第21章 一元二次方程 达标练习 2026--2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

**基本信息** 沪教版五四制八上一元二次方程单元卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合时代情境与跨知识探究，适配单元复习，全面覆盖方程定义、解法、根的性质及应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题24分|方程定义、增长率模型、配方法步骤、根与系数关系|第2题结合居民收入数据（时代情境），第6题类比三次方程根与系数（创新思维）| |填空题|12题48分|根的判别式、几何运动面积、“邻根方程”新定义|第14题几何动态问题（模型意识），第17题“邻根方程”（推理能力）| |解答题|7题78分|解方程、增长率应用、因式分解法探究、“镜像值”新定义|第20题校园定制增长率（应用意识），第25题“镜像值”（创新意识）|

学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 2026-2027学年八上达标练习—一元二次方程 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：沪教版五四制2024八年级上册第二十一章—一元二次方程 一、单选题（共24分） 1．（本题4分）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0的隐含条件，结合方程类型与未知数个数逐一判断． 【详解】解：A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 2．（本题4分）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均增长率的等量关系，列方程即可. 【详解】解：由题意，可列方程为. 3．（本题4分）若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把代入方程，得，即， 解得． 4．（本题4分）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果． 【详解】解：对于乙的步骤：方程两边同时除以2，得； 故出现错误的是乙同学. 5．（本题4分）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 6．（本题4分）小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】类比一元二次方程根与系数的探究方法，将三次方程因式分解为含根的乘积形式，对比常数项系数求解． 【详解】解：∵，，是一元三次方程的三个根， ∴， 展开右边得． ∵等式为恒等式，两边常数项对应相等， ∴， 整理得． 二、填空题（共48分） 7．（本题4分）关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 【答案】2 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，两根乘积为常数项与二次项系数的比值，代入已知根即可计算另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系可得， ∵， ∴， 解得． 8．（本题4分）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为____________． 【答案】 【分析】已知一元二次方程有两个相等的实数根，利用根的判别式等于0建立关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式． 这里，，， 将系数代入得， 整理得． 解得． 9．（本题4分）已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 10．（本题4分）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的范围为________． 【答案】 【分析】一元二次方程有实数根，根据根的判别式大于等于0建立不等式，即可求解的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴根的判别式， 在方程中，二次项系数，一次项系数，常数项， 则， 解得． 11．（本题4分）若，则代数式的值为__________． 【答案】4 【分析】观察x的值以及代入式的特征，将变形为，然后代入计算即可简便求解． 【详解】解： 把代入，得 . 12．（本题4分）一元二次方程的一次项系数是_________． 【答案】1 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可确定一次项系数． 【详解】解：在一元二次方程中， ∵一次项为， ∴一次项系数是1． 13．（本题4分）若是关于的方程的解，则_____． 【答案】 【分析】根据方程的解的定义，将代入原方程得到的值，再整体代入所求代数式求值即可． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 整理得， 即， ． 14．（本题4分）如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 【答案】或 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 15．（本题4分）已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到与，再由分式方程求解即可． 【详解】解：关于x的方程的两实数根为，， 则， ，， ． 即，解得． 经检验，是原方程的解． 16．（本题4分）若2是关于x的一元二次方程的一个根，则一元二次方程的根为_____ ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，利用换元法将新方程转化为与原方程形式相同的方程，结合原方程的根与系数的关系求出换元后变量的根，再回代得到新方程的根． 【详解】解：令，则方程可化为，与原一元二次方程形式相同， 是原方程的一个根， 是方程的一个根， 设方程的另一个根为，由根与系数的关系得： ， 代入得， 解得， ， ， 当时，， 当时，， 所求方程的根为． 17．（本题4分）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【答案】或 【分析】先对关于的一元二次方程因式分解求解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义，得到两根的差为，分情况列方程计算的值即可． 【详解】解：对因式分解得：， 或， 解得：，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 18．（本题4分）已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到，，，代入所求代数式进行解答即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴，， ∴ 三、解答题（共78分） 19．（本题10分）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开平方法，把看作一个整体，等式两边同时开平方得到两个一元一次方程，再分别解一元一次方程即可得到解； （2）先将常数项移到等式右侧，再两边同时除以，直接对含未知数的平方项开平方，得到两个一元一次方程，再分别解一元一次方程即可得到解； 【详解】（1）解：， ， 解得，； （2）解：， ， ， ， ， ，． 20．（本题10分）某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率． 【答案】这两日定制量的日平均增长率是 【详解】解：设这两日定制量的日平均增长率是x．由题意得：      解得：，（不合题意舍去）     答：这两日定制量的日平均增长率是． 21．（本题10分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 即，且， ∴且． 22．（本题10分）解方程：． 【答案】， 【分析】因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：， ， ， ， 或， ，． 23．（本题12分）根据多项式乘法可知，从而我们可得利用十字相乘法进行因式分解的公式，比如：．据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：，方程左边分解为，从而可以快速求出方程的解． 请你利用此方法尝试解方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用十字相乘法进行分解即可； （2）把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，将原方程化为两个一次方程即可求解； （3）把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，将原方程化为两个一次方程即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， 或 ，； （3）解：， ， 或， ，． 24．（本题12分）阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)解：配方，得 ， 即， 移项，得 ， 两边开平方，得 ， 即，或， ∴，． 【分析】（1）步骤②中，等式左边加了1，没有同时减1，导致等式不成立； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 25．（本题14分）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 【答案】(1)和 (2)代数式没有镜像值， 理由：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， ， 计算根的判别式， 方程没有实数根， 代数式没有镜像值． (3)正整数的值为 【分析】（1）根据定义列一元二次方程求解即可得到镜像值； （2）根据定义列一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实根，即可得到结论； （3）根据定义整理方程，推导出两个镜像值差的表达式，结合差为整数，a为正整数的条件求解即可． 【详解】（1）解：设代数式的镜像值为，根据定义得， 整理得， 解得， 即代数式的镜像值是和． （2）略 （3）解：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， 为正整数，代数式有两个镜像值， ，方程是一元二次方程，且， 方程的两个根为， 则两个根差的绝对值为， 两个镜像值的差为整数，是正整数， 是正整数， 为正整数， ， 即， 满足条件的整数平方只有，即， 得，符合要求 正整数的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺：苍穹精品工作室原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 2026-2027学年八上达标练习一一元二次方程 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他 答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3.作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：沪教版五四制2024八年级上册第二十一章一一元二次方程 一、单选题（共24分） 1.(本题4分)下列关于x的方程一定是一元二次方程的是() A.ax'+bx+c=0 B.x+1-y2=0 C.x2+=2 x D.x2-x-2=0 2.（本题4分)据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全 国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均 增长率为x,依题意可列方程为() A.20-x2=3.7 B.3.201+x}2=3.7 c.3.70-x2=32 D.3.70+2=3.2 3.(本题4分)若x=1是关于x的方程axr2-x+2=0的解，则a的值为() A.-1 B.1 C.2 D.-2 4.(本题4分)某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤。 如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是() 学科网知识店铺：苍穹精品工作室原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 原方程 甲 乙 2x2+4x-1=0→2x2+4x=1→x2+2x=1→ 丙 丁 x2+2x+1=1+1, x1=√2-1 即(x+1)2=2 x2=-2-1 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 5。(本题4分)若，六是一元二次方程-2x-2026=0的两个实数根，则-+5 的值是() A.2024 B.2026 C.2028 D.4052 6.（本题4分)小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如 图所示.如果，。，是一元三次方程“ x3+bx2+cx+d=0(a≠0) 的三个根，请你类比小若的方法探究 元三次方程根与系数的关系. 元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 ax2+bx+c=a(x-x)(x-x2) 得到 x2+bx+c=ax2-a(x+x2)x+axx2 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 bx=-a(x+x2)x,c=ax x2 对比后得 b 整理后得到x+x3=一a,x5=。 则书 用系数可以表示为() b b d A. B. a a C.a D.a 二、填空题（共48分） 学科网知识店铺：苍穹精品工作室原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ =0的一个根为=2，则另一个根为品 x2+px+4=0, 2= 7.(本题4分)关于x的一元二次方程 8.(本题4分)关于x的一元二次方程2x+x-k=0有两个相等的实数根，则k的值为 9.（本题4分)已知，是方程-3x-8=0 的两个根，则西+书+书= 10.（本题4分)若关于x的一元二次方程x2-5x+m=0有实数根，则实数m的范围为 Ⅱ.（本题4分）若=V5+2 则代数式r-4x+3 的值为 12.(本题4分)一元二次方程x2+x-2=0的一次项系数是 13.(本题4分)若x=2是关于x的方程ax2+bx-8=0的解，则2a+b-2026=一· 14.(本题4分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm,AC=8cm,点P从点C开始沿射线CA 方向以lcm/s的速度运动；同时点Q也从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动. 秒后以A、 B P Q 20cm2 、为顶点的四边形的面积为 B 2+2=5 15.（本题4分)已知关于x的方程-（亿+4）x+4=0k≠0)的两实数根为x,为，若x,则 k= 16.(本题4分)若2是关于x的一元二次方程 r2+4ax-2=0(a≠0)的一个根，则一元二次方程 a(x-1+4a(x-l)-2=0的根为—. 学科网知识店铺：苍穹精品工作室原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 17.(本题4分)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另 一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”。例如，一元二次方程+x= 的两个根是=0， x2=-1 则方程r+x=0是根方程”.关于“的方程-0-2水-2州=0m是带数)是“如根方 程”，则m的值是 18、(木题4分)已知m,n是方程2-2026x+1=0的两个实数根，则m-2025m+2m-2025m+2）的 值为 三、解答题（共78分） 19.(本题10分)解下列方程： )3x+2}=36 22.5(x-0.3}-1.6=0 20.(本题10分)某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本.文具店4月15日定制 出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日 定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率， 21.（本思10分)已知关于x的一元二次方程m-(4如+k+(4-)= 有两个实数根，求“的取值范围. 22.(本题10分)解方程.(-1(x+4)=4x+8 23。《本题12分)根据多顾式柔法可知+Px+9）=++9)r+网，从面我们可得利用十字相乘法 进行因式分解的公式 +p+g)x+p9=(+p+q）,比如： x2-5x-6=x2+(-6+1)x+(-6×1)=(x-6)(x+1) .据此回答下列问题： (1)将二次三项式x2+2x-3分解因式： (2)解一元二次方程x2-4x+3=0: 学科网知识店铺：苍穹精品工作室原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程.如：3x2+x-2=0, x+1)(3x-2)=0 方程左边分解为 从而可以快速求出方程的解， 请你利用此方法尝试解方程5x2+7x-6=0. 24.(本题12分)阅读下列解方程：x2-2x-9=0的解题过程，解决下列问题， 解：x2-2x-9=0.. ① x2-2x+1-9=0 .② (x-1-9=0③ x-1=3或x-1=-3… ④ .x=4x2=-2 ⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤 (填序号)； (2)请你写出正确的解答过程。 25.(本题14分)对于关于x的代数式ax2+bx+c,若存在实数m,使得当x=m时，代数式的值等于 -m,则称m为这个代数式的“镜像值”.例如：对于代数式x2,当x=0时，代数式的值等于0；当 x=-1时，代数式的值等于1，我们就称0和-1都是这个代数式的“镜像值”. (1)代数式x2-x-1的镜像值是 2)判断代数式x2-3x+3是否有镜像值.若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； ③)关于x的代数式m-(2a+)r-4,若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数a 的值. 学科网知识店铺：苍穹精品工作室原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！