3.6 正多边形-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

VB)+下F=2,所以C=号AC.所以易得∠ACB= 60.因为BC=AC=OD,所以DH=OD.所以在 △DOH中，∠DOH=∠OHD=80°.所以∠ODH= 180°-∠D0H-∠OHD=180°-80°-80°=20°.因为 BC∥DE,所以∠ONH=∠ACB=60°.所以∠DOC= ∠ONH-∠ODH=60°-20°=40°.因为OA=OD,所以 ∠0AD=∠0DA.所以∠0AD=2∠D0C=3×40 20°.所以∠CBD=∠OAD=20°.因为BC∥DE,所以 ∠BDE=∠CBD=20°. (第9题) 3.6正多边形 1.A设一个内角的度数为x°，则与之相邻的一个外角的 度数为(180-x)°.根据题意，得180-x十36=x,解得x= 108.所以这个正多边形的一个外角的度数为180°一108° 72°.所以这个正多边形的边数为360°÷72°=5.所以这个 正多边形是正五边形. 2.B如图，连结OB,OC.因为正六边形ABCDEF内接 于⊙O,⊙0的半径为4，所以OB=OC=4,∠BOC= 360=60.所以△B0C为等边三角形.所以BC=OB=4. 因为OM LBC,所以BM=2BC-2.在Rt△OBM中，由 勾股定理，得OM=√OB2-BM=√4-2=25. B (第2题) 3.10如图，连结AO,B0.因为O为该正多边形的外接 圆圆心，所以∠AOB=2∠ADB=2×18°=36°.所以这个 正多边形的边数为需-1n B A (第3题) D 4.(1)如图①，正六边形ABCDEF即为所求.(2)如图 ②，正八边形ABCDEFGH即为所求. ① ② (第4题) 5.C因为五边形ABCDE是正五边形，所以∠EDC= ∠AED=∠EAB=∠ABC=5-2)X180°=108.因为 BA=BC.所以∠BAC=∠BCA=(180-∠ABC)= 2×(180°-108)=36°.所以∠EAC=∠EAB- ∠BAC=108°一36°=72°.所以∠AED+∠EAC=108°+ 72°=180°.所以DE∥AF.因为AE=AF=DE,所以易得 四边形AEDF是菱形.所以∠EDF=∠EAF=72°.所以 ∠FDC=∠EDC-∠EDF=108°-72°=36°. 6.B如图，连结AG,DG,AD,AE,OE,过点O作OH⊥ AE于点H.因为六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边 形，所以∠A0E=2×360°-120.因为0H1AE,所以 6 AH=EH.因为OA=OE,所以∠OAE=∠OEA= 合180-∠A0E)=号×(180-120)=0：.所以在 Rt△OHA中，OH= 号0A=号×1=号，则AH VOA-OF-√P-()-所以AE=2AH- 23 2 =√3.所以AG=AE=√3.由题意可知，AG=DG, OA=OD,所以OG垂直平分线段AD.所以∠AOG=90°. 所以在Rt△GOA中，OG=√AG-OA2= √(W5)2-1=√2. B (第6题) 7.22如图，连结AC,OD,OH.易知四边形ABCD是 ⊙O的内接正四边形，所以AD=CD,∠ADC=90°.所以 AC是⊙O的直径，即AC=2.所以在Rt△ADC中，AD+ CD2=AC,即2AD2=4.所以AD=CD=√2.因为OA= 36 OD,AH=DH,所以OH垂直平分线段AD.易知 SE边5mH=4SmH=4X号×2X1=2厄. E B (第7题)》 8.（1D连结OB,0C,则∠0C=360=120.又因为 3 0B=0C,所以∠0BC=∠0B=是(180°-∠0C) 1 ×(180°-120)=30.因为△ABC是等边三角形，所以 ∠ABC=60°.所以∠PBO=∠ABC-∠OBC=60°一30°= 30°.所以∠PBO=∠QCO.又因为OB=OC,BP=CQ,所 以△OPB≌△OQC.所以∠POB=∠QOC.所以∠POQ= ∠POB+∠BOQ=∠QO0C+∠BOQ=∠BOC=120°. (2)90°；72°.(3)∠POQ的度数与正n边形边数n的关 系为∠P0Q-360 9.(1)因为五边形ABCDE为正五边形，所以∠ABC= (5-2)X180-108.(2)△AMN是正三角形.理由：如 6 图，连结ON,FN.由题意，得FN=FO.因为ON=OF, 所以ON=OF=FN.所以△OFN是正三角形.所以 ∠OFN=60°.所以∠AMN=∠OFN=60°.同理，可得 ∠ANM=6o°.所以∠MAN=∠AMN=∠ANM=60°.所 以△AMN是正三角形.(3)如图，连结OD.因为 ∠AMN=60°，所以∠AON=2∠AMN=120°.因为AD= 2正，所以∠0D=号×360=14.所以∠N0D ∠A0D-∠A0N=14°-120°=24.所以m=360 24°=15. (第9题) 方法归纳 由正多边形的一条边判断正多边形的边数的方法 由正多边形的一条边判断正多边形的边数时，一般 先计算出已知正多边形的边所对的圆心角的度数，然后 根据“正多边形的边数= 3609 已知边所对圆心角的度数 求 出正多边形的边数 3.7弧长及扇形的面积 1.C如图，连结OC.因为∠B=60°，所以∠AOC= 2∠B=120°.因为直径AB=6,所以0B=2AB=3.所以 120xX3=2元 AC的长为180 (第1题) 2.A因为AB=CD,所以∠ADB=∠DBC=25°.所以 ∠AOB=2∠ADB=50°.因为OA=3,所以扇形AOB的面 积为0- 3.25因为正方形ABCD的边长为5cm,所以BD的长 为2X5-10(cm).所以扇形DAB的面积为2×10×5= 1 25(cm). 4.(1)连结OD,OE.因为OB=OE,所以∠ABC= ∠BEO=45.所以∠BOE=180°-∠OBE-∠OEB= 180°-45°-45°=90°.因为AB=BC,所以∠BAC= ∠ACB.因为OC=OD,所以∠ACB=∠CDO.所以 ∠CDO=∠BAC.所以ABOD.所以∠DOE=∠BEO= 45,因为直径BC=6,所以半径OB=号C=A所以D元 的长为45xX3_3.(2)由(1)知，∠B0E=90°，0B= 1804 1 OE=3,所以S色=S豹志0E一SR△0E= 90π×32 360 2 3X3=9r9 421 5.C 因为D的长为号米，∠A0D=60,所以 60X04-晋米，所以0A=1米又因为AB的长为 180 0.8米，所以OB=OA+AB=1十0.8=1.8（米）.所以BC 的长为60XX1.8-0.6m(米. 180 6平-号如图，连结CD,设DF交C于点H,DE交 AC于点G.因为AC=BC,∠ACB=90°，D为AB的中点， 所以∠A=∠B=45,CD=AB=1=BD,CD1AB, 所以∠ADC=∠CDB=90°.因为∠A=45°，所以∠DCG= 45°=∠B.因为∠CDG=90°-∠CDH,∠BDH=90° ∠CDH,所以∠CDG=∠BDH.在△CDG和△BDH中， 37 ∠CDG=∠BDH, CD=BD, 所以△CDG≌△BDH.所以S△cx= ∠DCG=∠B, 5am,所以5ea=Sam=号X1X1=2·所以 S亲色第分=S前无BDr一S四边无GCH=S前无mr一S△CD附= 90x×12_1=x-1 3602=4-2 R G￥ (第6题) 方法归纳 求不规则几何图形面积的方法 一般不能直接利用公式求解，常用的方法有：①等 积变形法：②和差法：③割补法：④迁移变换法：⑤化 零为整法等.解题的思想都是将不规则图形的面积转化 为规则图形（可直接求面积的图形，如三角形、特殊四边 形、圆、扇形等)的面积或规则图形面积的和与差 7.于+2如图，连结OE.因为DE/AB,OH=EF,所以 四边形HOEF是平行四边形.所以HF=OE.因为OF⊥ AB,DE∥AB,所以OF⊥DE.所以DF=EF.又因为 OH=EF,所以DF=OH.所以DF+AH=AO.所以 DF+AH+HF=AO+OE=AB.因为AB=2,所以 DF+AH十HF=2.因为E是BC上一动点，所以当点E 与，点C重合时，AD的长最大，此时涂色部分的周长最大. 因为AC=2BC,所以∠BOC=60°.所以AD的长为 6-号所以涂色部分的周长的景大值为号+2 180 H (第7题) 8.(1)如图，过点O'作OD⊥BC于点D.由题意，易得 ∠CBA'=30°，O'B=O'A'=10cm,BD=CD.因为O'C= O'B,所以∠O'CB=∠CBA'=30°.所以∠BO'C=120°.所 以BC的长为120x×10-20 180 π(cm).(2)由(1)，易得 O'D=5cm,BD=5√3cm.所以BC=2BD=10W3cm.所 以5=号×xX10-(20X10-x10w5x） 360 D (号+255)m (第8题) 微专题·平面图形中的滚动问题 1.15十元圆心O运动的路径如图所示.因为O0, AB=10.0,0,的长度为90mX2=元，0,0，=BC=5,所 180 以圆心0运动的路程是10十π+5=15+元 0 B C 0 (第1题) 2.(1)如图，连结AC,A,C.因为∠ABC=∠BCD= 90°，BC=4cm,AB=3cm,所以AC=√AB2+BC √32+4=5(cm).因为∠A,CD,=∠ACD,所以 ∠ACA,=∠A,CD,+∠ACB=∠ACD+∠ACB= ∠BCD=90°.因为∠A2B'A,=90°-30°=60°，所以点 A翻滚到点A,的位置时共走过的路径长为90X元X5+ 180 60XπX3_7(cm.(2)根据题意，得线段AB扫过 180 2 的面积为S第形ACA,+S△A,C一S前蒂xB'一S△C+ S前无A1BA2 90XπX52 2×3X4-90XxX41 1 360 360 十 3X4+60Xr☒3=5r(cm2). 360 E 30 B (第2题)》 专题特训四 与圆有关的不规则图形 面积的求法 1.B连结OD.因为在△ABC中，AB=AC,∠B=45°，所 以∠C=45°.所以∠BAC=90°.所以△ABC是等腰直角三 角形.因为BC=42,所以易得AC=AB=4.因为AB为 ⊙0的直径，所以B0=D0-AB=2因为OD-0B, 38拔尖特训·数学（浙教版）九年级全一册 3.6正多边形 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°，则这个正多边形是 () A.正五边形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十边形 2.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,⊙O的半径为4，则圆心O到边BC的距离OM为() A.2 B.23 C.3 D.1 (第2题) (第3题) 3.如图，A,B,C,D为一个正多边形的顶点，O为该正多边形的外接圆圆心.若∠ADB=18°，则这 个正多边形的边数为 4.如图，在网格纸中，O,A都是格点，以点O为圆心，OA长为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下 画图（不写画法）： (1)在图①中画⊙O的一个内接正六边形ABCDEF. (2)在图②中画⊙O的一个内接正八边形ABCDEFGH ① ② (第4题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，在正五边形ABCDE中，连结AC,以点A为圆心，AB长为半径画圆弧，交AC于点F,连 结DF,则∠FDC的度数是 () A.18 B.30° C.36° D.40° 个G B E (第5题) (第6题) (第7题) 6.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,分别以点A,D为圆心，AE的长为半径作弧，在⊙O外交 于点G,连结OG.若⊙O的半径为1，则OG的长为 () A.1 B.√2 C.3 D.2 7.如图，已知⊙O的半径为1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则⊙O的内接正八边形 AEBFCGDH的面积为 54 第3章圆的基本性质 8.考探究题如图，P,Q分别是⊙O的内接正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE,…, 正n边形ABCDE…的边AB,BC上的点，且BP=CQ,连结OP,OQ. (1)求图①中∠POQ的度数. (2)图②中∠POQ的度数是 ,图③中∠POQ的度数是 (3)试探究∠POQ的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）， P 0 C ① ② ③ (第8题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.★如图①，正五边形ABCDE内接于⊙O,阅读以下作图过程，并回答下列问题， 作法：如图②，作直径AF,以点F为圆心，FO的长为半径作圆孤，与⊙O交于点M,N,连结 AM,MN,NA. (1)求∠ABC的度数， (2)△AMN是正三角形吗？请说明理由. (3)连结DN,从点A开始，以DN的长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些点，得到 正n边形，求n的值. ① ② (第9题) “答案与解析”见D36 55