4.1 比例线段-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

∠ABC=60°.所以∠APN=60°.(2)90°；108° ∠AD0=号∠AB0.因为∠AB0=∠AD0+∠D0E,所 (3)能.由(1)(2)可知，∠APN的度数等于内接正多边形 的一个内角的度数.当正多边形为正边形时，其内角和 以∠AD0=∠DOE.所以DE=OE=号AB=5.因为AB 为m-2)·180°，所以每个内角的度数为1一2》·180.所 是⊙O的直径，所以∠ACB=∠AEB=90°.所以AC⊥ 以能推测出一般的内接正n边形的情况，∠APN= BC.因为ACOP,所以OD⊥BC.所以OD平分BC.所以 (n-2)·180 OD是线段BC的垂直平分线.所以BD=CD=√6I.因为 n 13.(1)如图①，连结OC.因为OP是弦AC的“F形半径， ∠BED=180°-∠AEB=90°，所以BE=√BD2-DE= 所以ACOP.所以∠POB=∠A,∠POC=∠ACO.因为 √（√6I)2-52=6.因为∠AEB=90°，所以AE= AO=OC,所以∠A=∠ACO.所以∠POB=∠POC.所以 JAB2-BE2=/102-62=8. BP=CP.(2)如图②，连结AP.因为AB是⊙O的直 径，所以∠APB=90°.所以AP⊥BD.因为AD=AB,所以 BP=DP.又因为OA=OB,所以OP是△BAD的中位 线.所以OP∥AC.所以OP是弦AC的“F”形半径. (3)如图③，连结BC,BE,OE.因为OP是弦AC的“F”形 半径，所以OP∥AC.所以∠ADO=∠CAD.因为AO= ① ② ③ OE,所以∠BAD=∠AE0.因为∠CAD= (第13题) ∠BAD,所以 第4章 相似三角形 4.1比例线段 AB>C,所以是-5所以AB-AC,所以 2 1.C各选项中的四条线段都已按从小到大的顺序排列. 因为1×6=2×3=6，所以选项A中的四条线段是比例线 C-AC-AB-AC-5AC-8AC因为AC 2 段.因为2×6=3×4=12，所以选项B中的四条线段是比 例线段.因为4×10≠5×6，所以选项C中的四条线段不是 40am,所以c=3≥5×40=（60-205)m 2 比例线段.因为2×√15=√5×2√3=2√15，所以选项D 5.(1)因为四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形， 中的四条线段是比例线段. AB=3,AD=6.5,BF=2,所以CD=EF=AB=3,BC= 2.A设造像腰部以下的长度为xm.因为造像的腰部以 AD=6.反所以CF=C-BF=45所u受-品-品： 下与全身高度的比值接近黄金分割比，且造像全身高度为 3m,所以亏≈0.618，则x≈1.854，即造像腰部以下的长 票品号器号《2)管案不暗-，如线段E CF,BF,AB. 度约为1.854m. 方法归纳 因为x一义」 x+2y 3，所以3(x一y)=x十2y,化简，得 1 判断四条线段是否为比例线段的步骤 一排：将四条线段按从短到长（或从长到短）的顺序 2红=5所以号-是.设=kk≠0，则y=2么所以 排列 y x-2_5k-2×2k_1 二算：分别计算前两条线段的长度之比和后两条线 x+y 5k+2k 段的长度之比， 方法归纳 三判：若前两条线段的长度之比等于后两条线段的 利用比例的基本性质求代数式值的方法 长度之比，则这四条线段是比例线段，否则不是比例 (1)消元法：用含有一个字母的代数式表示其他的 线段」 字母，然后代入代数式求值」 6.D (2)参数法：根据比例式设出合适的参数，然后用含 田为兴=品所以需-器即A AB 此参数的代数式表示出相应的字母，最后代入代数式求值 C所以-1=1-所以+6=1+ AD 4.(60一205)因为B为线段AC的黄金分割点，且 1=2. D45 7.D因为号-5，所以可设a=65-1>0. 4.2由平行线截得的比例线段 2 6-因为2所u坠-5所以5-1 1B由选项A,得号-二，则x-任该远项错误：由选 2 4k所以c= k=(5+1)k.因为2k+(W5-1)k= 项B,得号-兰，则x一答，该选项正确：由选项C,得 a 5-1 2k十√5k一k=(W5+1)k,所以a十b=c.所以这三条线段 兰，则-会该谁项错误：由选项D.得子-之，则一 首尾顺次相连不能围成三角形， 8.A如图，过点A作AH⊥BC于点H.因为AB=AC, 也，该选项错误 2.C因为AB=10,BC=6,所以AC=AB+BC=16.因 所以B阴=CH=号BC=2.在R△ABH中，AH= 为AD∥BE/CF,所以怨-票.即8=告.解得 √3-2=√5.因为D,E是边BC上的两个黄金分割点， DE=7.5. 所以CD=BE=5,1BC=25-2.所以BD=BC- 2 &12因为B,∥DD,所以品-器因为AB CD=4-(2√5-2)=6-25.所以DE=BE-BD= 25-2-(6-25)=45-&所以Sm=2×45 x-(D,所u8专所恶专因为AE-04m 所以AD,=0.4×3=1.2(m). 8)×5=10-45. 4因为DE∥C,所以肥-铝图为需-言·所以 A =号所以侣-号因为AB=15,所以AG=10因为 AD_2 B DHE (第8题) DF/CE所以是是-号即S-号解得AP-号 g.专或号或6因为△ABC是比例三角形”，且AB= 所以EF=AE-AF=10-20-10 33 2,BC=3,所以分三种情况：①当AB2=BC·AC时，得 5.C 因为DE/C.GFAC,所以0装铝票， 4=3AC,解得AC-专：巴当BC=AB·AC时，得9= ME_AGGM_GD.AD-AS,且四边形MCF是平行 DM DG'MF BD'BD CE 2AC,解得AC= 2;③当AC=AB·BC时，得AC=6, 9 四边形.所以NME=C.所u品-瓷因为品品所 解得AC=5(负值舍去).综上所述，AC的长为号或号 兴二所以选项ABD率正确选项C错误 或6. 6.A如图，过点D作DHBE,交AC于点H.因为F为 10.(1)由原矩形的长、宽分别为acm,bcm,木板的宽为 xcm,可得新矩形的长为(a十2x)cm,宽为(b十2x)cm. AD的中点，所以AF=Fm.因为FEDH,所以铝 (2)假设原矩形的长、宽与新矩形的长、宽是比例线段，则 a+2x_b+2z.所以ab+2br=ab+2ax.所以2(a-b) 部-1.所以A=EH.因为DH/BE,所-肥 A b x=0.因为a>b,所以a-b≠0.所以x=0.又因为x>0, 令，所以CH=3EI,所以EC=CH+EH=4EH=4AE 所以原矩形的长、宽与新矩形的长、宽不是比例线段。 11.由题意，得BC=NC=-2,∠NCB=90°.由第二步，可得 AC=2NC=1.如题图③，在Rt△ABC中，AB= √AC+BC=√5.因为AD=AB=√5，所以CD=AD AC=后-1所以侵-.所以矩形(DE为黄全 D 矩形. (第6题) D46第4章 相似三角形 4.1比例线段 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.下列四条线段中，不是比例线段的为 () A.a=1 cm,6=2 cm,c=3 cm,d=6 cm B.a=2 cm,6=3 cm,c=4 cm,d=6 cm C.a=4 cm,6=5 cm,c=6 cm,d=10 cm D.a=2cm,b=√5cm,c=2√3cm,d=√15cm 2.境传统文化现存的铁佛寺二十四诸天彩塑造像建成于明朝，其人物面部表情丰富.古人在设 计造像时，使造像的腰部以下与全身高度的比值接近黄金分割比，可以增加视觉美感.若造像全 身高度为3m,则腰部以下的长度约为 () A.1.854m B.1.584m C.1.416m D.1.236m 3*者十之-日则的值为 x+y 4.教材变式题大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也会产生最具美感的黄 金分割比.如图，B为线段AC的黄金分割点(AB>BC),若AC=40cm,则BC的 长为 cm. 5.★如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB=3,AD=6.5,BF=2. (第4题) D求C琴船的信 (2)写出AB,BC,CF,CD,EF,BF这六条线段中的比例线段（写出一组即可）. (第5题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6如图，点B,C在线段AD上，且瓷品则品+S的值为 () B C D (第6题) C.3 D.2 7若三条线段口，6的长满起号一名-5己，则将这三条线段背尾顺大相连 ) A.能围成锐角三角形 B.能围成直角三角形 C.能围成钝角三角形 D.不能围成三角形 68 第4章相似三角形 8.如图，在△ABC中，AB=AC=3,BC=4.若D,E是边BC上的两个黄金分割，点，则△ADE的 面积为 A.10-4√5 B.3W5-5 C5-25 D D.20-85 2 (第8题) 9.考回新定义题若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则我们称这个三角形为“比例 三角形”.已知△ABC是“比例三角形”，AB=2,BC=3,则AC的长为 10.如图，在一块长为acm、宽为bcm(a>b)的矩形白板的四周，镶上宽为xcm的木板（图中阴影 部分)，得到一个新的矩形 (1)试用含a,b,x的代数式表示新矩形的长和宽. (2)试判断原矩形的长、宽与新矩形的长、宽是不是比例线段. acm ML xcm (第10题) 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.考向探究题阅读下面的材料，并解答问题 小明参加了一次折纸活动，折叠步骤如下： 第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用如图①所示的方法折叠出一个正方形，然后把纸 片展平 第二步：如图②，把这个正方形折成两个完全一样的矩形，再把纸片展平. 第三步：折出内侧矩形的对角线AB,并将AB折到如图③所示的AD处， 第四步：展平纸片，按照所得的点D画出如图④所示的矩形BCDE, 心知矩形(CDE为黄色矩形，你能说明为什么吗注：当矩形的变与长的比为万。计.我们称 这个矩形为黄金矩形？ M F B M N AC ① ② ③ ④ (第11题)》 >“答案与解析”见D45 69