第2章 随机事件的概率 高频考点突破(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

数学（浙教版）九年级全一册 因为DELAB,所以D(,-++3),E(,-之+3)： 所以DE=+t+3-(-2+3)=-+2.所 以DE=-+名0<1<6.@存在.由①知， C0,3),D(c,-+t+3,E(c,-7t+3),所以CD= √F+(-++3-3)=√F+(-+, CE=√P+(+3-3)-5,当DE=CE时， +2-号，解得1=6-25或1=0（会去），所以 -2++3=-×(6-25+6-25+3=45- 5.所以D(6-25,45-5).当CD=DE时，t+ (-+)°=(-+)，整理，得(-+1) 0,解得1=1或t=0(舍去)，所以-+1十3=-4 1+1+3=5所以D(1,）.当CD=CE时，+ (+)°-（停），整理，得r(-+) 0,解得t=2或1=6（舍去）或t=0(舍去)，所以-年+ t十3=-子×2+2+3=4所以D(2,4.综上所述，所有 满足条件的点D的坐标为(2,4)，(1，)和 (6-25,4√5-5).(3)线段AG长度的最小值为25. 如图，在y轴负半轴上取点N(0,一6)，连结NG并延长， 交x轴于点M,连结AN.由旋转，得OE=OG,∠EOG= 90°.因为B(6,0),所以OB=ON.因为∠BON=90°，所以 ∠1=∠2=90°-∠MOG.所以△BOE≌△N0G.所以 ∠CBO=∠MNO.所以点G在线段MN上运动（不包括 端点).所以当AG⊥MN时，AG最小.因为∠CBO= ∠MNO,OB=ON,∠COB=∠MON,所以△COB≌ △MON.所以OM=OC=3.所以MN=√OMf+ON= 56 1 √3+6=35.所以当AG⊥MN时，SAw=2AM· 0N=2MN·AG即号×(2+3)X6=2X35AG.所 1 以AG=2√5，即线段AG长度的最小值为25. B (第7题) 第2章 随机事件的概率 [高频考点突破] 0 ,因为二次函数y=-r2-3x十m-2的图象与 x轴有交点，所以b-4uc=(-3)-4×(-号)×(m 2≥0，解得m≥-三关于x的分式方程一匹+1 3-x x一3去分母并整理，得(m十1).x=5,要使该方程有解，则 m≠一1，且 m十1≠3.所以在-3，-2，-1,0,1,2,3中，满 足m≥-号且m≠-1且≠3的m的值有-2,01， 5 2,3.所以使得二次函数y=-2x2-3x十m一2的图象与 x拍有交点，且关于r的分式方程名四十1=二有解 1 3一x 5 的概率是， 2(1)根据题意，画树状图如图所示.由图，可知共有 12种等可能的结果，其中甲获胜的结果有8种，所以甲获 胜的概率为是号、（2)不公平莲由：由图，可知乙获 胜的结果有4种，所以乙获胜的概率为号号因为号> 号，所以这个游戏规则对甲，乙双方不公平。 234134124123 (第2题)》 3(1)0.30;4.a=1-(0.15+0.20+0.35)=0.30.因 为总人数为3÷0.15=20，所以b=20×0.20=4. (2)585.900×(0.35+0.30)=585(人)，所以估计九年 级该体育项目的成绩为良和优的学生共有585人， (3)根据题意，画树状图如图所示.由树状图，可知共有 12种等可能的结果，其中所选两人正好是甲班和乙班各 人的结果有5种，所以所选两人正好是甲班和乙班各一人 的概率为2 .5 甲 甲甲甲乙 甲甲甲乙 甲 甲甲 (第3题) [综合素养提升] ①A列表如下： 第2个 第1个 S S S S S (S,S) (S,S3) (S,S) S (S2,S) (S,S2) (S2,S) S (S,S) (S,S) (S,S) S (S4,S) (S,S) (S,S) 由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果 有6种，即(S,S),(S,S),(S,S),(S,S),(S,S), (8,S),所以灯泡发光的概率为号 ·如图①，把每一扇门标记上字母，并画出树状图如 图②所示.由树状图，可知共有12种等可能的结果，其中从 迷宫中心O成功走出这个迷宫的结果有4种，所以皮皮从 迷宫中心0成功走出这个迷官的概率为2一3 41 ·0 ① E 死 G 死 G 死 G死 死 胡 胡 胡 胡 同同 同 同 ② (第2题) 附：答案与解析 ,抛物线y=[x一(m+3)]+3的对称轴为直线 x=m十3.因为当x≤1时，y随x的增大而减小，所以 m十3≥1.所以m≥-2.因为关于x的一元二次方程(m一 1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，所以m一1≠0， b2-4ac=(-2)2-4(m-1)X1=8-4m>0.所以m<2 且m≠1.所以-2≤m<2且m≠1.所以在-4，-3，-2,1 中，满足一2≤m<2且m≠1的m的值为一2.所以m使得 二次函数y=[x-(m十3)]+3当x≤1时y随x的增大 而减小，且关于x的一元二次方程（m一1)x2一2x十1=0 有两个不相等的实数根的概率是} ④(1)设去D地车票有x张.由题意，得x=(x+20+ 40+30)×10%,解得x=10,所以去D地的车票有10张 补全统计图如图①所示.(2)小胡抽到去A地的概率为 20+40十30+10一5：(3)画树状图如图②所示.由树状 20 图可知，共有16种等可能的结果，其中小王掷得着地一面 数字比小李掷得着地一面数字小的有6种，即(1,2)，(1， 3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).所以小王掷得着地一面数 宇小于小李掷得者地一面数宇的概率为-冬，小王衬得 着地一面数字不小于小李掷得着地一面数宇的概率为1一 吕-营因为管>骨所以这个规则对双方不公平 35 个数量/张 40--- 30 20 10 0 B C D车票种类 ① 小王 小李1234123412341234 ② (第4题) 第3章 圆的基本性质 [高频考点突破] ①D如图，连结AB,OA,过点O作OG⊥CD于点G,交 57第2章 随机事件的概率 P]高频考点突破 考点一概率与函数（方程）的综合 典例1已知一个口袋中装有六个完全相同 的小球，小球上分别标有1,2,5,7,8,13六 个数，搅匀后从中摸出一个小球，将小球上 的数记为m,则使得一次函数y=(一m十 1)x十11一m的图象经过第一、二、四象限 且关于z的分式方程”g=3十，8“6的解 为整数的概率是 ( A B. 分析 求出使得一次函数y=(一m十1)x十11 m的图象经过第一、二、四象限且关于x的分式 方程x x8=3x+ 一8的解为整数的m的值， 然后直接利用概率公式求解即可得到答案 解答：因为一次函数y=(-m+1)x+11 m的图象经过第一、二、四象限，所以一m十 1<0,11-m>0.所以1<m<11.所以给出 的六个数中符合条件的是2,5,7,8.把分式 8=3+8x 方程nx 8去分母并整理，得 3x2-16x-m.x=0,解得x=0或x= 16”因为x≠8，所以6”≠&，所以 3 m≠8因为分式方程，。=3十86的解 为整数，所以剩余的三个数中可以作为m 的值的是2,5.所以使得一次函数y (-m+1)x十11一m的图象经过第一、二 四象限且关于x的分式方程。=x十 聚焦高频考点，各个击破 8x的解为整数的m的值有2,5，概率为 x-8 6一3放选B 21 小结 本题将一次函数的图象与性质、分式方程求 解、概率计算三个核心考点结合，考查知识的综 合运用能力.先通过函数图象缩小的取值范 围，再代入分式方程筛选有效解，最后计算概率， 步骤清晰可避免混乱. 对应练习 1.将7个分别标有数一3，一2，一1,0,1,2,3 的小球放到一个不透明的袋子里，它们 的质地、大小均相同，随机摸出一个小球 将其标记的数记为m,则使得二次函数 y- 2x2-3十m-2的图象与x轴 1一mx+ 有交点，且关于x的分式方程3 1=x一有解的概率是 考点二概率与游戏的公平性 典例2舒清境游戏活动如图，有四张反面 完全相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画 有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀后 正面朝下随机放在桌面上. (1)从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌 面图形是中心对称图形的概率是 (2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则如 下：先由小明随机摸出一张，不放回，再由小 亮从剩下的纸牌中随机摸出一张.若摸出的 两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对 称图形，则小亮获胜，否则小明获胜.这个游 数学（浙教版）九年级全一册 戏公平吗？请用画树状图或列表的方法说明 理由（纸牌用A,B,C,D表示）.若不公平，请 你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平 正五边形 矩形 平行四边形 A B C D (典例2图) 分析 (1)共有四张纸牌，正面是中心对称图形 的有三张，直接根据概率公式可计算出从四张 纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心 对称图形的概率. (2)首先列表列出所有可能的情况，得到 摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心 对称图形的结果有2种，然后由概率公式得出 小亮获胜的概率，得出游戏不公平 解答：(1) 3 (2)游戏不公平.理由： 列表如下： 小亮 小 明 A B C D A (A,B) (A,C) (A,D) (B,A) (B,C) (B,D) c (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) 由表可知，共有12种等可能的结果，其中摸 出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中 心对称图形的结果有2种，即(A,C)和(C, A).所以P(两张牌面图形既是轴对称图形 又是中心对称图形)=号-吉≠左所以游 戏不公平.修改游戏规则不唯一，如若抽到 的两张牌面图形都是中心对称图形，则小明 获胜，否则小亮获胜 12 小结 判断一个游戏是否公平，只需利用游戏规则 分析游戏各方胜出的概率是否相等.对于不公平 的游戏，可以修改游戏规则或更换游戏工具，使 游戏各方获胜的概率相等，要想改变游戏规则使 游戏公平，应从两方面着手：(1)调配事件发生 的概率；(2)调配每次发生事件的配分， 对应练习 2.[2024甘肃中考]一个不透明的布袋中， 装有质地、大小均相同的四个小球，小球 上分别标有数字1,2,3,4.甲、乙两人玩 摸球游戏，规则如下：两人同时从布袋中 随机各摸出1个小球，若两个小球上的 数字之和为奇数，则甲胜；若两个小球上 的数字之和为偶数，则乙胜 (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获 胜的概率 (2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？ 请说明理由. 考点三统计与概率的综合 典例3[2025眉山中考]在科技的浪潮中， 人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我 们的世界.某校社团开展以“智能之光，照见 未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门 的4类人工智能软件A,B,C,D,每名学生 可选择其中1类学习使用.为了解学生对软 件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查 统计，并根据统计结果绘制成如图①所示的 两幅不完整统计图. 人数 80 60 20 ABCD软件 类别 20% (典例3图①) 请根据图中信息，回答下列问题： (1)这次调查统计抽取的学生总人数为 ；扇形统计图中，A类软件所对应 的扇形圆心角的度数为 (2)补全条形统计图. (3)社团活动中表现最突出的有4人，其中 3人使用A类软件，1人使用B类软件，现 准备从这4名学生中随机选择2人进行学习 成果展示，请用画树状图或列表的方法求出 恰好抽到使用A,B两类软件各1人的概率， 分析 (1)由使用D类软件的人数除以所占百分 比得出这次调查统计抽取的学生总人数，即可 解决问题， (2)求出使用B类软件的人数，补全条形 统计图即可. (3)通过画树状图或列表的方法求出事件 发生的所有可能结果，再找出要关注的结果数， 最后根据概率的计算公式求出结果， 解答：(1)这次调查统计抽取的学生总人数 为40÷20%=200，所以扇形统计图中， A类软件所对应的扇形圆心角的度数为 360°×200 80=144°. (2)使用B类软件的人数为200一80一20 40=60,补全条形统计图如图②所示. (3)根据题意，画树状图如图③所示.由图， 可知共有12种等可能的结果，其中恰好抽 到使用A,B两类软件各1人的结果有 第2章随机事件的概率 6种，所以恰好抽到使用A,B两类软件各 1人的概率为2一2 6=1 ↑人数 80 60 40 20 BCD软件 类别 AABAAB AABAAA © ③ (典例3图) 小结 对于统计与概率的综合问题，从统计图中获取 信息是解题的前提，再结合概率公式可解决问题. 对应练习， 3.在体育活动课中，体育老师随机抽取了 九年级甲、乙两班部分学生进行某体育 项目的测试，并对成绩进行统计分析，绘 制了频数分布表，请你根据表中的信息 回答下列问题： (1)表中a= ,b= (2)如果九年级共有学生900人，估计九 年级该体育项目的成绩为良和优的学生 共有 人 (3)已知第一组中有两名甲班学生，第二 组中只有一名乙班学生，老师随机从这 两个组中各选一名学生对体育活动课提 出建议，则所选两人正好是甲班和乙班 各一人的概率是多少？ 分组 频数 频率 第一组（不及格） 3 0.15 第二组（中） 6 0.20 第三组（良） 0.35 第四组（优） 6 13