第3章 圆的基本性质拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

第3章圆的基本性质 第3章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题5分，共30分） 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线，以AC为直径 作⊙O,设线段CD的中点为P,则点P与⊙O的位置关系是 () A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.点P不在⊙O内 E D B B (第1题)》 (第2题) (第3题) 2.如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E,C是⊙O上一点，AB=12,CE长的最大值为18，则EF 的长为 () A.8 B.6 C.4 D.2 3.如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连结AC,AE.若∠D= 80°，则∠EAC的度数为 () A.20° B.25 C.30° D.35 4.如图，在以点O为圆心的半圆中，AB是直径，AD+BC=CD,连结AC,BD交于点E,连结OC 交BD于点F,若CE=2AB,则CE:CA的值是 () A 3 C.4 D.3 (第4题) (第5题) (第6题) 5.转化与化归思想如图，C,D,E分别是以AB,AC,BC为直径的半圆弧的左三等分点，再分别以 AD,DC,CE,BE为直径向外侧作4个半圆.若图中涂色部分的面积为√3，则AB的长为() A.2√2 B.2 C.4 D.23 6.如图，AB是半圆O的直径，C,D是半圆O上的两点，连结AC,BD相交于点P,连结AD,OC, BC,OC⊥BD于点E,AB=2.有下列结论：①∠CAD十∠ABC=90°；②若P为AC的中点，则 CE=2OE;③若AC=BD,则CE=OE;④BC2+BD=4.其中，正确的是 () A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 65 拔尖特训·数学（浙教版）九年级全一册 二、填空题（每小题5分，共15分） 7.如图，⊙O的半径为5，△ABC内接于⊙O,圆心O在△ABC的内部.如果AB=AC,BC=8,那 么△ABC的面积为 M 0 (第7题) (第8题) (第9题) 8.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2,D为BC的中点，以点D为圆心， CD的长为半径作弧，交AB于点E,以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点F,则图中 涂色部分的周长为 9.如图，△ABC内接于半径为√5的半圆O,AB为半圆O的直径，M是AC的中点，连结BM交 AC于点E,AD平分∠CAB,交BM于点D,且D为BM的中点，则BC的长为 三、解答题（共55分） 10.(13分)如图，在⊙O中，AF,BC是⊙O的弦，AF⊥BC,垂足为D,E是BF上一点，且BE=CF. (1)求证：AE是⊙O的直径. (2)若∠ABC=∠EAC,AE=8,求AC的长. (第10题) 11.(13分)如图，在圆内接四边形ABCD中，AC,BD是对角线，CD<BC,在CD的延长线上取一 点E,使得CE=BC,在AC的延长线上取一点F,连结EF,使得∠CFE=∠BDC. (1)若AC是圆的直径，∠CFE=30°，求∠ACB的度数. (2)求证：AD=EF. (第11题) 66 第3章圆的基本性质 12.(14分)如图，图①、图②、图③、…、图@分别是⊙O及其内接正三角形ABC、内接正四边形 ABCD、内接正五边形ABCDE、·、内接正n边形ABCD…,点M,N分别从点B,C开始以相 同的速度在⊙O上沿逆时针方向运动，AM交BN于点P. (1)求图①中∠APN的度数. (2)图②中∠APN的度数是 ,图③中∠APN的度数是 (3)根据前面探索的判断，能否推测出一般的内接正n边形的情况？若能，写出结论；若不能， 请说明理由 ① ⊙ (第12题) 13.(15分)在一个圆中，有公共端点的直径与弦构成的图形内，平行于这条弦的半径称为这条弦的 “F”形半径 (1)如图①，AB为⊙O的直径，OP是弦AC的“F”形半径.求证：BP=CP, (2)如图②，在△ABD中，AB=AD,以AB为直径作⊙O,交AD于点C,交BD于点P,连结 OP.求证：OP是弦AC的“F”形半径. (3)如图③，AB为⊙O的直径，OP是弦AC的“F”形半径，在OP的延长线上取一点D,使 ∠CAD-∠BAD.AD交BC于点E,连结CD,BD.若AB=10,CD-√，求AE的长. Q ② (第13题) “答案与解析”见D42 67∠CPD=180°-∠APC-∠BPD=n.所以CD的“幸运 角”∠CPD的度数为n.(3)①如图，连结OC,OD.因为 CD的“幸运角”为90°，所以∠APC=∠BPD 180°，90°=45.所以∠APE=∠BPD=45.因为CE 2 AB,所以∠E=∠APE=45°.所以∠COD=2∠E=90°.因 为AB=10,所以0C-0D=7×10=5.所以CD= √0C2+OD=5√2.②因为∠CPD=∠CPE=90°， ∠E=45°，所以△CPE为等腰直角三角形.所以PC= PE.所以CE=√PC+PE=√PC+PC=√2PC.设 PC=PE=x,则PD=DE-PE=7√2-x.因为∠CPD= 90°，所以PC2+PD2=CD2,即x2+(72-x)2 (5√2)2，解得x1=3√2，x2=4W2.所以PC=3W2或PC= 42.所以W2PC=6或√2PC=8,即CE的长为6或8. (第2题) 3.(1)解法-：如图，连结PE.因为PD=-PE,所以 ∠ABP=∠EBP.因为△ABC是等边三角形，所以 ∠CAB=∠ACB=60°，AB=BC.因为∠PEB=∠PCB, 所以∠PEB=∠CAB.在△ABP和△EBP中， ∠ABP=∠EBP, ∠PAB=∠PEB,所以△ABP≌△EBP.所以AB=BE. PB=PB, 又因为AB=BC,所以BE=BC.解法二：因为PD= PE,所以∠ABP=∠EBP=∠ACE.因为△ABC是等边 三角形，所以∠BAC=∠ACB=60°.因为∠BPC= ∠BAC+∠ABP,∠BCE=∠ACB+∠ACE, 所以∠BPC=∠BCE.因为∠BPC=∠BEC,所以 ∠BCE=∠BEC.所以BE=BC.(2)∠BFD的度数不 发生变化.如图，连结CD.因为PD=PE,所以∠PCD= ∠PBE.因为∠BED=∠BCD,所以∠BED十∠PBE= ∠BCD+∠PCD=∠ACB=60°.所以∠BFD=∠BED+ ∠PBE=60°.(3)BF=CE+EF.如图，延长DE到点 M,使得EM=CE,连结CM,AM,AF.因为△ABC是等边 三角形，所以∠ACB=∠BAC=∠ABC=60°.因为 ∠CEM+∠DEC=180°，∠DEC+∠ABC=180°，所以 ∠CEM=∠ABC=60°.所以△CEM为等边三角形.所以 CM=CE,∠ECM=60°.因为∠ACB=60°，所以∠ECM+ ∠ECA=∠ACB+∠ECA,即∠ACM=∠BCE.因为 AC=BC,所以△ACM≌△BCE.所以AM=BE.又因为 AB=BE,AB=AC,所以AB=AM=AC.所以∠ACM= ∠AMC.所以∠CAM=180°-2∠ACM=180°-2(60°+ ∠ACE)=60°-2∠ACE.因为PD=PE,所以∠ABP= ∠EBP=∠ACE=∠ACD.因为AB=EB,BF=BF,所以 △ABF≌△EBF.所以∠BAF=∠BEF=∠BCD. 所以∠ACE+∠BCD=∠ACD+∠BCD=∠ACB=6O°： 所以∠BAF=∠BCD=60°-∠ACE.所以∠PAF= ∠BAC-∠BAF=60°-(60°-∠ACE)=∠ACE.所以 ∠MAF=∠CAM+∠PAF=60°-2∠ACE+∠ACE= 60°-∠ACE.所以∠MAF=∠BAF.因为AM=AB, AF=AF,所以△ABF≌△AMF.所以BF=MF.因为 MF=ME+EF=CE+EF,所以BF=CE+EF. (第3题)》 综合与实践3园林美化工程项目改造 (1)1.5.因为AC为⊙0的直径，AC=3m,所以圆弧形 门洞的半径是2-1.5(m. (2)如图，过点O作OE⊥BC交BC于点E,延长EO交 BAC于点F,则OF=1.5m.因为OE⊥BC,所以BE= CE.又OA=OC,所以OE是△ABC的中位线.所以OE= AB=2×2.4=1.2(m).所以EF=OE+0F=1.2+ 1 1.5=2.7(m),即圆弧形门洞的拱高为2.7m.(3)因为 ∠ACB=52.5°，OB=OC,所以∠OBC=∠OCB=52.5. 所以∠B0C=180°-∠OBC-∠0CB=180°-52.5°- 525=7况所以Snr-5-克(m.因为 360 Sm=xX1.52=9, 元m),SE蒂n=1.8X2.4=108 25(m), 所以S8=5:-S:x-7Sgm=骨x-是x 子×警-（影一）.所以改造后门润扩大的面积为 ()m 0 第3章拔尖自主测评 1.A连结OP.因为AB=10,CD是斜边AB上的中线， 所以AD=2AB=5由程意可知，0是AC的中点，P是 CD的中点，所以OP是△CAD的中位线.所以OP= 2AD=2.5.因为0C=0A=号AC=7×6=3,所u OP<OA.所以点P在⊙O内. 2.D如图，连结OA.因为⊙O的半径OF⊥弦AB于点 E,AB=12,所以AE=BE=号AB=6,当点C在线段D 的延长线上时，CE最长.设⊙O的半径为r,则OE=CE一 OC=18-r.在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE2+ OE2=OA2,即6+(18-r)2=r2,解得r=10.所以OE= 18-10=8.所以EF=OF-OE=10-8=2. B (第2题) 3.C因为四边形ABCD是菱形，∠D=80°，所以 ∠ACB=2∠DCB,∠DCB+∠D=180,所以∠ACB= 号(180°-∠D)=7×(180-80)=50.因为四边形 AECD是⊙O的内接四边形，所以∠AEC十∠D=180°.又 因为∠AEC+∠AEB=180°，所以∠AEB=∠D=80°.所 以∠EAC=∠AEB-∠ACE=80°-50°=30°. 4.D如图，连结OD,BC.设∠AOD=x°，∠BOC=y°， ∠COD=z°，则x+y十x=180.因为AD+BC=CD,所以 x十y=之.所以x=90.所以∠COD=90°.所以∠DBC= 合∠COD=45因为AB是直径，所以∠ACB=0.所以 ∠CEB=∠CBE=45.所以BC=CE.因为CE=号AB, 所以BC=2AB.在R△ABC中，由勾股定理，得AC= VAB-BC=,√AB-(AB)-AB所以CE: CA=号AB:9AB- 3 (第4题) 5.A因为C是半圆ACB的一个左三等分点，所以AC 所对的凰心角为1g-0.所以∠AC-3对，同莲可得 ∠ACD=∠CBE=30°.由题意，得∠ACB=∠ADC= ∠CEB=90°，所以AD2+CD=AC”,CE+BE=BC, ∠BCE=60°.所以∠DCA十∠ACB+∠BCE=30°+90°+ 60°=180°.所以D,C,E三，点共线.设AD=a,则AC=2a, AB=4a,BC=2√3a,CD=√3a,EC=√3a,BE=3a.易知 四边形ABED为直角梯形，外侧4个半圆无重叠，以AD 为直径向外作半圆的面积为受·青AD.同理，以CD, CE,BE,AC,BC为直径向外作半圆的面积分别为受· }BC,所以Sg8=S#m+受（号AD+子CD十 子CE+BE）-5Am-吾（仔ACe+BC) 5+5ame-5.所以号XaXBa+-号×，5aX3a 后，解得。-号（负根已含去.所以AB=a=2反。 6.A①因为OC⊥BD,所以CD=BC.所以∠CAD= ∠CAB.因为AB是半圆O的直径，所以∠ACB=90°.所 以∠CAB+∠ABC=90°.所以∠CAD+∠ABC=90°.故 ①正确.②因为AB为半圆O的直径，OC⊥BD,所以 ∠ADP=∠CEP=90°.因为P为AC的中点，所以AP= CP.又因为∠APD=∠CPE,所以△APD≌△CPE. 所以AD=CE.因为OC⊥BD,所以ED=EB.因为OA= OB,所以OE是△ABD的中位线.所以AD=2OE.所以 CE=2OE.故②正确.③连结OD.因为AC=BD,所以 AC=BD.所以AD=BC.因为BC=CD,所以AD=BC= CD.所以∠AOD=∠BOC=∠COD=180°：3=60°.因为 OB=OC,所以△OBC为等边三角形.所以OB=BC.又因 为BD⊥OC,所以CE=OE.故③正确.④因为∠ADB= 90°，所以在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD+BD= AB2=4.因为BC与AD不一定相等，所以BC?+BD2不 一定等于4.故④错误综上所述，正确的是①②③. 7.32如图，过点A作AD⊥BC于点D,连结OB.因为 AB=AC,所以BD-CD=号BC=专×8=4所以AD垂 直平分BC.所以圆心O在AD上.在Rt△OBD中，因为 BD=4,OB=5,所以OD=√OB2-BD=√5-4=3. 所以AD=OA十OD=5+3=8所以Sw=2BC· AD-号×8×8=32 D (第7题) 43 8.π+2-√2如图，连结DE,CE.因为∠ACB=90°， AC=BC=2,所以∠B=45°，AB=√AC+BC=2√2. 因为D为BC的中点，以点D为圆心，CD的长为半径作 弧，交AB于点E,所以CD=2BC=1,BC为⊙D的直 径.所以∠CEB=90.所以CE⊥AB.所以BE=2AB- E,∠BCE=号∠ACB=45因为CD=ED,所以 ∠DCE=∠DEC=45°.所以∠CDE=180°-∠DCE ∠DC-180-45-45-90.所u金的长为9 号示的长为2受准据题意，得8F=仪=2，所 以EF=BF一BE=2一√2.所以图中涂色部分的周长为 登+受+2-厄=x+2-2. (第8题) 96v5 5 如图，过，点M作MH⊥AB于点H,连结AM, OM,OM交AC于点F.因为AB是半圆O的直径，所以 ∠AMB=∠ACB=90°.所以∠CAB+∠CBA=90°. 因为M是AC的中点，所以AM=CM.所以∠CBM= ∠ABM.因为AD平分∠CAB,所以∠CAD=∠BAD. 所以∠DAB+∠DBA=(∠CAB+∠CBA)=号(180 ∠ACB)=3×(180-90)=45.所以∠ADM= ∠DAB+∠DBA=45°.所以∠MAD=90°-∠ADM= 45°.所以∠MAD=∠MDA.所以MA=MD.因为D为 BM的中点，所以DM=DB.所以BM=2AM.设AM=x, 则BM=2x.因为∠AMB=90°，所以在Rt△AMB中， AMP+BM=AB2,即x2+(2x)2=(2√5)2，解得x=2 (负值舍去).所以AM=2,BM=4.因为SAAM=2 1 AM·BM=子·AB·MH,所以MH=AM:BM- AB 2X4= 4w 25 5 .因为∠MHO=90°，所以OH= √OM-MH= √6-(-35因为= CM,所以OM⊥AC.所以AF=FC.因为OA=OB,所以 OF是△ABC的中位线.所以BC=2OF.因为∠OFA= ∠OHM=90°，∠AOF=∠MOH,OA=OM,所以 AOAF≌△OM.所以OF=OH=.所以BC= 20F-66 H 0 (第9题) 10.(1)因为BE=CF,所以BE=CF.所以∠BAE= ∠CAF.因为AF⊥BC,所以∠ADC=90°.所以∠CAF+ ∠ACB=90°.因为∠E=∠ACB,所以∠E+∠BAE= 90°.所以∠ABE=90°.所以AE是⊙O的直径.(2)连 结OC.因为∠AOC=2∠ABC,∠ABC=∠EAC,所以 ∠AOC=2∠EAC.因为OA=OC,所以∠CAO= ∠AG0=2∠A0C.因为∠A0C+∠CA0+∠A0= 180,所以∠A0C+号∠A0C+7∠A0C=180.所以 ∠AO℃=90°.由(1)知，AE是⊙O的直径，AE=8,所以 A0=CD=号AE=4.所以在R△A0C中，AC √A0+CO=√4+4=42. 11.(1)因为AC是圆的直径，所以∠ABC=90°.因为 ∠CAB=∠BDC,∠BDC=∠CFE=30°，所以∠CAB= 30°.所以∠ACB=90°-∠CAB=90°-30°=60°.(2)如 图，在ADC上取一点P,连结AP,使AP=BC,连结DP, 则AP=BC,所以∠ADP=∠BDC.因为∠CFE= ∠BDC,所以∠ADP=∠CFE.因为∠APD+∠ACD= 180°，∠ACD+∠ECF=180°，所以∠APD=∠ECF.因为 CE=BC,BC=AP,所以AP=EC.在△APD和△ECF ∠ADP=∠EFC, 中，∠APD=∠ECF,所以△APD≌△ECF.所以 AP=EC, AD-EF. D B (第11题) 12.(1)因为∠APN=∠ABP+∠BAP,且点M,N分别 从点B,C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，所以 BM=CN.所以∠BAM=∠NBC.所以∠APN= ∠ABP+∠NBC=∠ABC.因为△ABC是正三角形，所以 44 ∠ABC=60°.所以∠APN=60°.(2)90°；108° ∠AD0=号∠AB0.因为∠AB0=∠AD0+∠D0E,所 (3)能.由(1)(2)可知，∠APN的度数等于内接正多边形 的一个内角的度数.当正多边形为正边形时，其内角和 以∠AD0=∠DOE.所以DE=OE=2AB=5.因为AB 为m-2)·180°，所以每个内角的度数为1一2》·180所 是⊙O的直径，所以∠ACB=∠AEB=90°.所以AC⊥ 以能推测出一般的内接正n边形的情况，∠APN= BC.因为ACOP,所以OD⊥BC.所以OD平分BC.所以 (n-2)·180 OD是线段BC的垂直平分线.所以BD=CD=√6I.因为 n ∠BED=180°-∠AEB=90°，所以BE=√BD2-DE= 13.(1)如图①，连结OC.因为OP是弦AC的“F形半径， 所以ACOP.所以∠POB=∠A,∠POC=∠ACO.因为 √（√6I)2-5=6.因为∠AEB=90°，所以AE= AO=OC,所以∠A=∠ACO.所以∠POB=∠POC.所以 JAB2-BE2=/102-62=8. BP=CP.(2)如图②，连结AP.因为AB是⊙O的直 径，所以∠APB=90°.所以AP⊥BD.因为AD=AB,所以 BP=DP.又因为OA=OB,所以OP是△BAD的中位 线.所以OP∥AC.所以OP是弦AC的“F”形半径 (3)如图③，连结BC,BE,OE.因为OP是弦AC的“F”形 半径，所以OP∥AC.所以∠ADO=∠CAD.因为AO= ① ② ③ OE,所以∠BAD=∠AEO.因为∠CAD=号 (第13题) ∠BAD,所以 第4章 相似三角形 4.1比例线段 AB>C,所以是-5所以AB-AC.所以 2 1.C各选项中的四条线段都已按从小到大的顺序排列. 因为1×6=2×3=6，所以选项A中的四条线段是比例线 xC-AC-AB-AC-5AC-8AC因为AC- 2 段.因为2×6=3×4=12，所以选项B中的四条线段是比 例线段.因为4×10≠5×6，所以选项C中的四条线段不是 40am,所以c=3≥5×40=（60-205)m 2 比例线段.因为2×√15=√5×2√3=2√15，所以选项D 5.(1)因为四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形， 中的四条线段是比例线段. AB=3,AD=6.5,BF=2,所以CD=EF=AB=3,BC= 2.A设造像腰部以下的长度为xm.因为造像的腰部以 AD=6.反所以C=C-F=45所以受-品-品， 36 下与全身高度的比值接近黄金分割比，且造像全身高度为 3m,所以亏≈0.618，则x≈1.854，即造像腰部以下的长 票品号器号《2)容案不暗-，如线段Er, CF,BF,AB. 度约为1.854m. 方法归纳 3.1 1 因为x一1 ,所以3(x一y)=x十2y,化简，得 判断四条线段是否为比例线段的步骤 x+2y 3 一排：将四条线段按从短到长（或从长到短）的顺序 2红=5所以号-是.设=kk≠0，则y=2么所以 排列 y x-2y_5k-2×2k_1 二算：分别计算前两条线段的长度之比和后两条线 x+y 5k+2k 7 段的长度之比。 方法归纳 三判：若前两条线段的长度之比等于后两条线段的 利用比例的基本性质求代数式值的方法 长度之比，则这四条线段是比例线段，否则不是比例 (1)消元法：用含有一个字母的代数式表示其他的 线段」 字母，然后代入代数式求值」 6.D (2)参数法：根据比例式设出合适的参数，然后用含 田为受=品所以需-器即A AB 此参数的代数式表示出相应的字母，最后代入代数式求值 C所以瓷-1=1-品所以%+6=1十 AD 4.(60一20√5)因为B为线段AC的黄金分割点，且 1=2. D45