精品解析：北京师范大学附属实验中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

北师大实验中学2026-2027学年度第一学期10月月考试卷高三年级数学 考生须知 1．本试卷共4页，共三道大题，21道小题，答题卡共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则中的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以， 所以中的元素个数为. 2. 下列函数中，在上单调递增，且值域为的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A：，在上单调递增，值域为，不符合要求； 选项B：在上单调递增，值域为全体实数，符合条件； 选项C：定义域为，在上递增，不符合要求； 选项D：定义域为，在递增，在上不是单调函数,不符合要求. 3. 已知是第四象限角，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出的值，再由求解即可. 【详解】解：因为，是第四象限角， 所以， 所以. 故选：D. 4. 设，均为正实数，则当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式找到取等条件即可得解. 【详解】根据题意，，，则，当且仅当，即时取等号，此时原式取得最小值，所以. 5. 将函数图象上每个点向右平移个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数图象的平移变换进行求解. 【详解】解：把函数的图象向右平移 个单位长度，得， 把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变， 得到的图象. 故选：C. 6. 已知是上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的性质，分区间讨论求解不等式即可. 【详解】当时：此时，已知， 原不等式化为：， 整理得：，即，结合，解得； 当时：因为是上的偶函数，故； 又，代入已知解析式得， 此时，原不等式化为：， 整理得：，即，结合，解得， 综上，不等式的解集为. 7. 在中，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用求出的取值范围，再根据充分，必要条件的判定方法，即可判断. 【详解】， 又因为，所以，则. 又， 所以，即. 因为， 所以“”是“”的充分不必要条件. 8. 设是定义在上的可导函数，满足：在上单调递增，在上单调递减，则下列说法不可能的是（ ） A. 存在，使得 B. 存在，使得 C. 存在，使得 D. 存在，使得 【答案】B 【解析】 【分析】先设，，求，，再根据和的单调性得到．对于A，取，代入计算即可判断；对于B，利用反证法，推出矛盾即可判断；对于C，取，代入计算即可判断；对于D，取，代入计算即可判断． 【详解】设，则， 又在上单调递增，则，则， 设，则， 又在上单调递减，则，则， 所以对任意，都有． 对于A，取，则，则成立，符合题意，故A可能； 对于B，假设存在，使得，则，则正数负数，矛盾，不符合题意，故B不可能； 对于C，取，则，则，符合题意，故C可能； 对于D，取，则，则，符合题意，故D可能． 9. 已知某型号手机在充电时，电量随时间呈线性（一次函数）增长，有，两种充电器，充电器每小时充电的电量是充电器的两倍．而在未充电保持待机状态下，电量随时间呈指数衰减，即从当前时刻算起，小时后的电量为当前电量的倍．某时刻起，将两台完全相同且电量均为0的该型号手机分别用，充电器充电，小时（均未达到满电量）后保持待机状态，已知，且两手机在时刻之后保持相同电量，则的值约为（ ） A. 1.3 B. 1.5 C. 1.7 D. 1.9 【答案】C 【解析】 【分析】设充电器每小时充电电量为，由题设可得，据此可得答案. 【详解】设充电器每小时充电电量为，则充电器每小时充电电量为. 某时刻起，经过，使用充电器的手机电量为，再经过小时， 即在时刻，使用充电器的手机电量变为，使用充电器的手机电量为， 由题设可得，又， 则，则. 10. 记数列的前项的乘积为，当且时，（为常数），若对任意且，均有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对任意且，均有求出，结合，求出时，的通项公式，再根据，求出. 【详解】对任意且，均有，所以， 所以， 又当且时，，所以，解得， 所以，所以， 又，， 所以. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】由对数式的真数大于0，二次根式的被开方数大于等于0，分母不为零，联立不等式组求解即可. 【详解】因为，所以，解得且，所以函数的定义域为. 12. 等差数列中，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题设可得等差数列通项公式，据此可得答案. 【详解】设公差为，则，， 从而可得，则. 13. 函数满足：，，请写出图象的一个对称中心的坐标：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用，可得，从而可求的值，再代入函数即可求对称中心. 【详解】由得， . 因为，所以，则，即. 因为，所以， 则，即，所以，则. 所以，则. 令，得，得到. 令，则，所以图象的一个对称中心的坐标. 14. 如图，在中，已知，，为中点，，则________；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据余弦定理得到，再利用余弦定理求出的长及，进而求出. 【详解】因为，所以， 即， 因为为中点，所以， 又，所以， 所以，即， 在中，由余弦定理可得：， 即，所以，解得， 所以， 在中，， 所以 15. 已知函数，若对任意，，均有，则记所有满足条件的实数构成集合．给出下列四个结论： ①当时，； ②当时，； ③若，则的取值范围是； ④，对，有． 其中所有正确结论的序号为________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】分类讨论的取值，结合指数函数、二次函数的图象与性质，再根据定义一一判定结论即可. 【详解】由题意可知，时，满足条件的组成集合T， （i）当时，易知单调递增，且， 单调递增，且， 恒成立，即在R上单调递增， 故上对任意，，均有，所以①正确； （ii）当时，同上单调递增，且， 而在上单调递增，在上单调递减， 且，函数的大致图象如下： 显然当时，，即； 对于第二个结论：在时，有， 令，可得， 由图象可知当时，， 综上可得，故②错误； 对于第四个结论： 在时，即，令，分离得作图如下， 可知使得成立，即，故④正确； 对于第三个结论：当，由第一个结论知， 若，此时，可知，符合题意， 若，结合图象可知要满足题意需，解之得， 综上，故③正确. 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16. 设等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的运算得到，，再求通项即可； （2）根据等比数列及等差数列的求和公式，分组求和即可． 【小问1详解】 设等差数列的公差为． 由题意可得，解得，， 则． 【小问2详解】 由（1）可知，则， 故 17. 已知函数（，）的最小正周期为，且的图象经过点________． 从下列三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一确定． ①；②；③． （1）求的解析式； （2）若在区间和上均有零点，求的取值范围. 【答案】（1）①不可选，选②或选③， （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式及辅助角公式化简函数，再选择条件并结合正弦函数图象性质求解. （2）求出函数在区间的零点即可. 【小问1详解】 函数， 由的最小正周期为，得，解得， 选①，的图象经过点，则，而， 因此或，函数存在不唯一，不符合题意； 选②，的图象经过点，则，而， 因此，函数存在且唯一确定，； 选③，的图象经过点，则， 而，因此，函数存在且唯一确定，. 【小问2详解】 由（1）知，由，得， 则当时，或，解得或， 由在区间和上均有零点， 得，则， 所以的取值范围是. 18. 在中，角，，所对边分别为，，，已知，． （1）求； （2）若的面积为，为边上一点，满足，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理得出，再结合余弦函数得出； （2）利用面积公式得出，再结合余弦定理求出. 【小问1详解】 由正弦定理以及可得， ， 故， 因为中，，所以， 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 因为在中由余弦定理可得，，， 所以，得或， 因为，所以 19. 已知椭圆过点，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设，，过点作斜率为的直线与椭圆交于点，，过作的垂线与直线交于点，若为的中点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆过点得出，再由离心率及即可求解； （2）设直线，，，结合韦达定理及列出方程即可求解． 【小问1详解】 椭圆过点，代入方程得：， 由离心率，得， 又，解得， 所以椭圆方程为． 【小问2详解】 设直线， 代入椭圆方程：， 设，，则：， 因为为中点，所以， 又因为，， 由得，， 代入，即，， 得，， ， 代入韦达定理整理得：， ，解得， 恒成立；且（因），斜率存在， 所以． 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求证：在上存在唯一的极小值点； （3）设函数，若存在、，使得，求的所有可能取值． 【答案】（1） （2）由，得， 令，求导得， 又，所以， 所以在上单调递增， 又，， 所以存在，使得，即， 当时，，即，所以在上单调递减， 当时，，即，所以在上单调递增， 所以是在上的唯一极小值点； （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程； （2）求导得，令，求导，可得在上单调递增，且存在，使得，即，进而可得结论； （3）利用（2）求得在上的值域为，利用导数求得在的值域为，由题意可得，构造函数，利用导数求得不等式的解即可求解. 【小问1详解】 当时，，所以， 由，得，所以， 所以曲线在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由（2）可知是在上的唯一极小值点， 所以，又，所以， 所以在上的值域为， 由，得，又， 所以当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以的最大值为， 所以在的值域为， 由存在，，使得， 可得， 令，求导得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以， 所以不等式有唯一解，所以. 所以的所有可能取值为． 21. 设无穷数列满足：，，且对任意，有． （1）若，，求前项的和； （2）求证：对任意，有； （3）问：是否存在常数，使得对任意，均存在互不相同的，使得？并给出证明． 【答案】（1） （2）依题意，显然可得对任意，有， 若，则，则， 所以； 若，则，则， 所以， 综上，对任意，有，证毕． （3）存在，证明如下： 将拆成组，第组为， 结合（2）有，若，有，则； 若，有，则， 所以对任意，有， 这意味着每组连续三项的和，一定等于本组内某一项的倍， 即可适当选取，使得， 所以，即， 所以存在，使得等式成立，证毕． 【解析】 【分析】（1）根据递推公式，逐一代入求出，，，，，，，进而即可求出前项的和； （2）先根据题意得到对任意，有，再分和两种情况分析即可证明； （3）将拆成组，第组为，再结合（2）得到，从而适当选取即可求出，进而得证． 【小问1详解】 依题意，若，， 则，，，，，，， 所以前项的和为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大实验中学2026-2027学年度第一学期10月月考试卷高三年级数学 考生须知 1．本试卷共4页，共三道大题，21道小题，答题卡共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则中的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列函数中，在上单调递增，且值域为的是（） A. B. C. D. 3. 已知是第四象限角，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，均为正实数，则当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 5. 将函数图象上每个点向右平移个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 7. 在中，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设是定义在上的可导函数，满足：在上单调递增，在上单调递减，则下列说法不可能的是（ ） A. 存在，使得 B. 存在，使得 C. 存在，使得 D. 存在，使得 9. 已知某型号手机在充电时，电量随时间呈线性（一次函数）增长，有，两种充电器，充电器每小时充电的电量是充电器的两倍．而在未充电保持待机状态下，电量随时间呈指数衰减，即从当前时刻算起，小时后的电量为当前电量的倍．某时刻起，将两台完全相同且电量均为0的该型号手机分别用，充电器充电，小时（均未达到满电量）后保持待机状态，已知，且两手机在时刻之后保持相同电量，则的值约为（ ） A. 1.3 B. 1.5 C. 1.7 D. 1.9 10. 记数列的前项的乘积为，当且时，（为常数），若对任意且，均有，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域为________． 12. 等差数列中，若，，则________． 13. 函数满足：，，请写出图象的一个对称中心的坐标：________． 14. 如图，在中，已知，，为中点，，则________；________． 15. 已知函数，若对任意，，均有，则记所有满足条件的实数构成集合．给出下列四个结论： ①当时，； ②当时，； ③若，则的取值范围是； ④，对，有． 其中所有正确结论的序号为________． 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16. 设等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知函数（，）的最小正周期为，且的图象经过点________． 从下列三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一确定． ①；②；③． （1）求的解析式； （2）若在区间和上均有零点，求的取值范围. 18. 在中，角，，所对边分别为，，，已知，． （1）求； （2）若的面积为，为边上一点，满足，求的长． 19. 已知椭圆过点，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设，，过点作斜率为的直线与椭圆交于点，，过作的垂线与直线交于点，若为的中点，求的值． 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求证：在上存在唯一的极小值点； （3）设函数，若存在、，使得，求的所有可能取值． 21. 设无穷数列满足：，，且对任意，有． （1）若，，求前项的和； （2）求证：对任意，有； （3）问：是否存在常数，使得对任意，均存在互不相同的，使得？并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $