专题特训6 与圆有关的综合问题&综合与实践3 园林美化工程项目改造-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

拔尖特训·数学（浙教版）九年级全一册 专题特训六与圆有关的综合问题 类型一函数与圆的综合 22+3 1.死合型如图①，抛物线y= x十c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,且点 A的坐标为（一1,0）. (1)求抛物线对应的函数表达式。 (2)如图②，y轴上存在一点D,使⊙D经过B,C两点，求点D的坐标. y A/ B D B ① ② (第1题) 类型二新定义问题 2.新考向新定义题如图①，C,D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P,满足∠APC ∠BPD,则称∠CPD是CD的“幸运角”. C P B 0P E ① ② ③ (第2题) (1)如图②，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB,D是BC上一点，连结ED交AB于点P,连结CP, ∠CPD是CD的“幸运角”吗？请说明理由. (2)在(1)的条件下，设CD的度数为n,请用含n的代数式表示CD的“幸运角”的度数. 62 第3章圆的基本性质 (3)如图③，在(1)的条件下，连结CD,直径AB=10,CD的“幸运角”为90°. ①求弦CD的长， ②当DE=7√2时，求CE的长. 类型三动态探究题 3.舒向探究题如图，P是等边三角形ABC中边AC上的动点(0°<∠ABP<30),作△BCP的 外接圆交AB于点D.E是圆上一点，且PD=PE,连结DE,BE,CE,DE交BP于点F (I)一题多解求证：BE=BC (2)当点P运动时，∠BFD的度数是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求 ∠BFD的度数 (3)探究线段BF,CE,EF之间的数量关系，并证明. (第3题) “答案与解析”见D41 63 拔尖特训· 数学（浙教版）九年级全一册 综合与实践3园林美化工程项目改造 圆形在我国传统文化中象征着和谐与圆满，被广泛应用于各种建筑中.管理部门计划将某公园内的矩 形门洞改造成圆弧形门洞，如图①. 6ag 0E83 背景 改造前 改造后 ① 根据矩形门洞改造的实物图画出矩形ABCD,如图②，作矩形ABCD的对角线AC, BD相交于点O,则点A,B,C,D在以点O为圆心，AC长为直径的圆上. 绘制设计 素材 ② 操作测量 矩形门洞ABCD的宽BC为1.8m,高AB为2.4m,对角线AC的长为3m. (1)圆弧形门洞的半径是 m. 任 务 (2)求圆弧形门洞的拱高(BAC的中点到弦BC的距离). (3)若∠ACB=52.5°，请计算改造后门洞扩大的面积（涂色部分的面积，结果保留π）. 64 ●“答案与解析”见D426.62因为∠ABC=∠ADC=45°，所以A,C,D,B四 点在同一个圆上.如图，作⊙O经过A,C,D,B四点，连结 AO,OC,延长AO交⊙O于点D'.当AD为⊙O的直径 时，AD的长有最大值，为AD'的长.因为∠ADC=45°，所 以∠AOC=90°.因为OA=OC,所以△AOC是等腰直角三 角形.因为AC=6,所以易得AO=3√2.所以AD'= 2AO=6√2，即AD长的最大值为6√2. (第6题) 方法归纳 利用定弦、定角构造辅助圆 若固定线段所对的动角的度数为定值，则可以构造 辅助圆解题」 (1)如图，若固定线段AB所对的动角∠P的度数 为定值，则构造过A,B,P三点的辅助圆. P(动) P(动) A (2)如图，若固定线段AB所对的同侧动角∠P= ∠C,则构造过A,B,C,P四点的辅助圆。 P(动) P(动) 7.(0,12)或(0，一12) 思路导引 点A(4,0),B(-6,0) C为动点，∠BCA=45 过A,B,C三，点的圆P 圆周角∠ACB=45° 勾股定理和 B、 垂径定理 求y轴正半轴上，点C的坐标 类比求y轴负半轴上点C的坐标 设线段BA的中点为E.因为点A(4,0),B(一6,0)，所以 AB=10,E(一1,0).如图①，过点E在第二象限作EP⊥ BM,且EP=号AB=5,则易知△PBA为等腰直角三角 形，∠BPA=90°，PA=PB=5√2.以点P为圆心，PA(或 PB)长为半径作⊙P,与y轴的正半轴交于点C.因为 ∠BCA为⊙P的圆周角，所以∠BCA=号∠BPA=45, 则点C即为所求.过点P作PF⊥y轴于点F,则OF= PE=5,PF=1.在Rt△PFC中，PF=1,PC=5√2，由勾 股定理，得CF=√PC2-PF=√(5√2)2-1=7，所以 OC=OF+CF=5+7=12.所以点C的坐标为(0,12).如 图②，同理可求得y轴负半轴上点C的坐标为(0，一12). 综上所述，点C的坐标为(0,12)或(0，一12. y ① ② (第7题) 专题特训六与圆有关的综合问题 1(①因为点A(-1.0)在地物线3=号r+2十 上，所以-号一号+(=0，解得。=2所以驰物线对应的函 2x2+3 数表达式为y= x+2.(2)连结DB.在 y=-7x+号x+2中，令y=0,得-22+号x2= 1 3 0解得=4，=-1.所以B4,0.在y=一号十 2x+2中，令x=0,得y=2,所以C(0,2).因为⊙D经过 3 B,C两点，所以DB=DC.设点D的坐标为(0，y),则 DB2=(4-0)2+(0-y)2=16+y2,DC2=(2-y)2,所以 16十y=(2-y)2,解得y=-3.所以点D的坐标为(0，一3). 2.(1)∠CPD是CD的“幸运角”.理由：因为弦CE⊥AB, AB是⊙O的直径，所以AB平分EC.所以AB为EC的垂 直平分线.所以PC=PE.因为AB⊥EC,所以∠CPA ∠EPA=∠BPD.所以∠CPD是CD的“幸运角”. (2)因为D的度数为，所以∠CED-兰.因为CEL AB,所以∠APE=90°-∠CED=90°-？.所以∠BPD= ∠APE=90°-2.所以∠APC=∠BPD=90°-2.所以 41 ∠CPD=180°-∠APC-∠BPD=n.所以CD的“幸运 角”∠CPD的度数为n.(3)①如图，连结OC,OD.因为 CD的“幸运角”为90°，所以∠APC=∠BPD 180°，90°=45.所以∠APE=∠BPD=45.因为CE 2 AB,所以∠E=∠APE=45°.所以∠COD=2∠E=90°.因 为AB=10,所以0C-0D=7×10=5.所以CD= √0C2+OD=5√2.②因为∠CPD=∠CPE=90°， ∠E=45°，所以△CPE为等腰直角三角形.所以PC= PE.所以CE=√PC+PE=√PC+PC=√2PC.设 PC=PE=x,则PD=DE-PE=7√2-x.因为∠CPD= 90°，所以PC2+PD2=CD2,即x2+(72-x)2 (5√2)2，解得x1=3√2，x2=4W2.所以PC=3W2或PC= 42.所以W2PC=6或√2PC=8,即CE的长为6或8. (第2题) 3.(1)解法-：如图，连结PE.因为PD=-PE,所以 ∠ABP=∠EBP.因为△ABC是等边三角形，所以 ∠CAB=∠ACB=60°，AB=BC.因为∠PEB=∠PCB, 所以∠PEB=∠CAB.在△ABP和△EBP中， ∠ABP=∠EBP, ∠PAB=∠PEB,所以△ABP≌△EBP.所以AB=BE. PB=PB, 又因为AB=BC,所以BE=BC.解法二：因为PD= PE,所以∠ABP=∠EBP=∠ACE.因为△ABC是等边 三角形，所以∠BAC=∠ACB=60°.因为∠BPC= ∠BAC+∠ABP,∠BCE=∠ACB+∠ACE, 所以∠BPC=∠BCE.因为∠BPC=∠BEC,所以 ∠BCE=∠BEC.所以BE=BC.(2)∠BFD的度数不 发生变化.如图，连结CD.因为PD=PE,所以∠PCD= ∠PBE.因为∠BED=∠BCD,所以∠BED十∠PBE= ∠BCD+∠PCD=∠ACB=60°.所以∠BFD=∠BED+ ∠PBE=60°.(3)BF=CE+EF.如图，延长DE到点 M,使得EM=CE,连结CM,AM,AF.因为△ABC是等边 三角形，所以∠ACB=∠BAC=∠ABC=60°.因为 ∠CEM+∠DEC=180°，∠DEC+∠ABC=180°，所以 ∠CEM=∠ABC=60°.所以△CEM为等边三角形.所以 CM=CE,∠ECM=60°.因为∠ACB=60°，所以∠ECM+ ∠ECA=∠ACB+∠ECA,即∠ACM=∠BCE.因为 AC=BC,所以△ACM≌△BCE.所以AM=BE.又因为 AB=BE,AB=AC,所以AB=AM=AC.所以∠ACM= ∠AMC.所以∠CAM=180°-2∠ACM=180°-2(60°+ ∠ACE)=60°-2∠ACE.因为PD=PE,所以∠ABP= ∠EBP=∠ACE=∠ACD.因为AB=EB,BF=BF,所以 △ABF≌△EBF.所以∠BAF=∠BEF=∠BCD. 所以∠ACE+∠BCD=∠ACD+∠BCD=∠ACB=6O°： 所以∠BAF=∠BCD=60°-∠ACE.所以∠PAF= ∠BAC-∠BAF=60°-(60°-∠ACE)=∠ACE.所以 ∠MAF=∠CAM+∠PAF=60°-2∠ACE+∠ACE= 60°-∠ACE.所以∠MAF=∠BAF.因为AM=AB, AF=AF,所以△ABF≌△AMF.所以BF=MF.因为 MF=ME+EF=CE+EF,所以BF=CE+EF. (第3题)》 综合与实践3园林美化工程项目改造 (1)1.5.因为AC为⊙0的直径，AC=3m,所以圆弧形 门洞的半径是2-1.5(m. (2)如图，过点O作OE⊥BC交BC于点E,延长EO交 BAC于点F,则OF=1.5m.因为OE⊥BC,所以BE= CE.又OA=OC,所以OE是△ABC的中位线.所以OE= AB=2×2.4=1.2(m).所以EF=OE+0F=1.2+ 1 1.5=2.7(m),即圆弧形门洞的拱高为2.7m.(3)因为 ∠ACB=52.5°，OB=OC,所以∠OBC=∠OCB=52.5. 所以∠B0C=180°-∠OBC-∠0CB=180°-52.5°- 525=7况所以Snr-5-克(m.因为 360 Sm=xX1.52=9, 元m),SE蒂n=1.8X2.4=108 25(m), 所以S8=5:-S:x-7Sgm=骨x-是x 子×警-（影一）.所以改造后门润扩大的面积为 ()m 0 第3章拔尖自主测评 1.A连结OP.因为AB=10,CD是斜边AB上的中线，