第1章 二次函数 综合素养提升(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

数学（浙教版）九年级全一册 望综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.[2024泰安中考]如图所示为二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的部分图象，该函数图象 的对称轴是直线x=1,图象与y轴交点的纵坐标是2.有下列结论：①2a十b=0;②关 于x的方程a.x2+bx+c=0一定有一个根在一2和一1之间；③方程a.x2+bx+c一 令→0一有两个不相等的实数根：④h一a<2.中.正确结论的个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 Ay ix=1 y/m 0 23 0 C x/m (第1题) (第2题) 2.如图，小明站在原点O处，从离地面高度为1m的点A处抛出弹力球，弹力球在点B处 着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物 线，弹力球第一次着地前抛物线对应的函数表达式为y=a(x一2)+2，弹力球在点B 处着地后弹起的最大高度为着地前最大高度的一半.在地上摆放一个底面半径为0.5m、 高为0.5m的圆柱形筐，筐的最左端距离原点nm,若要弹力球从点B处弹起后落入筐 内，则n的值可以是 () A.7 B.8 C.9 D.10 3.把二次函数y=x2+4x十m的图象先向上平移1个单位，再向右平移3个单位.如果平 移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m的取值范围是 4.[2024成都中考]在平面直角坐标系中，A(x1y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是二次函数 y=一x2十4x一1图象上的三点.若0<x1<1,x2>4,则y1 y2(填“>”或 “<”);若对于m<x1<m十1，m十1<x2<m十2，m十2<x3<m十3，存在y1<y3<y2, 侧m的取值范围是 5.新情境生活实际甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，如图所示为两公司经理 的一段对话： 甲公司经理说：“如果我公司每辆汽车的月租费为3000元， 那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加 50元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支 付月维护费200元.” 乙公司经理说：“我公司每辆汽车的月租费为3500元，无 论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费，共计1850元.” (第5题) 说明：①汽车数量为整数； 8 第1章二次函数 ②月利润=月租车费一月维护费； ③两公司月利润差=月利润较高公司的利润一月利润较低公司的利润， 在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题： (1)当每家公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 元；当每家公司租出 的汽车为 辆时，两公司的月利润相等. (2)求两公司最大的月利润差。 (3)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元(a>0)给慈善机构，如果捐款后甲 公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩 余的月利润与乙公司月利润之差最大，求α的取值范围. 6.已知函数y=一x2十bx十c(b,c为常数)的图象经过点(0，一3)，（一6，一3）. (1)求b,c的值 (2)当一4≤x≤0时，求y的最大值与最小值的差 (3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值. 9 数学（浙教版）九年级全一册 7.[2025烟台中考]如图，抛物线y=ax2+bx十3与x轴交于A,B两点（点A在点B左 侧)，与y轴交于点C,OA=2,OB=6,D是直线BC上方抛物线上一动点，过点D作 DF⊥AB,交BC于点E,垂足为F,连结CD. (1)求抛物线对应的函数表达式. (2)设点D的横坐标为t, ①用含有t的代数式表示线段DE的长度， ②是否存在点D,使△CDE是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐 标；若不存在，请说明理由。 (3)连结OE,将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG,连结AG,请直接 写出线段AG长度的最小值. 0 0 备用图 (第7题) 10数学（浙教版）九年级全一册 n),P(t,-t-2t+3),则N(t十1,0.由题意，得 /m-(-t-2t+3)=3, 3 消去n,得3t2+5t一10=0，解得 3-nt+11 =-5±1西，所以P(仁5+1西，--1) 6 6 18 N+西o戌p(5压，压. 6 N(-压.o)综上所述，p(-1,N0.4)或 p-5+压，--)N+g西o0或 6 p(5,压，)N-压 0 0 ① ② M件 A N'O N ③ (第4题) [综合素养提升] ①B因为二次函数图象的对称轴为直线x=1,所以 一会-1，即6-2a,所以2☑+6-Q故①正确国为二次 函数图象的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点在点 (2,0),(3,0)之间，所以与x轴的另一个交点在点（一1， 0),(0,0)之间.所以关于x的方程ax2十bx十c=0一定有 一个根在一1和0之间.故②错误.因为二次函数图象与直 线y-号有两个交点，所以方程ar2+hx+c-号-0一定 有两个不相等的实数根.故③正确.因为二次函数图象与 x轴的另一个交点在点（一1,0），(0,0)之间，所以a一b十 c<0.因为二次函数图象与y轴交点的纵坐标是2，所以 54 c=2.所以a一b十2<0，则b一a>2.故④错误.综上所述， ①③正确，即正确结论的个数为2. ②B因为点A(0,1)在抛物线y=a(x一2)2+2上，所以 1=u(0-2》+2解得a=-子所以第一次首地前抛物线 对应的函数表达式为y=-(x-2)+2.当y=0时， 子-2+2=0，解得，=2+2，=2-2（会 去).所以点B的坐标为(2十22,0).因为两条抛物线的形 状相同，且在点B处着地后抛物线的高度是在点B处着地 前抛物线高度的一半，所以设弹力球第一次着地后的抛物 1 线对应的函数表达式为y=一(x一h)P十1.将B(2+ 2E,0)代人，得0=-(2+22-h)+1,解得h,=25 (舍去)，h2=22+4,所以弹力球第一次着地后的抛物线 对应的函数表达式为y=-子（一2疗-4）+1.因为弹 力球第一次着地后的抛物线的对称轴为直线x=2√2十4， 点B的横坐标为22+2，所以易得C(2√2+6,0).所以弹 力球第二次着地，点到点O的距离为(2√2十6)m.因为圆柱 形筐的高为0.5m,所以当y=0.5时，-子（-22- 4)2+1=0.5,解得x,=4+32,x2=4十2（舍去）.所以 当弹力球恰好砸中筐的最左端时，=4十3√2.因为筐的底 面半径为0.5m,所以当弹力球恰好砸中筐的最右端时， n=4+3W2-1=3+3W2.所以3+3√2≤n≤4+32.只有 B选项符合题意. ③m>3因为二次函数y=x2+4x+m=(x+2)2+ m一4，所以把它的图象先向上平移1个单位，再向右平移 3个单位后得到的图象对应的函数表达式为y=(x十2一 3)2十m一4+1=x2一2x十m一2.因为平移后所得抛物线 与坐标轴有且只有一个公共点，而抛物线与y轴一定有一 个交点，所以这个公共点为抛物线与y轴的交点.分两种 情况讨论：①若这个公共点为坐标原点，则m一2=0，所以 m=2.此时抛物线对应的函数表达式为y=x2一2x,易知 此抛物线与坐标轴有两个交点，不合题意.②若这个公共 点不是坐标原点，则此抛物线与x轴无交点，即方程x2一 2x+m一2=0没有实数根，所以（一2）2一4×1×(m- 2)=一4+12<0，解得m>3.综上所述，m的取值范围是 m>3. 0>-长m<1因为y=-2+4红-1=-(x 2)2十3，所以二次函数y=一x2十4x一1图象的对称轴为 直线x=2,开口向下.因为0<x1<1,x2>4,所以|x1 2|<x2一2.所以点A(x1y1)比点B(x2,y2)离对称轴 的水平距离近.所以y1>y2.因为m<x1<m+1,m十1< x2m十2，m十2<x3<m十3，所以x1<x2<x3.因为对 于m<x1<m+1,m+1<x2<m+2,m十2<x3m十3， 存在y1<y<y2,所以x1<2,x3>2,且点A(x1y1)离对 称轴最远，点B(x2,y2)离对称轴最近.所以2-x1>x3 2>x2一2.所以x1+x3<4,且x2十x3>4.因为2m十 2x1+x32m+4,2m+3<x2+x32m+5,所以2m十 2<4,且2m+5>4,解得-7<m<1. ⑤(1)48000：37.当每家公司租出的汽车为10辆时， 甲公司的月利润是[(50-10)×50+3000]×10一200× 10=48000(元.设当每家公司租出的汽车为b辆时，两公 司的月利润相等.由题意，得[(50一b)×50+3000]b 200b=3500b-1850,解得b=37或b=-1(不合题意，舍 去).所以当每家公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利 润相等 (2)设两公司的月利润分别为y手元，y乙元，月利润差为 y元，每家公司租出的汽车为x辆，则y=[(50一x)× 50+3000]x-200x=-50x2+5300x,yz=3500x 1850.结合两函数图象（图略）和(1)可知，当甲公司的利润 大于乙公司时，0<x<37,y=y手-yz=-50x2十 5300x-(3500.x-1850)=-50x2+1800x+1850,所以 当x= 2X(二50-18时，月利润差最大，为18050元 1800 当乙公司的利润大于甲公司时，37<x≤50，y=yz y甲=3500x-1850-(-50x2+5300x)=50x2 1800x一1850.因为二次函数图象的对称轴为直线x= 1800=18,所以当x=50时，月利润差最大，为3150元. 2×50 因为33150>18050，所以两公司最大的月利润差为 附：答案与解析 33150元.(3)因为捐款后甲公司剩余的月利润仍高于 乙公司月利润，所以月利润差为y=一50z2+1800x+ 1850一a.x=一50x2+(1800-a)x+1850.所以二次函数 图象的对称错为直线-180，因为x只能取整数，且 当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润差最大，所以 16.5<1800-a<17.5.解得50<4<150. 100 ⑥(1)把(0，-3)，(-6，-3)分别代人y=-x2+bx+c, c=一3， (b=一6， 。解得 (2)由(1)，得该函 -36-6b+c=- {c=-3. 数表达式为y=-x2-6.x-3=-(x十3)2+6，所以二次 函数图象的顶点坐标为（一3,6）.因为一1<0，所以二次函 数图象开口向下.又因为一4≤x≤0，所以当x=一3时，y 有最大值6；当x=0时，y有最小值一3.所以当一4≤x≤0 时，y的最大值与最小值的差为6一（一3）=9.(3)由 (2),得二次函数图象的对称轴为直线x=一3，所以当 x>一3时，y随x的增大而减小；当x≤一3时，y随x的 增大而增大.①当一3<m≤0时，当x=0时，y有最小 值一3；当x=m时，y有最大值-m2一6m一3，所以 -m2-6m-3+(-3)=2,解得m=一2或m=一4（舍 去.②当m≤-3时，当x=一3时，y有最大值6，因为y 的最大值与最小值之和为2，而当x=0时，y有最小值一3， 不符合题意，所以当x=m时，y有最小值一m2-6m一3. 所以-m2-6m-3+6=2,解得m=-3-√10或m= 一3十√10（舍去）.综上所述，m的值为-2或-3-√10. ⑦(1)因为OA=2,OB=6,所以A(-2,0),B(6,0).将 A,B两点的坐标分别代人y=ar2+bx+3,得 1 4a-2b+3=0, |a=- 解得4'所以抛物线对应的函数 36a+6b+3=0, b=1. 1 表达式为一4x十x+3.(2)①在)=一4十 x+3中，令x=0,则y=3,所以C(0,3.设直线BC对应 16k+b=0, 的函数表达式为y=kx十b'(k≠0)，则 解得 b=3, 1 =一乙'所以直线C对应的函数表达式为y=一立十3 1 b=3. 55 数学（浙教版）九年级全一册 因为DELAB,所以D(,-++3),E(,-之+3)： 所以DE=+t+3-(-2+3)=-+2.所 以DE=-+名0<1<6.@存在.由①知， C0,3),D(c,-+t+3,E(c,-7t+3),所以CD= √F+(-++3-3)=√F+(-+, CE=√P+(+3-3)-5,当DE=CE时， +2-号，解得1=6-25或1=0（会去），所以 -2++3=-×(6-25+6-25+3=45- 5.所以D(6-25,45-5).当CD=DE时，t+ (-+)°=(-+)，整理，得(-+1) 0,解得1=1或t=0(舍去)，所以-+1十3=-4 1+1+3=5所以D(1,）.当CD=CE时，+ (+)°-（停），整理，得r(-+) 0,解得t=2或1=6（舍去）或t=0(舍去)，所以-年+ t十3=-子×2+2+3=4所以D(2,4.综上所述，所有 满足条件的点D的坐标为(2,4)，(1，)和 (6-25,4√5-5).(3)线段AG长度的最小值为25. 如图，在y轴负半轴上取点N(0,一6)，连结NG并延长， 交x轴于点M,连结AN.由旋转，得OE=OG,∠EOG= 90°.因为B(6,0),所以OB=ON.因为∠BON=90°，所以 ∠1=∠2=90°-∠MOG.所以△BOE≌△N0G.所以 ∠CBO=∠MNO.所以点G在线段MN上运动（不包括 端点).所以当AG⊥MN时，AG最小.因为∠CBO= ∠MNO,OB=ON,∠COB=∠MON,所以△COB≌ △MON.所以OM=OC=3.所以MN=√OMf+ON= 56 1 √3+6=35.所以当AG⊥MN时，SAw=2AM· 0N=2MN·AG即号×(2+3)X6=2X35AG.所 1 以AG=2√5，即线段AG长度的最小值为25. B (第7题) 第2章 随机事件的概率 [高频考点突破] 0 ,因为二次函数y=-r2-3x十m-2的图象与 x轴有交点，所以b-4uc=(-3)-4×(-号)×(m 2≥0，解得m≥-三关于x的分式方程一匹+1 3-x x一3去分母并整理，得(m十1).x=5,要使该方程有解，则 m≠一1，且 m十1≠3.所以在-3，-2，-1,0,1,2,3中，满 足m≥-号且m≠-1且≠3的m的值有-2,01， 5 2,3.所以使得二次函数y=-2x2-3x十m一2的图象与 x拍有交点，且关于r的分式方程名四十1=二有解 1 3一x 5 的概率是， 2(1)根据题意，画树状图如图所示.由图，可知共有 12种等可能的结果，其中甲获胜的结果有8种，所以甲获 胜的概率为是号、（2)不公平莲由：由图，可知乙获 胜的结果有4种，所以乙获胜的概率为号号因为号> 号，所以这个游戏规则对甲，乙双方不公平。 234134124123 (第2题)》