4.1比例线段（分层作业，6大题型）数学新教材浙教版九年级上册

分层作业 4.1 比例线段 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 比例线段 题型02 比例的性质 题型03 成比例线段 题型04 黄金分割 B组 能力进阶 题型 比例线段·综合应用 C组 思维拔高 题型 比例线段·创新性问题 比例线段题型01 1．已知线段的长是，线段的长是，则线段与的比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：线段与的比为． 2．下列各组线段中，、、、成比例的一组是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】利用比例的基本性质，通过验证与是否相等判断四条线段是否成比例． 【详解】解：A、， ，， ， 该组线段不成比例； B、， ，， ， 该组线段成比例； C、， ，， ， 该组线段不成比例； D、， ，， ， 该组线段不成比例． 3．（26-27九年级·江苏常州·月考）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长（     ） A．4cm B．8cm C．5cm D．16cm 【答案】A 【分析】由比例中项的定义列等式，结合线段长度为正求解． 【详解】解：∵是、的比例中项， ∴． ∵线段，， ∴． ∴或（不符合题意，舍去）． 故线段． 4．点把线段分割成和两段，如果是种的比例中项．那么下列式正确的个数有（    ） ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设，则，由比例中项得出，代入解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设，则， ∵线段是种的比例中项， ∴，即， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴，，，， 故选：C． 【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键． 5．在比例尺为1：100000的地图上，距离为2cm的区域表示的实际距离是_________km． 【答案】2 【分析】比例尺就是图上距离与实地距离之比，变形计算即可． 【详解】2×100000＝200000cm＝2km，故填2. 【点睛】本题考查比例尺的相关计算，较为简单． 6．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若，则的值为________； 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质， 由比例关系设参数，代入表达式化简即可． 【详解】解：由，设，（）， ∴． 故答案为：． 7．如图所示，已知，且．求的长． 【答案】的长为 【分析】本题主要考查了比例线段的计算，熟练掌握线段的加减计算是解题的关键． 先利用可得，由可得，再根据即可求得的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 8．（25-26九年级·期末）【新知探究】有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图①，与是以为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质如下：连接并延长，交于点E，则 【问题解决】如图②，在 中，D 为的中点，E为的中点，的延长线交于点F，连接． (1)找出以 为公共边的所有“共边三角形”．若的面积为45，分别求出这些“共边三角形”的面积． (2)求证： (3)若将“D为的中点”改为“”，则= ． 【答案】(1)，，， (2) 证明：由（1），知 ， 由“共边三角形”的性质，得， ∴， ∴，即； (3) 【分析】本题考查比例的计算，理解题干中的共边三角形的概念和性质是解题关键． （1）根据“共边三角形”的概念找到以为边的三角形，由性质可知求解即可； （2）由（1）中的面积关系求解即可； （3）由题意易得求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得以为公共边的“共边三角形”有，，， ∵D，E分别为，的中点， ， 由“共边三角形”的性质，得， ∴， ∵， ， ； （2）略 （3）解：∵，， ∴， 由“共边三角形”的性质，得 ， ， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 比例的性质题型02 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·月考）若四个数，，，成比例，即若，，，则为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了比例．熟练掌握比例的意义是解题的关键． 将，，代入计算即可． 【详解】∵若，，， ∴， ∴． 故答案为：B． 2．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质． 由条件可得，代入所求表达式化简． 【详解】解：∵， ∴， 则． 故选：C． 3．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用比例的基本性质求解，通过用表示，表示，代入所求式子约分即可得到结果. 【详解】解：， ，，且，， 要使分式有意义，需， 将，，代入得： 原式的值为． 4．已知，a，b，c是任意实数，且满足，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．﹣2或＋1 D．﹣1或＋2 【答案】D 【分析】根据已知条件得出，再把三式相加得出，然后分两种情况当时和当时讨论，即可得出k的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 分类讨论①当时， 则有：； ②当时，则， 则有：． ∴k的值为2 或-1． 故选：D． 【点睛】本题考查了比例的性质，解决此题关键是把等式变形，进而通过分析的取值，确定k的取值． 5．如果，那么__________________． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 6．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）已知三条线段a，b，c，其中b是a，c的比例中项，如果，，则b的值为______． 【答案】12 【分析】根据比例中项的定义可得，代入，的值计算，结合线段长度为正，即可得到的值． 【详解】解：线段是，的比例中项 将，代入得 线段长度为正数 7．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知 ，且，求的值 【答案】33 【分析】本题考查了比例性质，解题的关键是求出比值，从而求出、、的值． 先设，可得，，，而，那么，易求，进而可求、、的值，代入计算即可． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2) 如图所示，点即为所求． 【分析】本题考查“中外比点”的定义，正确理解“中外比点”的定义是解题的关键． （1）根据“中外比点”的定义得到，结合，求出的长即可； （2）先作线段的垂直平分线，交于点，再过点作，且，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则点即为线段分为中外比点． 【详解】（1）解：根据题意得，点是线段的中外比点， ， 即， 解得， 由于， 则； （2）解：略． 成比例线段题型03 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于（    ） A．36 B．5 C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题考查比例中项的概念，熟练掌握比例中项的平方等于两外项的乘积是解题的关键． 根据比例中项的定义，比例中项的平方等于两外项的乘积，计算即可． 【详解】解：设a，b的比例中项线段为c， 则， ∵， ∴． 故选：D． 2．下列各组线段中，成比例的一组是（    ）． A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查比例线段的概念，若四条线段成比例，则最小线段与最大线段的乘积等于另外两条线段的乘积，据此依次判断即可． 【详解】解：对各选项依次判断： 选项A：∵，，， ∴该组线段不成比例，A错误； 选项B：∵，，，且， ∴该组线段成比例，B正确； 选项C：∵，，， ∴ 该组线段不成比例，C错误； 选项D：∵，，， ∴该组线段不成比例，D错误． 3．（25-26九年级上·四川达州·月考）已知，，，是成比例线段，即，若，，，则______． 【答案】6 【分析】本题考查成比例线段，根据成比例线段的定义，比例式成立，代入已知数值求解即可． 【详解】解：∵是成比例线段， ∴， 代入,,，得， 解得， 故答案为：6． 4．已知点P在线段AB上，满足AP：BP＝BP：AB，若BP＝2，则AB的长为_____． 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，得出BP＝AB，代入数据即可得出AB的长． 【详解】∵点P在线段AB上，满足AP：BP＝BP：AB， ∴P为线段AB的黄金分割点，且BP是较长线段， ∴BP＝AB， ∴AB＝2， 解得AB＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了比例线段、黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍． 5．地理课上，小明同学画一个比例尺为 地图，已知A，B两地之间的实际距离为公里，那么小明在图上应该画___厘米． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段的应用．依据比例尺的定义，通过图上距离与实际距离的数量关系计算出结果，注意统一单位再进行计算． 【详解】解：设小明在图上应该画厘米，依题意， 解得： 故答案为：． 6．有三条长度分别为，，的线段，再添一条长度为___________的线段，能使这四条线段是成比例线段． 【答案】或或 【分析】设添加的线段为，根据四条线段成比例，分别求出即可得． 【详解】解：设再添一条长度为的线段． 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得． 综上，再添一条长度为或或的线段，能使这四条线段是成比例线段． 故答案为：或或. 【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是找出所有成比例的情况分别求解． 7．已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）设，，，再代入求解得到，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段m的长． 【详解】（1）解：设，，， ∴，即， 解得：， ∴，，； （2）由（1）知，，又因为m是a，b的比例中项， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 8．（25-26九年级上·上海·期中）某学习小组对梯形的分割与图形的组合展开研究． 现有一张直角梯形纸片（如图1），，．    (1)有一张直角梯形纸片（如图2），，，．将这张纸片沿对角线剪开，并将剪出的通过图形的运动，使点M、Q分别与点A、D重合，从而拼成一个（如图3），请完成填空：的值是 ；的值是 ； (2)有一张直角梯形纸片（如图4），，．请设计一种方法，用一条直线l将梯形纸片分割成两个部分，使得其中一个部分（记为图形S）通过图形的运动能与梯形纸片（图1）拼成一个无重叠的直角三角形． 要求：①在答题纸图4的梯形EFGH纸片上画出直线l； ②写出直线l的与梯形的边的交点位置； （简述语言示例：点Q是梯形的顶点，点P是边的一个四等分点） ③直接写出图形S与梯形的面积比． 【答案】(1)． (2) ①如图，在上截取，作直线，即直线，    ②点O是的一个三等分点；③ 【分析】本题考查直角梯形，平行线间线段成比例，矩形的判定与性质，全等三角形的判定，平行公理的推论，等腰三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，过点Q作于点E，推导出四边形是矩形，得到，继而推导出，，得到，则，得到，即可解答． （2）在上截取，证明，则符合题意；过点O作交于点P，过点H作于点M交w于点N，，四边形是矩形，四边形是矩形，得到，推导出，，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 过点Q作于点E，如图    ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ 由图3，图2，可得 ， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）如图，在上截取，作直线，即直线，    ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴符合题意， 如下图，过点O作交于点P，过点H作于点M交于点N，    由（1），同理可得，， ∵，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 同理可得四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即O点是的一个三等分点， ∴． 黄金分割题型04 1．如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，，各部分长度的比满足，这体现了数学中的（ ） A．黄金分割数 B．平移 C．平均数 D．轴对称 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得点为的黄金分割点，即可求解，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，各部分长度的比满足 ， ∴点为的黄金分割点， 故选：． 2．（24-25九年级上·浙江温州·月考）如图，若点C是线段的黄金分割点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割的定义“把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比”，理解黄金分割的概念是解题关键．根据黄金分割的定义列比例式即可求解． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”．如图，若上海东方明珠塔的塔高为米，为塔的黄金分割点，设，则满足的方程是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割点的意义，根据黄金分割点的定义列式判断即可．正确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵为塔的黄金分割点， ∴，即， ∴． 故选：C． 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割比（黄金分割比0.618）著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是黄金分割比．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为103cm，头顶至脖子下端的长度为25cm，则其身高可能是（）    A．165cm B．170cm C．175cm D．180cm 【答案】B 【分析】以腿长103cm视为从肚脐至足底的高度，求出身高下限；）以头顶到脖子下端长度25cm视为头顶至咽喉长度求出身高上限，由此确定身高的范围即可得到答案. 【详解】（1）以腿长103cm视为从肚脐至足底的高度，求出身高下限：， （2）以头顶到脖子下端长度25cm视为头顶至咽喉长度求出身高上限： ①咽喉至肚脐：cm， ②肚脐至足底： cm， ∴身高上限为：25+40+105=170cm， ∴身高范围为： ， 故选：B. 【点睛】此题考查黄金分割，正确理解各段之间的比例关系，确定身高的上下限，即可得到答案. 5．如图，已知是线段的黄金分割点，且，若表示为一边的正方形的面积，表示长是，宽是的矩形的面积，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据黄金分割的定义得到PA2=PB•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=PA2，S2=PB•AB，即可得到S1=S2． 【详解】∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB， ∴PA2=PB•AB， 又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积， ∴S1=PA2，S2=PB•AB， ∴S1=S2． 故答案为=． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点． 6．已知，点P、Q是线段的两个黄金分割点，若，则的长是 ___________________． 【答案】## 【分析】先由黄金分割的比值求出，再由进行计算即可． 【详解】解：如图，点、是线段的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，熟记黄金比是解题的关键． 7．（24-25八年级下·云南保山·期末）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了黄金矩形的定义，根据黄金矩形的定义得，即可求出宽． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 即该黄金矩形的宽是． 8．（25-26八年级·福建南平·期中）阅读材料 黄金分割点：若线段上的点满足（其中），则称点为线段的黄金分割点，比值称为黄金比． 黄金矩形：宽与长的比值等于黄金比的矩形，称为黄金矩形． （1）验证黄金分割点 （2）构造并验证黄金矩形 已知线段，按以下步骤进行尺规作图（对应图1）： ①过点作，垂足为点，使得，连接； ②以点为圆心，的长度为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，的长度为半径画弧，交于点（得到的点满足）． 沿用（1）中得到的线段及它的黄金分割点，继续完成以下操作（对应图2）： ①以为边，在的上方作正方形； ②连接正方形的对角线； ③过点作，垂足为点，线段分别交、于点、； ④过点作线段，分别交、于点、，得到四边形． 请结合上述材料，完成下列问题： (1)如图，已知线段，点是线段的两个黄金分割点（其中），点是线段的中点，求线段的长； (2)请结合上述作图步骤1，证明图1中的点是线段的黄金分割点； (3)请结合上述作图步骤2，证明图2中的四边形是黄金矩形． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据黄金分割点的意义得，由点是线段的中点得，根据可得结论； （2）设，则，由勾股定理得，求出，计算出即可得出点是线段的黄金分割点； （3）证明四边形和四边形是矩形，得，再证明得，从而得四边形是正方形，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：∵，点是线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是线段的黄金分割点； （3）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∵由（2）知， ∴ ∴四边形是黄金矩形． 比例线段·综合应用题型 1．（24-25九年级上·广东河源·期中）下列四组长度的线段中，是比例线段的是（    ） A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，15 【答案】C 【分析】本题考查比例线段，掌握如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段（有先后顺序，不可颠倒）是解题关键．根据比例线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，故该选项符合题意； D．，故该选项不符合题意． 故选C． 2．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？ A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 【答案】A 【分析】本题考查了比例式，读懂题意，则根据，，，，求出，因为将减小，故把代入算出调整后的，即可作答． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵将减小， ∴调整后的， ∵电流表示数才能为0， ∴， ∵，，， 则， 解得， ∴， 即增大， 故选：A． 3．巡警小王在犯罪现场发现一只脚印，他把随身携带的一张百元钞票放在脚印旁进行拍照，照片送到刑事科，他们测得照片中的脚印和钞票的长度分别为5 cm和3.1 cm，一张百元钞票的实际长度大约为15.5 cm，请问脚印的实际长度为______cm. 【答案】25 【详解】试题分析：根据题意可知：，所以设脚印的实际长度为xcm，列方程求解即可． 解：设脚印的实际长度为xcm， 根据题意得：， 解得：x=25． ∴脚印的实际长度为25cm． 故答案为25． 考点：相似多边形的性质． 点评：此题考查了相似多边形的性质．注意抓住是解此题的关键． 4．（25-26九年级上·上海·月考）在相同时刻的物高和影长成正比，如果某一时刻，旗杆在地面的影长为米，此时身高是米的小王的影长是米，则旗杆的高度是______米 【答案】 【分析】本题考查比和比例，掌握相关知识是解决问题的关键．因为在相同时刻的物高和影长成正比，则有，据此列方程求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度是米， 则， 解得：， 则旗杆的高度是米． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·上海·月考）在比例尺为的地图上，相当于实际_________ 【答案】20 【分析】本题考查了两条线段的比．设两地的实际距离为，根据比例尺的定义得到，利用比例的性质易求得x的值，注意单位统一． 【详解】解：设两地的实际距离为， ∵比例尺为， ∴， ∴． 故答案为：20． 6．（25-26九年级上·河南开封·联考）已知线段，，c是a和b的比例中项． (1)求c的值； (2)若线段d满足，求d的值． 【答案】(1)（c为线段，取正值） (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （1）根据比例中项的定义求解即可． （2）根据题意代值求解即可． 【详解】（1）解：∵线段，，c是a和b的比例中项， ∴， ∴或（舍去）． （2）解：∵，，，， ∴， ∴． 7．如图是一个五角星，测量线段和的长，并计算和的值．这两个比值相等吗？如果相等，比值大约是多少？ 【答案】两个比值相等，比值大约为． 【分析】测量得到、、的长度，分别计算两个比值，比较比值大小即可得到结论． 【详解】解：对题图中的线段进行测量得，，． 则，； ∴比值相等，比值大约为． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中），则代数式的值是_____； （2）已知线段，，则线段a，b的比例中项是_______． 【答案】 ## 【分析】本题考查了比例线段，理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数． （1）根据比例的性质即可求解； （2）根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负． 【详解】解：（1）∵， ∴，设， ∴， 故答案为：； （2）∵线段，， 设：它们的比例中项是， ∴， ，（线段是正数，负值舍去）． 故答案为：． 比例线段·创新性问题题型 1．＝＝＝k，则关于x的函数y＝kx﹣k的图象必经过第_____________象限． 【答案】一、四 【分析】当a+b+c＝0，利用比例性质得k＝﹣1，则函数解析式为y＝﹣x+1，于是一次函数与系数的关系可得直线经过第一、二、四象限；当a+b+c≠0，利用比例性质得k＝＝2，则函数解析式为y＝2x﹣2，于是一次函数与系数的关系可得直线经过第一、三、四象限，然后综合两种情况可判断y＝kx﹣k的图象必经过第一、四象限． 【详解】解：当a+b+c＝0，a+b＝﹣c ，k＝﹣1， 则函数解析式为y＝﹣x+1，直线y＝﹣x+1经过第一、二、四象限； 当a+b+c≠0，k＝＝＝， 则， 三个等式相加得，， 解得，则函数解析式为y＝2x﹣2，直线y＝2x﹣2经过第一、三、四象限， 所以关于x的函数y＝kx﹣k的图象必经过第一、四象限． 故答案为一、四． 【点睛】本题考查了比例的性质和一次函数的性质，解题关键是根据比例的性质求出k的值. 2．如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，延长与交于点，设正方形边长为，由，得到等边，由平行线截线段成比例得到，，的长度，在中，应用勾股定理，即可求解， 本题考查了，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，平行线截线段成比例，勾股定理，解题的关键是：连接辅助线，得到等边． 【详解】解：过点作，垂足为，延长与交于点，连接， 设正方形边长为， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴平行于， ∴，，，， 在中，，即：，解得：，（舍）， 故选：D． 3．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”． 如图①，点C把线段分成两部分，如果，那么称点C为线段的黄金分割点． （1）特例感知：在图①中，若，求的长； （2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形： ①作两条相互垂直的直径、； ②作的中点P，以P为圆心，为半径画弧交于点Q； ③以点A为圆心，为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦，连接； 则五边形为正五边形． 在该正五边形作法中，点Q是否为线段的黄金分割点？请说明理由． （3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系． 延长题（2）中的正五边形的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段的黄金分割点，请利用题中的条件，求的值． 【答案】（1）61.8； （2）Q是线段OM的黄金分割点，理由如下： 设⊙O的半径为a，则OA=ON=OM=a， ∴OP=， ∴， ∴OQ=PQ-OP=， ∴MQ=OM-OQ=， ， ∴Q是线段OM的黄金分割点； （3） 【分析】（1）根据黄金分割的定义求解即可； （2）设⊙O的半径为a，则OA=ON=OM=a，利用勾股定理求出PA，继而求出OQ，MQ，即可作出判断； （3）先求出正五边形的每个内角，即可得到∠PEA=∠PAE=，根据已知条件可知cos72°=，再根据点E是线段PD的黄金分割点，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 解得：AC≈61.8； （2）略 （3）正五边形的每个内角为：， ∴∠PEA=∠PAE=， ∴cos72°=， ∵点E是线段PD的黄金分割点， ∴， 又∵AE=ED， ∴， ∴cos72°=． 【点睛】本题考查黄金分割、勾股定理、锐角三角函数，解题的关键是读懂题意正确解题． 4．（24-25八年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料，完成探究证明与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同，问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，… 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，… 【探究】小亮同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． （1）请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，且，若，则______，______； 【证明】 （2）已知，且，求证：． 【运用】 （3）①请用上述规律，解分式方程． ②若，求k的值． 【答案】（1）k，k； （2）证明：设， 则，，，， ∴ ； （3）①；② 【分析】（1）设，，然后分别代入计算即可； （2）设，则，，，，然后分别代入等式左边计算即可得出结论； （3）①直接利用（2）中的规律解分式方程即可； ②直接利用（2）中的规律即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴，， 故答案为：k，k； （2）略 （3）①∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为； ②∵， ∴，即， ∴． 5．已知，在菱形中，对角线，相交于点，，．延长至点，使，连接．点从点出发，沿方向向点运动，速度为，过点作垂足为点交于点；点从点出发，沿方向向点运动，速度为，过点作，交于点，当点停止运动时，点也停止运动，设运动时间为（），解答下列问题： (1)当时，求的值； (2)设六边形的面积为，求与的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3) 解：不存在，理由如下： 理由：作于M， ∵四边形是菱形， ， ， ， ；即， 当点在的平分线上时， ， ， ， ， ， ， ，， 所以不存在某一时刻，使点在的平分线上． 【分析】（1）当时，，构建方程求解； （2）根据，求解即可； （3）作于M，利用角平分线的性质求出时t的值即可得出结论． 【详解】（1）存在． 理由：当时．， （2）解：过点H作于点J． ∵四边形是菱形， ， ， ， ， 即 ， （3）略 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，平行四边形的判定，解直角三角形等知识，解题关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 6．【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，如果，那么称点为线段的黄金分割点． (1)【问题发现】如图1，请直接写出与的比值是______； (2)【尺规作黄金分割点】如图2，在中，，，，则______，在上截取，则______，在上截取，则的值为______； (3)【问题解决】如图3，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，点对应点，得折痕，试说明：是的黄金分割点； (4)【拓展延伸】如图4，正方形中，为对角线上一点，点在边上，且，当为的黄金分割点时，，连，延长交于，请用相似的知识求出的值为______． 【答案】(1) (2)，， (3) 证明：如图，设与交点为P ∵，且M为中点， ∴， 过P作， ∵平分， ∴． 设， ， ∵ 即，解得， 经检验为原方程的解 ∴ ∴C为的黄金分割点． (4) 【分析】（1）直接根据黄金分割比求解即可； （2）先根据勾股定理求得,设，则，再利用勾股定理建立方程求得的值，进而求得，最后代入计算即可； （3）由图2，取与交点P，过P作，，由，求得的长，计算的值即可； （4）延长交于点K，过N作，过A作交于点S，过S作，取交点O, 由已知条件证明，继而证明，可知接着证明；由,求得的值，最后由得出结果． 【详解】（1）解：设， 则，即 ∴，解得或（舍去） 经检验，是原方程的解 ． 故答案为：． （2）解：在中，， 设，则 ,解得或（舍去） 经检验是原方程的解 则． 故答案为：，,． （3）略 （4）解：如图：延长交于点K，过N作，过A作交于点S，过S作，取交点O． ∵，， ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∴等腰 ∴， ∴ 在和中 ∴ ∵N为的黄金分割点， ∴设 ∴ 设 ，解得 经检验，符合题意 ． 【点睛】本题主要考查了成比例线段、相似三角形的性质与判定、锐角三角函数、三角形全等的性质与判定等知识点，正确的作出辅助线、用好比例式是解题的关键． 7．（2026·上海·模拟）比，是两数相除的简约表达，揭示部分间的量级关系．比的妙用在于化繁为简． (1)已知某地图的比例尺为，其中80000用科学记数法表示为____________，该地图上代表实际距离____________m． (2)“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为5，四个黄金分割点组成的正方形的边长为_________． (3)若正数，满足：，试将按照从小到大的顺序排列． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据科学记数法的表示形式为，其中，当原数的绝对值大于1时，为正整数，确定和的值，即可求解；根据比例尺图上距离：实际距离，即可求解； （2）根据黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是，即可求解； （3）由是正数可知，，，，，再利用不等式的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：； 比例尺表示图上代表实际距离． （2）解：如图，，是线段的两个黄金分割点， ∵正方形“黄金格”的边长为， ∴， ∴，即， ∴四个黄金分割点组成的正方形的边长为． （3）解：∵是正数， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 综上所述，． 8．（25-26九年级上·广东珠海·期中）天文学家开普勒说：勾股定理和黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉． 初识定义：一般地，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，线段与的比叫做黄金比． (1)计算黄金比：如图1，已知点是线段的黄金分割点，为简单起见，且不失一般性，令，请求出的值． (2)简单应用：艺术家早就发现人的肚脐到地面的高度与头顶到地面的高度之比为黄金比时最美，此时肚脐是理想的黄金分割点，令人失望的是只有极少数人的身体是符合这种黄金比．有一位美女身高，肚脐到脚底的高度是，现在开动你的脑筋设计一个方法使得这位美女的肚脐是黄金分割点，并算出方案中的具体数据（结果精确到）．（可能用到的数值：，，） (3)迁移拓展：（剪拼中的黄金分割）在数学上，称宽与长的比等于黄金比的矩形为黄金矩形．如图2，将左边的正方形沿图中虚线（其中），，剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成右边的矩形（非正方形），请在图2左边的正方形中找出一个黄金矩形，并证明． 【答案】(1) (2)方案：穿高跟鞋，高跟鞋的高度为 (3) 解：矩形是黄金矩形，理由如下： 根据左右两个图的面积相等得：， 解得：， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形． 【分析】本题主要考查了黄金分割： （1）设，根据黄金分割点的定义，列出方程，即可求解； （2）设高跟鞋的高度为，根据黄金比的定义，列出方程，即可求解； （3）根据等面积可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：设，则 ， 解得：，（舍去） ∴； （2）解：方案：穿高跟鞋， 设高跟鞋的高度为，则 ， 解得：， 经检验，是该方程的解， 所以高跟鞋的高度为； （3）略 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.1 比例线段 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 比例线段 题型02 比例的性质 题型03 成比例线段 题型04 黄金分割 B组 能力进阶 题型 比例线段·综合应用 C组 思维拔高 题型 比例线段·创新性问题 比例线段题型01 1．已知线段的长是，线段的长是，则线段与的比为（     ） A． B． C． D． 2．下列各组线段中，、、、成比例的一组是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．（26-27九年级·江苏常州·月考）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长（     ） A．4cm B．8cm C．5cm D．16cm 4．点把线段分割成和两段，如果是种的比例中项．那么下列式正确的个数有（    ） ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 5．在比例尺为1：100000的地图上，距离为2cm的区域表示的实际距离是_________km． 6．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若，则的值为________； 7．如图所示，已知，且．求的长． 8．（25-26九年级·期末）【新知探究】有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图①，与是以为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质如下：连接并延长，交于点E，则 【问题解决】如图②，在 中，D 为的中点，E为的中点，的延长线交于点F，连接． (1)找出以 为公共边的所有“共边三角形”．若的面积为45，分别求出这些“共边三角形”的面积． (2)求证： (3)若将“D为的中点”改为“”，则= ． 比例的性质题型02 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·月考）若四个数，，，成比例，即若，，，则为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知，a，b，c是任意实数，且满足，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．﹣2或＋1 D．﹣1或＋2 5．如果，那么__________________． 6．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）已知三条线段a，b，c，其中b是a，c的比例中项，如果，，则b的值为______． 7．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知 ，且，求的值 8．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） 成比例线段题型03 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于（    ） A．36 B．5 C．2 D．6 2．下列各组线段中，成比例的一组是（    ）． A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．（25-26九年级上·四川达州·月考）已知，，，是成比例线段，即，若，，，则______． 4．已知点P在线段AB上，满足AP：BP＝BP：AB，若BP＝2，则AB的长为_____． 5．地理课上，小明同学画一个比例尺为 地图，已知A，B两地之间的实际距离为公里，那么小明在图上应该画___厘米． 6．有三条长度分别为，，的线段，再添一条长度为___________的线段，能使这四条线段是成比例线段． 7．已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 8．（25-26九年级上·上海·期中）某学习小组对梯形的分割与图形的组合展开研究． 现有一张直角梯形纸片（如图1），，．    (1)有一张直角梯形纸片（如图2），，，．将这张纸片沿对角线剪开，并将剪出的通过图形的运动，使点M、Q分别与点A、D重合，从而拼成一个（如图3），请完成填空：的值是 ；的值是 ； (2)有一张直角梯形纸片（如图4），，．请设计一种方法，用一条直线l将梯形纸片分割成两个部分，使得其中一个部分（记为图形S）通过图形的运动能与梯形纸片（图1）拼成一个无重叠的直角三角形． 要求：①在答题纸图4的梯形EFGH纸片上画出直线l； ②写出直线l的与梯形的边的交点位置； （简述语言示例：点Q是梯形的顶点，点P是边的一个四等分点） ③直接写出图形S与梯形的面积比． 黄金分割题型04 1．如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，，各部分长度的比满足，这体现了数学中的（ ） A．黄金分割数 B．平移 C．平均数 D．轴对称 2．（24-25九年级上·浙江温州·月考）如图，若点C是线段的黄金分割点，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”．如图，若上海东方明珠塔的塔高为米，为塔的黄金分割点，设，则满足的方程是（    ） A． B． C． D．以上都不对 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割比（黄金分割比0.618）著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是黄金分割比．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为103cm，头顶至脖子下端的长度为25cm，则其身高可能是（）    A．165cm B．170cm C．175cm D．180cm 5．如图，已知是线段的黄金分割点，且，若表示为一边的正方形的面积，表示长是，宽是的矩形的面积，则________．（填“”“”或“”） 6．已知，点P、Q是线段的两个黄金分割点，若，则的长是 ___________________． 7．（24-25八年级下·云南保山·期末）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 8．（25-26八年级·福建南平·期中）阅读材料 黄金分割点：若线段上的点满足（其中），则称点为线段的黄金分割点，比值称为黄金比． 黄金矩形：宽与长的比值等于黄金比的矩形，称为黄金矩形． （1）验证黄金分割点 （2）构造并验证黄金矩形 已知线段，按以下步骤进行尺规作图（对应图1）： ①过点作，垂足为点，使得，连接； ②以点为圆心，的长度为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，的长度为半径画弧，交于点（得到的点满足）． 沿用（1）中得到的线段及它的黄金分割点，继续完成以下操作（对应图2）： ①以为边，在的上方作正方形； ②连接正方形的对角线； ③过点作，垂足为点，线段分别交、于点、； ④过点作线段，分别交、于点、，得到四边形． 请结合上述材料，完成下列问题： (1)如图，已知线段，点是线段的两个黄金分割点（其中），点是线段的中点，求线段的长； (2)请结合上述作图步骤1，证明图1中的点是线段的黄金分割点； (3)请结合上述作图步骤2，证明图2中的四边形是黄金矩形． 比例线段·综合应用题型 1．（24-25九年级上·广东河源·期中）下列四组长度的线段中，是比例线段的是（    ） A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，15 2．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？ A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 3．巡警小王在犯罪现场发现一只脚印，他把随身携带的一张百元钞票放在脚印旁进行拍照，照片送到刑事科，他们测得照片中的脚印和钞票的长度分别为5 cm和3.1 cm，一张百元钞票的实际长度大约为15.5 cm，请问脚印的实际长度为______cm. 4．（25-26九年级上·上海·月考）在相同时刻的物高和影长成正比，如果某一时刻，旗杆在地面的影长为米，此时身高是米的小王的影长是米，则旗杆的高度是______米 5．（24-25九年级上·上海·月考）在比例尺为的地图上，相当于实际_________ 6．（25-26九年级上·河南开封·联考）已知线段，，c是a和b的比例中项． (1)求c的值； (2)若线段d满足，求d的值． 7．如图是一个五角星，测量线段和的长，并计算和的值．这两个比值相等吗？如果相等，比值大约是多少？ 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中），则代数式的值是_____； （2）已知线段，，则线段a，b的比例中项是_______． 比例线段·创新性问题题型 1．＝＝＝k，则关于x的函数y＝kx﹣k的图象必经过第_____________象限． 2．如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 3．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”． 如图①，点C把线段分成两部分，如果，那么称点C为线段的黄金分割点． （1）特例感知：在图①中，若，求的长； （2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形： ①作两条相互垂直的直径、； ②作的中点P，以P为圆心，为半径画弧交于点Q； ③以点A为圆心，为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦，连接； 则五边形为正五边形． 在该正五边形作法中，点Q是否为线段的黄金分割点？请说明理由． （3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系． 延长题（2）中的正五边形的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段的黄金分割点，请利用题中的条件，求的值． 4．（24-25八年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料，完成探究证明与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同，问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，… 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，… 【探究】小亮同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． （1）请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，且，若，则______，______； 【证明】 （2）已知，且，求证：． 【运用】 （3）①请用上述规律，解分式方程． ②若，求k的值． 5．已知，在菱形中，对角线，相交于点，，．延长至点，使，连接．点从点出发，沿方向向点运动，速度为，过点作垂足为点交于点；点从点出发，沿方向向点运动，速度为，过点作，交于点，当点停止运动时，点也停止运动，设运动时间为（），解答下列问题： (1)当时，求的值； (2)设六边形的面积为，求与的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 6．【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，如果，那么称点为线段的黄金分割点． (1)【问题发现】如图1，请直接写出与的比值是______； (2)【尺规作黄金分割点】如图2，在中，，，，则______，在上截取，则______，在上截取，则的值为______； (3)【问题解决】如图3，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，点对应点，得折痕，试说明：是的黄金分割点； (4)【拓展延伸】如图4，正方形中，为对角线上一点，点在边上，且，当为的黄金分割点时，，连，延长交于，请用相似的知识求出的值为______． 7．（2026·上海·模拟）比，是两数相除的简约表达，揭示部分间的量级关系．比的妙用在于化繁为简． (1)已知某地图的比例尺为，其中80000用科学记数法表示为____________，该地图上代表实际距离____________m． (2)“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为5，四个黄金分割点组成的正方形的边长为_________． (3)若正数，满足：，试将按照从小到大的顺序排列． 8．（25-26九年级上·广东珠海·期中）天文学家开普勒说：勾股定理和黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉． 初识定义：一般地，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，线段与的比叫做黄金比． (1)计算黄金比：如图1，已知点是线段的黄金分割点，为简单起见，且不失一般性，令，请求出的值． (2)简单应用：艺术家早就发现人的肚脐到地面的高度与头顶到地面的高度之比为黄金比时最美，此时肚脐是理想的黄金分割点，令人失望的是只有极少数人的身体是符合这种黄金比．有一位美女身高，肚脐到脚底的高度是，现在开动你的脑筋设计一个方法使得这位美女的肚脐是黄金分割点，并算出方案中的具体数据（结果精确到）．（可能用到的数值：，，） (3)迁移拓展：（剪拼中的黄金分割）在数学上，称宽与长的比等于黄金比的矩形为黄金矩形．如图2，将左边的正方形沿图中虚线（其中），，剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成右边的矩形（非正方形），请在图2左边的正方形中找出一个黄金矩形，并证明． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $