第17章 一元二次方程及其应用（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪科版八年级下册

第17章 一元二次方程及其应用（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则另一个根为（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 2．已知是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D．1或 3．方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 4．若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 5．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（） A．2028 B． C．2024 D． 6．已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．3 C．2025 D．4047 7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 8．已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 9．已知关于的一元二次方程配方成的形式，且该方程的一个根为，求的值为（    ） A． B． C． D． 10．定义运算：，例如：，则关于的方程的根的情况为(   ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 12．方程的两个根分别为，，则_____ 13．若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 14．实数a，b，c满足． （1）当时，则_______ ； （2）实数a的取值范围是___________ ． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．解方程：． 16．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 17．已知关于x的一元二次方程． (1)若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若此方程有两个相等实数根，请求出这个实数根． 18．第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ (2)从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 19．阅读下面的材料：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则． 原方程可化为． ． ． ． 解得． 当时，． 当时，． 原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． (1)解方程：． (2)已知实数满足，试求的值． 20．一元二次方程两根分别为，且（） (1)若此方程一个根为1，则______； (2)当，时，求a，b的值； (3)若，，且时，求证： 21．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 22．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．    (1)几秒后，的长度为； (2)几秒后，的面积为； (3)的面积能否为？请说明理由． 23．某青年党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗的价格少元，用元购买乙种树苗的数量恰好是用元购买甲种树苗的数量的． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元； (2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗，购买甲种树苗的数量与第一次相同，购买乙种树苗的数量比第一次多棵，而甲种树苗和乙种树苗均有涨价，甲种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，乙种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，最终发现第二次购买两种树苗的总费用比第一次购买两种树苗的总费用高元，求的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章 一元二次方程及其应用（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则另一个根为（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 【答案】D 【详解】解：∵方程的一个根为，设另一个根为， 又∵，， ∴两根之和为， 即， ∴， 故另一个根为1． 故选：D． 2．已知是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D．1或 【答案】C 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C 3．方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ，即， ∴， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 4．若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为 ， 给定根为， ∴，故， ，故， 又， ∴，代入，得，即，故， 因此方程为， 即， 故选：C． 5．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（） A．2028 B． C．2024 D． 【答案】B 【详解】解：∵方程， ∴移项得， 配方得，即， 与比较，得，， ∴， 故选：B． 6．已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．3 C．2025 D．4047 【答案】B 【详解】解：∵m为的根， ∴，且， ∴， ∴ ， 故选：B． 7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， ∴， ∴， 故选：B． 8．已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：设在方程中，， ∴方程可整理为，即变形为关于的方程， ∵关于x的一元二次方程的两根分别为、1， ∴关于t的一元二次方程的两根分别为、1， ∴或， 解得或， ∴方程的两根分别为、3， 故选：B． 9．已知关于的一元二次方程配方成的形式，且该方程的一个根为，求的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴代入得， 即， ∴， ∴ 即 ∴ ∵关于的一元二次方程配方成的形式， ∴ 故选 B. 10．定义运算：，例如：，则关于的方程的根的情况为(   ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 即． 判别式． ∵， ∴恒成立． ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【详解】解：将a代入代数式可得： ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．方程的两个根分别为，，则_____ 【答案】37 【详解】解：∵是方程的两根， ， ， 故答案为：37． 13．若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，． ∴，且． 故答案为：且． 14．实数a，b，c满足． （1）当时，则_______ ； （2）实数a的取值范围是___________ ． 【答案】 【详解】解：（1）把代入，得： ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴可以看作是一元二次方程的两个根， ∴， 解得：； 故答案为：． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．解方程：． 【详解】解： ， ， 或， ，． 16．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴， 解得． 17．已知关于x的一元二次方程． (1)若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若此方程有两个相等实数根，请求出这个实数根． 【详解】（1）解：原方程可变为， ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又，， 解得，， ∴且； （2）解：根据题意知：， 解得：， 则方程为，即， 则， ∴， 解得． 18．第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ (2)从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 【详解】（1）解：设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为． （2）解：设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润能达到8400元． 19．阅读下面的材料：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则． 原方程可化为． ． ． ． 解得． 当时，． 当时，． 原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． (1)解方程：． (2)已知实数满足，试求的值． 【详解】（1）解：设，则， 整理得， 解得， 当时，即， 解得； 当时，即， 解得； ∴原方程的解为，； （2）解：设，则， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴． 20．一元二次方程两根分别为，且（） (1)若此方程一个根为1，则______； (2)当，时，求a，b的值； (3)若，，且时，求证： 【详解】（1）解：将代入方程，则， ； （2）解：，， ，， 解得：，； （3）证明：当，，且， ①， ②， 得：， 即， 因， ， ， 由题知：， 即， 故 21．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 22．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．    (1)几秒后，的长度为； (2)几秒后，的面积为； (3)的面积能否为？请说明理由． 【详解】（1）解：设点运动的时间为，则，，，， ∴在中，根据勾股定理，得，， ∴，解得或（舍去）， ∴后，的长度为． （2）解：同（1）中所设，设点运动的时间为，则，，，， ∴，即， 解得或， ∴或后，的面积等于． （3）解：不能，理由如下： 当时，即， ∴，整理得，， ∵， ∴方程没有实数根， ∴的面积不可能等于． 23．某青年党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗的价格少元，用元购买乙种树苗的数量恰好是用元购买甲种树苗的数量的． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元； (2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗，购买甲种树苗的数量与第一次相同，购买乙种树苗的数量比第一次多棵，而甲种树苗和乙种树苗均有涨价，甲种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，乙种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，最终发现第二次购买两种树苗的总费用比第一次购买两种树苗的总费用高元，求的值． 【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元； （2）解：由（1）可知，棵，棵， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：的值为． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $