第1章 二次函数拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

第1章二次函数 第1章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题5分，共25分） 1.已知抛物线y=3(x一2)2+1.若将x轴向上平移2个单位，将y轴向左平移3个单位，则该抛物 线在新的平面直角坐标系中对应的函数表达式为 () Ay=3(x+1)2+3B.y=3(x-5)2+3C.y=3(x-5)2-1D.y=3(x+1)2-1 2.已知一条抛物线经过E(0,10),F(2,2),G(4,2),H(3,1)四点，选择其中两点用待定系数法能求 出抛物线对应的函数表达式的为 A.E,F B.E,G C.E,H D.F,G 3.对于二次函数y=2(x+1)(x一3)，下列说法中正确的是 () A.图象经过点(0，一3) B.图象与x轴的交点坐标为(1,0)，（一3,0） C.此函数有最小值为一6 D.当x<1时，y随x的增大而减小 4.在平面直角坐标系中，点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=ax2一2ax(a>0)上，则下列结论 中，正确的是 () A.当x1<0且y1·y2<0时，0<x2<2 B.当x1<0且y1·y2>0时，0<x2<2 C.当x1<x2<1时，y1<y2 D.当x1>x2>1时，y1<y2 5.如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，CD=√2，动点P在Rt△ABC的边上沿C→ B→A方向以每秒1个单位的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设 点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S.当点P由点B运动到，点A时，如图②，S是 关于t的二次函数.在3个时刻t1,t2,t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等.有下 列四个结论：①当t=1时，S=3;②点P在线段BA上时，S=2t一16t十34；③AD=4√2； ④t1十t2=4.其中，正确结论的个数为 () ② (第5题) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每小题5分，共20分） 6.已知二次函数y=一x2十bx十c的图象经过点(c,0),但不经过原点，则该二次函数的表达式可 以为 (写出一个即可) 7.已知抛物线y=ax2-2ax十c(a,c是常数且a≠0，c>0)经过点A(3,0).若点M(t+2,y1), N(t十3，y2)在抛物线上，且y1>y2,则t的取值范围是 8.九年级一班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O(如 图)，其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=6.6m,OE=1.4m,OB=6m,OC=5m, 21 拔尖特训·数学（浙教版）九年级全一册 OD=3m,班长买来可切断的围栏16m,准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜 地的最大面积是 m2. 龙0B D (第8题) 9.已知抛物线y=x2+2x一n与x轴交于A,B两点，抛物线y=x2-2x一n与x轴交于C,D两 点，其中n>0.若AD=2BC,则n的值为 三、解答题（共55分） 10.(12分)已知二次函数y=x2+(k十1)x一(k+2),k是常数. (1)若该二次函数的图象过点(2,0)，求k的值 (2)若该二次函数图象的对称轴是y轴，求k的值 (3)当x<2时，y随x的增大而减小；当x>2时，y随x的增大而增大，试说明该二次函数的 图象经过点(3,0). 11.(12分)一次足球训练中，小明从球门正前方8m的点A处射门，球射向球门的路线呈抛物线. 当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高OB为2.44m, 现以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系， (1)求抛物线对应的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）. (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后 方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 个y/m 、8m6m A x/m (第11题)》 22 第1章二次函数 12.(15分)已知抛物线y=x2一a.x+5(a为常数)经过点(1,0). (1)求a的值. (2)过点A(0,t)与x轴平行的直线交抛物线于B,C两，点，且B为线段AC的中点，求t的值. (3)设m<3<n,抛物线的一段y=x2一a.x+5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1, l2之间（直线11在l2上方）.若直线l1,l2之间的距离为16，求n一m的最大值. 13.(16分)如图，二次函数y=a.x2+bx+c的图象经过A(一3,0)，B(1,0),C(0,一3)三点. (1)求抛物线对应的函数表达式. (2)若点P在直线AC下方的抛物线上运动，求点P到直线AC的最大距离. (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线QA,若射线QA绕，点Q按逆时针方向旋转90°与抛物 线交于点D,是否存在点Q,使AQ=QD?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明 理由. -5-4-3-2-10 123x -5 (第13题) “答案与解析”见D14 23钟时，已入场人数为36=18x.因为排队人数=现场总 人数一已入场人数，所以排队人数关于安检时间x的函 数表达式为w=y一18x=一x2+60x+100一18x= -x2+42x+100. (2)因为=-x2+42x+100=-(x-21)2+541,所以 当x=21时，wmx=541.所以排队人数在第21分钟达到 最大值，最大人数为541.(3)设开设m条安检通道，则 =y-6z=-x2+60x+100-6m=-x2+6(10-m)· x十100，所以二次函数图象的对称轴为直线x=3(10 m).因为排队人数在安检开始10分钟内（包括10分钟）减 少，所以03(10-m)≤10，即号<m<10.又因为最多可 开放9条安检通道，所以9≤<m<:因为尽量少安排安检 通道，且m为正整数，所以m的最小值为7.所以可开通 7条安检通道」 第1章拔尖自主测评 1.C将x轴向上平移2个单位，将y轴向左平移3个单 位，相当于将抛物线y=3(x一2)2十1先向下平移2个单 位，再向右平移3个单位，故抛物线在新的平面直角坐标系 中对应的函数表达式为y=3(x一2一3)2+1一2，即y= 3(x-5)2-1. 2.C因为F(2,2),G(4,2),所以F,G两点为抛物线上 的对称点.所以抛物线的对称轴为直线x=3.所以H(3, 1)为抛物线的顶点.设抛物线对应的函数表达式为y a(x一3)十1.再把点E或点F或点G的坐标代人，可求 抛物线对应的函数表达式.如把E(0,10)代人，得9a十1= 10,解得a=1,所以抛物线对应的函数表达式为y=(x 3)2+1.因此所选两点中必有H,只有选项C符合题意. 3.D当x=0时，y=2(x+1)(x一3)=2X1×(一3)= 一6，则函数图象经过点(0，一6).故A错误.当y=0时， 2(x十1)(x一3)=0，解得x1=一1，x2=3,则图象与x轴 的交点坐标为(-1,0)，(3,0).故B错误.y=2(x十1)(x 3)=2(x-1)2一8，则当x=1时，函数有最小值，为一8.故 C错误.该二次函数图象的对称轴为直线x=1,开口向上 则当x<1时，y随x的增大而减小.故D正确 4.A因为y=ax2一2a.x=ax(x一2)(a>0),所以抛物线 的开口向上，其对称轴为直线x=一二20 2a =1.把x=1代 人y=a.x2一2ax,得y=a-2a=-a,所以顶点为(1， 一a).令y=0,得x=0或x=2.所以抛物线与x轴交于点 (0,0),(2,0).抛物线y=ax2一2ax(a>0)的大致形状如 图所示.因为点A(x1y1),B(x2,y2)在抛物线y=ax2 D 2ax(a>0)上，且当x<0时，抛物线在x轴上方，所以当 x1<0且y1·y2<0时，y1>0,y2<0.所以0<x2<2.故 A正确.当x1<0且y1·y2>0时，y2>0,此时x2应满足 x2<0或x2>2.故B错误.当x,<x2<1时，y随x的增 大而减小，所以y1>y2.故C错误.当x1>x2>1时，y随 x的增大而增大，所以y1>y2.故D错误。 (第4题) 5.B在Rt△PCD中，CD=√2，PC=t,则S=PD= t2+2.当S=6,即t2+2=6时，解得t=2或t=-2(舍 去)，所以BC=2.当t=1时，S=t+2=1+2=3.故①正 确。由题图可知，二次函数图象的顶点为(4,2)，且过点(2， 6),所以二次函数的表达式为S=a(t一4)2十2.将(2,6)代 人，得6=a(2-4)2+2,解得a=1,所以二次函数的表达式 为S=(t一4)2+2=t2一8t+18.故②错误.当S=18时， t2-8t+18=18,解得t=0(舍去)或t=8,所以AB=(8 2)X1=6.所以AC=√AB2-BC=√62-2=42.所 以AD=AC一CD=4√2一√2=3√2.故③错误.如图，画出 S=t+2(0≤t≤2)的图象.从两个函数的表达式看，两个 函数的a相同，都为1，即两个函数图象的形状相同.若存 在3个时刻t1,t2,t(t,<t2<t)对应的正方形DPEF的 面积均相等，则易知t1,t2关于直线t=2对称，所以 t,十t)=2,即t十t,=4.故④正确综上所述，①④正 1 确，共2个 S 18-- 6元 21 024tt (第6题) 6.答案不唯一，如y=一x2十x十2因为二次函数y= 一x2十bx十c的图象经过点(c,0),所以0=一c2十bc十c. 因为二次函数y=一x2十bx十c的图象不经过原点，所以 c≠0，则c一b=1.若取b=1,则c=2,所以该二次函数的 表达式可以为y=一x2十x十2（答案不唯一. 7>- ,因为抛物线y=ar2-2ax十c经过点A(3, 0),所以0=9a-6a十c,则c=一3a.因为c>0,所以a< 0.因为点M(t+2,y1),N(t+3,y2)在抛物线上，且y1> y2,所以y1-y2=a(t+2)2-2a(t+2)+c-[a(t+3)2 2a(t+3)+c]=a(-2t-3)>0.因为a<0,所以-2t一 3<0,解得>-是 8.46.4要使该矩形菜地面积最大，则要利用OA和OC 构成矩形.设矩形在射线OA上的一段长为xm,矩形菜地 的面积为Sm.如图①，当x≤8时，在射线OC上的长为 16-x-1.4+5_19.6-2=(9.8-0.5x)m,所以S=x 2 2 (9.8-0.5x)=-0.5x2+9.8x=-0.5(x-9.8)2+ 48.02.因为一0.5<0，所以当x≤9.8时，S随x的增大而 增大.所以当x=8时，S取得最大值，为一0.5×(8一 9.8)2十48.02=46.4.如图②，当x>8时，矩形菜园的周长 为16+6.6+5=27.6(m),则在射线O℃上的长为 27.6。-2x=13.8-x)m,所以S=x(13.8-x)=-x2+ 2 13.8x=-(x-6.9)2+47.61.因为-1<0，所以当x> 6.9时，S随x的增大而减少.所以当x>8时，S的值均小 于46.4.综上所述，矩形菜地的最大面积是46.4m. ② (第8题) 9.8由题意，得抛物线y=x2+2x-n与y=x2一2x一n 交于y轴上同一点E(0,一n),它们的对称轴分别为直线 x=一1与x=1,它们的图象如图所示.设点A,C的坐标 分别为(a,0),(b,0).根据抛物线的对称性，得点B,D的 坐标分别为（一2-a,0),(2-b,0.因为AD=2BC, 所以2-b-a=2(-2-a-b).化简，得a+b=一6①.因 为点A(a,0)在抛物线y=x2+2x一n上，所以a2+2a n=0,即n=a2+2a.同理，可得n=b2一2b,所以a2十 2a=b2一2b.所以(a+b)(a一b+2)=0,即一6(a-b+ 2)=0.所以a-b=-2②.由①+②，得2a=-8,解得 D a=-4.所以n=(-4)2十2×（一4）=8. y=x+2x-nYky=x-2x-n AC可：BDx (第9题) 10.(1)因为二次函数y=x2+(k+1)x一(k+2)的图象 过点(2,0)，所以4十2(k+1)-(k+2)=0,解得k=一4. (2)因为二次函数y=x2+(k十1)x一(k十2)图象的对称 轴是y抽，所以-生=0，解得6=-1(3)因为当 x<2时，y随x的增大而减小；当x>2时，y随x的增大 而增大，所以二次函数y=x2十(k十1)x一(k十2)图象的 对称轴是直线x=2.所以-十1=2，解得=一5，所以二 2 次函数的表达式为y=x2一4x+3.所以当x=3时，y= 32一4×3+3=0，则该二次函数的图象经过点(3,0). 11.(1)因为8一6=2，所以抛物线的顶点坐标为(2,3).设 抛物线对应的函数表达式为y=a(x一2)2+3.把A(8,0) 代人.得36+3=0，解得a=一是所以抛物线对应的函 数表达式为y=克x-2)+3,当x=0时y=一立× 4什3=号>2.4，所以球不能射进球门.、《2)设小明应该 带球向正后方移动qm,则移动后的抛物线对应的函数表 达式为y=-2（x-2-9)2+3.把(0,2.25)代人，得 1 2.25=一2(0-2-g)2十3解得g=-5(舍去)或g=1, 所以当时他应该带球向正后方移动1m射门，才能让足球 经过点0正上方2.25m处 12.(1)把(1,0)代人y=x2-ax+5,得1-a+5=0,解得 a=6.(2)由(1)知，y=x2一6x十5，所以抛物线的对称 轴为直线x=一 X=3.因为点A(0,t)在y轴上，过点 一6 A(0,t)与x轴平行的直线交抛物线于B,C两点，所以B, C两点关于对称轴对称，且B,C两点的纵坐标均为t.又因 为B为线段AC的中点，所以e=2:所以“兰- 1B=3,解得xn=2.把x=2代人y=x2-6x十5，得 3 y=22-6×2十5=-3，所以t=-3.(3)因为y=x2 6x十5=(x一3)2一4，所以抛物线的顶点坐标为(3，一4). 15 当抛物线的一段y=x2一ax十5(m≤x≤n)夹在两条均与 x轴平行的直线l,l2之间时，要使n一m最大，则m,n为 一条直线与抛物线的交点的横坐标.所以直线x=m和 x=n关于抛物线的对称轴对称.又因为直线11，l2之间的 距离为16，为定值，所以当一条直线恰好经过抛物线的顶 点(3，一4)，即l2y=一4时，n一m最大，此时另一条直线 l,:y=16-4=12,如图所示.当x2-6x+5=12时，解得 x1=7,x2=一1，即n=7,m=一1，所以n一m的最大值为 7-(-1)=8. 3 2 mi 1 -4-32-102345678910x -3 -5H (第12题) 13.(1)因为二次函数y=ax2+bm十c的图象经过A(-3, 9a-3b+c=0, 0),B(1,0),C(0,一3)三点，所以 a十b十c=0,解得 c=-3, a=1, b=2,所以抛物线对应的函数表达式为y=x2十2x一 c=-3 3.(2)设直线AC对应的函数表达式为y=kx十b,(k≠ -3k十b1=0, 0).因为A(-3,0),C(0,-3),所以{ 解得 ,=一3， k=-1, ”所以直线AC对应的函数表达式为y=一x一3. 6,=-3. 如图①，过点P作PE∥y轴，交AC于点E,连结AP,CP, 设P(,p2+2p-3)(-3<p<0),则E(p,一p-3),所以 PE=-p-3-(p2+2p-3)=-b2-3p=-（p+ 名)'+因为SAm=SAe十SA,所以SA= 2PE.(E-A)+PE(ze-zg)=PE.(xe- D )-号PE·[0-(-3]-=号PE.所以当PE长取得最 大值时，Sm取得最大值因为PE=-(+)+号 -1<0,-3<<0,所以当b=-号时，PE长取得最大 位为是所以5m的大直为×号-召因为A(-3 0),C(0,-3),所以OA=OC=3.又∠AOC=90°，所以 AC=√OA+OCz=32.设点P到直线AC的距离为h, 则SAo=号ACA-8号，所以h-号S因为当 S△Cp取得最大值时，h取得最大值，所以h的最大值为 号×号-2.所以点P到宜线AC的绿大矩离为号， (3)存在.点Q的坐标为（一1，一1）或（一1,2）.如图 ②，当点Q在x轴下方时，设抛物线的对称轴交x轴于点 H,过点D作DG⊥QH于点G.因为y=x2+2x一3= (x十1)2一4，所以抛物线的对称轴为直线x=一1.所以 H(-1,0),则OH=1.因为A(-3,0),所以AH=-1 (-3)=2.设点Q的坐标为(-1，q),则QH=一q.由旋转 的性质，得∠AQD=90°.因为∠AHQ=90°，所以 ∠HAQ+∠HQA=∠HQA+∠GQD=90°.所以 ∠HAQ=∠GQD.又因为AQ=QD,∠AHQ=∠QGD= 90°，所以△HAQ≌△GQD.所以QH=DG=-q,AH= QG=2.所以HG=QH+QG=2-q.所以点D的坐标为 (-1十q,g-2).因为点D在抛物线上，所以(-1十q)2+ 2(-1十g)-3=g一2.整理，得g2一q-2=0,解得q=一1 或q=2(舍去).所以点Q的坐标为（一1，一1）.如图③，当 点Q在x轴上方时，因为点Q在抛物线的对称轴上， ∠AQB=90°，AQ=BQ,所以易得点B,D重合，∠QAB= 45°.设抛物线的对称轴与x轴的交点为R,则∠ARQ= 90°，∠AQR=90°-45°=45°，所以QR=AR=-1- (一3)=2.所以点Q的坐标为（一1,2）.综上所述，存在点 Q,使AQ=QD,此时点Q的坐标为（一1，一1）或（一1,2）. y 2 1 B -5=4 -2-10 /123x 、E -5 ① 16 y y 01 A H B B(D), 10 123x -2-10 123 -2 3 -5 ② ③ (第13题) 第2章 随机事件的概率 2.1随机事件 的是区域3. 8.84根据题意，列表如下： 1.B投掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，故选项A不 符合题意；从只有红球的袋子中摸出黄球，是不可能事件， 第1名 第2名 第3名 第4名 故选项B符合题意；任意画一个圆，它是轴对称图形，是必 ① 丙 乙 丁 甲 然事件，故选项C不符合题意；射击运动员射击一次，命中 ② 丙 丁 乙 甲 靶心，是随机事件，故选项D不符合题意 ③ 丁 丙 乙 甲 2.B画饼充饥是不可能事件，故选项A不符合题意；不 ④ 丁 乙 丙 甲 期而遇是随机事件，故选项B符合题意；水涨船高是必然 ⑤ 丁 用 乙 丙 事件，故选项C不符合题意；水中捞月是不可能事件，故选 ⑥ 丁 乙 甲 丙 项D不符合题意. 甲 3.D因为从袋子中随机摸出一个球，每个球被摸出的可 ⑦ 丙 乙 丁 能性相等，而所有的球中黑球最少，所以摸出黑球的可能 ⑧ 丙 乙 甲 丁 性最小. 由表可知，4个人的名次排列有8种可能的情况，其中甲是 4.大于向上一面的点数是2的倍数的有2点，4点， 第4名有4种可能的情况 6点，共3种等可能的结果，向上一面的点数是3的倍数的 9.(1)因为每个小组4个队，每个队都与该小组的其他队 有3点，6点，共2种等可能的结果，所以向上一面的点数 是2的倍数的可能性大于向上一面的点数是3的倍数的可 比奏一场，所以每个小组共比奔号×4X(4一1》=6（场. 能性。 (2)因为在小组比赛中总共有6场比赛，每场比赛最多可 5.所有可能的选择方式有：(A,B,D,E,F),(A,B,D,E, 得3分，则6场比赛最多得18分，现有一队得6分，还剩下 G),(A,B,D,F,G),(A:B,E,F,G),(A:C,D,E,F), 12分，则还有可能有两个队同时得6分，故该队出线这一 (A,C,D,E,G),(A,C,D,F,G),(A,C,E:F,G),(B,C, 事件可能发生，也可能不发生，所以该队出线这一事件是 D,E,F),(B,C,D,E,G),(B,C,D,F,G),(B.C,E,F,G). 随机事件 6.BA选项，只闭合1个开关，“小灯泡发光”是不可能事 10.(1)画树状图如图所示.(2)由树状图可知，共有 件，不符合题意；B选项，只闭合2个开关，小灯泡可能发光 4种等可能的结果，其中“闯关成功”有1种可能，“闯关失 也可能不发光，“小灯泡发光”是随机事件，符合题意；C选 败”有3种可能，所以“闯关失败”的可能性更大 项，只闭合3个开关，“小灯泡发光”是必然事件，不符合题 意；D选项，闭合4个开关，“小灯泡发光”是必然事件，不符 左组 按钮1 按钮2 合题意 7.C由题图可知，区域1对应扇形圆心角的度数为 右组按钮1按钮2按钮1按钮2 360°-(50°+125°+65)=120°.因为区域3对应扇形圆心 闯关失败成功失败失败 情况 角的度数最大，所以指针落在区域1,2,3,4内可能性最大 (第10题) D17