专题05 一元一次方程 章末56道压轴题型专训-2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

专题05 一元一次方程章末56道压轴题型专训（8题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、根据等式的性质解方程 1 题型二、一元一次方程的含参问题 2 题型三、一元一次方程的规律问题 3 题型四、一元一次方程的新定义问题 4 题型五、一元一次方程解的计算压轴题 5 题型六、一元一次方程解的拓展问题 6 题型七、一元一次方程的综合应用 7 题型八、一元一次方程与数轴有关问题 8 【经典例题一 根据等式的性质解方程】 1．（24-25七年级上·福建福州·期末）已知． (1)判断与是否相等，并说明理由； (2)当，求的值． 【答案】(1)， 理由：， ， ， ， ， ； (2)． 【分析】本题考查了等式的性质、解一元一次方程，解决本题的关键是根据等式的基本性质进行变形． （1）首先根据等式的基本性质把等式的两边同时乘以分母的最小公倍数，可得，然后再根据等式的基本性质把等式的两边同时加上9可得； （2）把代入，得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：把代入，得 ， ， ， ， 2．（25-26七年级上·湖北随州·期中）在利用等式的性质解方程时．小华同学是这样解的： 解：方程两边加3，得．① 化简，得． 方程两边除以，得．② 所以此方程无解． (1)上述过程中，第①步的依据是什么？ (2)请分析小华第②步产生错误的原因； (3)写出正确的解题过程． 【答案】(1)等式的性质1：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立． (2)方程两边除以x时，x可能为0，而0不能作为除数． (3) 正确的解题过程如下： 方程：， 方程两边加3，得， 方程两边减去，得， 即． 【分析】本题考查了利用等式的性质解方程． （1）根据等式的性质1作答即可； （2）根据等式的性质2作答即可； （3）根据等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：第①步的依据是等式的性质1：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立； （2）解：第②步错误的原因是：从，方程两边除以x，但x可能为0，而0不能作为除数； （3）略 3．（25-26六年级上·上海嘉定·单元测试）阅读理解题： 下面是小明将等式进行变形的过程： 根据等式的性质，得．① ．② ．③ (1)①的依据是_________________________； (2)小明从第_____（填序号）步开始出错，错误的原因是____________________； (3)利用等式的性质，给出正确的解法． 【答案】(1)等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 (2)③；等式两边都除以，为0时，等式不成立 (3) 解：根据等式的性质，等式两边都加上4，得， 即． 等式两边都减去，得， 即． 等式两边都除以－2，得． 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．等式的性质1、等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式；等式的性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （1）根据解方程的步骤及等式性质即可求得答案； （2）根据解题过程进行判断即可； （3）利用等式的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：小明①的依据是等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式； 故答案为：等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式； （2）解：小明出错的步骤是③，错误的原因是等式两边都除以0； 故答案为：③；等式两边都除以，为0时，等式不成立 （3）略 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）20个质量分别为1，2，3，…，19，20克的砝码放在天平两边，正好达到平衡． (1)试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且可从每边各取下同样多的偶数个砝码，仍能使天平保持平衡 ； (2)试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡 ． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： 【分析】本题主要考查了等式的性质1．弄清天平两边正好达到平衡，每边的质量和为105克是解题的关键． （1）将砝码①，③，…，⑳放在天平一边，砝码②，④，…，19克放在天平另一边，根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立，两边每次取质量和为21克的偶数个砝码即可； （2）将砝码①，②，…，14克放在天平一边，砝码15克，16克，17克，18克，19克，⑳放在天平另一边，根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立，从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡． 【详解】（1）解：天平一边是砝码①，③，…，⑳，天平另一边是砝码②，④，…，19克，两边每次取质量和为21克的偶数个砝码； （2）解：天平一边是砝码①，②，…，14克，天平另一边是砝码15克，16克，17克，18克，19克，20克，从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡． 5．（24-25七年级上·福建莆田·期中）下面是小青同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的问题． 解方程：． 解：．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 ．第五步 (1)填空：①以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是______； ②第______步开始出错，这一步错误的原因是______； (2)请正确解该方程． 【答案】(1)①等式的性质2；乘法分配律；②三；移项时前面的符号没有变号； (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）①观察解题过程即可得到答案； ②观察解题过程可得移项时前面的符号没有变号，据此可得答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：①以上解题过程中，第一步是依据等式的性质2进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是乘法分配律； ②第三步开始出错，这一步错误的原因是移项时前面的符号没有变号； （2）解：． ． ． ． ． 6．（2026·河北沧州·模拟预测）在解方程时，两位同学提出了如下两种解法． 嘉嘉的解法： 淇淇的解法： 利用分数的性质， 得， …… 利用等式的性质， 得， …… (1)对于嘉嘉的解法，他是将的分子、分母同时扩大为原来的________倍；对于淇淇的解法，他是将等式两边同时乘以________，或同时除以________； (2)从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程． 【答案】(1) ；； (2) 【分析】（1）根据分数的基本性质和等式的基本性质，分析两人的变形过程即可得到对应结果． （2）解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 变形为，是将分子分母同时扩大为原来的倍． 原方程变形为，是将等式两边同时乘或，也可同时除以得到， 因此对应结果为，或，． （2）解：选择嘉嘉的解法进行计算 原方程变形得： 两边同乘6去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得： 若选择淇淇的解法，过程如下： 原方程变形得： 两边同乘12去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得：． 7．（25-26七年级上·云南昭通·期末）解下列方程： 下面是某同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题： 解：去分母……第一步 去括号：……第二步 移项：……第三步 合并同类项：……第四步 系数化为1：……第五步 (1)在上述解题过程中，第一步变形的依据是_____； (2)请诊断这位同学的解答过程中，第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____； (3)直接写出该方程正确的解_____； (4)根据你平时的学习经验，就解一元一次方程时需要的注意事项给这位同学提一条建议以确保未来计算的准确性． 【答案】(1)等式的基本性质 (2)二；去括号时未变号 (3) (4)去括号时要注意符号是否需要改变，去分母时不能漏乘无分母项 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握等式的性质，解一元一次方程的步骤，是解题的关键． （1）根据等式的性质：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，作答即可； （2）第二步，等式的右边在去括号时应为，去括号时未变号； （3）根据解方程的步骤进行求解即可； （4）根据解方程的步骤中常见的易错点，进行作答即可． 【详解】（1）解：第一步变形的依据是等式的基本性质； （2）解：第二步开始出错，去括号时未变号； （3）解：， 去分母， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为1：； （4）解：去括号时要注意符号是否需要改变，去分母时不能漏乘无分母项． 【经典例题二 一元一次方程的含参问题】 8．（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）王老师在如下所示的木板上写了两个关于的方程，并解出方程①的解比方程②的解小4，求的值． ① ② 【答案】2 【分析】本题考查了解一元一次方程（三）——去分母，已知一元一次方程的解，求参数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出方程①的解，再根据两个方程解的关系求出方程②的解，得到关于的方程求解． 【详解】解：方程， 解得：， 方程①的解比方程②的解小4， 方程②的解为， 所以， 解得：． 9．（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”，例如：的解为的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”，若关于的一元一次方程与互为“阳光方程”，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程．分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可． 【详解】解：关于x的一元一次方程的解为：， 方程的解为：， ∵关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， ∴， ∴． 10．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）定义一种新运算“☆”：当时，；当时，． 例如：，． (1)计算； (2)已知，求的值； (3)若关于的方程的解为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，根据对应运算“☆”的定义计算即可； （2）分，两种情况分别列方程求解即可； （3）根据方程解的定义得，再根据对应运算“☆”的定义列出方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，， 解得：； 当时，， 解得：（不符合，舍去）， ∴的值为； （3）解：∵关于的方程的解为， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查新定义，解一元一次方程及一元一次方程的解，正确理解新定义、掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 11．（25-26七年级上·江西赣州·期末）若两个一元一次方程的解相差6，则称解较大的方程为另一个方程的“顺利方程”，例如方程是方程的“顺利方程”，理由：第一个方程解得，第二个方程解得，7比1大6，所以方程是方程的“顺利方程”． (1)方程是不是方程的“顺利方程”？请说明理由． (2)如果关于的方程是方程的“顺利方程”，求的值． 【答案】(1) 是，理由如下： 解得， 解得， ， 方程是方程的“顺利方程”； (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，熟练掌握以上知识点是关键． （1）分别解两个方程求出对应方程的解，再根据“顺利方程”的定义判断即可； （2）先解方程得到，则根据“顺利方程”的定义得到方程的解为，把代入方程中求出m的值即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：解方程得 关于的方程是方程的“顺利方程”， ∴的解为， 把代入得 解得． 12．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）定义：若一个关于x的一元一次方程的解与另一个关于y的一元一次方程的解满足，则称这两个方程为“五好关联方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以它们是“五好关联方程”． (1)判断方程与方程是否为“五好关联方程”，并说明理由； (2)若方程与方程是“五好关联方程”，求a的值； (3)已知方程与方程是“五好关联方程”，，且m、n均为正数，求m的值． 【答案】(1) 解：不是“五好关联方程”，理由如下： 方程的解为：， 方程的解为：， ，． ， 不是“五好关联方程”； (2)或 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用“五好关联方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“五好关联方程”的定义判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“五好关联方程”的定义列出关于a的方程，解答即可; （3）分别求得两个方程的解，利用“五好关联方程” 的定义列出关于m，n的方程，根据得出结果即可． 【详解】（1）略 （2）由得，由得， 由题意：， 或， 或； （3）由得，由得， 由题意：， ， ， ，整理得：． m为正数， 为正数， ，解得：． 13．（25-26七年级上·山东济宁·阶段检测）阅读下列材料，完成后面的任务： 我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则该方程为“和解方程”．例如方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 任务： (1)下列关于 x 的一元一次方程是“和解方程”的有 ．(填序号) ①；②；③． (2)若关于 x 的一元一次方程是“和解方程”，求a 的值． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）根据“和解方程”的定义逐一判断即可得到答案； （2）先求出方程的解，再根据“和解方程”的定义可得关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①解方程得， ∵， ∴方程不是“和解方程”； ②解方程得， ∵， ∴方程不是“和解方程” ③解方程得， ∵， ∴方程是“和解方程”； 故答案为：③； （2）解：解方程得， ∵关于的一元一次方程是“和解方程”， ∴， ∴， 解得． 14．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）活动与探究 我们来玩一个关于一元一次方程的“系数交换”游戏：把方程（均不为0）的一次项系数与常数项交换位置，得到新的方程．下面我们围绕这个游戏来解决几个问题： 【系数探秘】 （1）已知方程的解是，请写出这个方程经过“系数交换”后得到的新方程的解___________； 【初步应用】 （2）已知方程经过“系数交换”后得到的新方程与方程的解相同，求的值； 【拓展应用】 （3）已知方程经过“系数交换”后得到的新方程的解也是方程的解，则关于的方程的解是___________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了“系数交换”的新定义运算，一元一次方程的求解，解决本题的关键是理解“系数交换”的定义并整体代换求解． （1）根据一元一次方程的运算求解即可； （2）先求解方程的解，再将解代入到方程经过“系数交换”后得到的新方程中求解即可； （3）先化简方程，再进行“系数交换”可求解x的值，将关于的方程转化为即可求解． 【详解】解：（1）由，可得； 故答案为：； （2）由方程，可得，解得， 方程经过“系数交换”后得到的新方程为， 将代入中，可得， 解得； （3）方程可化为， “系数交换”后可得方程为， 解得， ∵关于的方程可转化为， ∴，解得． 故答案为：． 【经典例题三 一元一次方程的规律问题】 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）电子跳蚤落在数轴上的某点处，第一步从向左跳1个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到……按此规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点处，所表示的数恰是2004，试求电子跳蚤的初始位置点所表示的数． 【答案】1954 【分析】由题意知每跳两次完毕向右进1个单位，按此规律跳了100步后距出发地的距离是50个单位，且在的右侧，根据所表示的数恰是2004，即可求得初始位置点所表示的数． 【详解】解：由题意知每跳两次完毕向右进1个单位，而， 所以电子跳蚤跳100步后距出发地的距离是50个单位，且在的右侧， 又因为表示2004， 所以表示． 【点睛】本题考查了数轴、图形的变化规律，得到每跳动2次相对于原数的规律是解题的关键． 16．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）已知两动点，均在数轴上匀速运动，运动规律如下表： 运动时间（秒） 0 1 5 10 … 点表示的数 25 … 点表示的数 6 … (1)补全表格中数据． (2)当点，重合时，求点表示的数． 【答案】(1)，10，8， (2)点表示的数为或 【分析】本题考查了数轴，数形结合和方程思想是解题的关键． （1）根据路程，速度和时间的关系求解； （2）根据两点之间的距离公式求解． 【详解】（1）解：点的移动速度为：， ，， 点的移动速度为：， ，， 故答案为：，10，8，； （2）设、两点的移动秒时重合， 则：， 解得：或， 当时，表示的数为：， 当时，表示的数为：． 点表示的数为或． 17．（2025·安徽合肥·一模）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．图为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；图为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块； (1)按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加______块，三角形地砖会增加______块； (2)若铺设这条小路共用去块六边形地砖，用去的正方形地砖数量比用去的三角形地砖数量多块，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）根据图形找出变化规律即可求解； （）根据（）得出的规律列出方程计算即可； 本题考查了图形的变化规律，列代数式，一元一次方程应用，根据已知图形找到变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块； 第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块； 第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块； ， ∴第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块， ∴每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加块，三角形地砖会增加块， 故答案为：，； （2）解：当六边形地砖数量为块时，正方形地砖有块，三角形地砖有块， 由题意得，， 解得， ∴的值是． 18．（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图1是一个数表，现用一个矩形在数表中图中所示的方式任意框出4个数，若任意框出的数为图2中的a，b，c，d四个数，请根据数表中的规律解决如下问题：    (1)若，则 ； ； (2)a与c的数量关系是 ； (3)当时，求的值． 【答案】(1)22，21 (2) (3)241 【分析】本题考查了代数式求值和一元一次方程的应用，解题的关键是结合图表弄清题意． （1）结合图可分别求出b和c； （2）结合图任意列举两组数字，即可发现与的关系； （3）根据已知条件列一元一次方程求解，再求代数式的值即可． 【详解】（1）解:由数表可得，若，则，， 故答案为：22，21； （2）由数表可得，a与c的数量关系是， 故答案为：； （3）将代入，得， 解得：， 则， ． 19．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路学生改编了下列几题： (1)计算： ①__________； ②__________． (2)蚂蚁在数轴的原点O处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位…按照这个规律，第2024次爬行后蚂蚁在数轴什么位置？ 【答案】(1)①；②； (2)第2024次爬行后蚂蚁在数轴上的． 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据例题思路将加数合理分组，从中找到和为固定常数的规律． （1）①由每两个数为一组、其和为，共1011组，据此可得；②由每两个数为一组、其和为，共506组，据此求解可得； （2）根据题意列出算式：，每四个数为一组、其和为，共506组，据此求解可得． 【详解】（1）解：（1）①； ②； 故答案为：、； （2）根据题意知第2024次爬行后蚂蚁在数轴上的 ． 20．（25-26七年级上·贵州毕节·期末）在如图所示的2020年8月份日历中， （1）用一个长方形的方框圈出任意3×3个数，如果从左下角到右上角的“对角线”上的3个数字的和为39，那么这9个数的和为多少？ （2）这个长方形的方框圈出的9个数的和能为216吗？ （3）如果任意选择如上的阴影部分，那么其中的四个数a、b、c、d又有什么规律呢？请用含a、b、c、d的等式表示．（其中a、b、c、d四个数之间的大小关系是a＜b＜c＜d，a、b、c、d为整数） 【答案】（1）162；（2）不能，理由见解析；（3）a＝b﹣1＝c﹣6＝d﹣7或b＝a+1＝c﹣5＝d﹣6或c＝a+6＝b+7＝d﹣1或d＝a+7＝b+6＝c+1． 【分析】（1）设对角线中间一个数为x，那么左下角的数为x+6，右上角的数为x﹣6，再列方程求出中间一个数，即可得答案； （2）设中间的数为y，列出方程求解，再检验是否符合题意即可； （3）观察表格中的四个数以其中一个为基准，再表示其余三个，可得四个数的关系． 【详解】解：（1）设对角线中间一个数为x，那么左下角的数为x+6，右上角的数为x﹣6， x+x+6+x﹣6＝39 解得x＝13， 则这9个数的和为5+6+7+12+13+14+19+20+21＝162； （2）不能．理由如下： 设中间的数为y，则这9个数分别为： 则＝216， 解得y＝24， 那么矩形右下角的数为24+8＝32，这是不可能的， ∴不能； （3）由表格信息可得： a＝b﹣1＝c﹣6＝d﹣7或b＝a+1＝c﹣5＝d﹣6或c＝a+6＝b+7＝d﹣1或d＝a+7＝b+6＝c+1． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握“利用一元一次方程解决日历问题”是解本题的关键，从表格信息中发现数与数之间的联系是解本题的难点. 21．（25-26七年级上·福建福州·期末）综合实践活动：探究杆秤的制作与原理 【探究原理】 学生通过查阅资料，了解到杆秤的主要组成部分为秤杆、秤盘（秤钩）、秤砣和提纽．现为探索杆秤称重的原理，进行木杆挂重物实验探究影响杆秤平衡的因素（如图1），并用表格记录了实验数据如下： 支点左端 支点右端 木杆状态 重物质量a（） 到支点的距离m（） 重物质量b（） 到支点的距离n（） 5 15 5 15 平衡 ① 7.5 5 15 平衡 15 5 5 15 平衡 20 ② 5 15 平衡 … … 5 15 平衡 【建构模型】 （1）请你通过实验发现的规律补全实验记录①②，并写出当木杆平衡时a、m、b、n的数量关系； 【应用模型】 （2）学生发现上述平衡条件符合杠杆原理，并以此为依据，利用以下材料制作了一个杆秤：一根长为的匀质木杆，一个自重的秤盘，一个自重的秤砣，提绳系于点O（支点），秤盘系于点A处，点A位于O、M两点之间，且与木杆右端M的距离为，秤砣悬挂点B位于支点O至与木杆左端N相距处之间的范围内移动（如图2所示）． 小明用此杆秤称量的重物（放入秤盘），在杆秤平衡时他测得此时秤盘悬挂点A与秤砣悬挂点B之间的距离． ①求的距离； ②在小学学习正比例时，对于两个值为正数的量，当它们成正比例关系时，由图象可知一个量随着另一个量的增大而增大．请根据此信息，求此杆秤能够称量的最大物重． 【答案】（1）， ①处数值为， ②处数值为， 补全实验记录①②，表格如下： 支点左端 支点右端 木杆状态 重物质量a（） 到支点的距离m（） 重物质量b（） 到支点的距离n（） 5 15 5 15 平衡 ① 7.5 5 15 平衡 15 5 5 15 平衡 20 ② 5 15 平衡 … … 5 15 平衡 （2）①的距离；②此杆秤能够称量的最大物重 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正比例关系的应用； （1）通过实验发现的规律：支点左右两端重物质量与到支点的距离的乘积相等，即；根据规律填空即可； （2）①先求出，再根据（1）中平衡条件可得：，代入解方程即可求出的距离； ②先求出秤砣悬挂点B到支点O的最大距离，设杆秤能够称量的最大物重，根据（1）中平衡条件可得：代入数值解方程即可． 【详解】解：（1）通过实验发现的规律：支点左右两端重物质量与到支点的距离的乘积相等，即； 由表格可得①处数值为，则，解得； ②处数值为，则，解得； （2）①∵， ∴， 根据（1）中平衡条件可得：， ∴， 解得， 即的距离； ②由题意可得，，， ∴， ∵秤砣悬挂点B位于支点O至与木杆左端N相距处之间的范围内移动， ∴秤砣悬挂点B到支点O的最大距离， 设杆秤能够称量的最大物重， 根据（1）中平衡条件可得：， 即， 解得， ∴此杆秤能够称量的最大物重． 【经典例题四 一元一次方程的新定义问题】 22．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）自定义新运算：，已知，求 【答案】 【分析】根据自定义新运算变形，转换过后得到解方程即可． 【详解】解：∵根据题意 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 23．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）对于数、定义新运算：，那么，求的值． 【答案】 【分析】根据新定义，列出方程，解方程即可． 【详解】解：由定义可知，， ∴原方程可化为： 故， 整理，得， 解得，． 24．（24-25七年级下·江西赣州·期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)3或 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，理解“友好方程”的定义是解题的关键． （1）先求出方程的解，根据“友好方程”的定义得出的解，代入得到关于m的方程，解方程即可； （2）先解和，根据得出两个解互为相反数，列式计算即可； （3）设该“友好方程”的一个解为n，则另一个解为，分和两种情况，分别解方程即可． 【详解】（1）解：解方程，得：， 则的解为， 将代入，得：， 解得； （2）解：解，得：， 解，得：， 则， 解得； （3）解：设该“友好方程”的一个解为n，则另一个解为， 当时，解得， 当时，解得， 综上可知，的值为3或． 25．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______． (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：∵与方程互为“反对方程”， ∴， 故答案为：5． （2）解：将写成的形式， 将写成的形式， ∵与方程互为“反对方程”， ∴， ∴， ； （3）解：的“反对方程”为， 由得，， 由，得， ∵与的解均为整数， ∴与都为整数， ∵c也为整数， ∴当时，，，都为整数， 当时，，，都为整数， ∴c的值为． 26．（25-26七年级下·四川达州·阶段练习）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”． (1)若方程与关于的方程互为“归一方程”，求的值； (2)若关于的方程与关于的方程互为“归一方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】理解题意，根据新定义得到新的方程是解题的关键． （1）分别解两个方程，令两方程解的和为1列关于m的方程并求解即可； （2）分别解两个方程，令两方程解的和为1列关于a的方程并求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵方程与方程互为“归一方程”， ∴， ∴； （2）解：解方程，得， 解方程，得， ∵方程与方程互为“归一方程”， ∴， ∴． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）新定义：如果有理数m，a，b满足条件，那么m称为a与b的“对称数”．如：，3称为5.5与0.5的“对称数”． (1)下列关于“对称数”的说法正确的是________（填序号）． ①4.5是3与6的“对称数”； ②与3的“对称数”是0； ③1是与3的“对称数”． (2)若5是3与x的“对称数”，则________；与6的“对称数”是________． (3)若m是a与b的“对称数”，也是c与d的“对称数”，写出一个a，b，c，d之间始终成立的相等关系． 【答案】(1)①② (2)7，2 (3) 【分析】本题考查绝对值方程的应用，数轴上两点之间的距离，正确理解新定义并灵活应用是解题的关键． （1）根据“对称数”的定义逐项判断即可； （2）根据“对称数”的定义分别列方程求解即可； （3）根据“对称数”的定义得到，，然后得到在数轴上，a，b到m的距离相等，且，c，d到m的距离相等，且，进而求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴4.5是3与6的“对称数”，故①正确； ②∵，， ∴与3的“对称数”是0，故②正确； ③∵，， ∴1不是与3的“对称数”，故③错误； ∴正确的是①②； （2）解：∵5是3与x的“对称数” ∴ ∴ ∴或 ∴或（舍去）； 设与6的“对称数”是y 根据题意得， ∴ ∴或 ∴（舍去）或； （3）解：因为m是a与b的“对称数”，也是c与d的“对称数”， 所以，， 所以在数轴上，a，b到m的距离相等，且，c，d到m的距离相等，且， 所以，， 所以． 28．（25-26六年级下·山东威海·期中）阅读下面的内容，并完成相应任务． 成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”． 任务： (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”． (2)若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】求已知方程的解，再根据“成双方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 根据“成双方程”的定义，两个方程的解之和为2， ∴另一个方程的解为， 那么这个一元一次方程可以是（答案不唯一）． （2）解方程得， ∵两个方程互为“成双方程”， ∴方程的解为， 将代入方程得， 解得． 【经典例题五 一元一次方程解的计算压轴题】 29．（25-26七年级下·河南周口·期末）已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求a的值． 【答案】 【分析】分别解两个方程，根据两个方程的解的关系列方程并解方程即可求出a的值． 【详解】解：的解为， 方程的解为 由题意： 解得 30．（2026·河北廊坊·二模）算式被遮住了一部分． (1)若被遮住的数为1，求算式的运算结果； (2)若算式的运算结果为，求被遮住的数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入数字计算即可； （2）设被遮住的数为x，根据题意列方程计算即可（也可通过逆运算原算式直接求解）． 【详解】（1）解：由题意，得原式； （2）解：设被遮住的数为x，根据题意， 得， 解得， 故被遮住的数为9． 31．（25-26七年级上·广东湛江·期中）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由是方程的解，得，解关于的方程，再将的值代入计算即可； （3）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴ ， ∴ ， 解得：， ∴ ， ∴的值为； （3）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为． 32．（25-26七年级下·山东淄博·期末）新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以这两个方程互为“成双方程”． (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”； (2)若关于的方程和互为“成双方程”，求的值． 【答案】(1) （答案不唯一） (2) 【分析】理解“成双方程”的新定义，先求出已知方程的解，再根据定义得到待求方程的解，代入计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， 根据“成双方程”的定义，所求方程的解为， ∴满足条件的一元一次方程可以是（答案不唯一）． （2）解：，解得：， ∵方程和互为“成双方程”， ∴方程的解为， 将代入方程，得， 整理得：， 解得：． 33．（25-26七年级下·河南南阳·周测）学完一元一次方程解法，老师出了一道解方程题目：，小玲同学的解题步骤如下： ①去分母，得； ②去括号，得； ③移项，得 ； ④合并同类项，得； ⑤系数化为1，得． (1)聪明的你觉得小玲的解答过程正确吗？答：_______（填“是”或“否”）；如果不正确，第_______步（填序号）出现了问题； (2)请你写出该题正确的解答过程． 【答案】(1)否， (2)解题过程见解析 【分析】根据方程的解题步骤分析判断即可． 【详解】（1）由题目中的解题过程可得：小玲的解题过程不正确，在去分母这一步出现了问题； （2）， 去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为1：． 34．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）阅读与思考阅读下列材料，完成后面任务． 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 基本思路：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 任务： (1)解方程：． (2)解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（）仿照题干作答即可； （）对于形如的方程，等价于或，因此，对于方程，可变形为；因此，解方程 ，只需解与 即可. 【详解】（1）解：根据绝对值的意义，得或， 解得或． （2）解：， 原方程可化为， 由绝对值的意义得：或， 解得或． 35．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）在学习解方程时，张老师给出题目，解方程：．下面是小刚和小红的探究过程，请补充完整． (1)小刚：这是一元一次方程，求解就要将方程化为“”形式．通过观察我发现此方程中有括号，我认为应先 ，依据是 ，然后再通过移项、合并同类项、系数化为1就可以得到方程的解了． (2)小红：通过观察我发现此方程中有分母，所以我认为先 ，方程左右两边都 ，依据是 ，然后再通过其它的变形就可以得到方程的解了． (3)请你选择其中一个思路进行解答． 【答案】(1)去括号，乘法分配律 (2)去分母，乘以2，等式的基本性质二 (3) 解：①选小刚的思路，， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； ②选小红的思路，， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的基本性质，一元一次方程的定义，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可 （2）根据解一元一次方程的方法以及等式的性质，由去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可 （3）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知应先去括号，依据是乘法分配律． 故答案为：去括号，乘法分配律． （2）解：根据题意，可知先去分母，方程两边都乘以，依据是等式的基本性质二． 故答案为：去分母，乘以，等式的基本性质二． （3）略 【经典例题六 一元一次方程解的拓展问题】 36．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）绝对值的几何意义；在数轴上，表示数a的点到原点的距离可表示为，即．类似地，表示数a的点到表示数3的点的距离可表示为． 【类比探究】 （1）表示数x的点到表示数的点的距离为7．可记为______，那么______． 【解决问题】 （2）当x满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【拓展迁移】 （3）直接写出的最小值． 【答案】（1），或；（2）当时，的值最小，最小值为5；（3）12 【分析】本题考查了绝对值的几何意义以及化简绝对值： （1）直接利用距离公式列方程求解； （2）利用数轴上两点距离和的最小值原理，当点位于两点之间时和最小； （3）通过绝对值的几何意义得出当时，最小，当时，最小，再分别求解之后比较即可． 【详解】解：（1）表示数x的点到表示数的点的距离为7．可记为， ∴或， ∴或， 故答案为：，或；． （2）表示点到的距离，表示点到的距离． ∴表示点到和的距离之和． 当点在和之间时，距离之和最小，最小值为到的距离，即． ∴当时，的值最小，最小值为． （3）， 当时，取最小值， 当时，取最小值， 所以，当时，取最小值为． 37．（25-26七年级上·全国·期中）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2） 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是，． (1)解方程：； (2)探究：当为何值时，方程，①无解；②只有一个解；③有两个解． 【答案】(1)此方程无解 (2)①无解，；②只有一个解，；③有两个解， 【分析】此题考查含绝对值的一元一次方程，掌握绝对值的意义是解决问题的关键． （1）分两种情况：，探讨得出答案即可； （2）由题意可知：①无解；②只有一个解；③有两个解，分别求得答案即可． 【详解】（1）解：， 当时，此方程不成立； 当时，原方程化为，解得：，不合题意， 所以此方程无解； （2）解：， ①方程无解，则，所以； ②方程只有一个解，则，所以； ③方程有两个解，则，所以． 38．（25-26七年级上·山东济宁·期末）方程思想，解决问题 【阅读理解】 你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法． 例题：利用一元一次方程将化成分数，设，那么，而，所以，化简得，解得．所以，． 【问题探究】 (1)请仿照上述方法把化成分数为______；（直接写出结果） (2)请类比上述方法，把循环小数化为分数，写出解题过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）设①，则②，②-①得出9x=7，再求出x即可； （2）设①，则②，②-①得出99y=16，再求出y即可． 【详解】（1）设①，则②， ②-①，得9x=7， 解得：x=， 即， 故答案为：； （2）设①，则②， ②-①，得99y=16， 解得：y=， 即． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能选择适当的方法求解是解此题的关键． 39．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为 ； （2）已知方程，则的值为 ； 【拓展创新】 （3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，将原方程进行正确的变形是解题的关键， （1）将方程两边同除以3即可求得答案； （2）将方程两边同除以3即可求得答案； （3）将程两边同除以2024可得，再根据题意可得，解得的值即可． 【详解】（1）解：方程 ， 故答案为：6； （2）解：方程， ， 故答案为：6； （3）解：已知关于的一元一次方程， 两边同除以2024变形得：， 关于的一元一次方程的解为， ，解得：， 关于的一元一次方程(的解为． 40．（2025七年级上·湖北武汉·专题练习）对于有理数，我们规定：： 例如． 【知识运用】 （1）若，则___________． 【知识迁移】 （2）若关于的方程有且只有三个不相等的解，求的值及相应方程的解． 【拓展提升】 （3）若，且，求的值． 【答案】(1) 4或 (2) 的值为1011，方程的解为3或2025或 (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算、含有绝对值的方程、解一元一次方程等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据自定义运算法则求解即可； （2）由题易得或，根据方程有且只有三个不相等的解可知有一个绝对值方程为0，继而分类讨论求解即可； （3）先由，变形整理可得，再结合和可得，即可得解． 【详解】解：（1），， ， ， 或， 或； 故答案为：4或； （2）， ， 或， 原方程存在三个不等解， 或， ，， ， ， 或， 或2025或， 答：的值为1011，方程的解为3或2025或； （3），， ， ，即， ， ， ， ， 整理可得， ， 且，， ， ． 41．（25-26七年级下·河南周口·期中）【阅读理解】 在解一元一次方程时，有时根据方程的特点，巧妙利用“整体思想”，可以达到简化计算的目的．例如：在解方程时，可把看作一个整体，令，原方程变为，解得，即，解得． 【尝试运用】 (1)请用材料中介绍的方法解方程：． (2)已知关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为________． (3)【拓展创新】已知关于x的一元一次方程的解为，直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，原方程变为，按照材料中介绍的方法求解即可； （2）令，则原方程变为，根据题意求得，据此求解即可； （3）将方程两边同除以2026可得，再根据题意可得，解得的值即可． 【详解】（1）解：令，原方程变为， 解得，即， 解得； （2）解：令，则原方程变为， ∵关于x的方程的解为， ∴， ∴， 解得； （3）解：已知关于的一元一次方程， 两边同除以2026变形得：， 关于的一元一次方程的解为， ，解得：， 关于的一元一次方程的解为． 42．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）【方法引入】 数轴上两点之间的距离可以用这两个点表示的数通过减法运算得到． 如图，点A，B间的距离为：； 点B，C间的距离为：； 点A，C间的距离为：． 【方法应用】 数轴上点P，Q代表的数分别为和4，求点P，Q间的距离； 数轴上点M，N代表的数分别为和，求点M，N间的距离； 【方法拓展】 数轴上的两个点之间的距离为6，其中一个点表示的数为3，求另一个点表示的数． 【答案】方法应用：点P，Q间的距离为；点M，N间的距离为；方法拓展：另一个点表示的数为或． 【分析】方法应用：根据数轴上两点间的距离求解即可； 方法拓展：根据数轴上两点间的距离和列绝对值方程进行求解即可 ． 本题考查数轴上两点间的距离、解绝对值方程等知识，涉及数形结合方法，是重要考点，解题的关键是理解题意，掌握相关知识． 【详解】方法应用：∵数轴上点P，Q代表的数分别为和4， ∴点P，Q间的距离为； ∵数轴上点M，N代表的数分别为和， ∴点M，N间的距离为； 方法拓展：设另一个点表示的数为m． 由题可得，， 解得或， 即另一个点表示的数为或． 【经典例题七 一元一次方程的综合应用】 43．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）某车间12位木工师傅制作方凳零件，每位师傅一天可以制作45个凳面或者60条凳腿，1个凳面可以和4条凳腿配套组装成一个方凳，那么安排几位师傅制作凳面，几位师傅制作凳腿能够使得每天生产的凳面和凳腿恰好配套？ 【答案】安排3位师傅制作凳面，安排9位师傅制作凳腿能够使得每天生产的凳面和凳腿恰好配套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设安排x位师傅制作凳面，则安排位师傅制作凳腿，则一共制作凳面个，制作凳腿个，再根据1个凳面可以和4条凳腿配套组装成一个方凳建立方程求解即可． 【详解】解：设安排x位师傅制作凳面，则安排位师傅制作凳腿 由题意得，， 解得， ∴， 答：安排3位师傅制作凳面，安排9位师傅制作凳腿能够使得每天生产的凳面和凳腿恰好配套． 44．（25-26七年级上·广东韶关·期末）把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分2本，则剩余17本；若每人分3本，则差31本． (1)这个班有多少名学生？ (2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要30h完成．现计划由一部分人先做3h，然后增加2人与他们一起再做6h，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 【答案】(1)这个班有名学生 (2)应先安排2人整理图书 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，包括盈亏问题和工程问题，关键是根据题目中的等量关系列出方程求解． （1）通过设未知数，利用图书总数不变这一等量关系列方程．设这个班有名学生，根据“每人分2本剩余本”可得图书总数为，根据“每人分3本差本”可得图书总数为，两者相等即可列出方程求解． （2）将总工作量看作1，设先安排人，先做的工作量为，增加2人后做的工作量为，总工作量之和等于1，据此列方程求解． 【详解】（1）解：设这个班有名学生， 根据题意，得， 解得； 答：这个班有名学生． （2）解：设先安排人整理图书，工程总量为1， 根据题意，得， 解得． 答：应先安排2人整理图书． 45．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，几张大小不相等的正方形纸片A，B，…，I，无重叠地铺满了一块长方形纸片．已知正方形纸片E的边长为7，求其余各正方形纸片的边长． 【答案】正方形A，B，C，D，F，G，H，I的边长分别为18，15，14，4，8，10，1，9． 【分析】考查一元一次方程的应用；利用最小的正方形的边长表示出其余正方形的边长是解决本题的难点；利用最大正方形的边长相等得到等量关系是解决本题的关键．可从中间最小的正方形的边长入手思考，表示出其余正方形的边长，根据的边长相等列式求解即可． 【详解】解：设中间正方形的边长为，则的边长为，的边长为的边长，的边长为的边长，的边长为的边长，的边长为的边长，的边长为的边长，的边长的边长的边长，或者的边长的边长的边长， ， 解得， ；；；；；；； 答：正方形A，B，C，D，F，G，H，I的边长分别为18，15，14，4，8，10，1，9． 46．（2026·安徽·三模）合肥是全国综合性国家科学中心，科创文创产品深受青少年喜爱．合肥某科创文创店，用元购进、两款合肥本土科创联名文具，其中款文具的数量比款文具数量的一半多件．两款文具的进价和售价如下表： 科创联名文具 款 款 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该文创店购进、两款文具各多少件？ (2)该文创店将购进的、两款文具全部售完后，一共可获得多少利润？ 【答案】(1)购进款文具件，款文具件 (2)全部售完后一共可获得利润元 【分析】（1）先设购进款文具的数量为未知数，根据款文具的数量比款文具数量的一半多件表示出款文具的数量，再结合总进价为元，列一元一次方程求解出两款文具的数量； （2）根据单件利润售价进价分别求出两款文具的单件利润，再结合各自的数量，计算总利润． 【详解】（1）解：设购进款文具件，则购进款文具件． 可列方程：． 解得：． 款文具数量：（件） 答：购进款文具件，款文具件． （2）解： 款单件利润：元， 款单件利润：元 总利润：元 答：全部售完后一共可获得利润元． 47．（24-25七年级上·广东韶关·期末）为提高学生的数学学习兴趣，某校组织了一次数学知识竞赛，共有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5位参赛同学的得分情况．根据以上信息，请你解答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)填空：答对一题得_____分，答错一题扣______分； (2)参赛同学得76分，他答对了几题？ (3)参赛同学说他得了36分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5 ，1； (2)参赛者F答对了16道题； (3) 不可能，理由如下： 假设参赛者G得36分，设答对了y道题，答错了道题， 由题意得：， 解得：， ∵y为整数， ∴参赛者G说他的得分为36分，是不可能的． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际运用，解答时抓住“答对题所得分−−答错题所扣分=总得分”是关键． （1）先由选手A算出答对一题所得分数，再由选手B算出答错一题扣分即可； （2）设答对了x道题，答错了道题，根据题意构造方程，解方程即可； （3）设答对了y道题，答错了道题，根据“答对的得分+答错的得分分”列方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： （分）， 答错一题的得分是：（分）， 答对一题的得5分；答错一题扣1分； （2）设参赛者F答对了x道题，答错了道题，由题意得： 解得： ∴参赛者F答对了16道题； （3）略 48．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）星期天，小智和慧慧从学校出发，骑行前往某景区游玩．已知如下信息： ①他们返回时的平均速度比去时的平均速度每小时快； ②他们去时骑行的位置，离景区还有： ③返回时因绕道多走了： ④返回用时．根据上面信息，求： (1)他们去时骑行的平均速度是多少？ (2)小智和慧慧此次骑行往返的总时间是__________小时． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算． （1）设去时的平均速度为，则返回时的平均速度为，根据题意列方程求解即可； （2）先算出学校与景区之间的距离，再根据（1）中结论求解即可． 【详解】（1）解：设去时的平均速度为，则返回时的平均速度为， 根据题意，得， 解得：， 答：他们去时骑行的平均速度是． （2）解：根据（1）可得他们去时骑行的平均速度是，返回时的平均速度为， 学校与景区之间的距离为， ∴小智和慧慧此次骑行往返的总时间是， 故答案为：． 49．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 (1)根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． (2)根据上表数据，求A型节能灯的单价． (3)若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 【答案】(1)50元/个 (2)A型节能灯的单价为100元/个 (3)售出的A型号的节能灯有11件，B型号的节能灯有4件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，观察表格数据先推出B型节能灯单价，设A型节能灯的单价，根据6月16销售情况列关于的方程，解出即可求出A型节能灯单价；设A和B型节能灯的件数和，根据题意，列关于的方程，即可求出两种型号节能灯各自的件数． 【详解】（1）解：6月15日的销售情况可知，售出0个A型节能灯，1个B型节能灯，总售价为50元， B型节能灯的单价为50元/个． （2）解：设A型节能灯的单价为元/个，根据6月16日的销售情况，售出1个A型节能灯，2个B型节能灯，总售价为200元， 可列方程得， 解得， A型节能灯的单价为100元/个． （3）解：设售出A型节能灯个，则售出B型节能灯个，根据题意，可列方程得 ， 解得， ． 售出的A型号的节能灯有11个，B型号的节能灯有4个． 【经典例题八 一元一次方程与数轴有关问题】 50．（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，为数轴的原点，面积为20的长方形的边在数轴上，的长为4． (1)点A表示的数为________；（直接写结果） (2)将长方形在数轴上水平移动，移动后的长方形记为，若移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积是8，求点表示的数． 【答案】(1) (2)8或2 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间的距离，解一元一次方程的运用，掌握数轴上两点之间距离的计算方法，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据长方形的面积可得，由此即可求解； （2）根据图形的平移，分类讨论：当长方形在数轴上水平向右移动时，根据题意可得；当长方形在数轴上水平向左移动时，根据题意可得；由此即可求解． 【详解】（1）解：长方形的边在数轴上，的长为，面积为， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：； （2）解：当长方形在数轴上水平向右移动时，如图所示， 移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积是8， ， 解得，． 点表示的有理数为：， 点表示的有理数为：； 当长方形在数轴上水平向左移动时，如图所示， 移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积是8， ， 解得，， 点表示的有理数为：2； 综上所述，点表示的数为8或2． 51．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上点同时运动，规定向右为正方向，表格为不同时间对应数字： 时间 点M对应数 15 3 点对应数 1 9 (1)补全表格； (2)判断两点运动过程中是否相遇，若相遇，求出相遇点表示的数； (3)运动时间为，若，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)相遇，相遇点表示的数为 (3)或5 【分析】（1）根据表格求出点和点的运动方向和速度，即可得解； （2）设运动时间为，则点对应数为，点对应数为，根据两点相遇时对应数相等列方程求出的值，再求出相遇点表示的数即可； （3）设运动时间为，则，，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点在时的对应数为，在时的对应数为， 点的运动速度为，即点向左运动，每秒移动3个单位长度， 点在的对应数为； 由题意可知，点在时的对应数为，在时的对应数为， 点的运动速度为，即点向右运动，每秒移动2个单位长度， 点在的对应数为； （2）解：设运动时间为，则点对应数为，点对应数为， 若两点运动过程中相遇，则， 解得：， 即两点运动时相遇，相遇点表示的数为； （3）解：设运动时间为，则点对应数为，点对应数为， ，， ， ， 解得：或5， 即若，的值为或5． 52．（24-25七年级上·全国·期中）阅读材料：数轴上点A，B分别表示有理数a，b，表示A，B两点之间的距离，则．如：4与两数在数轴上对应的两点之间的距离为；又如：可以写成，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离． 解决问题： (1)若，则___________，若，则___________． (2)表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和．请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得：①；②． 【答案】(1)4或； (2)①；②和4 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离以及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点的距离公式和绝对值的几何意义，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）根据绝对值的意义即可求解； （2）①由绝对值的定义求解即可；②由绝对值的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或， ∴或； ∵， ∴表示数x的点到表示数和数3的点的距离相等， ∴； （2）解：①表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和为5， 如图， ∵， ∴的整数符合题意， ∴使得成立的所有符合条件的整数x为：； ②表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和为7， 如图， ∵， ∴表示x的数在表示数的点的左侧或在表示数3的点的右侧一个单位时成立， ∴或的整数符合题意， ∴使得成立的所有符合条件的整数x为：和4． 53．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为a． (1)若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数． (2)数轴上是否存在一个点P，使点P到点A、点B的距离之和为8，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． (3)若点A以每分钟2个单位长度向左运动，点B以每分钟6个单位长度向左运动； ①当点P以每分钟1个单位长度从数轴上的数2开始向左运动，A、B、P三点同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？ ②当点P以每分钟8个单位长度从原点开始向左运动，当遇到点A时；点P立即以同样的速度向右运动，当遇到点B时，点P立即以同样的速度向左运动，并不停地往返于点A与点B之间，A、B、P三点同时出发，求点A与点B重合时，点P所运动的总路程是多少个单位长度？ 【答案】(1)1 (2)存在，a的值为5或 (3)①1分钟；②8 【分析】（1）根据中点的定义即可求得； （2）此题要分两种情况：①当点P在点A的左侧时，②当点P在点B的右侧时，再列出方程求解即可； （3）①t分钟后，点P表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为，根据点P到点A、点B的距离相等，分两种情况，列方程求解可得；②由①知点A、B从出发到相遇的时间为1分钟，据此知点P的运动时间为1分钟，再根据路程速度时间可得答案． 【详解】（1）解：∵点P到点A、点B的距离相等，点A、B对应的数分别为，3， ∴点P表示的数为：； （2）解：∵点A、B对应的数分别为，3， ∴， 若存在点P到点A、点B的距离之和为8，P点不可能在线段上，只能在A点左侧或B点右侧． ①当点P在点A左侧时，， 依题意得， 解得 ； ②当点P在点B右侧时，， 依题意得， 解得， 综上所述，a的值为5或； （3）解：①设t分钟后点P到点A、点B的距离相等，点P表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为， ∵点P到点A、点B的距离相等， 当点P到点A、点B之间时，即点P为线段的中点， ∴， 解得：（舍去）， 当点A与点B重合时，， 解得：， ∴1分钟后点P到点A、点B的距离相等； ②由①知点A、B从出发到重合的时间为1分钟， ∴点P运动的时间为1分钟， ∴点P所运动的总路程为：个单位长度． 【点睛】本题主要考查数轴、数轴上两点间的距离公式及一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式和分类思想的运用是解题的关键． 54．（25-26七年级上·贵州黔东南·阶段检测）阅读与理解：数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为___________与___________在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：的最小值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】（1）x，4 （2）6 （3）或5 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离与绝对值，涉及绝对值的几何意义，正确掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）依题意，可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离，即可作答； （2）对的取值范围进行分类讨论，根据绝对值的几何意义，即可作答； （3）分类讨论，解方程即可． 【详解】解：（1）依题意， ∵表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离 ∴可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：x，4； （2）表示为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和， 当时，则， 当时，则， 当时，则， 综上，的最小值是6； （3）当时，则，即； 当时，则，即； 当时，，方程无解； 所以，则或5． 55．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，将数轴在原点与点处各折一下得到“折线数轴”，点表示，点表示24，点表示16，我们称点与点在“折线数轴”上相距24长度单位．动点从点出发，以2单位/秒速度沿“折线数轴”正向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒速度沿数轴负向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设它们运动的时间为秒． (1)直接写出点与点在“折线数轴”上相距的长度单位数； (2)当两点在点相遇时，点所对应的数是多少？ (3)当两点相距3个单位长度时，直接写出的值． 【答案】(1)26 (2) (3)或 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离计算公式求解即可； （2）求出点P到点O和到点C的时间，求出点Q到点C和点O的时间，从而可确定点P与点Q的相遇点一定在上，据此用含t的式子分别表示出点P和点Q表示的数，进而建立方程求解即可； （3）分四种情况：、、和，用含t的式子分别表示出点P和点Q表示的数，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，点与点在“折线数轴”上相距的长度单位数为； （2）解：由题意得，秒，秒，秒，秒， ∴点P运动到点O的时间为5秒，运动到点C的时间为秒， 点Q运动到点C的时间为8秒，运动到点O的时间为秒， ∴点P与点Q的相遇点一定在上， ∴， 解得， ∴， ∴点M表示的数为； （3）解：由（2）可知，当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵两点相距3个单位长度， ∴， ∴， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵两点相距3个单位长度， ∴， ∴， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵两点相距3个单位长度， ∴， ∴， ∴或， 解得或； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为0，此时点P与点Q的距离为11， 当时，点Q过点O向数轴负方向运动，此时点P与点Q的距离大于11，故不满足题意； 综上所述，或． 56．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，它使数和数轴上的点建立起了对应关系，揭示了数与点之间的内在联系． (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)操作二：折叠纸面，若使1表示的点与3表示的点重合，则表示的点与数表示 的点重合； (3)操作三：在数轴上剪下9个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示），若得到的这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是多少？ 【答案】(1)3 (2)7 (3)折痕处对应的点所表示的数可能是或或 【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，一元一次方程的应用，本题第三问有难度，采用了分类讨论的思想． （1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出与3重合； （2）根据对称性找到折痕的点为2，可以得出与7重合 （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵表示的点1与表示的点重合， ∴折痕为原点O， ∴表示的点与3表示的点重合， 故答案为：3； （2）解：∵折叠纸面使1表示的点与3表示的点重合， ∴折痕表示的点为2， ∴表示的点与数表示7的点重合， 故答案为：7． （3）解：设折痕处对应的点所表示的数是x， 如图1，当时，    设，则， ∴，解得：， ∴， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 如图2，当时，    设， ∴， 解得：， ∴， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 如图3，当时，    设， ∴， 解得：， ∴， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程章末56道压轴题型专训（8题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、根据等式的性质解方程 1 题型二、一元一次方程的含参问题 2 题型三、一元一次方程的规律问题 3 题型四、一元一次方程的新定义问题 4 题型五、一元一次方程解的计算压轴题 5 题型六、一元一次方程解的拓展问题 6 题型七、一元一次方程的综合应用 7 题型八、一元一次方程与数轴有关问题 8 【经典例题一 根据等式的性质解方程】 1．（24-25七年级上·福建福州·期末）已知． (1)判断与是否相等，并说明理由； (2)当，求的值． 2．（25-26七年级上·湖北随州·期中）在利用等式的性质解方程时．小华同学是这样解的： 解：方程两边加3，得．① 化简，得． 方程两边除以，得．② 所以此方程无解． (1)上述过程中，第①步的依据是什么？ (2)请分析小华第②步产生错误的原因； (3)写出正确的解题过程． 3．（25-26六年级上·上海嘉定·单元测试）阅读理解题： 下面是小明将等式进行变形的过程： 根据等式的性质，得．① ．② ．③ (1)①的依据是_________________________； (2)小明从第_____（填序号）步开始出错，错误的原因是____________________； (3)利用等式的性质，给出正确的解法． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）20个质量分别为1，2，3，…，19，20克的砝码放在天平两边，正好达到平衡． (1)试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且可从每边各取下同样多的偶数个砝码，仍能使天平保持平衡 ； (2)试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡 ． 5．（24-25七年级上·福建莆田·期中）下面是小青同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的问题． 解方程：． 解：．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 ．第五步 (1)填空：①以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是______； ②第______步开始出错，这一步错误的原因是______； (2)请正确解该方程． 6．（2026·河北沧州·模拟预测）在解方程时，两位同学提出了如下两种解法． 嘉嘉的解法： 淇淇的解法： 利用分数的性质， 得， …… 利用等式的性质， 得， …… (1)对于嘉嘉的解法，他是将的分子、分母同时扩大为原来的________倍；对于淇淇的解法，他是将等式两边同时乘以________，或同时除以________； (2)从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程． 7．（25-26七年级上·云南昭通·期末）解下列方程： 下面是某同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题： 解：去分母……第一步 去括号：……第二步 移项：……第三步 合并同类项：……第四步 系数化为1：……第五步 (1)在上述解题过程中，第一步变形的依据是_____； (2)请诊断这位同学的解答过程中，第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____； (3)直接写出该方程正确的解_____； (4)根据你平时的学习经验，就解一元一次方程时需要的注意事项给这位同学提一条建议以确保未来计算的准确性． 【经典例题二 一元一次方程的含参问题】 8．（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）王老师在如下所示的木板上写了两个关于的方程，并解出方程①的解比方程②的解小4，求的值． ① ② 9．（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”，例如：的解为的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”，若关于的一元一次方程与互为“阳光方程”，求的值． 10．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）定义一种新运算“☆”：当时，；当时，． 例如：，． (1)计算； (2)已知，求的值； (3)若关于的方程的解为，求的值． 11．（25-26七年级上·江西赣州·期末）若两个一元一次方程的解相差6，则称解较大的方程为另一个方程的“顺利方程”，例如方程是方程的“顺利方程”，理由：第一个方程解得，第二个方程解得，7比1大6，所以方程是方程的“顺利方程”． (1)方程是不是方程的“顺利方程”？请说明理由． (2)如果关于的方程是方程的“顺利方程”，求的值． 12．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）定义：若一个关于x的一元一次方程的解与另一个关于y的一元一次方程的解满足，则称这两个方程为“五好关联方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以它们是“五好关联方程”． (1)判断方程与方程是否为“五好关联方程”，并说明理由； (2)若方程与方程是“五好关联方程”，求a的值； (3)已知方程与方程是“五好关联方程”，，且m、n均为正数，求m的值． 13．（25-26七年级上·山东济宁·阶段检测）阅读下列材料，完成后面的任务： 我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则该方程为“和解方程”．例如方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 任务： (1)下列关于 x 的一元一次方程是“和解方程”的有 ．(填序号) ①；②；③． (2)若关于 x 的一元一次方程是“和解方程”，求a 的值． 14．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）活动与探究 我们来玩一个关于一元一次方程的“系数交换”游戏：把方程（均不为0）的一次项系数与常数项交换位置，得到新的方程．下面我们围绕这个游戏来解决几个问题： 【系数探秘】 （1）已知方程的解是，请写出这个方程经过“系数交换”后得到的新方程的解___________； 【初步应用】 （2）已知方程经过“系数交换”后得到的新方程与方程的解相同，求的值； 【拓展应用】 （3）已知方程经过“系数交换”后得到的新方程的解也是方程的解，则关于的方程的解是___________． 【经典例题三 一元一次方程的规律问题】 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）电子跳蚤落在数轴上的某点处，第一步从向左跳1个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到……按此规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点处，所表示的数恰是2004，试求电子跳蚤的初始位置点所表示的数． 16．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）已知两动点，均在数轴上匀速运动，运动规律如下表： 运动时间（秒） 0 1 5 10 … 点表示的数 25 … 点表示的数 6 … (1)补全表格中数据． (2)当点，重合时，求点表示的数． 17．（2025·安徽合肥·一模）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．图为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；图为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块； (1)按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加______块，三角形地砖会增加______块； (2)若铺设这条小路共用去块六边形地砖，用去的正方形地砖数量比用去的三角形地砖数量多块，求的值． 18．（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图1是一个数表，现用一个矩形在数表中图中所示的方式任意框出4个数，若任意框出的数为图2中的a，b，c，d四个数，请根据数表中的规律解决如下问题：    (1)若，则 ； ； (2)a与c的数量关系是 ； (3)当时，求的值． 19．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路学生改编了下列几题： (1)计算： ①__________； ②__________． (2)蚂蚁在数轴的原点O处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位…按照这个规律，第2024次爬行后蚂蚁在数轴什么位置？ 20．（25-26七年级上·贵州毕节·期末）在如图所示的2020年8月份日历中， （1）用一个长方形的方框圈出任意3×3个数，如果从左下角到右上角的“对角线”上的3个数字的和为39，那么这9个数的和为多少？ （2）这个长方形的方框圈出的9个数的和能为216吗？ （3）如果任意选择如上的阴影部分，那么其中的四个数a、b、c、d又有什么规律呢？请用含a、b、c、d的等式表示．（其中a、b、c、d四个数之间的大小关系是a＜b＜c＜d，a、b、c、d为整数） 21．（25-26七年级上·福建福州·期末）综合实践活动：探究杆秤的制作与原理 【探究原理】 学生通过查阅资料，了解到杆秤的主要组成部分为秤杆、秤盘（秤钩）、秤砣和提纽．现为探索杆秤称重的原理，进行木杆挂重物实验探究影响杆秤平衡的因素（如图1），并用表格记录了实验数据如下： 支点左端 支点右端 木杆状态 重物质量a（） 到支点的距离m（） 重物质量b（） 到支点的距离n（） 5 15 5 15 平衡 ① 7.5 5 15 平衡 15 5 5 15 平衡 20 ② 5 15 平衡 … … 5 15 平衡 【建构模型】 （1）请你通过实验发现的规律补全实验记录①②，并写出当木杆平衡时a、m、b、n的数量关系； 【应用模型】 （2）学生发现上述平衡条件符合杠杆原理，并以此为依据，利用以下材料制作了一个杆秤：一根长为的匀质木杆，一个自重的秤盘，一个自重的秤砣，提绳系于点O（支点），秤盘系于点A处，点A位于O、M两点之间，且与木杆右端M的距离为，秤砣悬挂点B位于支点O至与木杆左端N相距处之间的范围内移动（如图2所示）． 小明用此杆秤称量的重物（放入秤盘），在杆秤平衡时他测得此时秤盘悬挂点A与秤砣悬挂点B之间的距离． ①求的距离； ②在小学学习正比例时，对于两个值为正数的量，当它们成正比例关系时，由图象可知一个量随着另一个量的增大而增大．请根据此信息，求此杆秤能够称量的最大物重． 【经典例题四 一元一次方程的新定义问题】 22．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）自定义新运算：，已知，求 23．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）对于数、定义新运算：，那么，求的值． 24．（24-25七年级下·江西赣州·期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为，求的值． 25．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______． (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 26．（25-26七年级下·四川达州·阶段练习）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”． (1)若方程与关于的方程互为“归一方程”，求的值； (2)若关于的方程与关于的方程互为“归一方程”，求的值． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）新定义：如果有理数m，a，b满足条件，那么m称为a与b的“对称数”．如：，3称为5.5与0.5的“对称数”． (1)下列关于“对称数”的说法正确的是________（填序号）． ①4.5是3与6的“对称数”； ②与3的“对称数”是0； ③1是与3的“对称数”． (2)若5是3与x的“对称数”，则________；与6的“对称数”是________． (3)若m是a与b的“对称数”，也是c与d的“对称数”，写出一个a，b，c，d之间始终成立的相等关系． 28．（25-26六年级下·山东威海·期中）阅读下面的内容，并完成相应任务． 成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”． 任务： (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”． (2)若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值． 【经典例题五 一元一次方程解的计算压轴题】 29．（25-26七年级下·河南周口·期末）已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求a的值． 30．（2026·河北廊坊·二模）算式被遮住了一部分． (1)若被遮住的数为1，求算式的运算结果； (2)若算式的运算结果为，求被遮住的数． 31．（25-26七年级上·广东湛江·期中）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； 32．（25-26七年级下·山东淄博·期末）新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以这两个方程互为“成双方程”． (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”； (2)若关于的方程和互为“成双方程”，求的值． 33．（25-26七年级下·河南南阳·周测）学完一元一次方程解法，老师出了一道解方程题目：，小玲同学的解题步骤如下： ①去分母，得； ②去括号，得； ③移项，得 ； ④合并同类项，得； ⑤系数化为1，得． (1)聪明的你觉得小玲的解答过程正确吗？答：_______（填“是”或“否”）；如果不正确，第_______步（填序号）出现了问题； (2)请你写出该题正确的解答过程． 34．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）阅读与思考阅读下列材料，完成后面任务． 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 基本思路：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 任务： (1)解方程：． (2)解方程：． 35．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）在学习解方程时，张老师给出题目，解方程：．下面是小刚和小红的探究过程，请补充完整． (1)小刚：这是一元一次方程，求解就要将方程化为“”形式．通过观察我发现此方程中有括号，我认为应先 ，依据是 ，然后再通过移项、合并同类项、系数化为1就可以得到方程的解了． (2)小红：通过观察我发现此方程中有分母，所以我认为先 ，方程左右两边都 ，依据是 ，然后再通过其它的变形就可以得到方程的解了． (3)请你选择其中一个思路进行解答． 【经典例题六 一元一次方程解的拓展问题】 36．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）绝对值的几何意义；在数轴上，表示数a的点到原点的距离可表示为，即．类似地，表示数a的点到表示数3的点的距离可表示为． 【类比探究】 （1）表示数x的点到表示数的点的距离为7．可记为______，那么______． 【解决问题】 （2）当x满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【拓展迁移】 （3）直接写出的最小值． 37．（25-26七年级上·全国·期中）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2） 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是，． (1)解方程：； (2)探究：当为何值时，方程，①无解；②只有一个解；③有两个解． 38．（25-26七年级上·山东济宁·期末）方程思想，解决问题 【阅读理解】 你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法． 例题：利用一元一次方程将化成分数，设，那么，而，所以，化简得，解得．所以，． 【问题探究】 (1)请仿照上述方法把化成分数为______；（直接写出结果） (2)请类比上述方法，把循环小数化为分数，写出解题过程． 39．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为 ； （2）已知方程，则的值为 ； 【拓展创新】 （3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解． 40．（2025七年级上·湖北武汉·专题练习）对于有理数，我们规定：： 例如． 【知识运用】 （1）若，则___________． 【知识迁移】 （2）若关于的方程有且只有三个不相等的解，求的值及相应方程的解． 【拓展提升】 （3）若，且，求的值． 41．（25-26七年级下·河南周口·期中）【阅读理解】 在解一元一次方程时，有时根据方程的特点，巧妙利用“整体思想”，可以达到简化计算的目的．例如：在解方程时，可把看作一个整体，令，原方程变为，解得，即，解得． 【尝试运用】 (1)请用材料中介绍的方法解方程：． (2)已知关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为________． (3)【拓展创新】已知关于x的一元一次方程的解为，直接写出关于y的一元一次方程的解． 42．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）【方法引入】 数轴上两点之间的距离可以用这两个点表示的数通过减法运算得到． 如图，点A，B间的距离为：； 点B，C间的距离为：； 点A，C间的距离为：． 【方法应用】 数轴上点P，Q代表的数分别为和4，求点P，Q间的距离； 数轴上点M，N代表的数分别为和，求点M，N间的距离； 【方法拓展】 数轴上的两个点之间的距离为6，其中一个点表示的数为3，求另一个点表示的数． 【经典例题七 一元一次方程的综合应用】 43．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）某车间12位木工师傅制作方凳零件，每位师傅一天可以制作45个凳面或者60条凳腿，1个凳面可以和4条凳腿配套组装成一个方凳，那么安排几位师傅制作凳面，几位师傅制作凳腿能够使得每天生产的凳面和凳腿恰好配套？ 44．（25-26七年级上·广东韶关·期末）把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分2本，则剩余17本；若每人分3本，则差31本． (1)这个班有多少名学生？ (2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要30h完成．现计划由一部分人先做3h，然后增加2人与他们一起再做6h，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 45．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，几张大小不相等的正方形纸片A，B，…，I，无重叠地铺满了一块长方形纸片．已知正方形纸片E的边长为7，求其余各正方形纸片的边长． 46．（2026·安徽·三模）合肥是全国综合性国家科学中心，科创文创产品深受青少年喜爱．合肥某科创文创店，用元购进、两款合肥本土科创联名文具，其中款文具的数量比款文具数量的一半多件．两款文具的进价和售价如下表： 科创联名文具 款 款 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该文创店购进、两款文具各多少件？ (2)该文创店将购进的、两款文具全部售完后，一共可获得多少利润？ 47．（24-25七年级上·广东韶关·期末）为提高学生的数学学习兴趣，某校组织了一次数学知识竞赛，共有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5位参赛同学的得分情况．根据以上信息，请你解答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)填空：答对一题得_____分，答错一题扣______分； (2)参赛同学得76分，他答对了几题？ (3)参赛同学说他得了36分，你认为可能吗？为什么？ 48．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）星期天，小智和慧慧从学校出发，骑行前往某景区游玩．已知如下信息： ①他们返回时的平均速度比去时的平均速度每小时快； ②他们去时骑行的位置，离景区还有： ③返回时因绕道多走了： ④返回用时．根据上面信息，求： (1)他们去时骑行的平均速度是多少？ (2)小智和慧慧此次骑行往返的总时间是__________小时． 49．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 (1)根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． (2)根据上表数据，求A型节能灯的单价． (3)若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 【经典例题八 一元一次方程与数轴有关问题】 50．（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，为数轴的原点，面积为20的长方形的边在数轴上，的长为4． (1)点A表示的数为________；（直接写结果） (2)将长方形在数轴上水平移动，移动后的长方形记为，若移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积是8，求点表示的数． 51．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上点同时运动，规定向右为正方向，表格为不同时间对应数字： 时间 点M对应数 15 3 点对应数 1 9 (1)补全表格； (2)判断两点运动过程中是否相遇，若相遇，求出相遇点表示的数； (3)运动时间为，若，直接写出的值． 52．（24-25七年级上·全国·期中）阅读材料：数轴上点A，B分别表示有理数a，b，表示A，B两点之间的距离，则．如：4与两数在数轴上对应的两点之间的距离为；又如：可以写成，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离． 解决问题： (1)若，则___________，若，则___________． (2)表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和．请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得：①；②． 53．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为a． (1)若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数． (2)数轴上是否存在一个点P，使点P到点A、点B的距离之和为8，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． (3)若点A以每分钟2个单位长度向左运动，点B以每分钟6个单位长度向左运动； ①当点P以每分钟1个单位长度从数轴上的数2开始向左运动，A、B、P三点同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？ ②当点P以每分钟8个单位长度从原点开始向左运动，当遇到点A时；点P立即以同样的速度向右运动，当遇到点B时，点P立即以同样的速度向左运动，并不停地往返于点A与点B之间，A、B、P三点同时出发，求点A与点B重合时，点P所运动的总路程是多少个单位长度？ 54．（25-26七年级上·贵州黔东南·阶段检测）阅读与理解：数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为___________与___________在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：的最小值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 55．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，将数轴在原点与点处各折一下得到“折线数轴”，点表示，点表示24，点表示16，我们称点与点在“折线数轴”上相距24长度单位．动点从点出发，以2单位/秒速度沿“折线数轴”正向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒速度沿数轴负向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设它们运动的时间为秒． (1)直接写出点与点在“折线数轴”上相距的长度单位数； (2)当两点在点相遇时，点所对应的数是多少？ (3)当两点相距3个单位长度时，直接写出的值． 56．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，它使数和数轴上的点建立起了对应关系，揭示了数与点之间的内在联系． (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)操作二：折叠纸面，若使1表示的点与3表示的点重合，则表示的点与数表示 的点重合； (3)操作三：在数轴上剪下9个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示），若得到的这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $