专题特训2 二次函数的综合&综合与实践1 安检通道与排队人数的关系建模与应用-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

拔尖特训·数学（浙教版）九年级全一册 专题特训二二次函数的综合 类型一最值问题 1.*如图，抛物线y=一x2+bx十c(b,c为常数)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点. (1)求抛物线对应的函数表达式。 (2)点C在抛物线上，且点C的横坐标为一2，直线OC与抛物线的对称轴交于点D,抛物线的顶 点为E,求△CDE的面积. (3)在(2)的条件下，P是抛物线上一动点，求线段PD长的最小值. B (第1题) 2.*如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx一2交x轴于A,B两点，交y轴于点C,且 OA=2OC=8OB.P是第三象限内抛物线上的一动点，连结AC,AP,PC. (1)求抛物线对应的函数表达式 (2)若PC∥AB,求点P的坐标. (3)求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标 (第2题) 18 第1章二次函数 类型二 存在性问题 3.舒考探究题[2025青海中考]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2十bx一3(a≠0)与 x轴交于A,B两点，点B的坐标为(1,0)，点C(2,5)在抛物线上 (1)求抛物线对应的函数表达式， (2)①求点A的坐标. ②当y<0时，根据图象可知，x的取值范围是 (3)连结AC交y轴于点D,在y轴上是否存在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角 形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 0 B (第3题) 类型三抛物线的几何变换综合题 4.如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A(4,一5)，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为B, C,得到矩形ABOC,且抛物线经过点C. (1)求抛物线对应的函数表达式， (2)将抛物线绕直线x=a(0<a<2)翻转，分别交线段OB,AC于D,E两点.若直线DE刚好 平分矩形ABOC的面积，求a的值， (3)将抛物线旋转180°，使点A的对应点为A1(m一2，n一4)，其中m≤2.若旋转后的抛物线仍 然经过点A,直接写出旋转后的抛物线的顶点达到最低点时的坐标. (第4题) ●“答案与解析”见D12 19 拔尖特训· 数学（浙教版）九年级全一册 综合与实践1安检通道与排队人数的 关系建模与应用 2025深圳中考]综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景.如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时 间、安排通道数之间的关系 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数一已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人. 【模型构建】若在该演出开始前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x(分 钟)之间满足关系式：y=-x2+60x+100(0≤x≤30). 结合上述信息，请回答下列问题： (1)当开通3条安检通道，安检时间为x分钟时，已入场人数为 ,排队人数关于安检时 间x的函数表达式为 【模型应用】 (2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支 若同时满足以上两个要求，可开通几条安检通道？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流 程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性， 灰点表示观众 00 安检口00000 00 安检口OOO。O 礬 O 安检口O0000 0 通道未开放 20 >“答案与解析”见D13m(x一5)2十n.把A(0,1)代入，得25m+n=1,所以n= 1一25m.所以y=mx2-10mx十1.如图②，当x=2时， y=m×22-10m×2+1=-16m+1;当x=4时，y=m× 42-10m×4+1=-24m+1,所以G(2,-16m+1), E(4.-24m+1).所以GG+EE=-16m+1-子+ (-24m+1-3)=(←40m9)m所以(-40m-9)× 200X60≤4000，解得m≥-合.因为CC'=EE' -24m+1-3=(-24m-2)m,所以当m=-6时，CC'取 得最大值，为-24×(-名)-2=2(m).所以CC的最大 值为2m. 单位：m 3 D 01 6 -Bx ---c'k 单位：m G E ,3 D 6 Bx ② (第7题) 专题特训二二次函数的综合 1.(1)因为抛物线y=一x2十bx十c(b,c为常数)与x轴 一1-b+c=0, 交于A(一1,0)，B(3,0)两点，所以{ 解得 -9+3b+c=0, b=2, 所以抛物线对应的函数表达式为y=一x2+2x十3. \c=3. (2)因为y=一x2十2x十3=一(x一1)+4，所以抛物线的 对称轴为直线x=1,顶点E(1,4).当x=一2时，y= 一(-2)2+2×(-2)+3=-5，所以C(-2,-5).设直线 OC对应的函数表达式为y=m.x.将C(一2，一5)代人， 得-5=-2m,解得m=；,所以直线0C对应的函数表达 式为y=号x.令x=1,则y=号，所以D(,)所以 DE=4-号=号所以△CDE的面积为号×号×[1- (一2]=是.(3)因为P是范物线上一动点，所以设 0 P(m,-m2+2m+3).由(2)知，D(1,2）,所以PD om-1+(-m+2m+3-）)°=6m-2m)+号.所以当 m2-2m=0时，PD2有最小值，即PD有最小值.解方程 m2一2m=0,得m=0或m=2,所以当点P的横坐标为0 或2时线段PD的长最小最小值为厚-号 方法归纳 代数法求线段最值 解决二次函数图象中线段最值问题时，常用代数 法：设出动点坐标，利用坐标表示出线段长度，构造二次 函数，利用二次函数的性质求最值 2. 思路导引 (1) 由条件确定点A, 求抛物线对应的函数表达式 B,C的坐标 (2) 当PC∥AB时，点P,C的 抛物线的对称轴 为直线子 纵坐标相同，结合函数 图象的对称性求解 (3) 作PH∥y轴交 SAPNC=S△S△pmc AC于，点H PH0 利用二次函数的性质求解 (1)在y=ax2+bx一2中，令x=0,则y=-2,所以OC= 2因为0A=20C=80B,所以0A=4,0B=号.所以点 A,B,C的坐标分别为(-4,0)，（号，0），(0，一2).因为点 A(-4,0),B(号，0)在抛物线y=a2+bx-2上，所以 16a-4b-2=0, a=1, 解得，7所以抛物线对应的函数 4a十2b-2=0, b2 表达式为y=x2+x-2.(2)因为y=x+2x-2, 7 2 所以抛物线的对称轴为直线x2X一不.当PC/ AB时，点P,C的纵坐标相同，根据函数图象的对称性，得 12 点P的坐标为(-子，-2小.3)如图，过点P作PH/ y轴交AC于点H.设P(,+子x-2小由点A,C的 坐标，易得直线AC对应的函数表达式为y=一2x-2,所 以H(,-子x-2),所以SAe=Sau十SAne 2PH,0A=2×4×(-2x-2-x2-2x+2) -2(x十2)2+8.因为-2<0，所以当x=-2时，△PAC 的面积取得最大值8，此时点P的坐标为（一2，一5）. y B x (第2题) 方法归纳 铅垂线法求平面直角坐标系中三角形的面积 过三角形的一个顶点作y轴(x轴)的平行线，与这 个顶点的对边或对边的延长线相交，构造两个同底的三 角形求解.具体操作时有如图所示的三种情形， D D 0 SAD(xex） SBD(xcx） SCD(xx 3.(1)因为点B(1,0),C(2,5)在抛物线y=ax2+bx一3 |a+b-3=0, (a≠0)上，所以 解得1， 所以抛物线对 4a+2b-3=5 b=2. 应的函数表达式为y=x2十2x一3.(2)①令y=0,则 x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1,所以点A的坐标为 (-3,0).②-3<x<1 (3)存在.符合条件的点P的坐标为(0,7)或(0，一3). 设点P的坐标为(0，m).因为A(-3,0),C(2,5),所以 AC=(2十3)2+(5-0)2=50，AP2=(0+3)2+(m 0)2=9+m2,CP2=(0-2)2+(m-5)2=m2-10m+29. 因为△ACP是以AC为直角边的直角三角形，所以分以下 两种情况讨论：当AP为斜边时，AP2=AC2+CP2,即9十 m2=50+m2-10m+29,解得m=7,所以P(0,7).当CP 为斜边时，CP2=AC2+AP2,所以m2-10m+29=50+ 9十m2,解得m=一3，所以P(0,-3).综上所述，符合条件 D 的点P的坐标为(0,7)或(0，一3) 4.(1)因为A(4,一5)，且四边形ABOC为矩形，所以易得 C(0,-5).因为点A(4,一5)，C(0,-5)在抛物线y=x2+ (16+4b+c=-5, b=一4， bx+c上，所以 解得 c=-5. 所以抛物 {c=-5, 线对应的函数表达式为y=x2一4x一5.(2)由(1)知，抛 物线y=x2一4x一5=(x-2)2-9的对称轴为直线x=2. 因为将抛物线y=x2一4x一5绕直线x=a(0<a<2)翻 转，设翻转后的抛物线的对称轴为直线=1，所以2生 a.所以t=2a一2.所以翻转后的抛物线对应的函数表达式 为y=[x-(2a-2)]2-9.在y=[x-(2a-2)]-9中， 当y=0时，解得x1=2a十1，x2=2a-5;当y=-5时，解 得x1=2a,x2=2a一4.如图，连结AO,BC交于点Q.易得 点Q的坐标为(2，-？)，又因为抛物线y=[x一(2a 2)]-9分别交线段OB,AC于D,E两点，所以D(2a+ 1,0),E(2a,一5).因为直线DE刚好平分矩形ABOC的面 积，所以直线DE必过矩形对角线的交点Q(2,一号)所 以易得点D与点E关于点Q对称所以2@+)+2u=2.所 2 以a= .(3)(2,一1).因为将抛物线旋转180°，使点 A的对应点为A,(m一2，n一4)，其中m≤2，又因为A(4, -5.所以旋转中心为0士号，”2)由y=(-2)-9 可知原抛物线的顶点为(2，一9)，所以原顶点的对应点为 (m,.所以旋转后的抛物线对应的函数表达式为y= 一(x一m)+n.因为旋转后的抛物线仍然经过点A(4, -5),所以-(4-m)2+n=-5.所以n=(m-4)2-5.因 为m≤2，所以当m=2时，n取得最小值，此时n=一1.所以 旋转后的抛物线的顶点达到最低点时的坐标为(2，一1). YAx=a DB (第4题) 综合与实践1安检通道与排队人数的 关系建模与应用 (1)18x;w=一x2十42x十100.因为平均每条通道每分 钟可安检6人，所以当开通3条安检通道，安检时间为x分 13 钟时，已入场人数为36=18x.因为排队人数=现场总 人数一已入场人数，所以排队人数关于安检时间x的函 数表达式为w=y一18x=一x2+60x+100一18x= -x2+42x+100. (2)因为=-x2+42x+100=-(x-21)2+541,所以 当x=21时，wmx=541.所以排队人数在第21分钟达到 最大值，最大人数为541.(3)设开设m条安检通道，则 =y-6z=-x2+60x+100-6m=-x2+6(10-m)· x十100，所以二次函数图象的对称轴为直线x=3(10 m).因为排队人数在安检开始10分钟内（包括10分钟）减 少，所以03(10-m)≤10，即号<m<10.又因为最多可 开放9条安检通道，所以9≤<m<:因为尽量少安排安检 通道，且m为正整数，所以m的最小值为7.所以可开通 7条安检通道」 第1章拔尖自主测评 1.C将x轴向上平移2个单位，将y轴向左平移3个单 位，相当于将抛物线y=3(x一2)2十1先向下平移2个单 位，再向右平移3个单位，故抛物线在新的平面直角坐标系 中对应的函数表达式为y=3(x一2一3)2+1一2，即y= 3(x-5)2-1. 2.C因为F(2,2),G(4,2),所以F,G两点为抛物线上 的对称点.所以抛物线的对称轴为直线x=3.所以H(3, 1)为抛物线的顶点.设抛物线对应的函数表达式为y a(x一3)十1.再把点E或点F或点G的坐标代人，可求 抛物线对应的函数表达式.如把E(0,10)代人，得9a十1= 10,解得a=1,所以抛物线对应的函数表达式为y=(x 3)2+1.因此所选两点中必有H,只有选项C符合题意. 3.D当x=0时，y=2(x+1)(x一3)=2X1×(一3)= 一6，则函数图象经过点(0，一6).故A错误.当y=0时， 2(x十1)(x一3)=0，解得x1=一1，x2=3,则图象与x轴 的交点坐标为(-1,0)，(3,0).故B错误.y=2(x十1)(x 3)=2(x-1)2一8，则当x=1时，函数有最小值，为一8.故 C错误.该二次函数图象的对称轴为直线x=1,开口向上 则当x<1时，y随x的增大而减小.故D正确 4.A因为y=ax2一2a.x=ax(x一2)(a>0),所以抛物线 的开口向上，其对称轴为直线x=一二20 2a =1.把x=1代 人y=a.x2一2ax,得y=a-2a=-a,所以顶点为(1， 一a).令y=0,得x=0或x=2.所以抛物线与x轴交于点 (0,0),(2,0).抛物线y=ax2一2ax(a>0)的大致形状如 图所示.因为点A(x1y1),B(x2,y2)在抛物线y=ax2 D 2ax(a>0)上，且当x<0时，抛物线在x轴上方，所以当 x1<0且y1·y2<0时，y1>0,y2<0.所以0<x2<2.故 A正确.当x1<0且y1·y2>0时，y2>0,此时x2应满足 x2<0或x2>2.故B错误.当x,<x2<1时，y随x的增 大而减小，所以y1>y2.故C错误.当x1>x2>1时，y随 x的增大而增大，所以y1>y2.故D错误。 (第4题) 5.B在Rt△PCD中，CD=√2，PC=t,则S=PD= t2+2.当S=6,即t2+2=6时，解得t=2或t=-2(舍 去)，所以BC=2.当t=1时，S=t+2=1+2=3.故①正 确。由题图可知，二次函数图象的顶点为(4,2)，且过点(2， 6),所以二次函数的表达式为S=a(t一4)2十2.将(2,6)代 人，得6=a(2-4)2+2,解得a=1,所以二次函数的表达式 为S=(t一4)2+2=t2一8t+18.故②错误.当S=18时， t2-8t+18=18,解得t=0(舍去)或t=8,所以AB=(8 2)X1=6.所以AC=√AB2-BC=√62-2=42.所 以AD=AC一CD=4√2一√2=3√2.故③错误.如图，画出 S=t+2(0≤t≤2)的图象.从两个函数的表达式看，两个 函数的a相同，都为1，即两个函数图象的形状相同.若存 在3个时刻t1,t2,t(t,<t2<t)对应的正方形DPEF的 面积均相等，则易知t1,t2关于直线t=2对称，所以 t,十t)=2,即t十t,=4.故④正确综上所述，①④正 1 确，共2个 S 18-- 6元 21 024tt (第6题) 6.答案不唯一，如y=一x2十x十2因为二次函数y= 一x2十bx十c的图象经过点(c,0),所以0=一c2十bc十c. 因为二次函数y=一x2十bx十c的图象不经过原点，所以 c≠0，则c一b=1.若取b=1,则c=2,所以该二次函数的 表达式可以为y=一x2十x十2（答案不唯一. 7>- ,因为抛物线y=ar2-2ax十c经过点A(3, 0),所以0=9a-6a十c,则c=一3a.因为c>0,所以a< 0.因为点M(t+2,y1),N(t+3,y2)在抛物线上，且y1>