专题04 轴对称基础、垂直平分线与等腰等边三角形7题型30题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材人教版

专题04 轴对称基础、垂直平分线与等腰等边三角形 基础·固本强基 题型 1 识别轴对称图形，确定对称轴 题型 2 线段垂直平分线性质与判定（重点） 题型 3 等腰三角形性质：等边对等角（重点） 题型 4 等腰三角形判定：等角对等边（重点） 提升·进阶突破 题型 5 等边三角形性质与判定 题型 6 等腰三角形边长、角度的分类讨论（重难点） 拔高·压轴破难 题型 7 垂直平分线 + 等腰三角形 + 全等综合证明（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 识别轴对称图形，确定对称轴（共 5 小题） 【模型】沿一条直线对折，直线两旁部分能够完全重合即为轴对称图形；这条直线是对称轴。 【步骤】①想象沿直线对折；②观察两边能否完全重合；③数清对称轴条数。 【易错】对称轴是直线，不是线段；容易漏数、多数对称轴。 1．（26-27八年级上·辽宁·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·辽宁·期中）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列标志中，不是轴对称图形的是（     ） A．B．C．D． 4．（16-17八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，直线是四边形的对称轴，点在上．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，与关于直线l对称，连接交对称轴l于点 M，若，，则下列说法不一定正确的是（    ） A．且 B． C． D．与的周长相等 题型 2 线段垂直平分线性质与判定（重点）（共 6 小题） 【模型】性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端距离相等；判定：到线段两端距离相等的点，在线段垂直平分线上。 【步骤】①看到垂直平分线，直接转化线段相等；②判定题，找两组等距点确定垂直平分线；③结合全等证明。 【易错】混淆性质与判定；直接使用结论不写条件。 6．（26-27八年级上·全国·课后作业）下列尺规作图是作线段的垂直平分线的是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为15，，则的长为（     ） A．11 B．12 C．7 D．6 8．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）某幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（     ） A．三条边的垂直平分线的交点处 B．三个角的平分线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条中线的交点处 9．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，中，垂直平分，分别交、于点D、E，连接，的周长为，，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 10．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线，分别交于点P、D，连接．若点到的距离相等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图①，在中，是的中点，于，于，． (1)求证：平分； (2)如图②，连接，求证：垂直平分． 题型 3 等腰三角形性质：等边对等角（重点）（共 6 小题） 【模型】等腰三角形两腰相等，两底角相等；等腰三角形 “三线合一”。 【步骤】①识别等腰，标记相等的腰；②等边对等角转化角度；③三线合一可同时得到垂直、平分。 【易错】三线合一只能用于等腰三角形顶角平分线 / 底边上中线 / 高；不能随便套用。 12．（25-26八年级上·广东汕头·期中）在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为，连接．已测得，则（    ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数为（     ） A． B．或 C． D．或 15．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，是的边上一点，的垂直平分线交于点，垂足为，以点为圆心，为半径画弧交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，点在边上，连接，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（     ） A．3 B．2 C．1.5 D．1.2 题型 4 等腰三角形判定：等角对等边（重点）（共 5 小题） 【模型】在同一三角形中，两个角相等，则两角对边相等，三角形为等腰三角形。 【步骤】①寻找一组相等内角；②推出对边相等，判定等腰；③结合外角、内角和求角。 【易错】必须是同一个三角形内等角对等边；跨三角形不能使用。 18．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 19．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，已知，，和相交于点O． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 20．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，是的平分线，，交于点． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 21．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，平分，连接，且，过点D作交于点E．求证： (1)为等腰三角形； (2)． 22．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）如图1，在中，和的平分线相交于点，过点作，分别交和于点和． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的周长． 提升·进阶突破 题型 5 等边三角形性质与判定（共 4 小题） 【模型】等边三角形三边相等，三角均为 60°；判定：三边相等 / 三角相等 / 有一个角 60° 的等腰三角形。 【步骤】①识别等边三角形，直接用 60° 角；②判定优先看 “等腰 + 60°”；③角度线段转化。 【易错】忽略判定前提：必须先是等腰，再加 60° 角才能证等边。 23．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 24．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是外一点，且，过点作，分别交，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 25．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，点是等边内一点，是外一点，，，，，连接． (1)当时，试判断的形状，并说明理由； (2)当是等腰三角形时，直接写出的度数． 26．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，为直线上一动点（不与点，重合），在的右侧作，使得，，连接． (1)当在线段上时，易证，判定全等的理由是______． (2)请判断点在何处时，，并说明理由． (3)当时，若中最小角为，直接写出的度数． 题型 6 等腰三角形边长、角度的分类讨论（重难点）（共 2 小题） 【模型】等腰没有指明腰、底，锐角钝角不确定，必须分情况讨论。 【步骤】①情况 1：已知边为腰；情况 2：已知边为底；②用三边关系检验；③角度分顶角 / 底角讨论。 【易错】不检验三边关系，出现无效解；漏情况，只算一种答案。 27．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）结合图形，解决问题： (1)如图1，在四边形中，平分，，，则与数量关系是____________． 性质探究 (2)如图2，在四边形中，平分，，，则（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请根据图2的情况加以说明；若不成立，请说明理由． 问题拓展 (3)如图3，在中，，，平分，，点E为边上一点，当时，请直接写出线段的长． 28．（25-26八年级下·河南郑州·期中）【理解问题】 如图1，在和中，，，点A，D在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做美好等腰三角形．在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点D在上，，，垂足为E，的延长线与交于点F，点G在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】①小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，若，请直接写出的度数． ②参考小颖的问题尝试提出一个新的问题（不用解答）． 拔高·压轴破难 题型 7 垂直平分线 + 等腰三角形 + 全等综合证明（难点）（共 2 小题） 【模型】垂直平分线转移等线段，等腰提供等角，结合全等完成证明。 【步骤】①由垂直平分线得到边相等；②得到等腰、等角；③寻找全等条件，完成证明。 【易错】条件转化跳步；分不清哪些线段可以等量代换。 29．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）【问题背景】综合实践课上，王老师给出了这样一道题：在等边右侧作射线，（），点A关于射线的对称点为点D，连接．求的大小（用含的代数式表示）． 小明读完题后很快给出了解法：如图，连接．点A关于射线的对称点为点D， 为的垂直平分线 ， 根据等腰三角形的三线合一性质可得． 是等边三角形，，，，． ． 【变式拓展】为了帮助学生更好地掌握几何推理计算和证明方法，感悟数学思想，王老师对上述问题进行了变式和拓展，请你解答下面问题：已知等边，过顶点C作射线，（），点B关于射线的对称点为点D，交于点E，射线交于点G，连接． (1)如图1，若射线在边右侧， ①求的大小（用含的代数式表示）； ②求证：． (2)如图2，若射线在边左侧，且，，请直接写出的长为 ． 30．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知：如图，，，的垂直平分线分别交，于点，点，连接． (1)如图，求证：平分； (2)若点是线段上的一点（点不与点，，重合），现以为一边，作，使得点，在直线的同侧，且． ①求证：、、三点共线； ②试探究，与之间的数量关系，并说明理由． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 轴对称基础、垂直平分线与等腰等边三角形 基础·固本强基 题型 1 识别轴对称图形，确定对称轴 题型 2 线段垂直平分线性质与判定（重点） 题型 3 等腰三角形性质：等边对等角（重点） 题型 4 等腰三角形判定：等角对等边（重点） 提升·进阶突破 题型 5 等边三角形性质与判定 题型 6 等腰三角形边长、角度的分类讨论（重难点） 拔高·压轴破难 题型 7 垂直平分线 + 等腰三角形 + 全等综合证明（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 识别轴对称图形，确定对称轴（共 5 小题） 【模型】沿一条直线对折，直线两旁部分能够完全重合即为轴对称图形；这条直线是对称轴。 【步骤】①想象沿直线对折；②观察两边能否完全重合；③数清对称轴条数。 【易错】对称轴是直线，不是线段；容易漏数、多数对称轴。 1．（26-27八年级上·辽宁·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A、该图形为“人”的图形，找不到任何一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则不是轴对称图形； 选项B、该图形为“人在骑车”的图形，找不到任何一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则不是轴对称图形； 选项C、该图形为“人举哑铃”的图形，沿着中间竖直的一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则是轴对称图形； 选项D、该图形为“人拍球”的图形，找不到任何一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则不是轴对称图形． 2．（26-27八年级上·辽宁·期中）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项B能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 3．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列标志中，不是轴对称图形的是（     ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：选项：不是轴对称图形； 选项：是轴对称图形； 选项：是轴对称图形； 选项：是轴对称图形． 4．（16-17八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，直线是四边形的对称轴，点在上．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据直线是四边形的对称轴，得到点与点对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：直线是四边形的对称轴， 点与点对应， ，，， 点是直线上的点， ，， A，B，C正确，而D错误， 故选：D． 5．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，与关于直线l对称，连接交对称轴l于点 M，若，，则下列说法不一定正确的是（    ） A．且 B． C． D．与的周长相等 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质判断三角形的周长、对应点连线与对称轴的关系，再利用三角形内角和定理求出角的度数，最后逐一分析选项即可． 【详解】解：A项：∵与关于直线l对称，A与是一对对应点，∴对称轴l是线段的垂直平分线，即且，故A正确，不符合题意； B项：∵与关于直线l对称，，∵，，， ，故B正确，不符合题意； C项：根据题目中的条件，无法证明，故C错误，符合题意； D项：∵与关于直线l对称，∴，由全等三角形的对应边相等可知，的三边与的三边分别相等，∴它们的周长也相等，故D正确，不符合题意． 题型 2 线段垂直平分线性质与判定（重点）（共 6 小题） 【模型】性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端距离相等；判定：到线段两端距离相等的点，在线段垂直平分线上。 【步骤】①看到垂直平分线，直接转化线段相等；②判定题，找两组等距点确定垂直平分线；③结合全等证明。 【易错】混淆性质与判定；直接使用结论不写条件。 6．（26-27八年级上·全国·课后作业）下列尺规作图是作线段的垂直平分线的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、该尺规作图是作角平分线，不符合题意； B、该尺规作图是作垂线，不符合题意； C、该尺规作图是作线段的垂直平分线，符合题意； D、该尺规作图是作线段，不符合题意． 7．（26-27八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为15，，则的长为（     ） A．11 B．12 C．7 D．6 【答案】A 【详解】解：由作图过程可知，垂直平分， ， 的周长为15， ， ， ， ． 8．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）某幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（     ） A．三条边的垂直平分线的交点处 B．三个角的平分线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条中线的交点处 【答案】A 【分析】根据到三角形三个顶点距离相等这个条件，匹配三角形各线交点的性质判断选项． 【详解】解：∵充电桩到三个出口、、的距离都相等， ∴该点到 三个顶点的距离相等， ∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， ∴该点是 三条边的垂直平分线的交点． 9．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，中，垂直平分，分别交、于点D、E，连接，的周长为，，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长． 10．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线，分别交于点P、D，连接．若点到的距离相等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知，是的垂直平分线，得到，，再得到，根据题意得到是的角平分线，得到，进一步得到，即可求解． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵点到的距离相等， ∴， 又∵，， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图①，在中，是的中点，于，于，． (1)求证：平分； (2)如图②，连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)证明：是的中点， ， ，， 在和中， ， ， 点在的平分线上， 平分． (2)证明：由（1）知， 在和中， ， ， 又， 垂直平分． 【分析】（1）由是的中点，可得，利用可证，可得，利用角平分线的判定定理可证平分； （2）根据垂直平分线的判定方法，证明，即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型 3 等腰三角形性质：等边对等角（重点）（共 6 小题） 【模型】等腰三角形两腰相等，两底角相等；等腰三角形 “三线合一”。 【步骤】①识别等腰，标记相等的腰；②等边对等角转化角度；③三线合一可同时得到垂直、平分。 【易错】三线合一只能用于等腰三角形顶角平分线 / 底边上中线 / 高；不能随便套用。 12．（25-26八年级上·广东汕头·期中）在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 13．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为，连接．已测得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形等边对等角求出顶角度数，结合三线合一性质计算即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，为的中点， 平分， ． 14．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】分外角为顶角的外角、底角的外角两种情况讨论，结合三角形内角和舍去不成立的情况，求解顶角度数． 【详解】解：若是等腰三角形顶角的外角，则顶角的度数为． 若是等腰三角形底角的外角，则底角的度数为，两底角和为，不符合三角形内角和，舍去． 综上，顶角的度数为． 15．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，是的边上一点，的垂直平分线交于点，垂足为，以点为圆心，为半径画弧交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据等腰三角形的性质求出的度数，再利用线段垂直平分线的性质和三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：以点为圆心，为半径画弧交于点， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ． 16．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，点在边上，连接，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“等角对等边”可得，与相加即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 17．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（     ） A．3 B．2 C．1.5 D．1.2 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型 4 等腰三角形判定：等角对等边（重点）（共 5 小题） 【模型】在同一三角形中，两个角相等，则两角对边相等，三角形为等腰三角形。 【步骤】①寻找一组相等内角；②推出对边相等，判定等腰；③结合外角、内角和求角。 【易错】必须是同一个三角形内等角对等边；跨三角形不能使用。 18．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)证明： ，， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】（1）根据直角三角形的性质，可求，再根据垂直平分线的性质，可得，从而，，最后计算即可求解； （2）根据三角形外角的性质，先求，，再证即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， 点M在边的垂直平分线上， ， ， ， ， 则的度数为． （2）略 19．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，已知，，和相交于点O． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 是等腰三角形， 理由：由（1）知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】本题考查了补角的定义，全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质． （1）根据已知条件利用补角的定义得到，再利用等边对等角得出，证明，从而得出结论； （2）根据（1）的结论得到，再由等角对等边可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 20．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，是的平分线，，交于点． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 是等腰三角形，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义可得出，由可得出，进而可得出，再利用等角对等边即可证出，从而得证； （2）由已知可得出，进而可得出，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，平分，连接，且，过点D作交于点E．求证： (1)为等腰三角形； (2)． 【答案】(1) 证明： 平分， ， ∵， ， ， ∴， 是等腰三角形． (2) 证明：， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形， ， ． 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、角平分线的定义及平行线的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，，然后可得，则有，进而问题可求证． 【详解】（1）略 （2）略 22．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）如图1，在中，和的平分线相交于点，过点作，分别交和于点和． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) 证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． (2) 【分析】本题考查等腰三角形判定，平行线的性质及角平分线的性质．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． （1）根据角平分线的定义及平行线的性质即可证明是等腰三角形， （2）同理可得，再由等腰三角形的性质得，则的周长，从而得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：，同理可得， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 提升·进阶突破 题型 5 等边三角形性质与判定（共 4 小题） 【模型】等边三角形三边相等，三角均为 60°；判定：三边相等 / 三角相等 / 有一个角 60° 的等腰三角形。 【步骤】①识别等边三角形，直接用 60° 角；②判定优先看 “等腰 + 60°”；③角度线段转化。 【易错】忽略判定前提：必须先是等腰，再加 60° 角才能证等边。 23．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵，点是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形 ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解； （2）根据直角三角形的性质得出，再根据等边三角形的性质即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， ∴在中，． ∵， ∴． ∵点是边的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴． 24．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是外一点，且，过点作，分别交，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，， 是等边三角形． ． ， ，． ． 是等边三角形． (2)5 【分析】（1）由，，得是等边三角形，根据平行线的性质及等边三角形的性质可得，即可得出结论； （2）连接，交于点，由，，得是线段的垂直平分线，根据等边三角形三线合一得，再根据平行线的性质得，根据等角对等边得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图，连接，交于点， ，， 是线段的垂直平分线． ． 又， ． ， ． ． ． ． 由（1）知是等边三角形， ． ． 25．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，点是等边内一点，是外一点，，，，，连接． (1)当时，试判断的形状，并说明理由； (2)当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1) 解：是直角三角形，理由如下： ， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2)或或 【分析】（1）先由全等三角形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，进而求出三个内角的度数，即可判断的形状； （2）先由全等三角形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，据此分别求出三个内角的度数，再根据等腰三角形的定义讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴，， ∵ ∴是等边三角形， ． ， ∴， ∵， ， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：． 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 26．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，为直线上一动点（不与点，重合），在的右侧作，使得，，连接． (1)当在线段上时，易证，判定全等的理由是______． (2)请判断点在何处时，，并说明理由． (3)当时，若中最小角为，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2) 点在的中点时，，理由如下： ，， 平分， ， ， 平分， ， ， 当点在的中点时，； (3)或或 【分析】（1）根据即可证明； （2）D运动到中点时，；利用等腰三角形的三线合一即可证明； （3）分D在线段上、当点D在的延长线上、点D在的延长线上，画出四种图形，根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ①如图1，当点在线段上时，若， 则； ②如图2，点在的延长线上，； ③如图3，点在的延长线上，此时，； ④如图4，， 综上所述，满足条件的的度数为或或． 题型 6 等腰三角形边长、角度的分类讨论（重难点）（共 2 小题） 【模型】等腰没有指明腰、底，锐角钝角不确定，必须分情况讨论。 【步骤】①情况 1：已知边为腰；情况 2：已知边为底；②用三边关系检验；③角度分顶角 / 底角讨论。 【易错】不检验三边关系，出现无效解；漏情况，只算一种答案。 27．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）结合图形，解决问题： (1)如图1，在四边形中，平分，，，则与数量关系是____________． 性质探究 (2)如图2，在四边形中，平分，，，则（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请根据图2的情况加以说明；若不成立，请说明理由． 问题拓展 (3)如图3，在中，，，平分，，点E为边上一点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)解：；理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (3)的长为6或3 【分析】（1）由角平分线的性质可解答； （2）如图：作交延长线于点E，于点F，证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （3）如图3，在上截取，连接，证明得出，由直角三角形的性质可即解答；如图3：取的中点F，易证为等边三角形，，即点E与点F重合时也满足题意，即． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴． （2）略 （3）解：如图3，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图3：取的中点F，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即点E与点F重合时也满足题意， ∴． 综上所述，的长为6或3． 28．（25-26八年级下·河南郑州·期中）【理解问题】 如图1，在和中，，，点A，D在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做美好等腰三角形．在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点D在上，，，垂足为E，的延长线与交于点F，点G在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】①小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，若，请直接写出的度数． ②参考小颖的问题尝试提出一个新的问题（不用解答）． 【答案】(1) 证明：和是美好等腰三角形， ． ，即． ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上． 直线是线段的垂直平分线． (2) 证明：如图，作射线交于点． ，垂足为， ． ． ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 和是美好等腰三角形 (3)①； ②问题：在图2的基础上继续探究：分别连接、，若，请直接写出的度数． 解：如图3， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）利用美好等腰三角形的性质得，得 ，从而有；再由，结合线段垂直平分线的判定即可证明； （2）作射线交于点．由已知，则．再证明得，即可得证； （3）①证明垂直平分得，从而，设，根据可求出，进而可求出的度数； ②证明垂直平分得，从而，设，根据可求出，进而可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）①解：如图3， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； ② 略 拔高·压轴破难 题型 7 垂直平分线 + 等腰三角形 + 全等综合证明（难点）（共 2 小题） 【模型】垂直平分线转移等线段，等腰提供等角，结合全等完成证明。 【步骤】①由垂直平分线得到边相等；②得到等腰、等角；③寻找全等条件，完成证明。 【易错】条件转化跳步；分不清哪些线段可以等量代换。 29．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）【问题背景】综合实践课上，王老师给出了这样一道题：在等边右侧作射线，（），点A关于射线的对称点为点D，连接．求的大小（用含的代数式表示）． 小明读完题后很快给出了解法：如图，连接．点A关于射线的对称点为点D， 为的垂直平分线 ， 根据等腰三角形的三线合一性质可得． 是等边三角形，，，，． ． 【变式拓展】为了帮助学生更好地掌握几何推理计算和证明方法，感悟数学思想，王老师对上述问题进行了变式和拓展，请你解答下面问题：已知等边，过顶点C作射线，（），点B关于射线的对称点为点D，交于点E，射线交于点G，连接． (1)如图1，若射线在边右侧， ①求的大小（用含的代数式表示）； ②求证：． (2)如图2，若射线在边左侧，且，，请直接写出的长为 ． 【答案】(1)①； ②∵，， ∴， 在射线上取点，使，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在射线上取点，使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）①利用等边三角形的性质求得，，利用轴对称的性质求得，，再利用等边对等角结合三角形内角和定理求解即可； ②利用①的结论结合等边对等角求得，，在射线上取点，使，连接，在射线上取点，使，连接，证明是等边三角形，利用证明，求得，据此即可证明结论成立； （2）同（1）求得，，利用直角三角形的性质求得，作于点，利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵等边， ∴，， ∵点B关于射线的对称点为点D，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； ②略 （2）解：∵等边， ∴，， ∵点B关于射线的对称点为点D，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 作于点， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 30．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知：如图，，，的垂直平分线分别交，于点，点，连接． (1)如图，求证：平分； (2)若点是线段上的一点（点不与点，，重合），现以为一边，作，使得点，在直线的同侧，且． ①求证：、、三点共线； ②试探究，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：，， ， 垂直平分， ， ， ， ， 平分； (2) ①证明：如图，连接，， 由（1）得，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，三点共线； ②或． 理由：分两种情况讨论： Ⅰ如图所示，当点在点左侧时，， 延长到，使得，连接， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； Ⅱ如备用图2所示，当点在点右侧时，， 同理可证． 综上所述，，与之间的数量关系为或． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义即可得到结论； （2）①如图，连接，由（1）得，，根据等边三角形的性质得到，，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论； ②分两种情况讨论：当点在点左侧时，，延长到，使得，连接，根据三角形的内角和定理得到，根据等边三角形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论；如图所示，当点在点右侧时，，同理可证．于是得到结论． 【详解】（1） 略 （2）略 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $