专题02 一元一次方程压轴题汇编（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级上册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01一元一次方程压轴题汇编 参考答案 题型一：绝对值方程 1.解：x-3-3=2 .x-3到=5 .x-3=5或x-3=-5 解得：x=8或x=-2 2.解：因为=2， 所以x=2或x=-2】 当x=2时，x2=22=4； 当x=-2时，x2=(-2)}2=4. 因此，x2=4」 故答案为：4. 3.解：x-=3, x-1=3: ∴.x-1=3或x-1=-3 .x=4或x=-2. 故答案为：4或-2. 4.解：x-3=0, x-3=0, 解得：x=3, 故答案为：3 5.(1)当点P在线段AB上时，AP+BP=6,即x-4+x+2F6, 所以当-2≤x≤4时，|x-4|+x+2F6. 故答案为：x-4|+|x+2. (2)根据题意，点P不在线段AB上， 当x<-2时，x-4<0,x+2<0, 1/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则lx-4+|x+2-(x-4)-(x+2)=-2x+2=12. 解得x=-5: 当x>4时，x-4>0,x+2>0」 则x-4|+x+2(x-4)+(x+2)=2x-2=12. 解得x=7: 综上，点P对应的数为-5或7： (3)设数-8,2对应的点分别是点C、D,CD=10, 15>10. ∴.点P在线段CD外， 当x<-8时，|x+8+x-2上-(x+8)-(x-2)=-2x-6=15 解得x=-10.5: 当x>2时，|x+8|+|x-2F(x+8)+(x-2)=2x+6=15, 解得x=4.5 综上，x=-10.5或x=4.5 题型二：求一元一次方程中参数的值 [x≥m+2 1.解：不等式组可化为1x≤-2m-25: 该不等式组无解， .-2m-25<m+2. .m>-9 由4y+1=-m得y=-m+。 4 ,该一元一次方程有非负整数解， m+1 4 0，且m+1=0?4-8”-12-16…(即-4的倍数) ∴m≤-1，且m=-1,-5,-9,-13,-17,… 综上，m=-1或-5. 2解：关于：的方程2+a=-号间 1-3x, 3的解是x=1 2/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、1-3x1+a=a-l 2 3 解得a=1, 311311 关于x的不等式4m+620为4x+后之 62 不等式的两边同乘以12，得9x+2≥6， 4 解得x之)， 所以满足条件的最小整数解为1. 3.解：3(x+1)=4x+6 3x+3=4x+6 3x-4x=6-3 -x=3 x=-3, 2x-m_x-m=x-1中， 由题意，把x=-3代入3-2 2×(-3)-m--3-m=-3-1 3 2 6-m+3+m=-4 3 2 2(-6-m)+3(3+m)=-24 -12-2m+9+3m=-24 -2m+3m=-24+12-9 m=-21, 答：m的值为-21。 4.得6r-(2-)=2(x-2), 去括号，得6x-2+a=2x-4. 移项、合并同类项，得(4+a)x=-2, x=- 2 4+a 由于方程有负整数解，因此x<0且x为整数. 'x=- 2<0,且分子为负， 4+ 3/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴分母4+a>0,即a>-4. 又，x为整数， ∴，2必须整除4+a,即4+a是2的正因数. 2的正因数有1和2， 4+a=1或4+a=2, 解得a=-3或a=-2. 检验：当。=3时，x=名 2,为负整数：当2时，x一号，为负整题 ∴整数a的所有可能的取值为-3和-2，则它们的和为-3+(-2)=-5 故答案为：-5. 3x+1x-15 5.(1)解：当m=-1时，方程为2-3=6： :.3(3x+1)-2(x-1)=5. .9x+3-2x+2=5, 7x=0, x=0; (2)解：“误将“6”看成了“5”，得到方程的解为x=1 3x-m x+m 6 ·x=1是方程2-3=5的解， 3×1-m1+m_6 ·2-35 解得：m=- 25· 1 m的值为25： (3)解： .3x-m_x+m_5 2 36 .3(3x-m)-2(x+m)=5, .9x-3m-2x-2m=5, ..x= 5(m+1) 7 ,x取正整数， 4/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴m+1为7的正整数倍数. 又，m取最小值， m+l=7, .m=6, .m的值为6 题型三：一元一次方程解的关系 1.y=3 2.y=4 3.(1)解：解方程5m-21=2(m+3), 得m=9 :方程5m-21=2(m+3)的解也是x的方程4(x-6)-5n=2的解， x=9, 4(9-6)-5n=2, 解得n=2: (2)解：，m=9 .AB=m-1=8, n=2, AP :.PB =n+1=3 .AP=3BP. 当点P在线段AB上时， AB=AP+PB=4PB, .PB=2, ,点Q是PB的中点， &0=0PB=1, 、A0=AB-B0=7: 当点P在AB延长线上时， AB=AP-BP=2PB. ∴PB=4, 5/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点Q是PB的中点， BQ=PQ=IPB=2. 2 ∴.A0=AB+B0=10 故线段A0的长为7或10. PO B BO P 1 4.解：解方程23-1=0得x=123 1 :关于x的方程123-1=0与23x+1=3x+是“良好方程”， 6方程123+1=3x+k的解为x=-124 将方程+2)41=+6+6变形为卤+2列+1=30+2列+ .y+2=-124 ∴y=-126」 故答案为：y=-126 5.(1)解：，x-4m+1=0, 解得：x=4m-1, :2c-列m=0, .x=2m+5, “方程x-4m+1=0与方程2(x-5)-m=0是“美好方程”， 4m-1=2m+5, .m=3 (2)解：2x+1=x-2, 解得：x=-3, 2x+k如_b+k的解为x=-3' .方程32 2x(-3)+ka_b+k, 3 2 6/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴-12+2ka=3b+6k, ∴.(2a-6k=3b+12, ,无论k取任何有理数，两个方程是“美好方程”，， ∴.2a-6=0,3b+12=0, 解得：a=3,b=-4, .ab=-12 题型四：数轴动点问题与一元一次方程 2 1.2或 44 2. -3或4. 3.(1)解：a+10+(6-14)2=0. .a+10=0,b-14=0 解得a=-10,b=14, .AB的距离：14-(-10)=24 设经过t秒P、Q相遇，由题意得51+31=24， 解得1=3， 相遇点对应数：-10+5×3=5； (2)解：PA=p-(-10)p+10,PB=p-14 由PA=2PB,得p+10=2p-14, 当p≥14时，p+10=2(p-14), 解得p=38 P与C的距离：38-2=36： 当-10<p<14时，p+10=2(14-p), 解得p=6 P与C的距离：6-2=4： 当p≤-10时：-p-10=2(14-p), 解得卫=38（舍去） 7/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上，P与C的距离为36或4. (3)解：t秒后，P对应数：-15+51，对应数：18-3， PA=(-15+5)-(-10)H5-5,B=18-31)）-14=4-31, 由PA-QB=8,得5t-5H4-31=8, 当0≤1≤1时，5-51-(4-3)=8， 1-2t=8 1-21=8或1-21=-8， 解得1=子（合）或名（合去）， 9 当1<1≤号时，M-5-4-3刘=8 8t-9=8 .8t-9=8或8t-9=-8 17 解得1=8（舍去）或1=8（舍去）， 当1>等时51-5-6-4到训=8， 2t-1=8. ∴21-1=8或21-1=-8， 2(舍)， 此时p对应数：-15+5×9_15 22 -10+14=2, 折叠点（AB中点)：2 15 设，对应数为，则2 D' 22, 7 解得p=一2 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值与平方的非负性、一元一次方程的应用，熟练掌握数 轴上两点间距离的表示方法，结合动点运动规律列方程求解是解题的关键. 8/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.四解：4G=写()-14G=1-e)=11-2 AC=7-(-1)=7+1=8,BC=3-}_8 33’BC2=3-1=2,BC3=7-3=4, BC =2AC BC2 ACz AC3 =2BC3, ∴其中是点A、B的“倍距点”的是C,C: (2)解：由题意得，运动t秒后点P表示的数为-5+21， .AP=-5+21-(-5)=21,BP=5+21-15=2t-20, 当AP=2BP时，则21=221-20， :.2t=2(21-20)或21=-2(21-20)， 解方程21=2(21-20)得1=20：解方程21=-221-20得1= 3 当BP=2AP时，则21-20=41， ∴.21-20=41或21-20=-41， 解方程2-20=4知得1=-10《合去)，解方程21-20内1-9 : 3或120 综上所述，1=1 =3或1=20： (3)解：设点P表示的数为x, 当点A是点B与点P的“倍距点”时，则AP=2AB, x-(-5)=2[15-(-5] 解得x=35； 当点B是点A与点P的“倍距点”时，则AB=2PB或PB=2AB, .15-(-5)=2(x-15)或x-15=2[15-(-5], 解方程15-(-5)=2(x-15)得x=25,解方程x-15=2[15-（-5]得x=55: 当点P是点A与点B的“倍距点”时，则AP=2BP, .x-(-5)=2(x-15), 解得x=35； 综上所述，点P表示的数为25或35或55 5.(1)解：当1=3时，AP=2×3=6, 9/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .P点表示的数为：-20+6=-14， :2从C到B所用时间为：(36-20)÷1=16（秒）>12秒， ∴1=12时，Q在CB上， ∴Q所表示数为：36-12×1=24， 故答案为：-14,24： (2)解：P从A到C所用时间为： 0-(←201-2+(20-0-2x+66-20=2 =20÷2+20÷1+16÷2 =10+20+8 =38(秒)： (3)解：从C到B所用时间为：16÷1=16（秒）， 从B到0所用时间为：20÷(1×2)=10（秒）， .P,Q两点在OB段相遇， 当到达B点时，OP=1×(16-10)=6 14 ÷Q离开B到P,Q相遇所用时间为：(20-6÷0+2)=3（秒）， 心相遇总时间为：1=16+14 .2 20 3 03(秒)， 此时，QB=2x14=9} 33 “相通点M所对应的数为：20-兮10子 3 (4)解：当0<1≤10时，0P=20-24,B0=16-t, .20-21=16-1, 解得：1=4，符合题意： 当10<1≤16时，OP=1-10,B0=16-t, ∴.t-10=16-t, 解得：1=13，符合题意： 当16<t≤26时，0P=1-10,B0=2t-16)=21-32, ∴.t-10=2t-32, 解得：1=22，符合题意； 10/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当26<t≤30时，0P=t-10,B9=20+1-26=t-6 .t-10=t-6. ∴无解： 当30<1≤38时，0P=20+2t-30)=21-40,B9=t-6, ∴.21-40=1-6， 解得：1=34，符合题意： 当38<1≤46时，0P=36,B2=t-6. ∴.36=1t-6, 解得：t=42,符合题意： 综上所述，1=4或13或22或34或42时，P,0两点在数轴上相距的长度与2，B两点在数轴上相距的 长度相等。 题型五：幻方中的一元一次方程 1.-27. 2.-3或6. 3.3. 4.解：(1)将，2,34,56,7,89九个数填入到3×3的方格内， 若使每行、每列及对角线上的数字和都相等，则这个和是(1+2+3+4+5+6+7+8+9)÷3=15 故答案为：15： 在图①中填入数字，如下图； 94 753 618 (2)根据题意，可得2a+5b=3b+(-2b). 整理可得a=-2b； (3)根据题意，可有m2-m+3+2m2+3m-3=2m2+3m+2m+5, 整理，可得m2-3m=5, 又因为-3m2+4m+x+2m2+3m=m2-m+3+2m+5, 所以x=2m2-6m+8=2(m2-3m)+8=2×5+8=18 11/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(1)x=5 a=4 21b=3 3) m=3 当a=5时，如图： 9 16 11 14 12 10 13 8 15 m=6 当a=3时，如下 15 10 11 8 12 16 13 14 m=9 当a=1时，如下 21 2 12 22 13 20 3 题型六：关于一元一次方程阅读理解 1.(1)解：由题可知，心-b=0与br-a=0a、b均为不等于0的常数)称互为“反对方程”， :2x-3=0与方程3x-c=0互为“反对方程”， ∴c=2. (2)解：将5x-n+2=0写成5x-(n-2)=0的形式， ,关于x的方程4x-3m=0与方程5x-n+2=0互为“反对方程”， 3m=5 -14=n-2 12118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 m 3 n=6 (3)解：2x-b=0的“反对方程”为bx-2=0b≠0)， b 由2x-6=0得，x=2 2 当bx-2=0:得x= :2x-b=0与bx-2=0的解均为整数， b :2与6都为整数， 2 b也为整数， 当62时名1，名1，都为g数 当62时分1，名1，高为整数 b的值为2 2.(1)解：2x-1=3,解得：x=2, :2x-1=3的解也是关于x的方程l-2(x-m)=3的解， :1-2(2-m)=3,解得：m=3: 故答案为：3： (2)解：x2-2x-3=0, x2-2x=3, :关于x的方程x2-2x-3=0的解也是“立信方程”3x2-6x-5+2n=0的解， .3x2-6x=3(x2-2x)=9, ∴.9-5+2n=0,解得：n=-2: .13 (3)5x+6=在-7解得：x=k-5 ,5x+6=c-7是“立信方程”， 13 心k-5是整数， .k-5=±1或k-5=±13， 解得：k=4或k=6或k=-8(不合题意，舍去)或k=18, 13/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.符合要求的正整数k的值为4,6,18 【点睛】本题考查方程的解，解一元一次方程.理解并掌握方程的解的定义，“立信方程”的定义，是解 题的关键。 3.(1)解：①-3x=6, x=-2; ②5(x+2)-4=3x, 5x+10-4=3x, 5x-3x=4-10. 2x=-6, x=-3: 号-2-2-, 2 2(x-1)-12=3(x+2)-6x, 2x-2-12=3x+6-6x, 2x-14=6-3x, 2x+3x=6+14, 5x=10 x=4, -2-(-3=-2+3=1,-2-4=6, ∴组合满足为“值1方程”的是①②，组合满足“值6方程”的是①③， 故答案为：①②，①③： (2)解：4x-a=2, 4x=2+a, x=2+a 4 4(x-2)=2x+6, 4x-8=2x+6, 4x-2x=8+6. 2x=14, x=7, 14/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “关于x的一元一次方程4x-a=2和4(x-2)=2x+6是“值2方程”， |2+a-7=2, 4 240-7=2,2+0-28=±8a-26=8 . 解得：a=34或18： (3)解：2x+3=x+5,2x-x=5-3,x=2, 3y+km_n=k+mn, 42 3y+km-2n=4k+4mn, 3y =4k+4mn-km+2n. y=4k-km+4mn+2n a3y+m_”=k+mn是“值3方程”， :x的方程2x+3=x+5与关于y的方程4一一2 2 4k-km+4mn+2n 3， 3 2-4k-km+4mn+2n=3, 3 4k-kam+4mn+2n=-1或5. 3 4k-km+4mm+2n=-3或15，即(4-m）k+4mn+2n=-3或15， 3y+km-”=k+mn是“值3方程”， :无论k取任何数，关于x的方程2x+3=x+5与关于v的方程4一2 .4-m=0, 解得m=4, .4mn+2n=-3或15， 把m=4代入4mn+2n=-3得： 16n+2n=-3, 18n=-3, 1 n=-6 把m=4代入4mn+2n=15得： 15118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16n+2n=15, 18n=15, 5 n= 6: 1 当m=4n= 6时， m=(- 5 当m=4 6时， n= mn=4× 5_10 63 210 六mn的值为3或3： 1.5, 14 4.四18,12)是“保号数对”： 不是“保号数对” (2)-12或-9或15 3)解：设(m,n)为“保号数对”， 当m与的和、差、积、商的结果都是正数时， l和n都是正数，且m>n, 当与n的和、差、积、商的结果都是负数时， m是负数，n是正数，且m>以， 回到题目，因为(a,b)和（亿，c)为“保号数对”， 所以b和c都是正数，且b>C, ①a为正数时，a>b, 此时a和c都是正数，且a>c, 所以a与c的和、差、积、商的结果都是正数，(a,C)为“保号数对” ②a为负数时，l4>h, 此时a是负数，c是正数，且a>4 所以a与c的和、差、积、商的结果都是负数，(a,C)为“保号数对” 16/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(4山)解：由题意得：1：-号引是数轴上表示，和5两点间的距离。 2 8 2 4 +2-3或x=2=-39 x= (2)解：1x+6-|x-5引是数轴上表示x的点到表示6、5两点间的距离之差， ①x≤-6时，1x+6-|x-5=(x+6+x-5=-11: ②-6<x<5时，1x+6-x-5Fx+6+x-5=2x+1<11, ③x≥5时，1x+6-x-5非x+6-(x-5)=1l: 综上所述，当x≥5时，Q有最大值11： (3)解：x-2+|x-4+|x-6+x-8++川x-20241表示数x到2、4、6、…、2024的距离之和， 而2、4、6、…、2024共有1012个偶数， 要使Q的值最小，根据已知阅读材料可知： 1x-21+x-2024的最小值为：2024-2=2022(2≤x≤2024)， Ix-4+1x-20221的最小值为：2022-4=2018(4≤x≤2022)， … 1x-10121+x-10141的最小值为1014-1012=21012≤x≤1014)， .的最小值为：2022+2018+2014+.+6+2 =(2022+2)+(2018+6)+.+(1014+1010) u23m4 =2024×253 =512072. 此时x的取值范围是1012≤x≤1014 6.(1)解：如果点P表示数1那么点P关于2的对称数组是P(1,2)=1-2,1+2)=(1,3), 故答案为：（一1,3） (2)解：：M(P,)=2,4048)表示与点P相距a个单位长度的两个点分别是2和4048，那么点P是这两个 数表示点构成线段的中点， 2+4048 、点P表示的数是：2 =2025；2025-a=2 解得a=2023 17118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：2025：2023 (3)设点P表示的数为P,点Q表示的数为4， M(P,3)=(x,y),M(但，2)=(m,n),P、两点同时从原点出发反向运动， .x=p-3,y=p+3,m=9-2,n=9+2, .In-xl=31y-ml, ∴.|9+2p+31-=3|p+39+21,即9p+51-3|p9+5 ①当9-p+5=3(p-9+5)时， 故9-p+5=3(p-9+5)=3(p-9)+15, 5 解得可得：qP= ②当9-p+5=-3(p-9+5)时， 故9-p+5=-3(p-9+5)=-3(p-9)-15, 解得：9p=10 综上所述：点P、0之间的距离是2或10， 18/18 专题01 一元一次方程压轴题汇编 题型一 绝对值方程 题型二 求方程中的参数值 题型三 一元一次方程解的关系 题型四 数轴上的一元一次方程 题型五 幻方中的一元一次方程 题型六 一元一次方程中的阅读理解 题型一：绝对值方程 1．（24-25六年级上·上海青浦·期中）解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次方程，化简绝对值，分情况讨论，分别解一元一次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴或 解得：或 2．（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）如果，那么_____． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值方程，已知字母的值求代数式的值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据绝对值的定义，表示或，代入计算即可． 【详解】解∶因为， 所以或． 当时，； 当时，． 因此，． 故答案为∶4． 3．（23-24六年级下·上海·期末）如果，则________． 【答案】4或 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义解方程即可． 【详解】解：∵， ∴； ∴或 ∴或． 故答案为：4或． 4．（23-24六年级下·上海宝山·期末）已知，那么_____． 【答案】 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值的意义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．（25-26六年级上·上海闵行·期中）定义：数轴上两点间的距离是指这两点所对应数的差的绝对值，即如果数m、n在数轴上对应的点分别是M、N，那么点M、N之间的距离． 已知，求的值．为了求出，可以用如下方法： 在数轴上，数对应的点分别是点A、B，数对应点． (1)点A、B之间的距离，当点在线段上时，，即当时，__________（填含的式子）； (2)根据可知，此时点到点A、B的距离之和比线段上的点到A、B的距离之和大，因此点不在线段上，根据上述信息，求点对应的数； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查的是绝对值的定义，涉及到数轴、代数式、一元一次方程的应用等知识，掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据距离公式可知； （2）根据题意知，点不在线段上，则分和两种情况求解； （3）根据题意知，点不在线段上，则分和两种情况求解； 【详解】（1）当点在线段上时，，即， 所以当时，． 故答案为：． （2）根据题意，点不在线段上， 当时，， 则， 解得； 当时，， 则， 解得； 综上，点对应的数为或； （3）设数对应的点分别是点，， ， 点在线段外， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上，或． 题型二：求一元一次方程中参数的值 1．（24-25七年级下·上海·阶段检测）已知关于x的不等式组无解，且关于y的一元一次方程有非负整数解，求m的值． 【答案】或 【分析】本题考查根据不等式组的解集与一元一次方程的解求参数，熟练掌握不等式组的解集与一元一次方程的解是解题的关键． 根据不等式组无解得到，根据一元一次方程有非负整数解得到，且，，，，，…，综合即可解答． 【详解】解：不等式组可化为， ∵该不等式组无解， ∴， ∴． 由得， ∵该一元一次方程有非负整数解， ∴，且，，，，，…（即的倍数） ∴，且，，，，，… 综上，或． 2．（24-25七年级下·上海·阶段检测）关于的方程的解是，求关于的不等式的解集，并求出满足条件的最小整数解． 【答案】，满足条件的最小整数解为1 【分析】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程、解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．先将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程可得，再代入不等式可得一个关于的一元一次不等式，解不等式，由此即可得． 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴， 解得， ∴关于的不等式为， 不等式的两边同乘以12，得， 解得， 所以满足条件的最小整数解为1． 3．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知关于的方程与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，熟知同解方程的定义是解题的关键． 先求出方程的解，再根据同解方程的定义把代入关于x的方程中，即可求出的值． 【详解】解： ， 由题意，把代入中， ， 答：的值为． 4．（25-26六年级上·上海·期末）已知关于的方程有负整数解，则整数的所有可能的取值的和为________． 【答案】 【分析】本题考查含参一元一次方程的解法及应用，掌握一元一次方程的解法及准确理解题意是解题关键．首先，解方程得到 的表达式，然后根据负整数解的条件确定分母的取值范围，再找出所有整数 的值，最后求和． 【详解】解：解方程 ， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， ∴ ． 由于方程有负整数解，因此 且 为整数． ∵ ，且分子为负， ∴分母 ，即 ． 又∵ 为整数， ∴必须整除 ，即 是 的正因数． ∵ 的正因数有 和 ， ∴ 或 ， 解得 或 ． 检验：当 时，，为负整数；当 时，，为负整数． ∴整数 的所有可能的取值为 和 ，则它们的和为 ． 故答案为：． 5．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （3）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 题型三：一元一次方程解的关系 1．（25-26六年级上·上海·期末）已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解． 先把关于y的一元一次方程写成与方程相同的结构形式，再根据关于x的一元一次方程的解是，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解是：． 故答案为：． 2．（24-25六年级上·上海·阶段检测）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将方程变形得，设，可得方程的解即为方程的解，即得，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：方程变形得，， 设， 则方程的解即为方程的解， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海·阶段检测）已知关于的方程的解也是关于的方程的解 (1)求，的值 (2)已知线段，在线段所在直线上取一点，恰好使，点是的中点，求线段的长． 【答案】(1)， (2)线段的长为7或10 【分析】本题考查了同解方程以及线段的中点的定义，熟练掌握同解方程性质，线段中点性质，线段的和差，分类讨论，是解题的关键． （1）先求出第一个方程的解，然后根据方程同解把第二个方程中的x换成m的值，求解即可得到n的值； （2）可得，，分当点P在线段上时，，得，再根据中点定义得的长度，即可求出；当点P在线段的延长线上时，，得，再根据中点定义得，即可得． 【详解】（1）解：解方程， 得， ∵方程的解也是的方程的解， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点P在线段上时， ， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； 当点P在延长线上时， ， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 故线段的长为7或10． 4．（25-26六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“良好方程”．例如：方程和为“良好方程”，若关于x的方程与是“良好方程”，则关于y的方程的解是__． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解法和一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 先解方程 得 ，根据“良好方程”的定义，方程 的解为 ，将关于 的方程 变形为 ，则 ，即可求解． 【详解】解：解方程 得， ∵关于的方程 与 是“良好方程”， ∴方程 的解为 ， 将方程 变形为 ， ∴， ∴， 故答案为： 5．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）定义：如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程为“美好方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法，理解“美好方程”的定义是解题的关键． （1）表示出和的解，再根据“美好方程”的定义列式即可． （2）先解出的解，再根据“美好方程”的定义可得，即可列式求解a和b的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， 解得：， ∵， ∴， ∵方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴． （2）解：， 解得：， ∴方程的解为， ， ， ， ∵无论k取任何有理数，两个方程是 “美好方程”，， ，， 解得：，， ∴． 题型四：数轴动点问题与一元一次方程 1．（25-26六年级上·上海·期末）已知在数轴上对应的点为，数轴上点、在点的两侧（点在点的右侧），且它们到点的距离相等，现将点向左移动2个单位到点处，将点向右移动1个单位到点处，此时点到点的距离等于点到点的距离的一半，则点所对应的数是________． 【答案】 2或 【分析】本题考查数轴上的点表示的数及点对应的线段之间的和差、倍数关系、一元一次方程的解法，掌握数轴上点对应的线段之间的和差、倍数关系是解题关键，注意分类讨论的应用．设点所对应的数是，，则点所对应的数是，根据点到点的距离等于点到点的距离的一半，列出方程，求解即可． 【详解】解：设点所对应的数是，，则点所对应的数是． 点所对应的数是，点所对应的数是． 点到点的距离为， 点到点的距离为． ∵点到点的距离等于点到点的距离的一半， ∴． ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得，但不在范围内，舍去． 综上，点所对应的数是或． 故答案为：或． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，数轴上有A，B，C三个点，A、B、C对应的数分别是，且满足，动点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． (1)求a，b的值； (2)若点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数． 【答案】(1)a的值是，b的值是； (2)或4 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值的非负性，求出a，b的值；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用绝对值的非负性，可得出，，解之即可得出的值； （2）当运动时间为秒时，点P对应的数为，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解： ，， 解得：，， 答：a的值是，b的值是； （2）（秒） 当运动时间为秒时，点P对应的数为， 根据题意得， 即或， 解得：或， 当时，； 当时， 答：点P对应的数为或 3．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）已知数轴上有、两点，分别表示有理数，，且，满足式子，动点（对应数，速度单位/秒）、（对应数，速度单位/秒）． (1)动点从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发，经过几秒、相遇？相遇点对应数为多少？ (2)已知点表示，若，求此时与的距离． (3)从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发秒（），当时，沿数轴折叠使与重合，求折叠后的对应点（对应数的值）． 【答案】(1)经过3秒相遇，相遇点对应数为5 (2)4或 (3) 【分析】（1）先通过非负数性质求出、，再根据相遇时、的路程和等于、距离列方程求时间，进而求相遇点； （2）根据列绝对值方程，分情况解出对应的数，再计算与的距离； （3）先表示秒后、的位置，结合、表示、，根据列方程求，再求折叠点，进而得． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴的距离：， 设经过秒、相遇，由题意得， 解得， 相遇点对应数：； （2）解：， 由，得， 当时，， 解得， 与的距离：； 当时，， 解得， 与的距离：； 当时：， 解得（舍去） 综上，与的距离为或． （3）解：秒后，对应数：，对应数：， ，， 由，得， 当时，， ， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，， ， ∴或 解得（舍去）或（舍去）， 当时，， ， ∴或， 解得，（舍去）， 此时对应数：， 折叠点（、中点）：， 设对应数为，则， 解得． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值与平方的非负性、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间距离的表示方法，结合动点运动规律列方程求解是解题的关键． 4．（25-26六年级上·上海松江·期中）对于数轴上的三点，若其中一点到另一点的距离恰好是其到第三点距离的2倍，则称该点是另外两点的“倍距点”．例如，若数轴上点、、所表示的数分别为1、3、4，则点是点、的“倍距点”，如图所示： (1)在数轴上，若点表示的数为，点表示的数为3，数、1、7所对应的点分别为、、，则其中是点、的“倍距点”的是______． (2)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为秒（）．当点为点、的“倍距点”时，求的值． (3)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，点为数轴上的一个动点，且点在点右侧．若点、、中恰好有一个点是另外两个点的“倍距点”，求此时点表示的数． 【答案】(1)，； (2)或或； (3)表示的数是25或35或55． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）求出、、三点到点A和点B的距离，再根据“倍距点”的定义判断即可； （2）运动t秒后点P表示的数为，用含t的式子表示出的长，再分和两种情况，分别建立方程求解即可； （3）分三种情况：当点A是点B与点P的“倍距点”时，则，当点B是点A与点P的“倍距点”时，则或，当点P是点A与点B的“倍距点”时，则，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ，，，， ∴， ∴其中是点、的“倍距点”的是，； （2）解：由题意得，运动t秒后点P表示的数为， ∴，， 当时，则， ∴或， 解方程得，解方程得； 当时，则， ∴或， 解方程得（舍去），解方程得； 综上所述，或或； （3）解：设点P表示的数为x， 当点A是点B与点P的“倍距点”时，则， ∴， 解得； 当点B是点A与点P的“倍距点”时，则或， ∴或， 解方程得，解方程得； 当点P是点A与点B的“倍距点”时，则， ∴， 解得； 综上所述，点P表示的数为25或35或55． 5.（24-25六年级上·上海·期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示20，点C表示36，我们称点A和点C在数轴上相距56个长度单位．动点P、Q同时开始运动，点P从点A出发，以2单位／秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点C处停止运动；点Q从点C出发，以1单位／秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点A处停止运动．设运动的时间为t秒，问： (1)当点P运动3秒时，点P在数轴上表示的数是 ；当点Q运动12秒时，点Q在数轴上表示的数是 (2)动点P从点A运动至C点需要多少时间？ (3)P、Q两点何时相遇？相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】(1) (2)38 (3) (4)4 或 13 或 22 或 34 或 42 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，理解题意，找出等量关系，正确列出方程求解是解题的关键． （1）先求出点运动 3 秒的路程，再根据数轴上两点之间的距离公式计算即可；先求出点从点运动到点所用的时间，判断时，点位置，再根据此时的速度即可求出运动路程，从而求出点在数轴上表示的数； （2）根据的长除以各自的速度即为时间，相加即可； （3）首先判断出两点相遇在线段上的点处，根据相遇问题公式求出相遇时间，进而可以求出所对应的数； （4）根据的取值分类讨论，用表示出两点在数轴上相距的长度和两点在数轴上相距的长度，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点表示的数为：， ∵从到所用时间为：（秒）秒， 时，在上， ∴所表示数为：， 故答案为：； （2）解：从到所用时间为： （秒）； （3）解：从到所用时间为：（秒）， 从到所用时间为：（秒）， ∴两点在段相遇， 当到达点时，， ∴离开到相遇所用时间为：（秒）， ∴相遇总时间为：（秒）， 此时，， ∴相遇点所对应的数为：； （4）解：当时，， ， 解得：，符合题意； 当时，， ， 解得：，符合题意； 当时，， ， 解得：，符合题意； 当时，， ， ∴无解； 当时，， ， 解得：，符合题意； 当时，， ， 解得：，符合题意； 综上所述，或 13 或 22 或 34 或 42 时，两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等． 题型五：幻方中的一元一次方程 1．（24-25六年级上·上海长宁·期中）幻方历史悠久，是我国的传统游戏．幻方的游戏规则是将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如图是一个的幻方的一部分，则的值是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数加法的运算方法，一元一次方程的应用，以及幻方的特征和应用，首先根据图示，判断出它是一个三阶幻方，然后根据：三阶幻方的中心对称两数之和中间格的数，分别列方程求出、的值各是多少，再把求出的、的值相加即可． 【详解】解：根据图示，判断出它是一个三阶幻方， 由，可得：， 由，可得：， ∴． 故答案为：． 2．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则的值为______． 【答案】或 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列方程是解题的关键． 根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2，再由已经填写的数即可求解． 【详解】解：∵，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2， ∴， ∴， ∴内圈上空缺的数为：， 当外圈空缺数为时，则，解得， 则； 当外圈空缺数为时，则，解得， 则； 即的值为或． 故答案为：或． 3．（25-26六年级上·上海松江·期末）中国古代“洛书”记载的三阶幻方，是世界上最早的组合数学实例之一，其“每行、每列、对角线三数之和相等”的规律，蕴含着对称与均衡的数学美．在三阶幻方中，每行、每列及两条对角线上的三个数之和相等（该和称为幻和）．现有如图三阶幻方，其中所有数均为整数，则表中字母n的值为______． 10 5 8 4 7 【答案】3 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；利用幻和相等，建立方程求解即可． 【详解】解：设幻和为S，第二行第二列数为，第三行第二列数为，第三行第三列数为， 由第一行得，即； 由第二行得，即； 由右上到左下对角线得，即， 由得， 由第三列得，即，代入， 得，即， 由第二列得，代入得，即， 由左上到右下对角线得，代入，， 得， 又， 所以， 解得， 则， 验证幻和，所有行、列、对角线之和均为，符合条件； 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海虹口·期中）【数学背景】幻方是一种中国传统益智游戏，它是将数字安排在正方形格子中使每行、每列及对角线上的数字和都相等的方法． 【问题提出】 （1）如表①，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到的方格内，使每行、每列及对角线上的数字和都相等，则这个和是______． 表① 【模型迁移】 （2）表②是显示部分式子的幻方，用含的式子表示． 表② （3）表③是显示部分式子的幻方，求的值． 表③ 【答案】（1）15；（2）；（3）18 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确的列出算式和方程是解题的关键： （1）（1）分析题意，确定答案即可；填入符合要求的数字即可； （2）根据题意可得，整理即可获得答案； （3）结合题意，先求得，进而计算出，然后整体代入求值即可． 【详解】解：（1）将九个数填入到的方格内， 若使每行、每列及对角线上的数字和都相等，则这个和是． 故答案为：15； 在图①中填入数字，如下图； 2 9 4 7 5 3 6 1 8 （2）根据题意，可得， 整理可得； （3）根据题意，可有， 整理，可得， 又因为， 所以． 5．（24-25六年级下·上海·期末）幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 【答案】(1) (2) (3) 当时，如图： 9 16 11 14 12 10 13 8 15 当时，如下： 15 10 11 8 12 16 13 14 9 当时，如下 21 4 11 2 12 22 13 20 3 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意并列出方程是解题的关键． （1）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程，即可； （2）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程组，即可； （3）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程，再结合m，a为正整数，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得： ， 解得：； （3）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ∵m，a为正整数， ∴或或， 当时， 第三行的三个数从左到右依次为13，8，15，第三列三个数从上到下依次为11，10，15， 每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都36，如图 9 16 11 14 12 10 13 8 15 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下： 15 10 11 8 12 16 13 14 9 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下 21 4 11 2 12 22 13 20 3 题型六：关于一元一次方程阅读理解 1．定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】此题考查的是新定义，二元一次方程组的应用，方和的解，能够正确理解新定义是解决此题的关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）根据“反对方程”的定义建立方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程” 与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题可知，与、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， 与方程互为“反对方程”， ． （2）解：将写成的形式， ∵关于的方程与方程互为“反对方程”， ∴ ∴ （3）解：的“反对方程”为， 由得，， 当，得， 与的解均为整数， 与都为整数， 也为整数， 当时，，，都为整数， 当时，，，都为整数， 的值为． 2．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___________； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，求的值． (3)关于的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数的值． 【答案】(1)3 (2) (3)4，6，18 【分析】（1）先求出的解，再将方程的解代入，求出的值即可； （2）由得，，利用整体思想，将代入，求出的值即可； （3）求出方程的解，根据方程是“立信方程”得到方程的解为整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：，解得：， ∵的解也是关于的方程的解， ∴，解得：； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∵关于的方程的解也是“立信方程”的解， ∴， ∴，解得：； （3），解得：， ∵是“立信方程”， ∴是整数， ∴或， 解得：或或（不合题意，舍去）或， ∴符合要求的正整数的值为． 【点睛】本题考查方程的解，解一元一次方程．理解并掌握方程的解的定义，“立信方程”的定义，是解题的关键． 3．若规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵，∴方程与方程是“值3方程”． (1)下列方程中：①，②，③，组合满足为“值1方程”的是______，组合满足“值6方程”的是______（只填序号）； (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值； (3)无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，求mn的值． 【答案】(1)①②，①③ (2)或 (3)的值为或． 【分析】（1）先求出各个方程的解，然后根据“值Q方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解，再根据“值Q方程”的定义，列出关于a的方程，解方程即可； （3）先求出两个方程的解，再根据“值Q方程”的定义，列出含有k，m，n的方程，然后根据无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，列出关于m的方程，求出m，再求出n，从而求出答案即可． 【详解】（1）解：①， ； ②， ， ， ， ； ③， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴组合满足为“值1方程”的是①②，组合满足“值6方程”的是①③， 故答案为：①②，①③； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ∵关于x的一元一次方程和是“值2方程”， ∴， ∴，，， 解得：或18； （3）解：，，， ， ， ， ， ∵x的方程与关于y的方程是“值3方程”， ∴， ， ∴或5， 或15，即或15， ∵无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”， ∴， 解得， ∴或15， 把代入得： ， ， ； 把代入得： ， ， ； 当，时， ； 当，时， ； ∴的值为或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和新定义，解题关键是理解已知条件新定义的含义． 4．（25-26六年级上·上海普陀·期中）两个非零有理数a、b组成一个有理数对，如果与的和、差、积、商的结果同号，那么我们称有理数对为“保号数对”；如果与的和、差、积、商的结果同号且均为整数，那么我们称有理数对为“严格保号数对”． (1)分别判断和是否为“保号数对”； (2)如果和均为“严格保号数对”，求的值； (3)当和均为“保号数对”时，试说明也为“保号数对”的理由． 【答案】(1)是“保号数对”； 不是“保号数对” (2)或或15 (3) 解：设为“保号数对”， 当m与n的和、差、积、商的结果都是正数时， m和n都是正数，且， 当m与n的和、差、积、商的结果都是负数时， m是负数，n是正数，且， 回到题目，因为和为“保号数对”， 所以b和c都是正数，且， ①a为正数时，， 此时a和c都是正数，且， 所以a与c的和、差、积、商的结果都是正数，为“保号数对” ②a为负数时，， 此时a是负数，c是正数，且 所以a与c的和、差、积、商的结果都是负数，为“保号数对” 综上所述，当和为“保号数对”时，也为“保号数对”． 【分析】本题考查了有理数的运算，新定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据有理数的加、减、乘、除运算法则分别计算，判断即可； （2）由题意，可知a一定为整数，分两种情况讨论，结合“严格保号数对”的定义分析求解即可； （3）设为“保号数对”，当m与n的和、差、积、商的结果都是正数时，m和n都是正数，且；当m与n的和、差、积、商的结果都是负数时，m是负数，n是正数，且，然后回到题目，据此分析求证． 【详解】（1）解：；；；， ∴是“保号数对”； ；；；， ∴不是“保号数对”； （2）解：由题意，可知a一定为整数， 为正整数时，a一定是3的倍数，且a不等于3， 一定是60的因数，且不等于 60， 可得； 为负整数时，a的相反数一定是3的倍数，且a不等于， 一定是60的因数， ∴或， 可得或； （3）略 5．阅读下列材料，并回答问题．我们知道的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点，（如图所示），两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，的几何意义是数轴上，两数对应点之间的距离． (1)当时，求出x的值； (2)设，请问是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； (3)设，求的最小值，此时的取值范围是多少？ 【答案】(1)或 (2)Q有最大值11 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴上两点间的距离、化简绝对值，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）是数轴上表示和两点间的距离，据此即可求解； （2）分类讨论①、②、③即可求解； （3）先求出、的最小值，再求出的最小值即可． 【详解】（1）解：由题意得：是数轴上表示和两点间的距离， ， 或； （2）解：是数轴上表示的点到表示、5两点间的距离之差， ①时，； ②时，； ③时，； 综上所述，当时，有最大值11； （3）解：表示数到2、4、6、、2024的距离之和， 而2、4、6、、2024共有1012个偶数， 要使的值最小，根据已知阅读材料可知： 的最小值为：， 的最小值为：， ， 的最小值为， 的最小值为： ． 此时的取值范围是． 6．（23-24六年级·上海普陀·期中）阅读理解，并完成下列各题： 对于数轴上任意一点P，把与点P相距a个单位长度（a是正数）的两点所表示的数分别记作x和y（其中），并把x、y这两个数叫做“点P关于a的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于1的对称数组是． (1)如果点P表示数1，那么点P关于2的对称数组是 ； (2)如果，那么点P表示的数是 ，a的值是 ； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，，，两点同时从原点出发反向运动，当时，求点P、Q之间的距离． 【答案】(1) (2)2025，2023 (3)或10 【分析】（1）根据题意可知：点P关于2的对称数组也就是说与点P相距2个单位长度的两点．又知道点P表示数1,所以与点P相距2个单位长度的两点是,3．所以点P关于2的对称数组是． （2）表示与点p相距a个单位长度的两个点分别是2和4048,那么点P是这两个数表示点构成线段的中点,于是；,解答a表示的数是2023即可． （3）设点P表示的数为p,点Q表示的数为q,根据定义，,，于是,,根据得,解绝对值方程即可． 本题考查了新定义,解绝对值方程,熟练掌握定义,解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：如果点P表示数1,那么点P关于2的对称数组是, 故答案为：． （2）解：∵表示与点P相距a个单位长度的两个点分别是2和4048,那么点P是这两个数表示点构成线段的中点, ∴点P表示的数是：；, 解得, 故答案为：2025；2023． （3）设点P表示的数为p,点Q表示的数为q, ∵,,P、Q两点同时从原点出发反向运动, ∴，, ∵, ∴,即 ①当时, 故, 解得可得：； ②当时, 故, 解得：． 综上所述：点P、Q之间的距离是或10． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次方程压轴题汇编 题型一 绝对值方程 题型二 求方程中的参数值 题型三 一元一次方程解的关系 题型四 数轴上的一元一次方程 题型五 幻方中的一元一次方程 题型六 一元一次方程中的阅读理解 题型一：绝对值方程 1．（24-25六年级上·上海青浦·期中）解方程： 2．（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）如果，那么_____． 3．（23-24六年级下·上海·期末）如果，则________． 4．（23-24六年级下·上海宝山·期末）已知，那么_____． 5．（25-26六年级上·上海闵行·期中）定义：数轴上两点间的距离是指这两点所对应数的差的绝对值，即如果数m、n在数轴上对应的点分别是M、N，那么点M、N之间的距离． 已知，求的值．为了求出，可以用如下方法： 在数轴上，数对应的点分别是点A、B，数对应点． (1)点A、B之间的距离，当点在线段上时，，即当时，__________（填含的式子）； (2)根据可知，此时点到点A、B的距离之和比线段上的点到A、B的距离之和大，因此点不在线段上，根据上述信息，求点对应的数； (3)已知，求的值． 题型二：求一元一次方程中参数的值 1．（24-25七年级下·上海·阶段检测）已知关于x的不等式组无解，且关于y的一元一次方程有非负整数解，求m的值． 2．（24-25七年级下·上海·阶段检测）关于的方程的解是，求关于的不等式的解集，并求出满足条件的最小整数解． 3．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知关于的方程与的解相同，求的值． 4．（25-26六年级上·上海·期末）已知关于的方程有负整数解，则整数的所有可能的取值的和为________． 5．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 题型三：一元一次方程解的关系 1．（25-26六年级上·上海·期末）已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是______． 2．（24-25六年级上·上海·阶段检测）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______． 3．（24-25六年级上·上海·阶段检测）已知关于的方程的解也是关于的方程的解 (1)求，的值 (2)已知线段，在线段所在直线上取一点，恰好使，点是的中点，求线段的长． 4．（25-26六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“良好方程”．例如：方程和为“良好方程”，若关于x的方程与是“良好方程”，则关于y的方程的解是__． 5．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）定义：如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程为“美好方程”，求的值． 题型四：数轴上的动点问题与一元一次方程 1．（25-26六年级上·上海·期末）已知在数轴上对应的点为，数轴上点、在点的两侧（点在点的右侧），且它们到点的距离相等，现将点向左移动2个单位到点处，将点向右移动1个单位到点处，此时点到点的距离等于点到点的距离的一半，则点所对应的数是________． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，数轴上有A，B，C三个点，A、B、C对应的数分别是，且满足，动点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． (1)求a，b的值； (2)若点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数． 3．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）已知数轴上有、两点，分别表示有理数，，且，满足式子，动点（对应数，速度单位/秒）、（对应数，速度单位/秒）． (1)动点从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发，经过几秒、相遇？相遇点对应数为多少？ (2)已知点表示，若，求此时与的距离． (3)从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发秒（），当时，沿数轴折叠使与重合，求折叠后的对应点（对应数的值）． 4．（25-26六年级上·上海松江·期中）对于数轴上的三点，若其中一点到另一点的距离恰好是其到第三点距离的2倍，则称该点是另外两点的“倍距点”．例如，若数轴上点、、所表示的数分别为1、3、4，则点是点、的“倍距点”，如图所示： (1)在数轴上，若点表示的数为，点表示的数为3，数、1、7所对应的点分别为、、，则其中是点、的“倍距点”的是______． (2)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为秒（）．当点为点、的“倍距点”时，求的值． (3)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，点为数轴上的一个动点，且点在点右侧．若点、、中恰好有一个点是另外两个点的“倍距点”，求此时点表示的数． 5.（24-25六年级上·上海·期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示20，点C表示36，我们称点A和点C在数轴上相距56个长度单位．动点P、Q同时开始运动，点P从点A出发，以2单位／秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点C处停止运动；点Q从点C出发，以1单位／秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点A处停止运动．设运动的时间为t秒，问： (1)当点P运动3秒时，点P在数轴上表示的数是 ；当点Q运动12秒时，点Q在数轴上表示的数是 (2)动点P从点A运动至C点需要多少时间？ (3)P、Q两点何时相遇？相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 题型五：幻方中的一元一次方程 1．（24-25六年级上·上海长宁·期中）幻方历史悠久，是我国的传统游戏．幻方的游戏规则是将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如图是一个的幻方的一部分，则的值是______． 2．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则的值为______． 3．（25-26六年级上·上海松江·期末）中国古代“洛书”记载的三阶幻方，是世界上最早的组合数学实例之一，其“每行、每列、对角线三数之和相等”的规律，蕴含着对称与均衡的数学美．在三阶幻方中，每行、每列及两条对角线上的三个数之和相等（该和称为幻和）．现有如图三阶幻方，其中所有数均为整数，则表中字母n的值为______． 10 5 8 4 7 4．（25-26七年级上·上海虹口·期中）【数学背景】幻方是一种中国传统益智游戏，它是将数字安排在正方形格子中使每行、每列及对角线上的数字和都相等的方法． 【问题提出】 （1）如表①，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到的方格内，使每行、每列及对角线上的数字和都相等，则这个和是______． 表① 【模型迁移】 （2）表②是显示部分式子的幻方，用含的式子表示． 表② （3）表③是显示部分式子的幻方，求的值． 表③ 5．（24-25六年级下·上海·期末）幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 题型六：关于一元一次方程阅读理解 1．定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 2．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___________； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，求的值． (3)关于的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数的值． 3．若规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵，∴方程与方程是“值3方程”． (1)下列方程中：①，②，③，组合满足为“值1方程”的是______，组合满足“值6方程”的是______（只填序号）； (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值； (3)无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，求mn的值． 4．（25-26六年级上·上海普陀·期中）两个非零有理数a、b组成一个有理数对，如果与的和、差、积、商的结果同号，那么我们称有理数对为“保号数对”；如果与的和、差、积、商的结果同号且均为整数，那么我们称有理数对为“严格保号数对”． (1)分别判断和是否为“保号数对”； (2)如果和均为“严格保号数对”，求的值； (3)当和均为“保号数对”时，试说明也为“保号数对”的理由． 5．阅读下列材料，并回答问题．我们知道的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点，（如图所示），两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，的几何意义是数轴上，两数对应点之间的距离． (1)当时，求出x的值； (2)设，请问是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； (3)设，求的最小值，此时的取值范围是多少？ 6．（23-24六年级·上海普陀·期中）阅读理解，并完成下列各题： 对于数轴上任意一点P，把与点P相距a个单位长度（a是正数）的两点所表示的数分别记作x和y（其中），并把x、y这两个数叫做“点P关于a的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于1的对称数组是． (1)如果点P表示数1，那么点P关于2的对称数组是 ； (2)如果，那么点P表示的数是 ，a的值是 ； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，，，两点同时从原点出发反向运动，当时，求点P、Q之间的距离． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $