三角形，再证明，得出，即可得出结论； ②过作，交的延长线于点，由平行线的性质易证，得出为等边三角形，则，证明，得出，即可得出； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：；理由如下： 是等边三角形， ， 如图3，过作，交的延长线于点， ， ，， ， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 即； （3）解：有最小值，最小值为； 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 题型 7 等边 60° 半角模型（压轴）（共 4 小题） 【模型】等边顶角含 30° 半角，存在线段和差关系。 【辅助线】旋转：将含半角一侧三角形绕等边顶点旋转 60°，使等边两边重合。 【步骤】①旋转构造全等；②转化线段；③证明线段和差等式。 【易错】旋转方向不对，不会构造全等。 27．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图1，已知是边长为6的等边三角形，以为底边作一个顶角为的等腰三角形．点M，N分别是边与边上的点，并且满足． 要想证明为的平分线，刘同学做了如下思考，如图2，延长至点F，使，连接，通过证明① ，得到，进而证得② ，得证为的平分线； (1)请你将刘同学的思考过程补充完整．①______，②______． (2)在刘同学的思路下求的周长； (3)当点D在内部时，其他条件不变，直接写出的周长． 【答案】(1)，， (2)12 (3)6 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． （1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的性质得到，如图所示，延长至点F，使，连接，可证明，得到，，再证明，即可求解； （2）根据（1）中三角形全等得到，结合三角形周长的计算即可求解； （3）如图所示，延长交于P，延长交于Q，令，连接，证明，得，，再证明，得到，，最后证明，得，结合三角形周长的计算即可求解． 【详解】（1）解：∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∵以为底边作一个顶角为的等腰三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 如图所示，延长至点F，使，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 故答案为：①，②； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为：． （3）解：如图所示，延长交于P，延长交于Q，令，连接， ∵是等腰三角形，且， ∴，，， ∵等边三角形， ∴， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长为． 28．（2025八年级上·全国·专题练习）【综合与探究】如图1，已知是边长为3的等边三角形，以为底边作一个顶角为的等腰．分别在边、上取点M、N，使． (1)小宛猜想是的平分线，作了如下思考，如图2，延长至F，使，连接，通过证明________，得到，再证明________，即可得到是的平分线； (2)请结合小宛的思路，完整证明他的猜想，并求出的周长； (3)当点D在内部时，其他条件不变，直接写出的周长． 【答案】(1)， (2) 证明：，， ， ， ， ． ， ， ，． ，， ， ， ． ，， ， ，． 平分． ， ． 的周长为：． (3)的周长为3 【分析】本题主要考查了全等三角形的综合问题，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）根据题意填写即可． （2）先证明，由全等三角形的性质得出，．利用角度的和差关系进一步证明，由全等三角形的性质可得出，，即可得出平分．再根据三角形的周长公式计算即可． （3）延长交于点，延长交于点，作，连接，先证明，再证明和证明，由全等三角形的性质以及等量代换求解三角形的周长即可． 【详解】（1）解：小宛猜想是的平分线，作了如下思考，如图2，延长至F，使，连接，通过证明 ，得到，再证明 ，即可得到是的平分线； 故答案为：， （2）略 （3）解：延长交于点，延长交于点，作，连接，如图． 是等腰三角形，且， ，，． 是等边三角形， ， ，，， ，， 在和中，， ， ，． ，， ， 在和中，， ， ，． ，， ， ， 即， 在和中，， ， ． 的周长为： ． 29．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，根据三角形全等的条件，可以得到，从而根据三角形全等的性质得到，由，进而得到，这样，就可以根据三角形全等的条件，确定，则可得到、、之间的数量关系是 ． 【探索延伸】 (2)如图2，在四边形中，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【答案】(1) (2)上述结论仍然成立；理由如下： 如图所示，延长到，使，连接， ∵， ， 又，， ， ∴，，（全等三角形的对应角、对应边相等） ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ， 即：，结论仍然成立． 【分析】（1）由，可得，而，则可得； （2）延长到，使，连接，可证得，，从而得到，结论仍然成立． 【详解】（1）解：、、之间的数量关系是， ∵，   ∴， ∵，， ∴； （2）略 30．（22-23八年级上·河北唐山·期中）问题背景： (1)如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段、、之间的数量关系，嘉琪同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_________． (2)探索延伸：①如图2，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． ②如图2，若五边形的面积为30，，，直接写出点到的距离． 【答案】(1) (2) ①结论仍然成立 延长到点，使，连接， ∵，， ∴ 在和中， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，． 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ②3 【分析】（1）由题意可直接得出； （2）①延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论；②利用①中的结论，再用三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解： ∴， ∵， ∴ 即 （2）解：①略． ②点到的距离即的高 由①可得，， 则， 解得， 即点到的距离为3 【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，构造全等三角形是解题的关键． 题型 8 等腰三角形存在性动点模型（压轴）（共 4 小题） 【模型】定线段 AB，动点 P 在直线上，构成等腰△ABP，两圆一线找点。 【辅助线】①以 A 为圆心 AB 长画圆；②以 B 为圆心 AB 长画圆；③作 AB 垂直平分线。 【步骤】①用 “两圆一线” 画出全部动点；②分类讨论三种等腰情况；③检验点是否在限定轨迹。 【易错】漏画点，不检验动点范围。 31．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线” （1）下列三角形，不存在“和谐分割线”的是　 　 （ 填序号） ①等边三角形     ②等腰直角三角形    ③顶角150°的等腰三角形 （2）如图2，Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝2，试探索Rt△ABC是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由． （3）如图3，△ABC中，∠A＝42°，若线段CD是△ABC的“和谐分割线”，且△BCD是等腰三角形，求出所有符合条件的∠B的度数． 【答案】（1）①③；（2）存在“和谐分割线”， ；（3）或． 【分析】（1）根据“和谐分割线”的定义，分别对等边三角形、等腰直角三角形、顶角150°的等腰三角形进行判别即可，其中顶角150°的等腰三角形分2种情形讨论：i、等腰三角形时，ii、等腰三角形时，分别分析解答即可； （2）如图作的平分线，只要证明线段是“和谐分割线”即可，并根据直角三角形的性质求的长； （3）分2种情形讨论：①当时，②当时，设，然后分别分析求解即可． 【详解】解：（1）①如下图示，是等边三角形， 则有，据此可得，在内部，无法再作出一条线段，使得其等于或或， 即：等边三角形无法再分割出一个等腰三角形， ∴等边三角形不存在“和谐分割线”； ②根据题目的引例和图1，可知，等腰直角三角形存在“和谐分割线”； ③如下图示，是顶角150°的等腰三角形， 即，， i、当线段将分成两个三角形和，其中是等腰三角形时， 则有：，， ∴，， ∴和原三角形的三个内角不相等， ii、当线段将分成两个三角形和，其中是等腰三角形时， 即：，则有：， ∴， ∴ 即：和原三角形的三个内角不相等， ∴顶角150°的等腰三角形不存在“和谐分割线”； 综上所述，不存在“和谐分割线”的是①③； （2）存在“和谐分割线”，理由是： 如图作的平分线， ，， ∴, ∴ ， ， 是等腰三角形， ∴ ∴和中 ，，， 线段是的“和谐分割线”， ∵， ∴ ∴ 又∵ 即： ∴ ∴; （3）如图3中， ∵线段是的“和谐分割线”，且是等腰三角形，， ∴分2种情形：①当时， 则有 设，则 可得． ②当时， 即，且 设，则， 可得． 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、30°角的直角三角形的性质、“和谐分割线”的定义等知识，读懂题意，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． 32．（22-23八年级上·浙江金华·阶段检测）（1）如图1，线段的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． （2）如图1，如果与直线l所成的锐角为60°，以为一边画等腰三角形，并使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． 想一想：如图2，中， ，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画　 　条． 算一算：如图3，在中，，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数． 【答案】（1）4；（2）2；想一想：5；算一算：5°或20°或80°或140°或42.5°． 【分析】（1）根据等腰三角形的定义，两条边相等的三角形是等腰三角形即可得到结论； （2）同（1）原理，理论上可以画4个，但是重合，由此即可得到答案； 想一想：分五种情况：①当，②当，③当，④当，⑤时，于是得到结论； 算一算：如图3，当，分三种情况：①当时；②当时；③当时；如图4，当时；如图5，当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，①，②；③，④，这样的等腰三角形能画4个． 故答案为：4； （2）同（1）可知满足题意的点有4个， ∵与直线l所成的锐角为60°， ∴都是等边三角形， ∴三点重合， ∴满足题意的点只有2个， 故答案为：2； 想一想：①当，②当，③当，④当，⑤时，过顶点C作一条直线，能分割出一个等腰三角形， ∴过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条， 故答案为：5； 算一算：如图3，当时， ∴， ∴， ∴①当时，； ②当时，； ③当时，； 如图4，①当，时， ∵， ∴， ∴， 如图5所示，当时， ∴， ∴ 综上所述，存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，∠B的度数为5°或20°或80°或140°或42.5°． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与定义，三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的关键． 33．（24-25八年级上·广东汕头·期中）（1）已知中，， ①求出与的度数． ②请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来，只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数） （2）已知中，是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系． 【答案】（1）①，； ②如图（共有2种不同的分割法）． （2）或或或，是小于的任意角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质． （1）①先由，得，进而可得与的度数； ②已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上； （2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系． 【详解】解：（1）①∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②略 （2）设，，过点B的直线交边于D．在中， ①若是顶角，如图1， 则，，而，此时只能有， ∴ ∴， ∴； ②若是底角， 第一种情况：如图2， 当时，则，中，，， 由，得，此时有，即， 由，得，此时，即， 由，得，此时，即，为小于等于的任意锐角， 第二种情况，如图3， 当时，，，此时只能有， 从而，这与题设是最小角矛盾， ∴当是底角时，不成立， 综上，与之间的关系是：或或或，是小于的任意角． 34．（24-25八年级上·广东广州·期末）阅读两则材料，然后根据材料解决问题： 【材料一】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 【材料二】从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形互为“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 解决以下4个问题： (1)如图1，在中，，，，写出图中的一对“等角三角形”； (2)如图2，中，，，是的角平分线．求证：为的“等角分割线”； (3)在中，，是的等角分割线，则的度数可以是（   ） A．    B．    C．    D． 【答案】(1)与（答案不唯一） (2) 证明：∵在中，，， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为的等角分割线； (3)ACD 【分析】（1）根据等角三角形的定义解答即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据等角三角形的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴与，与，与是等角三角形； （2）略 （3）解：∵是的等角分割线， ∴， 当是等腰三角形，和是等角三角形时， ①如图，时，， ∴， ∴；    ②如图，时，，   ， ∴， ∴； ③时，， ∴，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 当是等腰三角形，和是等角三角形时， ④如图，时，   ， ⑤如图，时， ，    设， 则， 由题意得，， 方程无解，不符合题意，舍去， ⑥如图，时， 设，则， ∴， 解得， 综上的度数为或或或， 故选：ACD． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等角三角形的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，一元一次方程的应用等知识，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 题型 9 等腰等边多结论模型（压轴小题）（共 8 小题） 【模型】多等腰、等边叠加，判断多个命题真假。 【辅助线】按需作高、连线、旋转、平行线。 【步骤】①逐个推导结论；区分模型结论与陷阱；②辅助线按需添加。 【易错】凭图形直观判断，不严谨推导。 35．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）如图，和均是等边三角形，A，C，B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】利用等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵和均是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴，故①正确，符合题意； ②∵和均是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③由①得， ∴， 由②得， 又， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④由③得， ∴，故④正确，符合题意； ⑤由③得，由②得， ∴为等边三角形， ∴，故⑤正确，符合题意； 故①②③④⑤五个结论全部正确． 36．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，，分别是的内角和外角的平分线，且，平分交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由题意易得，，，然后可得，，过点作，则有，设，进而根据角平分线的定义及角的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵，分别是的内角和外角的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； 过点作， ∵，分别是的内角和外角的平分线， ∴， ∴平分， ∴， 设， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的有①②③④． 37．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，中，，，D是的中点，点E、F分别在边上，且．以下四个结论：①；②；③；④．上述结论正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质和同角的余角相等证明全等，可判断①；的长是变化的，而是定值，可判断②；由全等三角形的性质得到，再由线段的和差关系可判断③；根据等边对等角和三角形外角的性质，可判断④． 【详解】解：∵中，，，D是的中点， ，，， ， ， ， ， ，故①正确； ∴， ∴， ∵的长是变化的， ∴的长是变化的，而的长是定值， 和不一定相等，故②错误； ∵， ∴， ，故③正确； ∵， ， ， ， ， ，故④正确； ∴正确的有①③④． 38．（25-26八年级下·安徽宿州·期中）如图，是等边三角形，，分别为，边上的点，且，，相交于点，连接并延长到点，与相交于点，延长到点，连接，，若，，点是的中点，下列结论： ； ； ； ，其中正确结论的序号是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，则，再通过三角形的外角性质即可判断；设，则，所以，再通过角度和差，即可判断；由，则有，可得，即，即可判断；延长到，使，连接，证明，，通过全等三角形的性质等知识，即可判断． 【详解】解：为等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ，故错误； ， 设，则， ， ， ， ， 又， ，故正确； ， ， ， ，即， ， ，故错误； 延长到，使，连接，如图， 又，， ， ， 又，， ，即， 又， ，即， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ，故正确， 综上可得：正确． 39．（25-26八年级上·广东韶关·阶段检测）在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有（    ）个． ①； ②； ③连接，则有是等边三角形； ④连接，则有垂直平分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据证明即可； ②证明，得出，即可证明； ③根据，得出，根据，得出，证明不可能是等边三角形； ④根据，得出，，说明点M、B在线段的垂直平分线上，证明垂直平分． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∵在中， ∴， ∴不可能是等边三角形，故③错误；    ④∵， ∴，， ∴点M、B在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，故④正确；    综上分析可知，正确的有3个． 40．（25-26八年级上·重庆合川·期末）如图，是的高，，是以为斜边的等腰直角三角形，连接，，延长交于点，下列结论：①；②；③；④；其中正确的有（   ） A．①②④ B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质，证，即可求证：，可判断④；根据④结论可得，，根据，得出，即，根据，得出，即可得，则，可判断①；根据等腰三角形的判定可得，根据三角形中线性质可得，证明，则，即可得，可判断③，无法证明，故②错误． 【详解】解：①∵为的高线， ， ∵是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ，故④正确； ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴，故③正确； 假设， ，， ，但题中不能证明一定等于， 不一定等于，故②错误； 故选：D． 41．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，是的角平分线，是上一点，且，连接，过点作于点，连接．有下列结论：①；②；③．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理得，再根据角平分线定义及直角三角形的性质得，可判断②；连接，根据“”证明，推出是的角平分线的交点，说明，可判断③；再根据等边对等角即可判断①． 【详解】解：，， ． ， ． 平分， ， ， ，故结论②正确； 如图，连接． ， ， ， ． 在中 ， ， 是的平分线． 平分， 是的角平分线的交点， 平分， ，故结论③正确； 又， ， ， ，故结论①正确． 综上所述，其中正确的有①②③，共个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义及性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 42．（25-26八年级上·北京通州·期末）如图，在等边中，，点是的中点，点是上一动点，连接，在的右侧作等边，连接，下列结论：①；②；③；④的周长最小值是6；⑤的大小随着点的移动而发生变化；⑥当的周长最小时，．其中正确的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短． 利用等边三角形的性质可判断①；证明，可得可判断②③⑤；当最小时，即点运动到点时，的周长最小，可判断④；取的中点，可得，即三点共线时，的周长最小，可判断⑥． 【详解】解：在等边中，点是的中点， ，故①正确； 是等边三角形，是等边三角形， ， ，即， ， ，，故②正确，⑤错误； ， ， ，故③正确； 当最小时，的周长最小， 根据垂线段最短，可得点运动到点时，的周长最小， 此时， 的周长最小为，故④正确； 如图，取的中点， ， ， ， 的周长等于的周长为， ， ， 根据两点之间线段最短，可得三点共线时，最短，即的周长最短， 为等边三角形，， ， 所以的周长最短时，，故⑥错误， ， 综上，正确的为①②③④，共4个， 故选：B． $