福建厦门市湖滨中学2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试卷

班级：_______分层班级：_________姓名：______________座位号：_______ （在此卷上答题无效） 厦门市湖滨中学2026—2027学年第一学期阶段练习 数 学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，有且只有一个选项正确） 1．如图，数轴上的点A表示的数可能是 A．－2 B．－1 C． D．2.5 2．对于一元二次方程，根的判别式中的表示的数是 A．2 B． C． D．1 3．下列关于抛物线的说法，正确的是 A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随的增大而减小 4．为了迎接十一“黄金周”，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种的种植目标，第三阶段需实现的种植目标，设第二、第三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为，则下列方程正确的是 A． B． C． D． 5．如图，在△中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，与交于点，连接，若，则的度数为 A． B． C． D． 6．第十五届中国国际航空博览会于2024年11月12日至17日在珠海举办，歼（图甲）是人民空军现役主力战斗机，是一把对空、对海作战，夺取制空权的利剑，它着陆后滑行的距离与时间的函数关系如图乙所示（图为抛物线的一部分，其中点是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是 A．歼滑行6秒停止 B．歼滑行12秒停止 C．歼向前滑行的速度不变 D．歼向前滑行的速度越来越大 7．若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其解析式可以是 A． B． C． D． 8．二次函数y＝ax2+bx+c的最小值为a+b+c，且M（3，c），N（5，m），P（﹣3，m），Q（1，n）， R（2，n﹣1）中只有两点不在该二次函数图象上，下列关于这两点的说法正确的是 A．这两点一定是M和N B．这两点一定是Q和R C．这两点可能是M和Q D．这两点可能是P和Q 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9．若二次根式有意义，则可以是 　　（写出一个的值即可）． 10．已知是方程的一个根，则的值是　 　． 11． 将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为 　　 ． 12．某地区七年级共有600名男生．为了解这些男生的体重指数（BMI）分布情况，从中随机抽取了60名男生，测得他们的BMI数据（单位：kg/m2），如表一所示． 表一 等级 低体重 正常 超重 肥胖 BMI ≤15.4 15.5～22.1 22.2～24.9 ≥25.0 人数 3 45 10 2 根据以上信息，估计该地区七年级600名男生中BMI等级为正常的人数是 ． 13．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表二： 表二 x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣6 0 4 6 6 … 根据以上信息，当y＞0时x的取值范围为_________ ． 14．如图，正方形的顶点、在轴上，、恰好在二次函数的图象上，则图中阴影部分的面积之和为 　　． 15．设，是方程的两个实数根，则的值为　　 ． 16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x+a3+a+1（a≠0）． （1）抛物线的顶点坐标____________ （用含a的式子表示）； （2）M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点，若对于﹣a﹣2≤x1≤﹣a，5≤x2＜6有y1＜y2， 则a的取值范围是____________________ ． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17．（本题满分10分） 解方程：（1）； （2）． 18．（本题满分6分） 已知：如图，，是平行四边形对角线上的两点，且． 求证：BE＝DF． 19．（本题满分8分） 先化简，再求值：，其中． 20．（本题满分8分） 已知抛物线的顶点为（1，4），且与y轴交于点（0，3）． （1）求抛物线的解析式，并画出函数图象； （2）点为抛物线上的点且在第四象限，抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边， 若，求出此时点的坐标． 21．（本题满分8分） 已知关于的方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且，求实数m的值． 22．（本题满分10分） 某网店3月份经营一种热销商品，每件成本20元，发现三周内售价在持续提升，销售单价（元件）与时间（天之间的函数关系为（其中，为整数），且其日销售量（件与时间（天的关系如下表． 时间（天 1 5 9 13 17 21 日销售量（件 118 110 102 94 86 78 （1）已知与之间的变化规律符合一次函数关系，请求出（件与时间（天函数关系式； （2）在这三周的销售中，第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ （3）在实际销售的21天中，该网店每销售一件商品就捐赠a元利润给“精准扶贫”的对象，通过销售记录发现，这21天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天的增大而增大，请直接写出a的取值范围． 23．（本题满分10分） 对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“正值”．把该代数式的最大正值与最小正值的差称为“正域值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1．我们就称0和1都是这个代数式的正值，正域值为． （1）代数式的正值是　　 ； （2）判断代数式是否存在正值，若有，请求出代数式的正值；若没有，则说明理由； （3）①若关于的代数式的正域值为0，求的值； ②若关于的代数式的正域值为正整数，求整数的值． 24．（本题满分12分） 综合与实践： 素材1 福州地铁某站在工作日早高峰期间，地铁运营部门通过闸机感应系统统计发现，在这两小时内，出口的人流量（人次）与时间（分钟）存在如下关 系：以为起始时间点． （分钟） 0 30 60 90 120 （人次） 10 60 80 70 30 任务1 请根据已知条件，在平面直角坐标系中描点，观察， 猜想，求出与的关系式，并进行验证； 素材2 福州凭借丰富的历史文化底蕴、美丽的自然风光以及特色美食，吸引了大量游客前来游玩．三坊七巷内人潮涌动，游客们穿梭于古街古巷，感受着福州的历史韵味；鼓山风景区迎来络绎不绝的登山客，俯瞰城市美景；烟台山的文艺街区也聚集了众多游客打卡拍照．某假期为吸引游客，福州地铁特推出免费乘车活动，使得客流量较平日呈现显著攀升态势，导致后出口在原有人流量基础上每分钟较前一分钟额外增加2人．例如的人 流量比原来增加2人，的人流量比原来增加4人，以此类推 任务2 求时段与的关系式，并指出人流量达到最大值时对应的具体时刻； 素材3 在地铁大客流应对措施中，栏杆绕行是颇为常见且有效的一种手段．通常，地铁车站会选用可移动的金属安全围栏，也就是俗称的“铁马”来设置特定的通行路径，较为常见的 是设置“”形铁马阵． 任务3 为保障乘客安全和通行效率，若地铁运营规定，当出口闸门人流量达到或超过200人次分钟时，需启动一级客流管控，工作人员会在安检通道摆放铁马，设置绕行，以减缓客流进入站台的速度．根据任务2中与的关系式，通过计算，写出该入口需要启动 一级客流管控的持续时长． 25．（本题满分14分） 已知抛物线． （1）求证：该抛物线与轴总有交点； （2）若抛物线与轴交于、两点在的左侧），且，对于该抛物线上的任意两点 ，，，，当 时，总有． ①求该抛物线的函数解析式； ②若直线与抛物线交于，两点，都不与，重合），直线，分别与轴交于点，，设，两点的纵坐标分别为，，求证：为定值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市湖滨中学2026—2027学年第一学期阶段练习 数学参考答案 说明：本参考答案只列出试题的一种或几种解法．其他解法以及各解法的评分标准请参照评分量表和阅卷指导. 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 C C D B B A C C 二、填空题（本大题共8小题，每题4分，共32分） 9．1（答案不唯一，x≥1的数即可）． 10．3． 11．． 12．450． 13．﹣2＜x＜3． 14．18． 15．4049． 16．①（a，a+1）；②a≤﹣8或0＜a＜1． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17．（本题满分10分） 解：（1）， ， ， ∴，； （2）， ，，， △， ， ∴，； 18．（本题满分6分） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD． ∴∠ABE＝∠CDF． 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF． ∴BE＝DF． 19．（本题满分8分） 解：原式 ， 当时， 原式． 20．（本题满分8分） 解：（1）∵抛物线的顶点为（1，4）， 可设抛物线的解析式为 把（0，3）代入，得3＝a＋4 解得a＝﹣1 ∴抛物线的解析式为 列表： x …… ﹣1 0 1 2 3 …… y …… 0 3 4 3 0 …… （2）当y＝0时， ∴A（﹣1，0），B（3，0） 又∵，P在第四象限 ∴ ∴ ∴，（舍去） ∴P（4，﹣5） 21．（本题满分8分） 解：（1）a＝m－1，b＝﹣2，c＝1， ∴． ∵方程有两个实数根， ∴． ∴8－4m≥0． ∴m≤2． 又∵m－1≠0， ∴m≠1． ∴m≤2且m≠1． （2），， ∵， ∴． ∴． 解得m＝0． 经检验，m＝0是分式方程的解且符合要求， ∴m＝0． 22．（本题满分10分） 解：（1）设（件与时间（天函数关系式， 将，代入函数关系式得：， 得， 所以，（件与时间（天函数关系式是； （2）设这三周的销售中，日销售利润为元， ， ∴当时，取得最大值，此时， 答：在这三周的销售中，第10天的销售利润最大，最大利润是1250元； （3）设该网店捐赠后的每日的销售利润为元， ， ∴w的对称轴是， ∵这21天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天的增大而增大， ∴只要对称轴大于20.5，第21天的利润就大于第20天利润， ∴， 解得，， 又∵， ∴， 即的取值范围是． 23．（本题满分10分） 解：（1），则，即，解得或4， 故答案为：或4； （2）无正值，理由如下： 令，则， ∵△， ∴方程无解， ∴代数式无正值； （3）①正域值为0，说明“正值”只有1个（最大、最小正值相等）． 令，整理得， ∴， 化简得， 解得； ②令， 则， 解得， 当x2＞x1时，即为正整数， ∴为非负整数， ∴b＝1． 当x1＞x2时，即为正整数， ∴为小于等于负2的负整数， 此时b不存在． 综上所述，b的值为1． 24．（本题满分12分） 解：任务1：描点，连线． 观察函数图象猜测该函数为二次函数， ∴该函数解析式为：， ∴， 解得：， ∴， 验证：当时，； 任务2：由题意得：， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴时，最大， ∴上午达到最大值； 任务3：当时，， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴（分． 答：启动一级客流管控的持续时长为20分钟． 25．（本题满分14分） 解：（1）∵， ∴△， ∴该抛物线与轴总有交点； （2）①当y＝0时，， ∴或． ∵， ∴另一个与x轴的交点坐标为或， ∴或． ∵对于该抛物线上的任意两点，，，，当 时，总有， ∴，， ∴该抛物线的解析式为． ②证明：该抛物线的解析式为． ∵直线与抛物线交于，两点， ∴可设， ∵， ∴直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ∴，， ∴． 令， 整理得， ∴，． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $