专题3.2 确定圆的条件（举一反三讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦“确定圆的条件”核心知识点，系统梳理不在同一直线上的三点确定一个圆的基本原理，延伸至三角形外接圆、外心（三边垂直平分线交点）及其性质（到三顶点距离相等、位置与三角形类型关系），并拓展多边形外接圆定义，构建递进式知识支架。 该资料以8类题型（判断条件、尺规作图、外心辨析等）为核心，例题与变式结合，通过尺规作外接圆培养几何直观，外心概念辨析发展推理能力，求圆心坐标强化应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，提升解决问题能力。

专题3.2 确定圆的条件（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 判断确定圆的条件】 2 【题型2 尺规作三角形的外接圆】 4 【题型3 三角形外心概念辨析】 7 【题型4 尺规作图确定圆心】 9 【题型5 求三角形外接圆的半径】 12 【题型6 求外接圆圆心坐标】 15 【题型7 求能确定圆的个数】 19 【题型8 证明点在同一个圆上】 21 考点1 确定圆的条件 【知识点1 确定圆的条件】 不在同一直线上的三点确定一个圆． 经过不在同一条直线上的三个点（A，B，C）作圆的一般步骤： 如图，（1）连接AB，BC； （2）分别作AB，BC的垂直平分线EF，HG，交于点O； （3）以交点O为圆心，以交点到三点中任意一点的距离为半径作圆，⊙O即为所求． 【知识点2 三角形的外接圆】 1. 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 2. 三角形的外心，是外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交点． 3. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径． 4. 三角形的外心的位置 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 位置 外心在三角形内部 外心是斜边的中点 外心在三角形外部 【知识点3 多边形的外接圆】 定义： 一般的，如果多边形的顶点都在同一个圆上，这个圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形. 【题型1 判断确定圆的条件】 【例1】在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为(     ) A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】D 【详解】分析：分两种情况讨论：①A、B、C三个点共线，不能做圆；②A、B、C三个点不在同一条直线上，有且只有一个圆． 解答：解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆； 当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆； 故选D． 【变式1-1】（25-26九年级上·北京·课后作业）下列条件中，只能确定一个圆的是（　　） A．过定点A B．过定点A、B，且半径为R C．过不在同一直线上的三点 D．过不在同一直线上的四点 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据过不在同一直线上的三点能确定一个圆进行判断后即可． 【详解】A．过定点A可以画无数个圆，故不符合题意； B．过定点A、B，且半径为R，设A、B两点间的距离为d，当半径时，可以作两个圆；当半径时，可以作一个圆；当半径时，无法作圆．因此该条件不能唯一确定一个圆，不符合题意； C．过不在同一直线上的三点能确定一个圆，故符合题意； D．过不在同一直线上的四点不一定能画出一个圆，故不符合题意． 故选C． 【变式1-2】（25-26九年级上·北京·课前预习）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 【答案】B 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．根据确定圆的条件，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、经过点，，，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意； B、经过点，，，只能作一个圆，说法正确，符合题意； C、经过点，以的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意； D、经过点，，以的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（    ） A．① B．② C．③ D．都不能 【答案】B 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小． 【详解】解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 【题型2 尺规作三角形的外接圆】 【例2】（2026·陕西西安·一模）已知直角三角形是一个机器的零件，现在需要用一块圆形钢板与它组合，要求圆形钢板刚好覆盖住三角形零件，请用尺规作出该圆形钢板． 【答案】 圆形钢板如图所示， 【分析】作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，长为半径作圆． 【变式2-1】如图，小明为检验 ，，， 四点是否共圆，用尺规分别作了 ， 的垂直平分线，它们交于点 ，则 ，，， 四点中，不一定在以 为圆心， 为半径的圆上的点是（      ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】连接 ，，，，由， 的垂直平分线交于点 ，可得 ，则，， 在以点 为圆心， 为半径的圆上，而 与 的大小关系不能确定，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接 ，，，， ∵ ， 的垂直平分线交于点 ， ∴ ， ∴ ，， 在以点 为圆心， 为半径的圆上， ∴ 与 的大小关系不能确定， ∴点不一定在圆上． 故选C． 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，三角形的外接圆的确定，熟练的确定三角形的外心是解本题的关键． 【变式2-2】如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 【答案】D 【分析】根据三角形外心的定义对结论 Ⅰ 进行判断；利用点 D、 G有任意性可对结论 Ⅱ 进行判断． 【详解】解：点是和的垂直平分线的交点， 点是的外心，故结论Ⅰ正确； 点，的位置不确定， 和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确． 故选：． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的外心与内心，熟练掌握尺规作图和三角形外心的性质是解题的关键． 【变式2-3】（24-25九年级上·甘肃武威·阶段检测）作图题：如图，已知等边和直线．利用尺规在直线上作出点，使得．（保留作图痕迹，不写作法，作出一点即可） 【答案】见解析 【分析】本题考查圆周角定理，作垂直平分线，三角形外心的性质，分别作线段和线段的垂直平分线，交于点，以交点为圆心，为半径画圆，交直线于点，连接，即可． 【详解】解：如图所示为所求： 是等边三角形，， ． 【题型3 三角形外心概念辨析】 【例3】如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在的外部，判断下列叙述不正确的是（    ） A．O是的外心 B．O是的外心 C．O是的外心 D．O是的外心 【答案】D 【分析】根据三角形的外心得出，根据正方形的性质得出，求出，再逐个判断即可． 【详解】解：连接， ∵O为锐角三角形的外心， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，即O是的外心，故A不符合题意； ，即O是的外心，故B不符合题意； ，即O是的外心，故C不符合题意； ，即O不是的外心，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等． 【变式3-1】（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段检测）下列关于外心的说法正确的是（   ） A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点 C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】根据三角形的外心的性质以及定义分别分析得出即可． 【详解】解：外心是三边的垂直平分线的交点 【变式3-2】如图所示，在4×4的网格中，A、B、C、D、O均在格点上，则点O是（   ） A．△ABC的内心 B．△ABC的外心 C．△ACD的外心 D．△ACD的重心 【答案】B 【分析】如图（见解析），先利用勾股定理分别求出的长，再根据三角形外心、重心、内心的定义即可得． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，， 点在的垂直平分线上， 点是的外心， ， 点既不是的外心，也不是的重心， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外心、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形的外心定义是解题关键． 【变式3-3】（2024·河北保定·二模）如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下： 嘉嘉： 作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心 淇淇： 作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心 对于两人的作图方法，下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【答案】A 【分析】本题考查作图一复杂作图，三角形的外心，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，根据直角三角形的外心是斜边的中点，由此即可判断． 【详解】解：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，直角三角形的外心是斜边的中点． 嘉嘉正确，淇淇错误． 故选：A． 【题型4 尺规作图确定圆心】 【例4】如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题考查了尺规确定圆的圆心，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握尺规确定圆的圆心的方法． 首先利用尺规做出和所在圆的圆心，进而求解即可． 【详解】如图所示，点P为所在圆的圆心，点Q为所在圆的圆心， ∵点P到线段的距离小于点Q到线段的距离 ∴所在圆的圆心到线段的距离更小． 故选：B． 【变式4-1】有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是__________________ 【答案】在圆形纸片的边缘上任取三点则线段的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 【分析】如图，在圆形纸片的边缘上任取三点 连接 再作的垂直平分线得到两条垂直平分线的交点即可. 【详解】解：如图，在圆形纸片的边缘上任取三点 连接 则的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 故答案为：在圆形纸片的边缘上任取三点则线段的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 【点睛】本题考查的是确定圆的圆心，掌握“作三角形的外接圆的圆心”是解本题的关键. 【变式4-2】如图，所示的正方形网格中，△ABC三点均在格点上，那么△ABC的外心在____点． 【答案】G 【分析】根据三角形的外接圆圆心的性质即可得到结论． 【详解】解：如图： 作线段AB和线段BC的垂直平分线，两线交于点G， 则△ABC的外接圆圆心是点G， 故答案为：G． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，熟练掌握三角形外心的性质是解题的关键． 【变式4-3】（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）中国的拱桥始建于东汉中后期，距今已有一千八百余年的历史．它是由伸臂木石梁桥、撑架桥等逐步发展而成的．由于在形成和发展过程中的外形都是曲的，所以古时常称为曲桥．如平凉市的聚仙桥、长庆桥、平凉八里桥等． 如图是拱桥的一部分，点A、B在地面上，请用尺规作图法确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．    【答案】 如图所示，圆心O即为所求．    【分析】此题考查了尺规作图确定圆心，在上任取一点E，连接，分别作线段、的垂直平分线，两直线相交于点O，则点O即为圆心． 【题型5 求三角形外接圆的半径】 【例5】在中，，则外接圆的半径为 ___________． 【答案】4或5 【分析】本题考查了直角三角形外接圆半径，掌握理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键． 根据外接圆直径是斜边长，分斜边为和两种情况进行讨论计算即可． 【详解】解：当为斜边时，， 是直角， 三角形外接圆直径， 半径是4； 当为斜边时， 为直角， ， ， 三角形外接圆直径为 半径是5； 综上所述：半径为4或5． 故答案为：4或5． 【变式5-1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的外接圆面积为_____． 【答案】 【分析】设这个直角三角形的斜边为，根据勾股定理，得到，将其代入，解得，即得到这个直角三角形的外接圆直径，进而求得这个直角三角形的外接圆面积． 【详解】解：设这个直角三角形的斜边为， 由题意得，， ∵， ∴， 令， 则有，， 整理得，， 解得，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵为直角三角形的斜边， ∴， ∵，， ∴， ∴这个直角三角形的外接圆直径为，半径为， ∴这个直角三角形的外接圆面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，换元法解一元二次方程以及三角形的外接圆的相关性质及面积，灵活运用以上知识点是解题的关键． 【变式5-2】已知等腰，，，则外接圆半径长度为______． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形的外接圆等知识．根据等腰三角形的性质得出外心在底边的高上，根据勾股定理得出方程，即可求出外接圆的半径． 【详解】解：如图，设外接圆半径为，    ∵在中，，， ∴过A作于D，则外接圆的圆心O在上，连接， ∴，， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式5-3】如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆半径的长为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，设的外心为M，由B，C的坐标可知M必在直线上，由图可知线段的垂直平分线经过点，由此可得，过点M作于点D，连接，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：设的外心为M， 、， M必在直线上， 由图可知，线段的垂直平分线经过点， ， 如图，过点M作于点D，连接， 中，，， 由勾股定理得：， 即外接圆半径的长为． 故选D． 【点睛】本题考查求三角形外接圆的半径，能够根据网格和三角形顶点坐标判断出外心的位置是解题的关键． 【题型6 求外接圆圆心坐标】 【例6】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，外接圆的圆心坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，作线段、线段的垂直平分线相交于点，点即为外接圆的圆心，结合图象即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作线段、线段的垂直平分线相交于点， 由垂径定理可得，点即为外接圆的圆心， 由图象可得，点的坐标为， 故答案为：． 【变式6-1】（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的垂直平分线交点即为的外心， 的外心坐标是， 故选：D． 【变式6-2】（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，一圆弧过方格的格点，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，圆的确定，连接，根据网格特点和三角形的外心的性质，得到的中垂线的交点即为圆心，根据点的坐标，确定圆心的坐标即可． 【详解】解：如图，由题意，点即为弧所在圆的圆心，且点恰好是坐标原点， 故弧所在圆的圆心坐标是． 【变式6-3】如图，，，，，则外心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，取格点，，，，且直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形，则可得，的交点为为的外心，再分别求解，的解析式即可得到答案． 【详解】解：如图，取格点，，，，则直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形， ∴直线是线段的垂直平分线， 记，的交点为，则为的外心， ∵，，， ∴直线为，，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，， ∴，即的外心坐标为：． 故选C． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，正方形的性质，三角形的外心的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握“三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点”是解本题的关键． 【题型7 求能确定圆的个数】 【例7】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 【变式7-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知线段，则经过A，B两点且半径为的圆有（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查确定的圆的个数．经过两点A、B的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到A、B的距离等于半径。利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：设中点为M，则． ∵圆心O在的垂直平分线上，且， ∴在中，， ∴， ∵， ∴存在两个点O（在垂直平分线上两侧），分别对应两个圆． 故选：B． 【变式7-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为___________个． 【答案】3 【分析】本题考查了确定圆的条件. 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故答案为：3． 【变式7-3】（2025九年级上·全国·专题练习）已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 【答案】（1）1个；（2）0个；（3）无数个． 【分析】（1）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点，据此可得答案； （2）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点； （3）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心． 【详解】解：（1）如图1，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点， ∴当直线l与直线AB不垂直时，只能作1个圆； （2）如图2，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点， ∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，不能作圆；   （3）如图3，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心， ∴当直线l是线段AB的垂直平分线时，能作无数个圆． 【点睛】本题主要考查确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆．即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 【题型8 证明点在同一个圆上】 【例8】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上． 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD ∴OA=OB=OC=OD， ∴A、B、C、D四点在以O圆心的同一个圆上．. 【分析】先根据题意画出图形，然后再根据矩形的性质得到AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，进而说明OA=OB=OC=OD即可证明． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形、矩形，解决问题的关键是熟练掌握矩形的对角线互相平分且相等，圆的半径相等． 【变式8-1】中，．求证：三点在同一个圆上． 【答案】见解析． 【分析】取AB的中点O，根据直角三角形的性质得到CO＝AO＝BO，故可求解． 【详解】如图所示，取AB的中点O，连接CO 在Rt△ABC中， ∵AO= BO，∠ACB= 90°， ∴CO＝AB，即CO＝AO＝BO． ∴A，B，C三点在同一个圆上，圆心为点O． 【点睛】此题主要考查证明三点共圆，解题的关键是熟知圆的基本性质及直角三角形的特点． 【变式8-2】如图，是的高，为的中点．试说明点在以点为圆心的同一个圆上． 【答案】见解析 【分析】先连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，即可证结论． 【详解】证明：连接，． 分别是的高，为的中点， ， ∴点在以点为圆心的同一圆上． 【点睛】本题主要考查了直角三角形和圆的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是关键． 【变式8-3】已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由． 【答案】点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上，证明见解析. 【分析】根据菱形的对角线互相垂直，以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出E、F、G、H到O点距离都等于定长即可. 【详解】解：如图， 连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD， ∵点E是AB的中点， ∴OE＝AB， 同理：OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD， ∴OE＝OF＝OG＝OH， ∴点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上． 【点睛】本题主要考查了四点共圆的条件，用到了菱形的性质及直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 确定圆的条件（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 判断确定圆的条件】 2 【题型2 尺规作三角形的外接圆】 3 【题型3 三角形外心概念辨析】 4 【题型4 尺规作图确定圆心】 5 【题型5 求三角形外接圆的半径】 6 【题型6 求外接圆圆心坐标】 7 【题型7 求能确定圆的个数】 8 【题型8 证明点在同一个圆上】 9 考点1 确定圆的条件 【知识点1 确定圆的条件】 不在同一直线上的三点确定一个圆． 经过不在同一条直线上的三个点（A，B，C）作圆的一般步骤： 如图，（1）连接AB，BC； （2）分别作AB，BC的垂直平分线EF，HG，交于点O； （3）以交点O为圆心，以交点到三点中任意一点的距离为半径作圆，⊙O即为所求． 【知识点2 三角形的外接圆】 1. 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 2. 三角形的外心，是外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交点． 3. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径． 4. 三角形的外心的位置 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 位置 外心在三角形内部 外心是斜边的中点 外心在三角形外部 【知识点3 多边形的外接圆】 定义： 一般的，如果多边形的顶点都在同一个圆上，这个圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形. 【题型1 判断确定圆的条件】 【例1】在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为(     ) A．0 B．1 C．2 D．0或1 【变式1-1】（25-26九年级上·北京·课后作业）下列条件中，只能确定一个圆的是（　　） A．过定点A B．过定点A、B，且半径为R C．过不在同一直线上的三点 D．过不在同一直线上的四点 【变式1-2】（25-26九年级上·北京·课前预习）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 【变式1-3】小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（    ） A．① B．② C．③ D．都不能 【题型2 尺规作三角形的外接圆】 【例2】（2026·陕西西安·一模）已知直角三角形是一个机器的零件，现在需要用一块圆形钢板与它组合，要求圆形钢板刚好覆盖住三角形零件，请用尺规作出该圆形钢板． 【变式2-1】如图，小明为检验 ，，， 四点是否共圆，用尺规分别作了 ， 的垂直平分线，它们交于点 ，则 ，，， 四点中，不一定在以 为圆心， 为半径的圆上的点是（      ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2-2】如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 【变式2-3】（24-25九年级上·甘肃武威·阶段检测）作图题：如图，已知等边和直线．利用尺规在直线上作出点，使得．（保留作图痕迹，不写作法，作出一点即可） 【题型3 三角形外心概念辨析】 【例3】如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在的外部，判断下列叙述不正确的是（    ） A．O是的外心 B．O是的外心 C．O是的外心 D．O是的外心 【变式3-1】（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段检测）下列关于外心的说法正确的是（   ） A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点 C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点 【变式3-2】如图所示，在4×4的网格中，A、B、C、D、O均在格点上，则点O是（   ） A．△ABC的内心 B．△ABC的外心 C．△ACD的外心 D．△ACD的重心 【变式3-3】（2024·河北保定·二模）如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下： 嘉嘉： 作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心 淇淇： 作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心 对于两人的作图方法，下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【题型4 尺规作图确定圆心】 【例4】如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 【变式4-1】有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是__________________ 【变式4-2】如图，所示的正方形网格中，△ABC三点均在格点上，那么△ABC的外心在____点． 【变式4-3】（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）中国的拱桥始建于东汉中后期，距今已有一千八百余年的历史．它是由伸臂木石梁桥、撑架桥等逐步发展而成的．由于在形成和发展过程中的外形都是曲的，所以古时常称为曲桥．如平凉市的聚仙桥、长庆桥、平凉八里桥等． 如图是拱桥的一部分，点A、B在地面上，请用尺规作图法确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．    【题型5 求三角形外接圆的半径】 【例5】在中，，则外接圆的半径为 ___________． 【变式5-1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的外接圆面积为_____． 【变式5-2】已知等腰，，，则外接圆半径长度为______． 【变式5-3】如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆半径的长为（    ）. A． B． C． D． 【题型6 求外接圆圆心坐标】 【例6】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，外接圆的圆心坐标为______． 【变式6-1】（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，一圆弧过方格的格点，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是______． 【变式6-3】如图，，，，，则外心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型7 求能确定圆的个数】 【例7】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知线段，则经过A，B两点且半径为的圆有（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．无数个 【变式7-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为___________个． 【变式7-3】（2025九年级上·全国·专题练习）已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 【题型8 证明点在同一个圆上】 【例8】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上． 【变式8-1】中，．求证：三点在同一个圆上． 【变式8-2】如图，是的高，为的中点．试说明点在以点为圆心的同一个圆上． 【变式8-3】已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $