第3章《圆的基本性质》单元检测卷2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第3章《圆的基本性质》单元检测卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。） 1.如图，A、B、C是⊙0上的点，若∠A0B=60°，则∠ACB的度数为() A B A.60° B.50° C.40° D.30° 2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是直径，延长AD与BC相交于点E,连接OD 若AB=BC,∠COD=42°，则∠DCE的度数为() D B A.42° B.45° C.66° D.72 3.如图1，简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点 P表示筒车的一个盛水桶，如图2，当简车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆， 且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8m,简车工作时盛水桶在水面以下的最大 深度为2m,则筒车的直径是() O 水面A B 图1 图2 A.8m B.10m C.12m D.13m 4.如图，在扇形OAB中，点C在AB上，连接OC,AC,BC,∠ACB=132°.若 ∠B0C=2∠A0C,则MC 的度数为() B A.16° B.24° C.32° D.36 5.如图，AB为⊙0的直径，点C,D在O0上，点A为劣弧CD的中点，连接AD,OD,OC, 若<AD0=52 BC 则∠AC 的度数为() A.38° B.42° C.46° D.52° 6.如图，已知⊙0的半径为2，P是⊙0外一点，OP=4,2是⊙0上的动点，线段P吧的中点为M, 连结OP,OM,则线段OM的最小值是() M A.0 B.0.5 C.1 D.1.5 7.如图，把⊙0（不完整）分成相等的n段弧，其中A,A,A是其中的三个等分点，连接 A4,AAn∠44An=18° ,依次连接各等分点得到的图形为() A A A.正十边形 B.正九边形 C.正八边形 D.正六边形 8.如图，在O0中，点C为AB的中点，将弦AB上方的部分沿弦AB翻折，使点C与圆心O重 合.点D为优弧AB上一点，连接BD,CD,BC.若∠BCD=30°，AB=6N5,则CD=() A.33+36B.65 C.3+3v5 D.6v2 9.城市公园规划中，设计师设计了一个半圆形的景观区域，已知半圆的直径AB=4,C,E是 半圆上两点，且∠BAC=∠ABE=30°，连接CE.现分别以点A、点B为圆心，AC的长为半径画弧 交AB于点D、点F.施工人员计划在图中阴影部分铺设彩色地砖，图中阴影部分的面积为 E B D B.3 3 2 A.3 C.3π D.5-号 10.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA,OB,OC,AC,下列不能判断四边 形ABCO是菱形的是() B A.点B是AC的中点，∠D=60 B.OA∥BC,AB∥OC C.∠AOB=∠D,∠OAC=∠BAC D.∠AOB=∠D,点B是AC的中点 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分. 11.如图，点B是AC的中点，若∠AOB=60°，则∠ABC的度数是 B 12.如图，AB是O0的直径，弦CD⊥AB于点E,CD=10,BE=2,则⊙0的半径OC= 13.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,分别以点A,C为圆心，AO长为半径画 弧，分别交AB,CD于点E,F.若BD=6,∠CAB=40°，则图中阴影部分的面积为 (结果保留π) E 14.如图所示，四边形ABCD是菱形，OO经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE, 若∠D=68°，则∠EAC的度数为· 0 B 15.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于0，A两 点，点A的坐标为(6,0)，⊙P的半径为3，则点P的坐标为 ●P A(6,0) 16.如图，已知三角形ABC为等腰直角三角形，AC=BC=8米，以C为圆心，8米长为半径画 弧，以BC为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积 (结果保 留π) 8厘米 8厘米 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分， 共72分.) 17.如图，AB为⊙O的直径，C,D为圆上的两点，OC∥BD,OC交AD于点E. D C E (1)求证：∠AOC=∠COD: (2)若AD=16,CE=4,求⊙0的半径. 18.如图，△ABC内接于⊙0，连接OA,OB,OC, B (1)若∠C0B=100,∠ACB=40°，求∠C0A的度数. (2)若AC∥OB,AB=5,OC=4,求BC的长. 19.如图，AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，CD⊥AB于点E,C是AF的中点，连接AF, B E (1)求证：AF=CD (2)若AE=2,AF=10,求⊙0的半径. 20.△ABC内接于⊙0，且点A,B,C,O均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要 求画图. 图1 图2 (I)在图1中找一个格点D(点D不与点C重合)，画出∠ACD,使∠ACD=90°： (2)在图2中的圆上找一点F,使得BF平分∠ABC. 21.如图，⊙O为△ABC的外接圆，AD⊥BC交BC于点D,直径AE平分∠BAD交BC于点F,连 接BE. B F D E (1)证明：∠AEB=∠AFD; (2)若AB=10,BF=5,求AF的长. 22.【定义】如图1，AB是⊙O的直径，平移直径AB得到平行四边形ABCD,当对边CD的中 点M落在圆上时，我们称这个平行四边形是⊙0的“环中点平四”. D M M 图1 图2 (1)【探究1】求证：AB=2AD (2)【应用】在（探究1）的条件下，当点C落在O0上时，且AB=2,求平行四边形ABCD的 面积. (3)【探究2】如图2，在正方形ABCD中，AB=6,以CD为直径作⊙O,平移直径CD得到线 段PO,当平行四边形PQDC是⊙O的“环中点平四”时，直接写出BQ的最大值 23.已知，在半圆0中，直径AB=8,点C,D在半圆AB上运动，弦CD=4. D M B 0 O 图1 图2 图3 (I)如图1，当∠DAB=∠CBA时，求证：△CAB≌△DBA; (2)如图2，若∠DAB=15°时，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的图形）的面积； (3)如图3，取CD的中点M,点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程 中：①点M到AB的距离的最小值是 ②直接写出点M的运动路径长」 24.【材料阅读】 如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=4,以AB为直径的⊙0交AC于点D,点P是 BD上的一个动点，连接CP,求CP的最小值. D B 图1 解题思路：连接OC与⊙O交于点E,如图2.当点P运动到交点E时，CP取得最小值，此时 最小值为5-3=2. B 图2 (1)如图3，在R△ABC中，AB⊥BC,AB=10,BC=6,P是△ABC内部的一个动点，且满足 ∠PB=∠PBC,求CP的最小值. B 图3 【迁移拓展】 (2)如图4，在正方形ABCD中，AD=12,动点E,F分别在边DC,CB上移动，且满足 DE=CF ,连接1和DF,交于点R点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，求点 P运动路径的长. B 图4 (3)如图5，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=3,CD=L,请直接写出AD 的长为 A B 图5 参考答案 一、选择题 1.D 解：.∠AOB=60°， :∠ACB=号∠A0B=30 2.C .∠C0D=42° ∠CAD=∠COD=21 C是0 的直径， ∠ABC=90° .AB=BC .∠BAC=∠BCA=45° ∴.∠BAD=∠BAC+∠CAD=45°+21°=66° ,四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠BCD=180°-∠BAD=180°-66°=114° .∴.∠DCE=66° 3.B 解：如图，过点O作OH⊥AB,交AB于点C,交⊙0于点H, 0 水面4CB 用装用 设简车的半径为m,则OA=OH=m, :0c=(-2)m .OH⊥AB, :4C=ac-24B=4m 在RIAOAC中，OC2+AC2=OA, :（-2+4=2 解得”=5， ∴.筒车的直径是10m. 4.C 解：.A0=OC,OC=OB .∠OCA=∠OAC,∠OCB=∠OBC, .∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OAC+∠OBC, .∠AOB+∠OAC+∠OBC+∠ACB=360°， ∴.∠AOB+2∠ACB=360°， .∠A0B=360°-2∠ACB=96°， .∠BOC=2∠AOC, :∠A0C=∠40B=32 3 则AC的度数为32°. 5.A 解：.OA=OD,∠AD0=52°， ∴.∠OAD=∠AD0=52°， ∴.∠A0D=76°， 点A是CD的中点， ∴.∠AOC=∠AOD=76° ∠A8c=40c=38 6.C 解：取OP的中点N,连接MW,OQ, M为的中点，为OP的中点， .PO .MN△POg 为 的中位线， oo ⊙0 ,2 09=2 的半径为，即 .MN=1 “点M在以N为圆心，1为半径的圆上， N .OP=4 N OP 为 的中点， 1 ∴.ON=5OP=2 2 当点M在线段ON上时，OM取得最小值， ∴.OM ON-MN=2-1=1 的最小值为 7.A 解：如图，连接AO,A,0 44,=44 .∠A,0An=2∠A44n=36° 依题意，依次连接各等分点得到的图形为正m边形，其中”=36 360=10,即正十边形 8.B 解：如图，连接OA、OB、OC、AC,OD, “将弦B上方的部分沿弦1B翻折，使点C与圆心O重合. ∴.OB=BC 又OB=OC, ..OB=OC=BC ∴.△BOC 是等边三角形， ∴.∠C0OB=60° .ZCDB-ZCOB-30 “点C为B的中点， AB ..AC=BC .∠ABC=∠BAC=30° ∠BCD=30° ∴.∠BOD=2∠BCD=60° 又OB=OD, .∴，△BOD 是等边三角形， .BD=BO=BC .∠BCD=∠BDC=30° ∴.∠CAB=∠BCD∠CBA=∠BDC :.△ABC≌aCDB(AAS) ∴.AB=CD=6V3 9.A 解：如图，连接OC、OE、BC,设AC与OE相交于点H, D B .∠BAC=∠ABE=30°， .∠BOC=∠AOE=60°， ∴∠C0E=60°， .'AE=CE, .OE⊥AC, AH-CH-AC 2 ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， ac-34B=2 AC-AB-BC-2-2 .AH=CH=3, 01=B=2 .0H=VOP-AH=V22-（5=1, ∴.S号形HEc=S扇形A0c-SAOc= 120m×2-x25x1=4-5, 360 360 x+-小2传-同 2 =V3 10.D 解：A、∠D=60°， .∠A0C=2∠D=120°， 点B是AC的中点， :∠A0B=∠B0C=)∠A0C=60 2 又.OA=OB=OC, ∴.△AOB和△BOC是等边三角形， .'.OA=AB=BC=OC, 四边形ABCO是菱形， 故A选项不符合题意； B、.OA∥BC,AB∥OC, ∴四边形ABCO是平行四边形， 又，OA=OC, ∴四边形ABCO是菱形， 故B选项不符合题意； C、.'∠AOB=∠D,∠AOC=2∠D, ∴.∠AOB=∠BOC=∠D, 又.0A=OC, ∴.OB垂直平分AC, 又∠OAC=∠BAC,AC⊥OB, ∴.AC垂直平分OB, ∴四边形ABCO是菱形， 故C选项不符合题意； D、.∠AOB=∠D,∠AOC=2∠D, ∴.∠AOB=∠BOC=∠D. ,点B是AC的中点， ∴.∠AOB=∠BOC, 两个条件得到的结论是一样的，不能证明四边形ABCO是菱形， 故D选项符合题意. 二、填空题 11.120° 解：：点B是AC的中点， .AB=BC, .∠COB=∠AOB=60°， .AO=OB=OC, ∴.△AOB,△COB都是等边三角形， .∠ABO=∠CBO=60°， 则∠ABC=∠AB0+∠CB0=60°+60°=120°， 故答案为：120° 29 12. 解：由题意，设半径为r, 则OC=OB=r, .BE=2, ∴.OE=r-2, ,AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E, ∴点E是CD的中点， CD=10, cE9-5, 在RtAOCE中，由勾股定理得 OC2=CE2+0E2 即2=52+(0-2)} 29 解得：r= 4· 13.2π 解：四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=6,OA=OC=OB=OD,AB∥CD ∴.OA=OC=3,∠ACD=∠CAB=40° :图中阴影部分的面积为：2 40元x3=2π. 360 14.12° 解：，四边形ABCD是菱形 ∴.∠B=∠D=68°，BA=BC A2B1c=∠8C4=080-∠=0 四边形AECD内接于⊙O ∴.∠AEC=180°-∠D=112° .∠BAE=∠AEC-∠B=112°-68=44° .∠EAC=∠BAC-∠BAE=56°-44°=12°. 15.(32) 解：过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP, P D(6,0) A(6,0)PD⊥OA 0-01=3, 在RtaOPD中OP=V13OD=3, :PD=VOp2-0D2=13-9=2 .P(3,2) 16. (12m-24)平方米 解：如图，设AB与BC的交点为D,过点D作OD⊥BC,垂足为O,连接CD, 8厘米 8厘米 ,BC为直径， .∠BDC=90°，即CD1AB, :三角形ABC为等腰直角三角形， .∠ABC=45°， ∴.∠BCD=∠ABC=45°， .'BD=CD, 又.OD⊥BC, :B0=0C=0D=28C=4米， 2 .S用影=S大号形-S水号形 =S扇形ACB-SABC-（(S扇形BOD-S,BOD) 3602*8x8-90m×41 90元×821 360+2×4x4 =2m-24)平方米. 答：阴影部分的面积为 2m-24)平方米. 三、解答题 17.(1).AB是⊙0的直径， ∴.∠ADB=90°. 又.OC‖BD, .∠AEO=∠ADB=90°， 即OC⊥AD. .AC=CD ∴.∠AOC=∠COD. (2)解：设⊙0的半径为”， .CE=4, ∴.OE=OC-CE=r-4. ,AD=16,由(1)知，OC⊥AD, :Ac=号4D=8。 在RIAAOE中，由勾股定理AE2+OE2=OA2, 代入得82+-4)2=r2, 解得r=10 因此，⊙0的半径为10. 18.(1)解：∠ACB=40°， ∴.∠AOB=2∠ACB=80° .·∠COB=100° ∴.∠COA=∠COB-∠AOB=20° (2)解：如图，延长CO交⊙O于点D,连接BD. CD是o0 直径， ∴.∠CBD=90° :OC=4,AB=5 ∴.CD=2OC=8 .OA=OC ∴.∠OCA=∠OAC :AC∥OB .∠OCA=∠DOB,∠OAC=∠AOB ∴.∠DOB=∠AOB .DB=AB=5 .BC=VCD2-DB2=V82-52=√39 19.(1) 证明：AB是OO的直径，CD⊥AB于点E, .AC=AD, :C是厅的中点， ∴.AC=CF, .AC+CF=AC+AD,AF=CD, ∴，AF=CD (2)解：如图，连接OD, B E 由(1)可知AF=CD=10, 设⊙0的半径为r,则OA=OD=r, AE=2 ..OE=OA-AE=(r-2) ·CD⊥AB .E 于点， :.DE=CD=5 2 在Ra0DE中，0E+DE2=0D,即-2+52=户 解得29 4 29 :⊙0的半径为4. 20.(1)解：如图，∠ACD即为所求； D (2)解：如图，点F即为所求： F H GB 21.（(1)证明：AE平分∠BAD, .∠BAF=∠DAF .·AD⊥BC .∠DAF+∠AFD=90° :AE⊙O 的直径， .∠ABE=90° ∴.∠AEB+∠BAF=90° ∴.∠AEB=∠AFD ； (2)3V5 (2)解：过点B作BH⊥AE于H,如图， F D E ,∠AFD=∠BFE∠AFD=∠AEB ∴.∠BFE=∠AEB .BE=BF=5 在Rt△ABE中，AB=10,∠ABE=90°， AEAB+BE10-55 se408E-480, 六BH=4BBE=10x5=25 AE 55 .EH FH=BE2-BH2=5 :AF AE-EF=AE-2EH=35 22.(1)证明：如图，连接OM, A .D “四边形 ABCD 是平行四边形， .ABII CD AB=CD “M是CD中点，O是4B中点， :04=54,DM=0D, .'.OA=DM, ∴.四边形AOMD是平行四边形， ∴.AD=OM, :M落在圆上， 06 ∴.AB=2AD; (2)解：如图，连接AC, A D M 点C落在圆上，B是O0 0直径， ∴.∠ACB=90° 由(1)可知AB=2AD=2, ∴，AD=1 “四边形1BC 是平行四边形， ∴.AD=BC=1, :在R△MBC中，AC=VAB-BC=V5 .平行四边形ABCD的面积=BC×AC=IxV5=V5; (3)解：如图，连接BD, D M 图2 :四边形ABCD是正方形，AB=6, ∴.AB=CD=BC=6,∠BCD=90°， :.BD=VBC2+CD=6√2 平行四边形PQDC是⊙O的“环中点平四”， .由(1)可知，CD=2DQ, ∴D0=3 ∴点旦在以点D为圆心，半径为3的圆上（不包括点O),如图所示， ∴，当点B、DQ在同一直线上，且D在线段BO上时，BO取得最大值， 最大值为BD+DQ=6V2+3 23.(1)证明：AB是直径， ∴.∠ACB=∠BDA=90°， .∠DAB=∠CBA, ∴.AC=BD(相等的圆周角所对的弦相等)， AC=BD 在Rt△CAB和Rt DBA中， AB=BA, .△CAB≌△OBA(HL); (2)解：如图，过D作DH⊥AB于H, 半圆O中，直径AB=8, ∴.OA=OD=4, .∠DAB=15°， .∠AD0=15°， ∴.∠DOB=∠DAB+∠AD0=30°， 30元×424 &DH=0D=2,So三3603 2 S0D= 1O4×DH=5×4×2=4 4 .S阴影部分=S扇形008+S,40=3元+4： (3)解：①如图2，连接OC,OD,OM,过M作ME⊥AB于E. 0 B 图2 直径AB=8,弦CD=4, .OC=OD=CD=4. .△COD是等边三角形， .M是CD的中点， CM-CD-2.OM/1CD, ∴.OM=V0C2-CM2=25, ME-VOM2-0E-12-087 ∴.当OE最大时，ME最小， 而当C与A重合（或D与B重合）时，OE最大，如图3. D (C) 图3 ,△COD是等边三角形，M是CD的中点， ∴.∠M0C=30° :ME=OM=5,即点M到AB的距离的最小值是5： ②如图4. M C)业 B 图4 由①知，OM=2W5, M的轨迹是以0为圆心，25为半径的弧， 当C与A重合时，∠AOM=30°， 同理，当D与B重合时，∠BOM'=30°， ∴.∠M0M'=180°-30°-30°=120° 120π×2√54V3」 ∴点M的运动路径长为180 3 24.(1)解：如图，作以AB为直径的⊙0， B ·.·∠ABC=90° .∠ABP+∠PBC=90° :∠PAB=∠PBC .∠BAP+∠ABP=90° ∴.∠APB=90° 六点P在以1B为直径的 ⊙0 上 ∴.连接OC交⊙O于点P,此时CP最小. “点0是B的中点， AB=10 :.0A=OB=AB-5 在Rt△BC0中，∠OBC=90°，BC=6,OB=5, ∴OC=VBC2+0B2=V61 ..CP=OC-OP=61-5 C的最小值为6-5： (2)解：如图，作以AD为直径的圆，连接AC,BD交于点O, 正方形ABCD, ∴.AD=CD,∠ADE=∠DCF=90°， .DE=CF, ∴.△ADE≌△CDF(SAS), ∴.∠DAE=∠CDF, ∴.∠DAE+∠ADP=∠ADP+∠CDF=∠ADE=90° ∴.∠APD=90°， “点P在运动中保持∠APD=90 六点P的运动路径是以D为直径的圆的弧 DPO 90元×6=3元 :.点P的运动路径长为180 (3)解：如图，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E,作OF⊥AD于点F,连接OA, OB OC .AD是BC边上的高， .∴.∠0ED=∠0FD=∠FDE=90° ∴四边形OEDF是矩形， ∴.OF=DE,OE=DF, .∠BAC=45° .∠BOC=90° 在Rt△BOC中，BC=BD+DC=3+1=4, .B0=-C0=2V2 .·OE⊥BC ,0为圆心， ·BE=BC=2 2 ∴DE=OF=BD-BE=1 在Rt△BOE中，B0=2V2,BE=2, ..OE=DF=2 在Rt△AOF中，AO=2N2，,OF=DE=1, :.AF= ..AD=AF+DF=7+2